第二章 不等式与不等式组&第三章 图形的平移与旋转 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（北师大版·新教材）

数理招 第二章不等 O山西 知 识回顾 1.不等式的概念 般地，用符号 连接的式子 叫作不等式 2.不等式的基本性质 (1)不等式的基本性质1：不等式的两边都 加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变， (2)不等式的基本性质2：不等式的两边都 乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (3)不等式的基本性质3：不等式的两边都 乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3.不等式（组）的解、解集，解不等式（组） (1)能使不等式成立的未知数的值叫作不 等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个不等式的解集 (2)不等式组中各个不等式的解集的 ,叫作不等式组的解集 (3)求不等式（组）的解集的过程叫作解不 等式（组） 4.一元一次不等式 (1)概念：左右两边都是整式，只含有一个 未知数，并且未知数的次数都是1的不等式，叫 作一元一次不等式 (2)解法：与解一元一次方程类以，但要特 别注意，当不等式的两边乘（或除以）同一个负 数时，不等号的方向 (3)解一元一次不等式的一般步骤：①去 分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系 数化为1. 5.不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不 等式组的解集有以下四种情况： 不等式组类 数轴表示 解集 口诀 型(a<b) ∫x≥a, Lx3b 同大取大 「x≤a, lx<b 同小取小 x≥a, 大小小大 Lx<b 中间找 「x≤u, 大大小小 lx>b 找不到 6.列不等式解应用题 (1)找出实际问题中的不等关系，设定未 知数，列出不等式； (2)解不等式； (3)从不等式的解集中寻找符合题意的 答案 7.三个“一次”的关系 一元一次不等式与一元一次方程、一次函 数之间存在如下关系： 对于一次函数y=kx+b,当y=0时，kx+ b=0就成为 ;当y>0(或y<0) 时，就成为 专题复习 5 考点4：一元一次不等式的应用 式与不等式组 例4某商家计划购进A,B两款迷你小电 扇进行销售，已知A款迷你小电扇的进价为 安诗珊 30元/台，B款迷你小电扇的进价为40元/台 为了满足市场需求，该商家决定用不超过 考点解密 5200元的资金购进一批这两款迷你小电扇共 。考点1：不等式的基本性质 150台，问该商家这次至少购进A款迷你小电扇 例1若m>n,则下列不等式中正确的是 多少合？ 解：设该商家这次购进A款迷你小电扇 A.m-2<n-2 B.1-2m<1-2n a台，B款迷你小电扇(150-a)台. 根据题意，得30a+40(150-a)≤5200. C.-m> D.n-m 0 解得a≥80. 解：B. 答：该商家这次至少购进A款迷你小电扇 ·专项练习 80台. 1.下列变形过程正确的是 ●专项练习 A.由a+1>0,得a>1 9.一部电梯的额定限载量为1000千克，一 B.由a>b,b>c,得a<c 位工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯 C.由x>y,得2x>2y 里，然后从楼底运到楼顶.已知工人师傅的体重 D.由4x>2,得x>2 为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱 2.如果关于x的不等式(1-a)x≥1的解 的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬 集是x≥1-。则u的取值范围是 运货物 箱。 10.某商贩购进了一批桂味荔枝和糯米糍 冬考点2：一元一次不等式 荔枝.已知购进桂味荔枝3千克、糯米糍荔枝 例2若(n-2)x-1+3≤0是关于x的 1千克共需90元；购进桂味荔枝1千克、糯米糍 一元一次不等式，则n的值是」 荔枝2千克共需60元. 解：根据题意，得1nl-1=1,n-2≠0.所 (1)每千克桂味荔枝和糯米糍荔枝的进价 以n=-2.故填-2 分别是多少元？ ●专项练习 (2)该商贩决定购进桂味荔枝和糯米糍荔 3.下列是一元一次不等式的是( 枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问 A.2x+7y≤0 B.xy+6>9 桂味荔枝最多可购进多少千克？将桂味荔枝的 C.1+1≥-4 售价定为每千克40元，糯米糍荔枝的售价定为 x D.x+2<5 每千克30元，按照桂味荔枝的最大购进量，请 4.x的}与4的差小于x的2倍加上5所得 算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润 的和，用不等式表示为 冬考点5：三个“一次”的关系 考点3：解一元一次不等式（组） 例5如图1，一次函 个 例3关于x的一元一次不等式组 数y=kc+b(k,b为常数，y=kx+b 3+x≥0， 且k<0)的图象与直线y 的解集为 2-(x-1)<0 =3x都经过点A(m,1), 解：解不等式3+x≥0，得x≥-3.解不等 式2-(x-1)<0,得x>3.所以该不等式组的 当：+6>行时*的取值 解集为x>3.故填x>3. 范围是 ●专项练习 A.x<3 B.x>3 5.下列各数中，能使不等式3x-1<4成立 C.x<1 D.x>1 的x的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 解：把点4(m,)代入y=分，得m=1 6.若关于x的不等式组≥m, 解得m=3.所以A(3,1).由图象，得当x<3 2(x+1)<4 解，则m的取值范围是 时，直线y子在一次函数y=c+6的下方 7.若关于x的不等式m-1≤1-x只有负 故选A. 数解，则m的取值范围是 ●专项练习 8.解下列不等式（组），并在数轴上表示解 11.如图2，直线y=x+b(k< 美 0)交y轴于点A,交x轴于点B,且 （)25-3 B+0AB-0A)=景则不等 O R\ (2)2(2-x)>-3x+5; 式x+b>0的解集为 图2 60 1> B.x>3 r3x>2x-1, c号 D.x<3 (本章复习检测卷见第9~10版) 专题复习· 第三章 图形的平移与旋转 湖南 苏知凡 知识回顾 (2)任意一组对应点与旋转中心的连线所 成的角都等于 1.平移 (3)对应点到旋转中心的距离 概念：在平面内，将一个图形沿某个方向 (4)对应线段 ,对应角 ,这样的图形运动称为平移. 作图：(1)在已知图形上找出 特征：(1)平移后的图形与原来图形的对应 (2)作出关键点的 线段平行（或在一条直线上）且 ,对应角 (3)按照原来的方式连接 3.中心对称 (2)图形的 都没有发 (1)概念：如果把一个图形绕着某一点旋 生变化； 转」 °，它能够与 图形重合，那么 (3)平移后的对应点所连的线段平行（或 就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 在一条直线上)且 这个点叫作 作图：(1)找出已知图形中的关键点； (2)中心对称图形：把一个图形绕着某个 (2)过这些关键点作与已知平移方向平行的 点旋转 °，如果旋转后的图形与原来的 线段，使这些平行线段的长度都等于平移距离； 图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这 (3)依照图形依次连接对应点，得到新的 个点叫作它的 图形，这个图形就是已知图形的平移图形. (3)特征：①成中心对称的两个图形中，对 2.旋转 应点所连线段经过 ,并且被对称中心 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按 某个方向 ,这样的图形运动称为旋转 ②如果两个图形的对应点连成的线段都经 这个定点称为 转动的角称为 过某一点并且被 ,那么这两个图形 定关于这一点对称； 特征：(1)经过旋转，图形上的每一点都绕 ③中心对称和中心对称图形的对应线段 旋转中心沿相同方向旋转了 的角度； ,对应角 考点解密 考点1：图形的平移 例1如图1，△ABC沿 BC方向平移后得到△DEF. 已知BC=7,EC=2,则平移 距离是 图4 解：因为BC=7,EC=2,所以BE=BC (1)分别写出下列各点的坐标：4 EC=5.所以平移的距离是5. B C 故填5. (2)若△A'B'C'是由△ABC平移得到的， ●专项练习 点P(x,y)是△ABC内部一点，则△A'B'C'内与 1.下列生活中的现象，属于平移的是 点P相对应的点P'的坐标是 ( (3)求△A'B'C'的面积 A.抽屉的拉开 ?考点2：图形的旋转 B.汽车刮雨器的运动 例2如图5，△ABC绕 C.荡秋千的人的运动 点A逆时针旋转一定角度后 D.投影片的文字投影到屏幕 2.如图2，∠1=70°，直线a平移后得到直 得到△ADE,点D在BC上， 线b,则∠2-∠3= ∠EDC=40°，求∠B的度数. A.70° B.1809 解：如图5，设AC交DE于点F.由三角形外 C.1109 D.809 角的性质，得∠AFD=∠E+∠EAC,∠AFD= ∠C+LEDC.所以∠E+∠EAC=∠C+ 112 ∠EDC.由旋转的性质，得∠E=∠C,∠DAB= ∠EAC,AD=AB.所以∠DAB=∠EAC= 图 图3 ∠EDC=40°，∠ADB=∠B.所以∠B= 3.如图3，将△ABC沿着点B到点C的方向 平移到△DEF的位置.已知∠B=90°，AB=6, 1(180°-∠DAB)=70° DH=4,平移距离是7，则阴影部分的面积是 ●专项练习 5.如图6，将△ABC绕点A逆时针旋转45° 4.△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中 得到△ADE.已知∠BAC=45°，AB=3,AC= 的位置如图4所示 4,连接BE,则BE的长为」 数理招 E 3 -4-3201234 B 图6 图7 6.如图7，在平面直角坐标系中，△ABC的 顶点坐标分别为A(0,1),B(3,2),C(1,4) (1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得 到△AB,C1,画出△AB,C1; (2)直接写出顶点B,的坐标. 。考点3：中心对称图形 例3古典园林中的花窗通常利用对称构 图，体现对称美.下面四个花窗图案，既是轴对 称图形又是中心对称图形的是 A B D 解：C. ●专项练习 7.如图8，在正方形网格中，A,B,C,D,E, F,G,H,M,N是网格线的交点，已知△ABC与 △DEF关于某点对称，则其对称中心是() A.点G B.点H C.点M D.点N E M B F C 图8 图9 8.如图9，在口ABCD中，点E,F分别在 AD,BC边上，且DE=BF,连接AF,CE.求证：四 边形AECF是中心对称图形 冬考点4：作图与图案设计 例4如图10，在8×5的正方形网格中，每 个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均 在小正方形的顶点上.在图10中画△ABE(点E 在小正方形的顶点上)，使△ABE的周长等于 △ABC的周长，且以A,B,C,E为顶点的四边形 是中心对称图形，并求出该四边形的面积， E A B B 图10 图11 解：如图11.四边形ACBE的面积为：2×4 =8. ●专项练习 9.如图12，在4×4的方格中，有4个小方格 被涂黑成“L形”. (1)在图12-①中再涂黑4格，使新涂黑 的图形与原来的“L形”关于对称中心点O成中 心对称； (2)在图12-②和图12-③中再分别涂 黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组 成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形 (两个图各画一种) ② ③ 图12 (本章复习检测卷见第11~12版)16 =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= ∠EFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=120°= ∠AEF.在△AEF和△DCF中，因为AE=DC,∠AEF= ∠DCF,EF=CF,所以△AEF≌△DCF(SAS).所以AF =DF,∠AFE=∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+∠EFD =∠DFC+∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF是等边 三角形 (3)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD = 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF =CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF=120° =∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF在△ABD和 △ACF中，因为AB=AC,∠ABD=∠ACF,BD=CF,所以 △ABD≌△ACF(SAS).所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所 以∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 60°.所以△ADF是等边三角形 《不等式与不等式组》专项练习 1.C;2a<1;3.D;43x-4<2x+5: 5.A;6.m≥1：7.m>2. 8.解集在数轴上表示略。 (1)x<1;(2)x>1: (3)x≤-5：(4)-1<x≤1. 9.18. 10.(1)设每千克桂味荔枝的进价是x元，每千克糯 米糍荔枝的进价是y元 答：每千克桂味荔枝的进价是24元，每千克糯米糍 荔枝的进价是18元 (2)设购进桂味荔枝m千克，则购进糯米糍荔枝 (100-m)千克. 根据题意，得24m+18(100-m)≤2040. 解得m≤40. 所以桂味荔枝的最大购进量是40千克， 所以总利润为：(40-24)×40+(30-18)×(100- 40)=1360(元). 答：桂味荔枝最多可购进40千克，按桂味荔枝的最 大购进量该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润为 1360元. 11.C. 《不等式与不等式组》复习检测卷 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A B D 二、1-分：2>13x<1:1418:15-3 三、16.解集在数轴上表示略 1 (1)x>;(2)-6<<1. 17.设该商场需购进x件A种商品，(34-x)件B种 商品 根据题意，得200x+100(34-x)≥4000.解得x≥6. 答：该商场至少需购进6件A种商品， 18.实数k按C→B→A的顺序运算，则可列算式[k +（-1)-3]×(-2)=-2k+8.根据题意，得-2k+8 <-2.解得k>5. 四、19.设要生产x个产品. 由题意可得16x-(240000+8x)≥16x×25%, 整理，得8x-240000≥4x,解得x≥60000. 答：至少要生产60000个产品. 20.(1)根据题意，得3+2x<7.解得x<2 (2)解不等式3(x+1)≤8-x,得x≤年由x@a ≤5，得x+2a≤5.解得x≤5-2a.因为不等式3(x+1) ≤8-x的解和4@a≤5的解相同，所以5-2a=子解 得a= 15 8 参考答案 21.(1)设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均 速度为y千米/时： 根据题意，得 0解得=80 5(x-y =50 Ly=70. 答：A车的平均速度为80千米/时，B车的平均速度 为70千米/时. (2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时. 根据题意，得2(80+m-70)≥50.解得m≥15. 答：A车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时 五、22.解不等式-3(x-2)≤a-x,得x≥64 2 解不等式2+1≥x-1,得x≤4 (1)因为该不等式组的解集为2≤x≤4，所以6，口 =2.解得a=2. (2)根据题意，得该不等式组的解集是6， ≤ 4.因为该不等式组有且仅有3个整数解，所以1<6 2 ≤2.解得2≤a<4. 23.（1)设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个 B型篮球需要y元. 答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮 球需要65元. (2)设采购B型篮球a个，则采购A型篮球(50-a)个 根据题意，得30(50-a)+6⑤a≤2550.解得a≤30. 答：最多可采购B型篮球30个. (3)根据题意，得(98-65)a+(58-30)(50-a)≥ 1540.解得a≥28.由(2)，得a≤30.所以28≤a≤30. 因为a为正整数，所以a可取28,29,30.所以能实现利润 不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案：方案 一：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案二：采购A 型篮球21个，B型篮球29个；方案三：采购A型篮球20 个，B型篮球30个. 《图形的平移与旋转》专项练习 1.A;2.C;3.28. 4.(1)(1,3),(2,0),(3,1).(2)(x-4,y-2). (3)△ABC的面积为：2×3-7×1×3-7×1 ×1-×2×2=2. 5.5. 6.(1)图略. (2)B(1,-2). 7.C. 8.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC, AD∥BC.因为DE=BF,所以AD-DE=BC-BF,即AE =CF.所以四边形AECF是平行四边形.所以四边形 AECF是中心对称图形 9.(1)如图1即为所求. (2)如图2,3（答案不唯一，满足题意即可） 图1 图2 图3 《图形的平移与旋转》复习检测卷 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B B C B D 二、11.4：12.2；13.AC+BD≥AB:14.9: 15.150°. 三、16.图略. 17.AE的长为25. 18.由平移的性质，得AD=BE=2.5cm,AC=DF= 3cm,BC=EF=2cm.所以阴影部分的周长为：AC+AD+ DF BC BE EF 15 cm. 数理极 四、19.(1)图略.点A1的坐标为(1,5). (2)图略.(3)42. 20.图略. 21.（1)△ABD是等边三角形.理由如下： 由旋转的性质，得AB=AD,∠BAD=60°.所以 △ABD是等边三角形. (2)由旋转的性质，得AE=AC,DE=BC.因为AC =BC,所以AE=DE.因为△ABD是等边三角形，所以 BA=BD.所以BE垂直平分AD.所以BE平分∠ABD, 五、22.(1)①(1,4)，(3,0)，(2，-4)；②2. (2)连接DH,图略.因为SAODH+SAADH=S&OAM,所 以号×1×n+分×4×(1-m)=2所以4m=n (3)由题意，得OQ=t,BP=2t. ①当点P在线段0B上时，2×(3-2)×4= ×2t,解得t=1.2.此时P(0.6,0); ②当点P在B0的延长线上时，×(2t-3)×4= 分×2，解得1=2此时(-1,0). 综上所述，t=1.2时，P(0.6,0);t=2时，P(-1,0) 23.(1)∠ABD的度数为45°. (2)由题意知∠BAC=∠DAE,因为∠BAD=90°， AB=AD,F是BD的中点，所以∠BAF=∠DAF=45°. 因为∠AGF=∠ABD+∠BAC=45°+∠BAC,∠EAF= ∠DAF+∠DAE=45°+∠DAE,所以∠AGF=∠EAF. (3)因为将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到 Rt△ADE,所以AC=AE,∠CAE=90°.所以∠ACE= 45°.过点F分别作FM⊥BC交BC延长线于点M,作FW ⊥AC于点N,图略.所以∠M=∠ANF=90°.因为 ∠BGC=∠AGF,∠ACB=∠AFB=90°，所以∠FBM= ∠FAN.由(2)知∠BAF=∠ABF=45°，所以BF=AF. 所以△FBM≌△FAN.所以FM=FN.所以CF平分 ∠ACM.所以∠ACF=45°=∠ACE.所以F,C,E三点在 同一直线上 《因式分解》专项练习 1.B:2.1;3.A;4.C;5.10;6.A; 7.D;8.C;9.72;10.10000:11.C; 12.18;13.x(x-4)(x-2)2. 14.(1)5ab(a-2b); (2)(x+2 2(x-2)2: (3)(a-b)(a-b-1); (4)2x(x-3)(x+2). 15.P-Q=3m2+4n+39-2m2+n2-12m+4= m2-12m+36+n2+4n+4+3=(m-6)2+(n+2)2 +3>0.所以P>Q. 16.(1)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的 倍数.理由：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n- 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.所以由这两个连续 奇数构造的“奇特数”是8的倍数. (2)S张部附=392-372+352-332+…+72-52+ 32-12=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33) +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+ 37+35+·+3+1)×2=800. 《因式分解》复习检测卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 D B B 二、11.7(m+2)(m-2);12.2;13.±6； 14.等边三角形；15.(b-2a)(b-6a). 三、16.(1)-y(2x-y)2; (2)(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) 17.(1)-24;(2)4000000. 18.3x2+11x+10=3x2+5x+6x+10=(3x2+6x) +(5x+10)=3x(x+2)+5(x+2)=(x+2)(3x+5). 四、19.小明做得不正确.正确过程如下： 原式=16-(a2-4ab+462)=16-(a-2b)2=[4 +(a-2b)][4-(a-2b)]=(4+a-2b)(4-a+2b).