第四章 因式分解&第五章 分式与分式方程&第六章 平行四边形 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（北师大版·新教材）

数理极 专题复习 29 A.-a2+62 B.16m2-25n 第四章 因式分解 C.4x2+4x+1 D.a2 +2ab -b2 8.若4x2-(k+1)x+9能用完全平方公式 山东 刘耀文 因式分解，则k的值是 A.±6 B.±12 知识回圆 公因式符号取 号，使多项式的第一项系 C.-13或11 D.13或-11 数变为正数，需注意的是在提取出“-”后，多项 9.已知x2-2ax+b=(x-3)2,则b2-a 1.因式分解的定义 式的各项都要 ,如-27x2y+9x2= 的值是 把一个多项式化成几个 的形 -(27xy-9xy2)=-9xy(3x-y).当某项全部 10.利用因式分解计算：1252-50×125+ 式，这种变形叫作因式分解也可称为分解因式 提出后，剩下的是 二，而不是0.如m2+ 252= 2.因式分解的一般方法 mn-m=m(m+n-1),而不能发生m2+mn 例4因式分解：3ma2-6mab+3mb2= (1)提公因式法 m=m(m+n)的错误 公因式：把多项式各项都含有的 (2)公式法 解：原式=3m(a2-2ab+b2) 因式，叫作这个多项式各项的公因式 平方差公式：把整式乘法的平方差公式： =3m(a-b)2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有 的等号两边互换，就得到因式 故填3m(a-b)2 ,那么就可以把这个公因式提出来，从 分解的平方差公式： 也就是 ●专项练习 而将多项式化成两个因式 的形式，这 说，两个数的平方差等于这两个数的和与这两 11.将ab-ab因式分解，结果正确的是 种因式分解的方法叫作提公因式法.值得注意 个数差的积 ( 的是提公因式法的依据是乘法 律的 完全平方公式：把整式乘法的完全平方公 A.ab(2-b2) B.a(a2b-b) “逆用”. C.ab(a+b)(a-b)D.ab(a-b)2 确定公因式的原则是“五看”： 式： 的等号两边互换，就得到因 ①看系数.若各项系数都是整数，应提取各 式分解的完全平方公式： 也就 12已知b=2.日+分=子则多项式d6 a 是说两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 项系数的最大 +2a262+ab的值是 ②看字母.提取各项 的字母 积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方： 13.新定义：对于任意实数x,都有f(x)= ③看字母的次数.各字母的指数取次数 3.因式分解的步骤 aa2+bx.若f(1)=5,f(2)=12,则将f(x2 的.如多项式9xy-18x2y+12x2y2,各 (1)对于一个多项式，首先观察能否提公因 4x)因式分解的结果是 项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母 式，再看可否利用公式法分解： 14.把下列各式因式分解： 是x,y,x的指数取最低为2，y的指数取最低为 (2)因式分解必须分解到每个多项式都不 (1)5a2b-10ab2; 1,因此公因式是3x2x 能再分解为止 (2)(x2+4)2-16x2; ④看整体.如果公因式含有多项式因式时， 【注意】因式分解与整式乘法的区别与联 (3)(a-b)2-a+b: 应注意符号的变换.如(a-b)2=(b-a)2,(a- 系：因式分解与整式乘法是两个互逆的变形过 (4)2x3-2x2-12x. b)3=-(b-a)3,然后取相同因式中次数最低 程：①整式乘法是把几个整式相乘化成一个整 考点3：因式分解的应用 的因式作为公因式的一部分 式：②因式分解是把一个多项式化为几个整式 例5已知a,b,c是△ABC的三边长，且满 足a2+bc=b2+ac,则△ABC的形状一定是 ⑤看首项符号.若多项式中首项是负数，则的积的形式， ●专项练习 A.等腰三角形 B.等边三角形 考点解密 3.多项式7x2y+21xy2的公因式是( C.直角三角形 D.等腰直角三角形 考点1：因式分解的概念 A.7xy B.7xy 解：将a2+bc=b2+ac变形，得(a+b)(a 例1下列各式从左到右的变形中，因式 C.xy D.x22 -b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)= 分解正确的是 ( 4.把2(x-3)+x(3-x)提取公因式(x- 0. A.(a+3)2=a2+6a+9 3)后，另一个因式是 ( 因为a+b-c>0,所以a-b=0. B.a2-4a+4=a(a-4)+4 A.x-2 B.x+2 所以a=b. C.5ax2-5ay2 =5a(x+y)(x-y) C.2-x D.-2-x 所以△ABC一定是等腰三角形. D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) 5.已知x+y=10,xy=1,则代数式x2y+ 故选A 解：由因式分解的定义及方法可知选项 xy2的值是 ●专项练习 A,B,D错误 例3分解因式4a2-1= 15.已知P=3m2+4n+39,Q=2m2-n2 故选C A.(2a+1)(2a-1) +12m-4,试比较P,Q的大小 ●专项练习 B.(a+2)(a-2) 16.若一个正整数能表示为两个连续奇数 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式 C.(a-4)(a+1) 的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例 分解的是 D.(4a-1)(a+1) 如：8=32-12,16=52-32,24=72-52，则8， A.a2-16+3a=(a+4)(a-4)+3a 解：原式=(2a+1)(2a-1) 16,24这三个数都是“奇特数”. B.10x2-5x=5x(2x-1) 故选A. (1)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其 C.x2+4x+4=x(x+4)+4 ●专项练习 中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇 D.a(m +n)am an 6.下列分解因式中，不正确的是 特数”是8的倍数吗？为什么？ 2.若多项式x2+x-6有一个因式是x-2, A.a2+2ab+1=(a+b)2 (2)如图，拼叠的正方形 则k= B.a2-62=(a+b)(a-b) 边长是从1开始的连续奇数， ÷考点2：因式分解的方法 C.a2+ab2=a(a+b) …,按此规律拼叠到正方形 例2因式分解：3x2-9x= D.a2+4ab+46=(a+2b)2 1BCD,其边长为39，求阴影部 解：原式=3x(x-3). 7.下列各式不能运用公式法进行因式分解 分的面积 故填3x(x-3) 的是 ( (本章复习检测卷见第13~14版) 30 专题复习 数理极 (3)分式的乘方：分式乘方要把 第五章 分式与分式方程 分别乘方 (4)分式的加减法法则：同分母分式相加 减， 不变，把 相加减：异分母分 ◎广东廖杰鹏 3.分式的约分与通分 式相加减，先 ,变为 知识回质 (1)分式的约分：根据分式的 再加减 ,把 1.分式的概念 个分式的分子与分母的 约去 5.分式方程 一般地，用A,B表示两个整式，并且B中含 (2)最简分式：分子与分母没有 (1)概念：分母中含」 的方程叫作 有字母.那么式子合叫作 分式方程 其中A叫作 的分式 (3)分式的通分：根据分式的 分式的 ,B叫作分式的 ,把 (2)解分式方程的步骤： 几个 的分式分别化成与原来的分式 ①方程两边同乘以最简公分母，化分式方 分式有无意义的条件：对于分式名，当 的 程为 的分式 ②解这个整式方程： 时，分式有意义；当 时，分式 (4)最简公分母：通常取各分母的所有因 ③检验，将整式方程的解代入 ,看 无意义 式的 的积作为公分母，它叫作最简公 结果是否为0，若是0，则此方程无解，若不是0， 分式的值为0的条件：当 分母 时，分式的值为0. 则此解为原分式方程的根； 4.分式的运算 2.分式的基本性质 ④写出此方程的根， (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用 分式的分子与分母乘（或除以）同一个 (3)解分式方程应用题的分析方法、解题 作为积的分子， 作为积的分 的整式，分式的值不变 步骤与前面我们学过的列方程解应用题基本相 用武子表示为：会-日：合=台总C 母 同，不同之处在于它侧重于用分式列代数式表 (2)分式的除法法则：分式除以分式，把 示数量关系和寻找等量关系列方程，并且最后 ≠0，其中A,B,C是整式) 后，与被除式相乘， 要进行“双验根” 考点解密 ,括号中应该填人的整式是 汁，被墨汁遮住部分的代数式为 B.-6 考点1：分式的概念 A.a2 B.62 C.ab D.ab2 26 a 例1 若分式4-x 乏的值为0，则x的值是 4.下列各选项中，从左边到右边的变形正 C.a “a+b D.- 4a 确的是 ( 2-67 ( ) A.-2B.0 C.2 D.4 解：被墨汁遮住部分的代数式是：(。十6+ 解：根据题意，得4-x2=0,且x-2≠0. B+=-1 2 a-b+a+tb.atb 解得x=-2. ÷a+6=a+b)a-6 2 故选A 0.5a+b C-0.2a-0.3 5a+b =2a-3b a a-b ●专项练习 m 故选A 1.下列代数式是分式的是 ( ●专项练习 A.+y R岩 考点3：分式的约分、通分 8.若m-n=2,则m-心.2m的值是 mm n c D.3x-2 例3若a-b-1=0,求3(a-2b)+36 a2 2ab +b2 4 () 的值 2.当x=1时，分式+20无意义：当=4 A.-2 B.2 解：因为a-b-1=0,所以a-b=1.所以 "x-d C.-4 D.4 3(a-2b)+3b 时，分式+2弘的值为0，则a+6的值为 =3a-36 3(a-b) a2 2ab b2 (a-b)2 (a-b)2 9.计算 x-a 3 a-6=3. 0(6 A.2 B.-2C.1 D.-1 ●专项练习 ”考点2：分式的基本性质 a号-2， 5.下列分式中，最简分式是 ( 例2如果把分式3，中的x和)都扩大 B.th 3a-1++3 a+2 a +b 为原来的3倍，那么分式的值 C.2-x 3-x 10.先化简，再求值：(m+2- 5 A.不变 4-x D.-6x+9 m2)· B缩小为原来的} 2x+4y 6化简+4+4 m2-3m+2,其中m=4. m+3 C.扩大为原来的3倍 冬考点5：分式方程及其应用 7.通分： D.扩大为原来的6倍 例5 分式方程2十3+片=0的根为 解：把分式分中的y都扩大为原来的3 倍，得。3=二所以分式的值不变 (2)产7+2+了-可 1 解：2x+3+ -=0两边同乘x(2x+3),得 9y 3y ?考点4：分式的运算 故选A. x+(2x+3)=0.解得x=-1.经检验，x=-1 ●专项练习 例4试卷上一个正确的式子(。十b+ 是原分式方程的根. 故填x=-1. 3.根据分式的基本性质可知， 。6÷★三子6被小颗同学不小心滴上墨 (下转第31版) 数理极 专题复习 31 上接第30版) 第六章 平行四边形 ●专项练习 11.解方程： O江西 李彦辰 知识回圆 口ABCD的面积为 7 6 3 考点2：平行四边形的判定 (2)+x21=-F 1.平行四边形 例2如图5，已知EF (1)定义：两组对边分别 的四边 1一=3 ∥AC,B,D分别是AC和EF 例6关于x的分式方程+四 x-2+2-x 形叫作平行四边形 上的点，∠EDC=∠CBE.求 有增根，则m= (2)性质：①平行四边形的对边 证：四边形BCDE是平行四 解：方程两边都乘(x-2),得x+m-1= ②平行四边形的对角 边形 ③平行四边形的对角线 3(x-2).解得x=m5因为分式方程有增根， 2 ④平行四边形是 图形，它的对称 证明：因为EF∥AC,所以∠EDC+∠C= 180°.因为∠EDC=∠CBE,所以∠CBE+∠C 所以x-2=0.解得x=2所以m5=2.解得 中心是 (3)判定：①定义； =180°.所以EB∥DC.所以四边形BCDE是平 m=-1. ②两组对边分别」 的四边形是平行四 行四边形 故填-1. 边形： ●专项练习 ●专项练习 ③一组对边 的四边形是平行 5.下列一定是平行四边形的是 四边形： 12.若分式方程2+士二专=2士无解，则 x-2 5 ④对角线 的四边形是平行四边形 1109 100 k的值是 ( 2.一组对边 、另一组对边不平行 70 A.±1 B.2 70°1102 80°1109 的四边形叫作梯形 5 C.1或2 D.-1或2 3.如果两条直线互相平行，那么其中一条 A B C 直线上任意一点到另一条直线的距离都 1B.若关于x的分式方程，+2=” 6.如图6，已知AB∥CD,增加下列条件可 ,这个距离称为平行线之间的距离。 以使四边形ABCD成为平行四边形的是( 的根为非负数，则m的取值范围是() 4.三角形的中位线 A.m≤2 A.∠1=∠2 B.AD =BC B.m≥2 (1)定义：连接三角形两边 的线 C.m≥2且m≠-1D.m≤2且m≠-1 C.OA =OC D.AD AB 段叫作三角形的中位线 例7某班级为了表彰学业优秀的学生， (2)三角形中位线定理：三角形的中位线 计划采购“四季笔记本”和“四季书签”两种文 于第三边，且等于第三边的 创产品作为奖励.已知每个“四季书签”的售价 比每个“四季笔记本”的售价高10元，班级第 考点解密 图 次采购时，购买“四季笔记本”和“四季书签”分 7.如图7，已知直线41∥42，点A在直线41 别花费了144元和220元，且“四季笔记本”的 冬考点1：平行四边形的性质 上，点B,C在直线2上，AC⊥2.如果AB= 例1如图1，在平行 个数是“四季书签”个数的号求每个“四季笔 5cm,BC=4cm,则平行线L,42之间的距离是 四边形ABCD中，AB=5, 记本”与每个“四季书签”的售价 AD=3,∠DAB的平分线 cm. 解：设每个“四季笔记本”的售价为x元，则 AE交线段CD于点E,则 8.如图8，在△ABC 每个“四季书签”的售价为(x+10)元 EC 中，D是AC边的中点，连 解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以 接BD并延长至点E,使 根据题意，得华=号×0 x AB∥CD,DC=AB=5.所以∠DEA=∠EAB. DE=BD,延长BC至点 解得x=12. 因为AE平分∠DAB,所以∠DAE=∠EAB.所 F,使CF=BC,连接AE,EF.求证：四边形 经检验，x=12是分式方程的根，且符合题 以∠DEA=∠DAE.所以DE=AD=3.所以 ACFE是平行四边形 意.所以x+10=22. EC=DC-DE=2.故填2. 。考点3：三角形中位线定理 答：每个“四季笔记本”的售价为12元，每 ●专项练习 例3如图9,4，B两点 个“四季书签”的售价为22元。 1.在平行四边形ABCD中，∠A+∠C= 被池塘隔开，A,B,C三点不 。专项练习 100°，则∠D= 共线，设AC,BC的中点分别 14.2025年9月20日，“世界的白鹤梁幸福 2.如图2，在口ABCD中，BC=10,AC= 为M,N.若MN=3米，则AB 的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷 14,BD=8,则△BOC的周长是 幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推 动了涪陵本地文旅产品经济的发展.滨江路某 解：因为M,N分别是AC,BC的中点，所以 文创店想购进A,B两种商品，已知每件B种商 AB=2MW=6米故填6. 品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用 ●专项练习 300元购进A种商品的数量是用100元购进B种 9.如图10，在△ABC中， 商品数量的4倍. 3.如图3，在梯形ABCD中，BC∥AD,AB= AB=BC=14,BD是AC边上 (1)求每件A种商品和每件B种商品的进 BC=CD=2AD,点A与原点重合，点D(4,0) 的高，垂足为D,点F在BC边 价分别是多少元： 在x轴上，则点C的坐标是 上，连接AF,E为AF的中点， (2)商店决定购进A,B两种商品共50件 4.如图4，在口ABCD中 连接DE.若DE=5,则BF的 A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高 AE⊥BC于点E,AF⊥CD于 长是 20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不 点F.若AE=4,AF=6,且 B.4 C.5 D.6 少于210元，求购进A种商品至少多少件 口ABCD的周长为40，则 (本章复习检测卷见第21~22版) (本章复习检测卷见第19~20版)16 =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= ∠EFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=120°= ∠AEF.在△AEF和△DCF中，因为AE=DC,∠AEF= ∠DCF,EF=CF,所以△AEF≌△DCF(SAS).所以AF =DF,∠AFE=∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+∠EFD =∠DFC+∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF是等边 三角形 (3)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD = 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF =CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF=120° =∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF在△ABD和 △ACF中，因为AB=AC,∠ABD=∠ACF,BD=CF,所以 △ABD≌△ACF(SAS).所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所 以∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 60°.所以△ADF是等边三角形 《不等式与不等式组》专项练习 1.C;2a<1;3.D;43x-4<2x+5: 5.A;6.m≥1：7.m>2. 8.解集在数轴上表示略。 (1)x<1;(2)x>1: (3)x≤-5：(4)-1<x≤1. 9.18. 10.(1)设每千克桂味荔枝的进价是x元，每千克糯 米糍荔枝的进价是y元 答：每千克桂味荔枝的进价是24元，每千克糯米糍 荔枝的进价是18元 (2)设购进桂味荔枝m千克，则购进糯米糍荔枝 (100-m)千克. 根据题意，得24m+18(100-m)≤2040. 解得m≤40. 所以桂味荔枝的最大购进量是40千克， 所以总利润为：(40-24)×40+(30-18)×(100- 40)=1360(元). 答：桂味荔枝最多可购进40千克，按桂味荔枝的最 大购进量该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润为 1360元. 11.C. 《不等式与不等式组》复习检测卷 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A B D 二、1-分：2>13x<1:1418:15-3 三、16.解集在数轴上表示略 1 (1)x>;(2)-6<<1. 17.设该商场需购进x件A种商品，(34-x)件B种 商品 根据题意，得200x+100(34-x)≥4000.解得x≥6. 答：该商场至少需购进6件A种商品， 18.实数k按C→B→A的顺序运算，则可列算式[k +（-1)-3]×(-2)=-2k+8.根据题意，得-2k+8 <-2.解得k>5. 四、19.设要生产x个产品. 由题意可得16x-(240000+8x)≥16x×25%, 整理，得8x-240000≥4x,解得x≥60000. 答：至少要生产60000个产品. 20.(1)根据题意，得3+2x<7.解得x<2 (2)解不等式3(x+1)≤8-x,得x≤年由x@a ≤5，得x+2a≤5.解得x≤5-2a.因为不等式3(x+1) ≤8-x的解和4@a≤5的解相同，所以5-2a=子解 得a= 15 8 参考答案 21.(1)设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均 速度为y千米/时： 根据题意，得 0解得=80 5(x-y =50 Ly=70. 答：A车的平均速度为80千米/时，B车的平均速度 为70千米/时. (2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时. 根据题意，得2(80+m-70)≥50.解得m≥15. 答：A车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时 五、22.解不等式-3(x-2)≤a-x,得x≥64 2 解不等式2+1≥x-1,得x≤4 (1)因为该不等式组的解集为2≤x≤4，所以6，口 =2.解得a=2. (2)根据题意，得该不等式组的解集是6， ≤ 4.因为该不等式组有且仅有3个整数解，所以1<6 2 ≤2.解得2≤a<4. 23.（1)设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个 B型篮球需要y元. 答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮 球需要65元. (2)设采购B型篮球a个，则采购A型篮球(50-a)个 根据题意，得30(50-a)+6⑤a≤2550.解得a≤30. 答：最多可采购B型篮球30个. (3)根据题意，得(98-65)a+(58-30)(50-a)≥ 1540.解得a≥28.由(2)，得a≤30.所以28≤a≤30. 因为a为正整数，所以a可取28,29,30.所以能实现利润 不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案：方案 一：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案二：采购A 型篮球21个，B型篮球29个；方案三：采购A型篮球20 个，B型篮球30个. 《图形的平移与旋转》专项练习 1.A;2.C;3.28. 4.(1)(1,3),(2,0),(3,1).(2)(x-4,y-2). (3)△ABC的面积为：2×3-7×1×3-7×1 ×1-×2×2=2. 5.5. 6.(1)图略. (2)B(1,-2). 7.C. 8.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC, AD∥BC.因为DE=BF,所以AD-DE=BC-BF,即AE =CF.所以四边形AECF是平行四边形.所以四边形 AECF是中心对称图形 9.(1)如图1即为所求. (2)如图2,3（答案不唯一，满足题意即可） 图1 图2 图3 《图形的平移与旋转》复习检测卷 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B B C B D 二、11.4：12.2；13.AC+BD≥AB:14.9: 15.150°. 三、16.图略. 17.AE的长为25. 18.由平移的性质，得AD=BE=2.5cm,AC=DF= 3cm,BC=EF=2cm.所以阴影部分的周长为：AC+AD+ DF BC BE EF 15 cm. 数理极 四、19.(1)图略.点A1的坐标为(1,5). (2)图略.(3)42. 20.图略. 21.（1)△ABD是等边三角形.理由如下： 由旋转的性质，得AB=AD,∠BAD=60°.所以 △ABD是等边三角形. (2)由旋转的性质，得AE=AC,DE=BC.因为AC =BC,所以AE=DE.因为△ABD是等边三角形，所以 BA=BD.所以BE垂直平分AD.所以BE平分∠ABD, 五、22.(1)①(1,4)，(3,0)，(2，-4)；②2. (2)连接DH,图略.因为SAODH+SAADH=S&OAM,所 以号×1×n+分×4×(1-m)=2所以4m=n (3)由题意，得OQ=t,BP=2t. ①当点P在线段0B上时，2×(3-2)×4= ×2t,解得t=1.2.此时P(0.6,0); ②当点P在B0的延长线上时，×(2t-3)×4= 分×2，解得1=2此时(-1,0). 综上所述，t=1.2时，P(0.6,0);t=2时，P(-1,0) 23.(1)∠ABD的度数为45°. (2)由题意知∠BAC=∠DAE,因为∠BAD=90°， AB=AD,F是BD的中点，所以∠BAF=∠DAF=45°. 因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC,∠EAF= ∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以∠AGF=∠EAF. (3)因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 Rt△ADE,所以AC=AE,∠CAE=90°.所以∠ACE= 45°.过点F分别作FM⊥BC交BC延长线于点M,作FW ⊥AC于点N,图略.所以∠M=∠ANF=90°.因为 ∠BGC=∠AGF,∠ACB=∠AFB=90°，所以∠FBM= ∠FAN.由(2)知∠BAF=∠ABF=45°，所以BF=AF. 所以△FBM≌△FAN.所以FM=FN.所以CF平分 ∠ACM.所以∠ACF=45°=∠ACE.所以F,C,E三点在 同一直线上 《因式分解》专项练习 1.B:2.1;3.A;4.C;5.10;6.A; 7.D;8.C;9.72;10.10000:11.C; 12.18;13.x(x-4)(x-2)2. 14.(1)5ab(a-2b); (2)(x+2 2(x-2)2: (3)(a-b)(a-b-1); (4)2x(x-3)(x+2). 15.P-Q=3m2+4n+39-2m2+n2-12m+4= m2-12m+36+n2+4n+4+3=(m-6)2+(n+2)2 +3>0.所以P>Q. 16.(1)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的 倍数.理由：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n- 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.所以由这两个连续 奇数构造的“奇特数”是8的倍数. (2)S张部附=392-372+352-332+…+72-52+ 32-12=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33) +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+ 37+35+·+3+1)×2=800. 《因式分解》复习检测卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 D B B 二、11.7(m+2)(m-2);12.2;13.±6； 14.等边三角形；15.(b-2a)(b-6a). 三、16.(1)-y(2x-y)2; (2)(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) 17.(1)-24;(2)4000000. 18.3x2+11x+10=3x2+5x+6x+10=(3x2+6x) +(5x+10)=3x(x+2)+5(x+2)=(x+2)(3x+5). 四、19.小明做得不正确.正确过程如下： 原式=16-(a2-4ab+462)=16-(a-2b)2=[4 +(a-2b)][4-(a-2b)]=(4+a-2b)(4-a+2b). 数理极 20.(1)M=5x-20:P=4x2-16. (2)P=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). (3)-16. 21.(1)①(x-5)2,②(3x+1)2,③(2x-3)2. (2)b2=4ac. (3)由(2)的结论可知[-2(m-1)]2=4(5- 2m).所以4(m2-2m+1)=4(5-2m).所以m2-2m+ 1=5-2m.所以m2=4.所以m=±2. 五、22.(1)(x-y-1)2. (2)令A=x2-6x,则原式=A(A+18)+81=A2 +18A+81=(A+9)2.所以(x2-6x)(x2-6x+18)+ 81=(A+9)2 (2-6x+9)2=(x-3)4 (3)令n2-2n=A,则原式=(A-3)(A+5)+17 =A2+2A-15+17=A2+2A+2=(A+1)2+1.因为 (A+1)2≥0，所以(A+1)2+1≥1，即式子(n2-2n- 3)(n2-2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数 23.(1)(a-1)3. (2)由题意，得x3+y2=(x+y)3-3x2y-3xy2,x -y23=（x-y)3+3x2y-3xy2. ①x3+8=x3+23=(x+2)3-6x2-12x=(x+ 2)3-6x(x+2)=(x+2)[(x+2)2-6x]=(x+2)(x -2x+4). ②1023-1003=(102-100)3+3×1022×100-3 ×102×1002=8+30600×(102-100)=61208. 《分式与分式方程》专项练习 1.C;2.D;3.C;4.B;5.B;6.2 x 2y 7.(1)最简公分母是2a2b2c 3- 3be a-b 2a-2ab 2a2b 2abc'abe 2a262c (2)最简公分母是(x+y)2(x-y) x(x+r)2 2 x-Y (x+y)2(x-y)2+2y+7 y(x-y) 2 2(x+y)】 (x+)2(x-)'-y=(x+y)2(x-) 8.D. 9.0b:2)子：(3)g a 10.原式=m2-4m+3.当m=4时，原式=3. 11.(1)x=-1;(2)无解 12.C;13.D. 14.(1)设每件A种商品的进价是x元，则每件B种 商品的进价是(x+5)元根据题意，得300-100 x+5 解得x=15.经检验，x=15是所列方程的根，且符合题 意.所以x+5=20. 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的 进价是20元. (2)设商店购进A种商品y件，则购进B种商品(50 -y)件.根据题意，得5y+20×20%(50-y)≥210.解 得y≥10.所以y的最小值为10. 答：购进A种商品至少10件. 《分式与分式方程》复习检测卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B D C B D C 二l.-六：2a+0:13.16: 14 3；15. -3. 三、16(1)-3c (2)a2-2a. 17.(1)无解： (2)x=6. 18.原式=2-x x+2 由题意，得x≠-1，x≠-2 所以x=0时，原式=2-0 0+2 =1(答案不唯一)： 四、19.(1)2(x+1);①.(2)原方程去分母，得2(x +1)-(x-3)=6x.去括号，得2x+2-x+3=6x.移 ·参考答案。 项、合并同类项，得5x=5.系数化为1，得x=1.检验：当 x=1时，2(x+1)≠0.所以原方程的根为x=1. 20.(1)2 -1 2 1 -4 (a+1)(a-1)=a+1 2(a-2) a-2 (2)设墨滴遮住的内容是M,即 2 M -1 所以222 .(a 2a-21.所以M-4=2a-2.(a+1)(a-1）=2(a a-1 a-1 -2)(a+1)=2(a2+a-2a-2)=2a2-2a-4.所以 M=2a2-2a,即墨滴遮住的内容是2a2-2a. 21.(1)设该商家购进运动鞋x双，则购进运动服 1.25x套 根据题意，得6400 6000 1.25x =40.解得x=40. 经检验，x=40是原分式方程的根，且符合题意 所以1.25x=50. 答：该商家购进运动鞋40双，购进运动服50套， (2)每双运动鞋的进价为：6400÷40=160（元），每 套运动服的进价为：160-40=120（元）. 根据题意，得40×子×(200-160)+50× ×(160 -120)+40××(20×0.1a-160)+50× 2 (160 -120-3a)=2600.解得a=8. 五、22.(1) 11 6’3 (2) 6+7=2(6+1)+ 5-2+8+ 62+1 b2+1 因为原分 式的值为整数，且b2+1≥1，所以b2+1=1或62+1= 5.当b2+1=1时，解得b=0;当b2+1=5时，解得b= ±2.综上所述，b的值为0或2或-2. (3)因为x+十2=，所以 x+2 x+2 x2+2x+x+3 -x(x+2)+(x+2)+1 1 x+2 x+2 x+2 1=子所以3+ 1 x+2 3 23.(1)设原计划每天生产x辆，则第一天后每天生 产1.5x辆 根据题意，得60=1+305+3.解得x=36, 17 1.5x 经检验，x=36是原分式方程的根，且符合题意， 所以360-3=7. 答：完成第一顶任务实际需要7天 (2)t1>t2. 理由：甲方案：= 180 180 a 6 180(a+;乙方案：根据题意，得a·2 ab +b t -=360. 解得5÷720 a+6 所以4-5=180(a+b)_720 ab a +b 180(a-b).因为a≠b,a,6均为正整数，所以(a-b ab(a+b) >0,ab(a+b)>0.所以t1-t2>0,即t1>t2 《平行四边形》专项练习 1.130°；2.21；3.(3,5)： 4.48;5.B:6.C;7.3. 8.连接CE,图略.因为D是AC边的中点，所以AD= CD.因为DE=BD,所以四边形ABCE是平行四边形.所 以AE=BC,AE∥BC.因为CF=BC,所以CF=AE.所 以四边形ACFE是平行四边形 9.B 《平行四边形》复习检测卷 题号 2 3 8 10 答案 D B 17 二、11.两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 12.答案不唯一，如DF=BE; 13.21°；14.2：15.1或3或13. 三、16.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ CD,OA=OC,BC=AD=3.所以∠OAE=∠OCF.由对 J顶角相等，得∠AOE=∠COF.所以△AOE≌ △COF(ASA).所以AE=CF,OE=OF.所以EF=2OF =2.6.所以四边形BCFE的周长为：EF+CF+BC+BE EF AE BC+BE EF BC AB =9.6. 17.由题意，得∠CDE=∠F=110°，AB∥CD,AD =DE.所以∠ADC=180°-∠BAD=120°，∠DAE= ∠DEA.所以∠ADE=360°-∠ADC-∠CDE=130°.所 以LDAE=2(180°-∠ADE)=25. 18.取BC的中点H,连接EH,FH,图略.因为E,F分 别是AB,GD的中点，所以EH=AC=2cm,FH= BD=3cm,EH/AC,FH/Bn因为AC⊥BD,所议 ∠EHF=90°.在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF= /EH+FH=√13 cm. 四、19.(1)因为AC=AD,∠CAD=70°，所以 ∠ADC=∠ACD=之(180°-∠CAD)=55.因为四边 形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=∠ADC=55°. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA= OC,OB=OD.因为AE=CF,BG=DH,所以OA-AE= OC-CF,OB-BG OD -DH,OE OF,OG OH. 所以四边形EGFH是平行四边形. 20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD ∥BC,BC=AD=12.所以∠DAF=∠AFB.因为AF平 分∠BAD,所以∠BAF=∠DAF.所以∠AFB=∠BAF. 所以BF=AB=8.所以CF=BC-BF=4. (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥ BC,AD=BC,∠BAD=∠BCD.因为AF平分∠BAD,CE 平分∠BCD,所以∠BAF=∠DAF=∠FCE=∠DCE. 因为∠DAF=∠AFB,所以∠FCE=∠AFB.所以AF∥ CE.所以四边形AFCE是平行四边形.所以AE=CF.所 以AD-AE=BC-CF,即DE=BF.所以四边形BFDE 是平行四边形.所以BE∥DF.所以四边形EGFH是平行 四边形.所以EF和GH互相平分. 21.(1)因为AB∥CD,所以∠EAF=∠ECD.由对打页 角相等，得∠AEF=∠CED.又因为AE=CE,所以△AEF 兰△CED(ASA).所以AF=CD.所以四边形AFCD是平 行四边形 (2)过点C作CM⊥AB于点M,图略.所以∠CMA= ∠CMB=90°.因为AB∥CD,∠DCB=135°，所以∠B= 180°-∠DCB=45°.所以∠BCM=45°=∠B.所以CM =BM.在Rt△BCM中，由勾股定理，得CMP+BMP=BC, 即2CM2=64.解得CM=42.因为∠BAC=60°，所以 ∠ACM=90°-∠BAC=30°.所以AC=2AM.由勾股定 理，得CM=AC-AM=√5AM=4√2.解得AM= 46 所以AC=24AM=8,6 31 五、22.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，点O是 对角线BD的中点，所以AD∥BC,BO=DO.所以∠OBE ∠ODF,∠OEB=∠OFD. 所以△BOE兰 △DOF(AAS).所以BE=DF.所以四边形BEDF是平行 四边形 (2)过点D作DW⊥EC于点N,图略.所以∠DEN+ ∠EDN=90°，∠BDN=90°-∠CBD=45°=∠CBD. 由(1)，得BF∥DE.因为CP⊥BF,所以CG⊥DE.所以 ∠CEG+∠ECG=90°.所以∠EDN=∠ECG.因为DE =DC,DN⊥EC,所以∠EDN=∠CDN.所以∠ECG= ∠CDN.因为∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDW, ∠DHC=∠CBD+∠BCH=45°+∠ECG,所以∠CDB =∠DHC.所以CD=CH. 23.(1)因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°.由旋转的 性质，得∠FED=9O°，ED=EF.所以∠AEB=∠FED. 因为∠AEB=∠AEF+∠BEF,∠FED=∠AEF+ ∠AED,所以∠BEF=∠AED.因为∠ABC=45°，所以