第15章 分式&第16章 函数及其图象&第17章 平行四边形 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（华东师大版·新教材）

数理报 第44期2版参考答案 19.2数据的离散程度 基础训练 1.B;2.5;3.乙 4.(1)x甲=4(90+85+95+90)=90（分），元 4(98+82+88+92)=90(分). (2)0=4×[(90-90)2+(85-90)2+(95- 90)+(90-90户]=2吃=}×[(98-90y2+(2 -90)2+(88-90)2+(92-90)2]=34.因为甲的方差 小于乙的方差，所以选择甲参加比赛更合适. 19.3借助箱线图描述数据的分布 基础训练1.C;2.B; 3.四分位数如下表： 最小值、四分位数和最大值 班级 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 八(1)班 166 167 168 170 171 八(2)班 164 165.5 169 170 171 作箱线图如图所示： 身高em 172 098G65N6 八(1)班 八(2)班 基于四分位数和箱线图，可以发现八(1)班身高的 中位数与八(2)班的相差不大，但八(1)班身高的波动 明显比八(2)班的要小，故八(1)班选取的礼仪队队员 的身高比八(2)班要整齐 4.(1)两组学生坐位体前屈结果的最小值相等，A 组学生坐位体前屈结果的四分位数、最大值都高于B组， B组学生坐位体前屈结果的波动相对较小、 (2)B组有可能是普通学生组.(3)不一定 第44期3,4版参考答案 题号 3 8 9 11 12 答案 B B 2 B B B A 二13.24；14丙；15.4：16号或4或号 三、17.(1)从小到大排列此数据为：5,6,7,7,8,8， 8,数据8出现了三次，最多，为众数，7处在第4位，为中 位数.所以该同学所得分数的众数与中位数分别为8分、 7分 (2)该同学所得分数的平均数为：子(5+6+7×2+ 8×3)=7(分). 18.甲的平均成绩为： 7×6+90× 6+4 4=88.2(分)， 乙的平均成绩为：91×6+82×4 6+4 =87.4(分) 因为88.2>87.4，所以甲将被录取. 19.将这12个数据由小到大排序为：7.5,7.8,8.1， 8.5,8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6,所以下四分位 数为：81十8.5=83（分），中位数为： .8+8.8 2 2 8.8(分)，上四分位数为：91+9.3 2 =9.2(分) 20.(1)乙.(2)8.8,9. (3)此人是乙，理由如下：把乙中的其中任意一个数 改为其他数，这组数据的中位数和众数都不变，均为8. 21.(1)①8,8,1.56. ②八年级竞赛成绩的众数为7分，方差为1.88，九年 级竞赛成绩的众数为8分，方差为1.56，所以九年级竞赛 成绩的众数较大，又因为两个年级竞赛成绩的平均数相 同，九年级竞赛成绩波动小，所以应该给九年级颁奖， (2)八年级的获奖率为：(10+7+11)÷50=56%； 参考答案。 15 九年级的获奖率为：(14+13+6)÷50=66%. 因为66%>56%，所以九年级的获奖率高. 2)设票街遮住的内容是M,即，子÷”二 22.(1)144.乙车间抽取的10名员工中4月份工资 为5千元的有：10-5-2-1=2（名）.补图略. 。2所以4 1 2 2。a-2月a-（a-2 (2)由扇形统计图，得甲车间员工工资为4千元52a=2.所以M-4=2a=22.(a+1)(u-1)=2(a 千元、6千元、7千元、8千元的员工分别有1名、2名、4名、 a-1 a-1 -2)(a+1)=2(a2+a-2a-2)=2a2-2a-4.所以 2名、1名 M=2a2-2a,即墨滴遮住的内容是2a2-2a. 所以甲车间员工的平均工资为：0×(4×1+5×2 20.(1)设该商家购进运动鞋x双，则购进运动服 +6×4+7×2+8×1)=6(千元)， 1.25x套 方差为：0×[(4-6)+2×(5-6)+4×(6 根据题意，得6400-600=40.解得x=40. 1.25x 6)2+2×(7-6)2+(8-6)2]=1.2. 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意 因为1.2<7.6，所以甲车间员工的工资收人比较稳定 所以1.25x=50. (3)原来甲车间员工工资的中位数为.6+6=6（千 答：该商家购进运动鞋40双，购进运动服50套， (2)每双运动鞋的进价为：6400÷40=160（元），每 元) 套运动服的进价为：160-40=120（元）. 因为甲车间员工工资低于6千元的有3名，不低于6 千元的有7名，新数据的中位数小于原来甲车间工资的 根据题意，得40×子×(200-160)+50×7× 中位数，所以n的最小值为：7-3=4. (160-120)+40××(200×0.1u-160)+50×分 所以当这4名员工工资低于6千元，且是较高工资 ×(160-120-3a)=2600.解得a=8. 时，这4名员工的工资和取得最大值 所以这4名员工的工资分别为4千元4千元、5 21.(1)1,1 63 元、5千元 （2)2公+1-25+5=2+因为原分 5 所以这4名员工的工资和的最大值为：4+4+5+5 b2+1 62+1 =18(千元). 式的值为整数，且62+1≥1，所以62+1=1或b2+1= 复习专号参考答案 5.当62+1=1时，解得b=0:当62+1=5时，解得b= ±2.综上所述，b的值为0或2或-2. 《分式》专项练习 (3)因为++2=手，所以3 4 x+2 1c:2,3c:42 2+2+3-+2g+2》+1=+十2 x+2 x+2 5.(1)最简公分母是2a262c. 1 3 1= 3 =2g2 子以品 2+3x+32+3x+3= 7 2026=2a28c'abc 2a2bc x+2 3 (2)最简公分母是(x+y)(x-y). 22.(1)设原计划每天生产x辆，则第一天后每天生 x(x+y) 产1.5x辆. x-Y (x+y)2(x-y)' 根据题意，得60=1+360-+3.解得x=36 y(x-y) 2(x+y) 1.5x (x+y)产(x-'-7=(x+y)产(x-可 经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意 6.D. 所以360-3=7. 7.0”:(2)。子6(3)g+ 答：完成第一项任务实际需要7天. 8.原式=m2-4m+3.当m=4时，原式=3. (2)>:理由：甲方案4，=180+180 a 9.D. 10.(1)x=-1;(2)无解 180(a+1:乙方案：根据题意，得a·+6=360 ab 11.(1)设每件A种商品的进价是x元，则每件B种 720 商品的进价是(x+5)元根据题意，得300.100 3x4 解得与=。2所以4-6=180(a+-72 ab +6 解得x=15.经检验，x=15是所列方程的解，且符合题 :180(a-b)2 ab(a+b) 因为a≠b,a,b均为正整数，所以(a-b) 意.所以x+5=20. >0,ab(a+b)>0.所以t-t>0,即t>t2 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的 进价是20元 《函数及其图象》专项练习 (2)设商店购进A种商品y件，则购进B种商品(50 -y)件.根据题意，得5y+20×20%(50-y）≥210.解 1K.R:号：2.-3：3840： 得y≥10.所以y的最小值为10. 4.D;5.D;6.(5,-2);7.1 答：购进A种商品至少10件 8.(1)图略，数学楼(1,0)，体育馆(-4,3) 12.A; 13.2 141.03×10715.A (2)图略. 9.-2;10.C;11.>;12.3;13.D; 《分式》复习检测卷 14.y=4x-5;15.3:16.x<3. 17.(1)设A,B两种品牌小电器每台的进价分别为 x元y元 题号12345678910112 答案DBA CAB DBCBD C 。军 ly=20. 答：A,B两种品牌小电器每台的进价分别为15元、 =、13.(a+):14.1615子；16-3. 20元. 3c9 (2)设购进A种品牌小电器a台，则购进B种品牌小 三、17.(1)-506 (2)a2-2a 电器(150-a)台. 18.(1)无解；(2)x=6. 根据题意，得2750≤15a+20(150-a)≤2850， 2 解得30≤a≤50. 19.(1) a-1 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围为30≤a (a+1)(a-1)=a+ ≤50. 2(a-2) a-2 (3)设获利w元.根据题意，得w=3a+4(150-a) 16 参 考答案。 =-a+600.根据题意，得-a+600≥565.解得a≤35.160元. 所以30≤a≤35.所以甲合理的采购方案有6种，方案 (3)由(2)得E(8,160),因为240>160，由图象得 一：购进A种品牌小电器30台，B种品牌小电器120台：选择乙消费卡划算 方案二：购进A种品牌小电器31台，B种品牌小电器119 台；方案三：购进A种品牌小电器32台，B种品牌小电器 21.(4)因为1a-1+(6-4)2=0,所以a= 2 8台：方袋四：购进1种早牌小电器3台，B种早牌小电6=4所以点C的坐标是(4，多》，点D的坐标是(0， 器117台；方案五：购进A种品牌小电器34台，B种品牌小 电器116台；方案六：购进A种品牌小电器35台，B种品牌小 2 电器115台因为-1<0，所以w随a的增大而减小所以当 a=30时，获利最大，最大利润是：-30+600=570（元）. (2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b.把 答：购进A种品牌小电器30台，B种品牌小电器1204(-1,0)，C(4, 多)代人，得+6=0 5解得 台获得的利润最大，最大利润是570元 4k+b=2 18.±2；19.C;20.-6. 2.1)把8(4，-3)代入y=经，得6=-12所 「x= 2’所以直线4C的函数表达式为)=今x+7设 以反比例函数的表达式为y=-2把A(m,6)代入y 直线BD的函数表达式为y=mx+n.把B(3,0),D(0, =-是，得m=-2所以4(-2.6.把4(-2.6)，B4, r3m+n=0, 二3)代人￥=x+6,得26+6三6，解得2人，得 5 n= 【m=石'所以直线 解 2 5 【4k,+b=-3. n 2 3 5 5 :=-立'所以一次函数的表达式为y=一 2x+3. BD的函数表达式为y=- 6 +2 解 b=3. 3 y= 2x+ [x=21 但县 ②)由函数图象，得当华>6花+b>0时，自变量x 5 5 5 所以点P的坐标为（号， [y 6 y 的取值范围是-2<x<0. (3)对于y=-子+3，当y=0时x=2.所以c(2,子). 0).设P(p,0),则PC=Ip-21.因为△PAC的面积为9， 22.(1)根据题意，得A(m,2).将A(m,2)代入y= 所以3x1p-21x6=9.解得p=5或-1.所以P(5, :2x,得2m=2.解得m=1.所以A(1,2).将A(1,2)代入 y=-x+b,得-1+b=2.解得b=3.所以l2的函数表 0)或P(-1,0) 达式为y=-x+3. (2)①将x=2代人y=2x,得y=4.所以M(2,4) 《函数及其图象》复习检测卷 将x=2代人y=-x+3,得y=1.所以N(2,1).所以M =4-1=3. 题号12345678910112 ②设翻折后点A落在点F处，连结AF,交y=x(k !≠0)于点P,连结OF,图略.由折叠的性质，得OA=OF, 答案A DD AA C B C D C DD 点P为AF的中点.设点F的坐标为(2，t).因为A(1,2), 二、13.日期：14（号，多：15.三；1612 :0A2=0F2,所以12+2=2+t.解得t=±1. 三、17.(1)设y=x.把x=-2,y=4代入，得-2h 当1=1时，点F的坐标为(2,1)，点P的坐标为(， =4.解得k=-2.所以y与x之间的函数表达式为y= -2x 2因为点P(号子)在直线y=a上，所以=子 (2)根据题意，得-2a=-2.解得a=1. 解得k=1. 18.(1)设直线l1的函数表达式是y=2x+b.把(0， 当t=-1时，点F的坐标为(2，-1)，点P的坐标为 5)代入，得b=5.所以直线(1的函数表达式是y=2x+ 5.因为直线l1向上平移3个单位得到直线2，所以直线2 (受，).因为点P(子，7)在直线y=:上，所以号 31 的函数表达式是y=2x+8. =分解得k=分 (2)对于y=2x+8,令y=0,则2x+8=0.解得x =-4.所以A(-4,0).所以0A=4.令x=0,则y=8. 综上所述k的值是1或 所以B(0,8).所以0B=8.所以S△0s=20A·0B= 《平行四边形》专项练习 16. 1.D:2.A;3.3:4.A;5.48. 19.(1)把4(-4，-2)代人2=，得k,=8.所 6.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD, OA=OC,BC=AD=3.所以∠OAE=∠OCF.由对J顶角 以反比例函数的表达式为：=是把B(2,m)代人为=相等，符∠AOE∠C0F.所△AOEACOFCASA) !所以AE=CF,OE=OF.所以EF=20F=2.6.所以四 得m=4.所以B(2,4).把A(-4,-2),B2,4)代人边形BCFE的周长为：EF+CF+BC+BEE =6x+6得{5女2行22狼二2以BC+EEF+C+AB=96 7.B;8.C;9.3;10.B. 次函数的表达式为y1=x+2. 11.连结CE,图略.因为D是AC边的中点，所以AD (2)由题意，得当y1<y2时，x的取值范围是x<=CD.因为DE=BD,所以四边形ABCE是平行四边形. -4或0<x<2. 所以AE=BC,AE∥BC.因为CF=BC,所以CF=AE. 20.(1)观察图象可知直线y1=kx经过点(4,80)，所以四边形ACFE是平行四边形. 所以80=4k.解得k1=20.所以直线y1=20x,k1的实 12.(1)因为AB∥CD,所以∠EDC=∠EFA, 际含义：每次收费20元 ;∠ECD=∠EAF.在△ECD和△EAF中，因为∠ECD= 因为一次函数y2=x+b经过点(O,80),(1I2,∠EAF,∠EDC=∠EFA,DE=FE,所以△ECD≌ 200.以20=2解利[么0所以直线方 △EAF(AAS).所以CD=AF又因为CD∥AF,所以四 :边形AFCD是平行四边形. =10x+80,b的实际含义：办消费卡80元；k2的实际含 义：每次收费10元 (2)因为BC-2号cE=24,所以cE=5因为四边 形AFCD是平行四边形，所以AF=CD=14,AC=2CE (2)肤立1得0+0解得i60=m因为c1AC,所减ZA0=90由窗股定理.得 所以在游乐场游玩8次时，两者花费一样，费用为：AB=√AC+BC=26.所以BF=AB-AF=12. 数理招 13.D;14.B. 《平行四边形》复习检测卷 题号 10 12 答案 二、13.两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 14.40°；15.2；16.1或3或13. 三、I7.因为AB=CD,AD=BC,所以四边形ABCD 是平行四边形.所以AD∥BC.因为DE=BF.所以四边 形DEBF是平行四边形.所以BE=DF 18.由题意，得∠CDE=∠F=110°，AB∥CD,AD =DE.所以∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠DAE= ∠DEA.所以∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=130°.所 以∠DAE=(180°-∠ADE)=25°. 2 19.取BC的中点H,连结EH,FH,图略.因为E,F分 别是AB,CD的中点，所以EH=号4C=2cm,FH= BD=3cm,EH∥AC,PH∥Bn因为4C1BD,所以 ∠EHF=90°.在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF= √Ef+F=√/13cm. 20.(1)因为AC=AD,∠CAD=70°，所以∠ADC= ∠ACD=号(180°-∠CAD)=55.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC=55°. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA= OC,OB=OD.因为AE=CF,BG=DH,所以OA-AE= OC CF,OB-BG OD-DH,OE OF,OG OH. 所以四边形EGFH是平行四边形. 21.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD ∥BC,BC=AD=12.所以∠DAF=∠AFB.因为AF平 分∠BAD,所以∠BAF=∠DAF.所以∠AFB=∠BAF 所以BF=AB=8.所以CF=BC-BF=4. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ BC,AD=BC,∠BAD=∠BCD.因为AF平分∠BAD,CE 平分∠BCD,所以∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE. 因为∠DAF=∠AFB,所以∠FCE=∠AFB.所以AF∥ CE.所以四边形AFCE是平行四边形.所以AE=CF.所 以AD-AE=BC-CF,即DE=BF.所以四边形BFDE 是平行四边形.所以BE∥DF.所以四边形EGFH是平行 四边形.所以EF和GH互相平分. 22.（1)因为四边形ABCD是平行四边形，点O是对 角线BD的中点，所以AD∥BC,BO=DO.所以∠OBE= ∠ODF,∠OEB=∠OFD.所以△BOE≌△DOF(AAS). 所以BE=DF.所以四边形BEDF是平行四边形 (2)过点D作DN⊥EC于点N,图略.所以∠DEW+ ∠EDN=90°，∠BDN=90°-∠CBD=45°=∠CBD. 由(1)，得BF∥DE.因为CP⊥BF,所以CGDE.所以 ∠CEG+∠ECG=90°.所以∠EDW=∠ECG.因为DE =DC,DW⊥EC,所以∠EDN=∠CDN.所以∠ECG= ∠CDN.因为∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN, ∠DHC=∠CBD+∠BCH=45°+∠ECG,所以∠CDB =∠DHC.所以CD=CH. 《矩形、菱形与正方形》专项练习 1.D;2.75°；3.25°. 4.(1)因为AB∥DE,所以∠A=∠D.因为AC= FD,所以AC-CF=DF-CF,即AF=DC.在△ABF和 △DEC中，因为AF=DC,∠A=∠D,AB=DE,所以 △ABF≌△DEC(SAS). (2)因为△ABF≌△DEC,所以BF=EC,∠BFA= ∠ECD.所以180°-∠BFA=180°-∠ECD,即∠BFC= ∠ECF.所以EC∥BF.所以四边形BCEF是平行四边形. 因为∠CEF=90°，所以四边形BCEF是矩形 5.2;6.D;7.(1)6,(2)6. 8.(1)因为AD=CD,BD⊥AC,所以OA=OC.因为 OE=OD,所以四边形AECD是平行四边形.因为AC1 BD,所以四边形AECD是菱形. (2)因为AB平分∠EAC,CF⊥AE,OE⊥OA,所以 BF=OB=3,∠AOE=90°.所以Rt△AFB≌ Rt△AOB(HL).所以AF=OA.因为BE=5,所以EF= /BE-BF2=4,OE=OB+BE=8.在Rt△AOE中，根数理极 专题复习 3 程为 第5章 分式 ②解这个整式方程： ③检验，将整式方程的解代入 看 ○广东廖杰鹏 结果是否为0，若是0，则此方程无解，若不是0， 则此解为原分式方程的解： 知识回厨 分式 (3)分式的通分：根据分式的 ,把 ④写出此方程的解 1.分式的概念 几个 的分式分别化成与原来的分式 (3)解分式方程应用题的分析方法、解题步 形如合(A,B是整式，且B中含有字母)的 的 的分式 骤与前面我们学过的列方程解应用题基本相同， (4)最简公分母：通常取各分母的所有因式：不同之处在于它侧重于用分式列代数式表示数 式子叫做 其中A叫做分式的的 的积作为公分母，它叫做最简公分量关系和寻找等量关系列方程，并且最后要进行 ,B叫做分式的 整式和分式母 “双验根” 统称为 4.分式的运算 6.零指数幂与负整数指数幂 分式有无意义的条件：对于分式B,当 (1)分式的乘法法则：分式乘以分式，用 (1)零指数幂：任何不等于0的数的0次幂 作为积的分子， 作为积的分 都等于1.即a°=1(a≠0) 时，分式有意义；当 时，分式无 母 (2)负整数指数幂：任何不等于0的数的 意义 (2)分式的除法法则：分式除以分式，把 -n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的 分式的值为0的条件：当 后，与被除式相乘 时，分式的值为0. (3)分式的乘方：分式乘方要把 即a=(a0,n是正整数 2.分式的基本性质 别乘方 (3)用科学记数法表示一个数就是把一个 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同 (4)分式的加减法法则：同分母的分式相加 个 的整式，分式的值不变 减 不变 相加减；异分母的分 数写成a×10的形式，其中≤1a1< (n为整数) 用武子表示为：会-合：总合-合C A÷C 式相加减，先 ,变为 ,然 后再加减 温馨提示：(1)当表示一个绝对值大于10 ≠0，其中A,B,C是整式) 5.分式方程 的数时，n为正整数，且n的值等于这个数的整数 3.分式的约分与通分 (1)概念：分母中含有」 的方程叫做 部分的位数减去1. (1)分式的约分：根据分式的 ,把分式方程 (2)当表示一个绝对值小于1的数时，n为 个分式的分子与分母的」 约去 (2)解分式方程的步骤： 负整数，且的绝对值等于这个数的第一个非零 (2)最简分式：分子与分母没有 的 ①方程两边同乘以最简公分母，化分式方： 数前面的零的个数（包括小数，点前面的零） 考点解密 ●专项练习 2 a-6)÷ a-b a b +6=(a+b)a- .0+b= 2 3.根据分式的基本性质可知， 考点1：分式的概念 a一6故选A a 例1 若分式二号的值为0，则x的值是 62 ）,括号中应该填人的整式是 ●专项练习 ( A.a2 B.62 C.ab D.ab2 6.若m-n=2,则m-元.2m的值是 A.-2 B.0 C.2 D.4 ÷考点3：分式的约分、通分 mm+n 解：根据题意，得4-x2=0,且x-2≠0. 例3若a-6-1=0,求3(a-26)+36 a'-2ab +b A.-2 B.2 C.-4D.4 解得x=-2.故选A. 7.计算： ●专项练习 的值 解：因为a-b-1=0,所以a-b=1.所以 1.下列有理式是分式的是 ( 3(a-2b)+3b 3a-3b =3(a-b) 0(6 ab A受+y B.& a'-2ab +b (a-b)3 (a-b)2 2T a号-)2 C.+3y D.3x-21 3 4x-y 4 a-6=3. ●专项练习 3a-1+8 a+2 2.当x=1时，分式+2无意义：当x=4 2x+4y 化一Ⅱ 4化简：+4+4 8.先化简，再求值：(m+2-_5 时，分式+2弘的值为0，则a+6的值为 x-a 5.通分： m2-3m+2,其中m=4 m+3 ( 3与4-b 。考点5：分式方程及其应用 A.2 B.-2C.1 D.-1 （)2abe 2 ”考点2：分式的基本性质 (2),+2+F 例5分式方程十3+上=0的解为 例2如果把分式3中的x和)都时矿大 ÷考点4：分式的运算 例4试卷上一个正确的式子(。十6+ 解：2x+3+ 1=0两边同乘x(2x+3),得 为原来的3倍，那么分式的值 ( ) A.不变 x+(2x+3)=0.解得x=-1.经检验，x=-1 B.缩小为原来的时 。÷★=子6技小明学不小心滴上墨 是原分式方程的解故填x=-1. 汁，被墨汁遮住部分的代数式为 ●专项练习 C.扩大为原来的3倍 D.扩大为原来的6倍 A.4 B.a-b 9.若关于x的分式方程，+2=”的 a -b a 解：把分式中的对都时矿大为原来的3 C.a 4a 解为非负数，则m的取值范围是 a +b D.- A.m≤2 B.m≥2 倍，得。3=二所以分式的值不变故选A C.m≥2且m≠-1D.m≤2且m≠-1 3y 解：被墨汁遮住部分的代数式是：(1 (下转第30版) 专 题复习 数理招 5.一次函数与方程、不等式 第6章函数及其图象 (1)直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的 横坐标，就是一元一次方程kx+b=0(k≠0)的 ©四川方敬欢 解 (2)一次函数与一元一次不等式的关系 知识回顾 P'(x,-y):⑥点P(x,y)关于y轴的对称点为 ①y=kx+b的图象在x轴上方台y>0;反 P'(-x,y);⑦点P(x,y)关于原点的对称点为 之y<0. 1.变量与函数 P'(-x,-y) ②y1=kx+b的图象在y2=kx+b2的图 (1)在某一变化过程中，可以取不同数值的 3.一次函数 量叫做 ,取值始终保持不变的量为 象上方台y>y;反之，y<2 (2)若两个变量x,y之间的对应关系可以表 (3)直线y=kx+b(k,≠0)和直线y= (2)一般地，如果在一个变化过程中，有两y是x的 示成)=kx+6(k,b为常数，k≠0)的形式，则称，x+b,(k3≠0)交点的坐标就是方程组 函数.特别地，当b=0时，称y 个变量x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的 是x的 函数 jy=kx+的解 值与之对应，我们就说x是 y是 Ly k2x +b2 (1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经 ,此时也称y是x的函数.表示函数关系 6.反比例函数 过点(0， ),(1, )的一条直线， 的方法一般有： 和 (1)一般地，形如y= (k是常数，k 一次函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的图象 2.平面直角坐标系 ≠0)的函数叫做反比例函数，其中自变量的取 是经过点(0， ),( ,0)的一条值范围是 的一切实数 (1)在平面上画两条互相 且具有 直线 (2)图象和性质 原点的数轴，就建立了平面直角坐标 系.其中，水平的数轴叫做x轴或 轴，取 (2)正比例函数y=kx(k≠0)的性质： 形状k的符号 图拿 位置 性质 向 为正方向；竖直的数轴叫做y轴或 ①当k>0时，y的值随着x值的增大而 在每一象限 ,图象经过第 象限； 在 内，y的值 轴，取向 为正方向.两条数轴 k>0 象限内 随x值的增 的交点O叫做 ②当k<0时，y的值随着x值的增大而 大而 (2)点的坐标：对于平面内任意一点P,过 ,图象经过第 象限 在每一象限 点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴y轴上 (3)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质： 内，y的值 对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标， ①当k>0,b>0时，y的值随着x值的增大 象限内 随x值的增 有序实数对( )叫做点P的 而 图象经过第 象限： 大而 坐标 ②当k>0,b<0时，y的值随着x值的增大 (3)如右图，在反比例 (3)①若点P(x,y)在x轴上，则y=0:②若 而 ,图象经过第 象限； 函数的图象上任取一点A, 点P(x,y)在y轴上，则x=0;③若点P(x,y)在 ③当k<0,b>0时，y的值随着x值的增大 过点A分别作x轴、y轴的垂 第一、三象限的角平分线上，则x=y:④若点 ,图象经过第 象限； 线，垂足分别为点B,C,则 P(x,y)在第二、四象限的角平分线上，则x= ④当k<0,b<0时，y的值随着x值的增大：与坐标轴围成的矩形AB0C -y;⑤点P(x,y)关于x轴的对称点为 图象经过第 象限 的面积为1k1. 考点解密 间.车修好后，他们继 离家的距离s/m C.是坐标原点 13200 续开车赶往会展中心 D.在x轴上或在y轴上 。考点1：函数的定义与表示方法 如图1是他们家出发 6000 6.设点P(x,y)在第四象限，且1xI=5. 时刻 例1 在函数y=一2+3中，自变量x的 后离家的距离s与时刻 09:009:109:309:38 1yl=2,则点P的坐标是 的函数图象.分析图中 7.在平面直角坐标系中，已知点P(a,1)与 取值范围是 信息，下列说法正确的 点Q(2,b)关于x轴对称.则a+b= 解：由题意，得-2x+3≠0. 是 8.如图2是小明 解得女子 A.途中修车花了30min 所在学校的平面示意 图，已知宿舍楼的位 故填≠子 B.修车之前的平均速度是500m/min C.车修好后的平均速度是800m/min 置是(3,4)，艺术楼的 ●专项练习 D.车修好后的平均速度是修车之前平均速 位置是(-3,1). 图2 4 (1)根据上述坐 1.球的体积是V,半径是R,则V= 3 mR 度的1.5倍 冬考点2：平面直角坐标系 标，建立适当的平面直角坐标系，并分别写出教 其中变量是 ,常量是 例2在平面直角坐标系中，点P(-1,m2+ 学楼、体育馆的位置； 2.已知y与x的函数关系式为y=-3x-2, 1)位于 (2)若学校行政楼的位置是(-1，-1)，餐 每当x增加1时，y增加 A.第一象限 B.第二象限 厅的位置是(2，-4)，请在你建立的平面直角坐 3.农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战 标系中标出它们的位置 C.第三象限 略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为 D.第四象限 考点3：一次函数的图象和性质 1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管 解：因为m2+1>0, 例3已知一次函数y=kx 道施工x天与铺设管道y米之间的关系如下表： 所以点P(-1,m2+1)在第二象限。 +b的图象如图3所示，则k,b的 x12345… 故选B. 取值范围是 y20406080100. ●专项练习 A.k>0,b>0 若施工8天后，则未铺设的管道长度为 5.若点P(x,y)的坐标满足xy=0,则点P B.k>0,b<0 米 ( C.k<0,b>0 4.小方一家上午9：00开车前往某会展中心 A.在x轴上 D.k<0,b<0 参观，途中汽车发生故障，原地修车花了一段时 B.在y轴上 (下转第5版) 数理招 专题复习 5 (上接第4版) 考点5：一次函数的应用 (1)求反比例函数的表达式： 解：由图可知该一次函数的图象经过第 例5“双减”政策颁布后，各校重视了延时 (2)将直线OA向上平移3个单位后，与y轴 三、四象限. 服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度， 所以k>0,b<0. 某体有用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和 交于点B,与=(x>0)的图象交于点C,点 故选B. 羽毛球拍共300套进行销售，它们的进价和售价 C的横坐标是2，连结AB,AC,求△ABC的面积 ●专项练习 如下表： 解：1)把A(m,2)代入=2，得7m 9.已知正比例函数y=mxm",则m的值是 进价售价 2.解得m=4.所以A(4,2).把A(4,2)代人2 乒兵球拍/（元/套）》 55 10.关于一次函数y=-2x+4,下列说法不 羽毛球拍/（元/套）b 50 =，得 ·=2.解得k=8.所以反比例函数的 正确的是 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花 A.图象不经过第三象限 费120元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需 表达式为为=8 x B.y随x的增大而减小 花费270元 (2)如图5，过点C作CM⊥x轴于点M,交 C.图象与x轴交于点(-2,0) (1)求a,b的值： AB于点N.将直线OA向上平移3个单位后，其函 D.图象与y轴交于点(0,4) (2)该体育用品商店根据以往销售经验，决 11.已知一次函数y=6x+t的图象经过点 数表达式为y=+3.当x=0时，y=3,所以 (-2,a),(-4,b),则a b(填“>”“<” 定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的了， B(0,3).设直线AB的函数表达式为y=mx+3. 或“=”) 若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能 把A(4,2)代入，得4m+3=2.解得m=-本 12.若一次函数y=2x-1的图象向上平移 获利最大？最大利润是多少？ 2个单位长度后经过(1，t),则t= 解：(1)由题意，得2a+6=120, 所以直线AB的函数表达式为y=-4+3.对于 。考点4：求一次函数的表达式 l4a+3b=270 例4在平面直角坐标系中，有A(0,3), 解得/a=45. y= 8,当x=2时，y=4.所以CM=4.对于y B(1,0)两点，将线段AB沿一定方向平移，设平 lb=30. 移后点A的对应点为A'(2,5),点B的对应点为 (2)设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍(300一 子+3，当x=2时y=是所以MN=昌 B',则直线B'B的表达式为 ( x)套，总利润为y元 所以CN=CM-MW= 所以S=CN A.y =x-1 B.y=-3x+11 根据题意，得x≥了(300-). C.y=x+3 D.y=-3x+3 (xA-xg)=3. 解：由题意，得点B(1,0)平移后的对应点 解得x≥75. ●专项练习 为B'(3,2). 根据题意，得y=(55-45)x+(50 18.已知函数y=x-5是反比例函数，则m 30)(300-x)=-10x+6000 的值是 设直线B'B的表达式为y=kx+b. 把B1,0),B'(3,2)代人，得+6=0， 因为-10<0，所以y随x的增大而减小 19关于反比例函数)：是，下列结论正确 3k+b=2. 所以当x=75时，y最大，最大值为：-10× 75+6000=5250.此时300-x=225. 的是 () 解得小1， A.图象在第二、四象限 b=-1 答：购进乒乓球拍75套，羽毛球拍225套，获 B.图象与坐标轴有公共点 所以直线B'B的表达式为y=x-1. 利最大，最大利润是5250元 故选A ●专项练习 C.在每一个象限内，y随x的增大而减小 17.甲经营了某种品牌小电器生意，采购2 D.若经过点(a,a+2),则a=1 ●专项练习 13.若一次函数y=x+b的图象与直线y 台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需 20.已知反比例函数y=上(k≠0)的图象 =-x+1平行，且过点(8,2)，则此一次函数的 要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品 :在每个象限内y随x的增大而增大，且当1≤x≤ 表达式为 牌小电器，共需要65元.销售一台A种品牌小电 :3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k的 A.y=-x-2 器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元 B.y=-x-6 :值是 (1)求A,B两种品牌小电器每台的进价各 C.y=-x-1 D.y=-x+10 21.如图6，在平面直角坐 14.在一次函数y=x+b中，当x=1时， 多少元： 标系中，一次函数y=kx+ y=-1;当x=2时，y=3,则y与x的函数表达 (2)甲用不小于2750元，但不超过2850元 式是 的资金一次性购进A,B两种品牌小电器共150 (k,b为常数，且k1≠0)与反 15.如图4，在平面直角 台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围； 比例函数，会为常数，且 1= 坐标系中，已知直线y=ax+ (3)在(2)的条件下，所购进的A,B两种品 :k2≠0)的图象交于点A(m, b和直线y=x交于点P(1. 牌小电器全部销售完获得的总利润不少于565 6),B(4,-3) 2).若关于x,y的二元一次方 元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： 种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 程组P=,,的解为 考点6：反比例函数 ly ax +b （(2)当华>6x+6>0时，直接写出自变量 例6如图5，正比例函 x=m,则m+n= x的取值范围； ly =n, 数=和反比例函数 (3)已知一次函数y=kx+b的图象与x轴 16.一次函数y=x+b(k<0)的图象过点 交于点C,点P在x轴上，若△PAC的面积为9， (1,0),则不等式k(x-2)+b>0的解集是 (x>0)的图象交于点 求点P的坐标 A(m,2). (本章检测卷见第9~10版) 专题复习 数理极 9.如图9，在四边形ABCD中，AD∥BC, 第⑦章 平行四边形 ∠B=60°，LD=150°，AD=之，AB=1,BC= 。山西 王建华 3则cD的长为 知识回顾 3.如图3，已知直线 10.在平面直角坐标系中，有四个点的坐标 ∥2，点A在直线1，上，点 分别为A(-1,3),B(3,3),C(-2,-1),D(5, 1.平行四边形 B,C在直线L,上，AC⊥L. 1),现将点D进行平移，下面平移方案不能使 (1)定义：有两组对边分别 的四 如果AB=5cm,BC= 图3 A,B,C,D围成的四边形是平行四边形的是 边形知叫做平行四边形 4cm,则平行线L1,L,之间的距离是 cm ( (2)性质：①平行四边形的对边 4.如图4，口ABCD的顶点坐标分别为A(1 A.将点D先向左平移1个单位，再向上平 ②平行四边形的对角」 4),B(1,1),C(5,2),则点D的坐标为( 移6个单位 ③平行四边形的对角线 A.(5,5) B.(5,6 B.将点D先向左平移1个单位，再向上平 (3)判定：①定义； C.(6,6) D.(5,4) 移7个单位 ②两组对边分别 的四边形是平行 C.将点D先向左平移3个单位，再向下平 四边形： 移2个单位 ③一组对边 的四边形是平行 D.将点D先向左平移11个单位，再向下平 四边形： 图4 移2个单位 ④对角线 的四边形是平行四边 5.如图5，在口ABCD中，AE⊥BC于点E, 11.如图10，在 形 AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且□ABCD △ABC中，D是AC边的中 (4)平行四边形是 图形，它的对 的周长为40，则口ABCD的面积为 点，连结BD并延长至点 称中心是 6.如图6，在 E,使DE=BD,延长BC 2.平行线之间的距离 口ABCD中，EF过对角 至点F,使CF=BC,连结 图10 (1)定义：两条直线平行，其中一条直线上 线的交点O,且与AB AE,EF.求证：四边形ACFE是平行四边形 的任一点到另一条直线的距离 ,叫做 CD边分别相交于点E, 12.如图11，四边形ABCD中，AB∥CD,F 这两条平行线之间的距离。 F.已知AB=4,AD= 为边AB上一点，DF与AC交于点E,DE=FE. (2)性质：平行线之间的距离处处 3,OF=1.3,求四边形BCFE的周长 (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； 考点2：平行四边形的判定 3.三角形的中位线 (2)若CD=14,BC=24CE=24,BC1 例2如图7，已知EF 5 (1)定义：连结三角形两边 的线 ∥AC,B,D分别是AC和EF AC,求BF的长 段，叫做三角形的中位线 上的点，∠EDC=∠CBE.求 (2)三角形中位线定理：三角形的中位线 证：四边形BCDE是平行四 于第三边，且等于第三边的 边形 证明：因为EF∥AC, 图1山 考点解密 所以∠EDC+∠C=180° 考点3：三角形中位线定理 因为∠EDC=∠CBE, 例3如图12，A,B两点 考点1：平行四边形的性质 所以∠CBE+∠C=180, 被池塘隔开，A,B,C三点不 例1如图1，在平行 所以EB∥DC. 共线.设AC,BC的中点分别 四边形ABCD中，AB=5 所以四边形BCDE是平行四边形， 为M,N.若MW=3米，则AB AD=3,∠DAB的平分线 ●专项练习 ) AE交线段CD于点E,则 7.依据所标数据，一定是平行四边形的是 A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 EC ( 解：因为M,N分别是AC,BC的中点， 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 5 5 所以AB=2MN=6米. 所以AB∥CD,DC=AB=5. P10 故选B. 所以∠DEA=∠EAB. ●专项练习 因为AE平分∠DAB, 人70°110° 70 13.如图13，在△ABC中， 所以∠DAE=∠EAB. 5 AB=BC=14,BD是AC边日 所以∠DEA=∠DAE. 的高，垂足为D,点F在BC边 所以DE=AD=3. 100 上，连结AF,E为AF的中点，连 所以EC=DC-DE=2 结DE.若DE=5,则BF的长是 故填2. 人80° 110 ●专项练习 C A.3 B.6 C.5 1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C= 8.如图8，已知AB∥CD,增加下列条件可 14.如图14所示的网格 100°，则∠D= 以使四边形ABCD成为平行四边形的是( 中，每个小正方形的边长均 B A.50°B.80° C.100° D.130° A.∠1=∠2 B.AD BC 为1，△ABC的三个顶点均 2.如图2，在 C.OA =OC D.AD AB 在网格线的交点上，点D,E □ABCD中，BC=10,AC 分别是边BA,CA与网格线 图14 =14,BD=8,则△BOC 的交点，连结DE,则DE的长为 的周长是 ( A.21 B.22 B.1 C.2 D.3 C.25 D.32 (本章检测卷见第11~12版)