专题04 因式分解（期末复习讲义+9重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 判断是否是因式分解 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型03 公因式 题型04 判断能否用公式法分解因式 题型05 综合提公因式和公式法分解因式 题型06 利用因式分解求值 题型07 十字相乘法因式分解 题型08 分组分解法因式分解 题型09 因式分解的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义 理解因式分解的概念，能辨别变形是否为因式分解 基础概念题，常以选择、判断形式出现 提公因式法 能准确找出多项式各项的公因式，并熟练完成提取 高频必考点，易错点为公因式提取不彻底或符号处理错误 公式法——平方差公式 掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用分解因式 常与提公因式结合考查，注意分解要彻底 公式法——完全平方公式 识别完全平方式，能正确应用公式分解因式 中档题常见，易与平方差公式混淆，需关注首项系数为负的情况 十字相乘法（二次项系数为1） 理解十字相乘法的原理，能对形如x²+px+q的式子分解 部分地区选学，高频出现在综合题中，需注意常数项符号 因式分解的综合应用 能综合运用多种方法（先提后套、换元等）进行因式分解 压轴小题或解答题常考，核心要求是“分解到不能再分解为止” 知识点01 因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。 示例：m(a+b+c) = ma+mb+mc是整式乘法，不是因式分解。ma+mb+mc = m(a+b+c)是因式分解。 易错点： 1. 混淆因式分解与整式乘法（两者是互逆过程）。 2. 分解结果必须为乘积形式，如 x2 - 4 = (x+2)(x-2) 正确，写成 (x+2)(x-2)也算积，但不能写成 x(x-2)+2(x-2)（仍是和的形式）。 3. 分解要彻底（最终每个因式不能再分解）。 知识点02 提公因式法 定义：多项式各项都含有的公共因式，提取出来写成乘积形式。 步骤： 1. 确定公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂）。 2. 多项式除以公因式，得到另一个因式。 示例：-8a3b2 + 12a2b3 = -4a2b2(2a- 3b) ：-2x2+ 4x = -2x(x - 2) （提负号时注意括号内变号） 易错点： 1. 公因式漏项：如3x2y + 6xy2 = 3xy(x + 2y)正确，若写成3xy(x)漏了+2y 错误。 2. 提公因式后括号内项数与原多项式项数相同（不要丢掉“1”项）。 例：4x2- 2x = 2x(2x - 1) ，括号内是两项，不要写成2x(2x)。 3. 首项为负时，一般提出负号（使括号内首项为正）。 4. 公因式可能是多项式，如(a-b) + c(a-b) = (a-b)(1+c)。 知识点03 公式法（平方差公式） 公式：a2 - b2 = (a+b)(a-b) 特征：两项、都是平方、符号相反。 示例： 9x2 - 25 = (3x)2 - 52 = (3x+5)(3x-5)；x4 - 16 = (x2+4)(x2-4) = (x2+4)(x+2)(x-2)（注意分解彻底） 易错点： 1. 误用于和的形式（a2+b2不能分解）。 2. 系数未写成平方形式：如2x2 - 8 = 2(x2-4) = 2(x+2)(x-2) ，不能直接套公式。 3. 分解不彻底：如x4 - y4 = (x2+y2)(x2-y2) 还要再分解为 (x2+y2)(x+y)(x-y) \)。 知识点04 公式法（完全平方公式） 公式：a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 ；a2 - 2ab + b2 = (a-b)2 特征：三项、首尾是平方、中间项是首尾积的2倍（可正可负）。 示例：x2+ 6x + 9 = (x+3)2；4x2 - 12xy + 9y2 = (2x)2 - 2·2x·3y + (3y)2 = (2x-3y)2 -x2 + 4x - 4 = -(x2 - 4x + 4) = -(x-2)2 易错点： 1. 中间项符号判断错误x2- 4x + 4 = (x-2)2，不是 (x+2)2。 2. 忽略首尾项必须是平方且为正，如 x2 + 4x + 16 不能直接用公式（4x ≠ 2·x·4）。 3. 系数要配成平方：9x2 + 12x + 4 = (3x+2)2（检查12x = 2·3x·2）。 4. 忘记先提公因式： 2x2 + 8x + 8 = 2(x2+4x+4) = 2(x+2)2。 知识点05 十字相乘法（补充知识点，教材有时选学） 适用：二次三项式 x2 + (p+q)x + pq 方法：常数项分解成两个数，和等于一次项系数。 示例： x2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)； x2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4) ； x2 + x - 6 = (x+3)(x-2) 易错点： 1. 符号错误：x2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) ，不是(x+2)(x-3) 。 2. 忽略系数不为1的情况：2x2 + 5x + 2 = (2x+1)(x+2)需要拆首项系数。 3. 忘记验证交叉相乘再相加是否等于一次项系数。 知识点06 因式分解的一般步骤（提、公、式、十） 顺序： 1. 提：先看有无公因式，先提出来。 2. 公：提公因式后，看项数。 - 两项 → 平方差公式（或立方和差，但教材以平方差为主） - 三项 → 完全平方公式 或 十字相乘法 3. 式：检查每个因式是否还能分解。 4. 十：十字相乘作为补充工具。 示例：2x3 - 8x = 2x(x2 - 4) = 2x(x+2)(x-2) （先提公因式，再平方差） 3a3 - 6a2 + 3a = 3a(a2 - 2a + 1) = 3a(a-1)2（先提，再用完全平方） 易错点： 1. 不按步骤：看到三项直接用公式，忽略有公因式。 2. 分解不彻底，例如 a4 - b4分解成 (a2+b2)(a2-b2) 就停下（少了一步）。 3. 结果写成连乘不用括号括起来（如2·x·(x+2)·(x-2)不规范，应写作2x(x+2)(x-2) ）。 题型一 判断是否是因式分解 解｜题｜技｜巧 因式分解结果必须是整式乘积，无加减运算，每个因式不能再分解；检查恒等变形，可用整式乘法验证，注意提取公因式要彻底，避免漏项或符号错误，常见形式如平方差、完全平方。 【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 【典例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，掌握好相关知识是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据此定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A：从整式的积转化为多项式，是整式乘法，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边是整式与常数的和，不是整式的积，不符合定义，故B错误； 对于选项C：将多项式转化为两个整式与的积，符合因式分解定义，故C正确； 对于选项D：右边的不是整式，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 题型二 已知因式分解的结果求参数 解｜题｜技｜巧 将结果展开后与原多项式对应项系数相等列方程求解；注意分解彻底性，可代特殊值（如x=0）快速求部分参数，再用比较系数法验证，确保所有参数满足恒等关系。 【典例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 【典例2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若多项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】13 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求参数，代数式求值，将因式分解的结果展开，与原多项式比较系数，求出a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， 根据题意得， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 题型三 公因式 解｜题｜技｜巧 公因式取系数最大公约数、相同字母最低次幂；多项式先化最简再提取，注意首项负号可提出，括号内项数不变，提取后可用整式乘法检验，避免漏项或符号错误。 【典例1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 【典例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公因式，确定公因式时，系数取各项系数的最大公因数，字母部分取各项相同字母的最低次幂． 【详解】解：多项式中，系数6和3的最大公因数是3，字母的最低次幂是，字母的最低次幂是，因此公因式为， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）多项式的公因式是______ 【答案】 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 【变式2】（24-25七年级下·河北保定·期末）和的公因式为______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解及公因式定义，熟记公因式的定义是解题的关键． 先将两个多项式因式分解，然后根据公因式定义：每个单项式中都有的因式，即可得到答案． 【详解】解：，， ∴和的公因式为， 故答案为：． 题型四 判断能否用公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先看项数：两项看平方差，三项看完全平方；检查是否标准形式，系数是否为平方数，符号是否符合，注意提取公因式后看能否再用公式，避免忽略负号或系数非平方情况。 【典例1】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期末）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键，公式法为． 【详解】解：A． ：可提取公因式得，属于提公因式法，非公式法，不符合题意． B． ：平方和无法在实数范围内用公式法分解，不符合题意． C． ：可利用平方差公式分解为，符合题意． D． ：可提取公因式得，同样属于提公因式法，非公式法，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先提公因式，再检查括号内是否可用平方差或完全平方；注意公因式提尽，公式要完全套对，分解到每个因式不能再分为止，结果写成乘积形式，可用整式乘法验证。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26八年级上·山东·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）先提取公因式，再由平方差公式进行因式分解； （2）先展开，再由完全平方公式进行因式分解； （3）先利用平方差公式因式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 题型六 利用因式分解求值 解｜题｜技｜巧 先整体分解因式，再代入已知条件求值；常将代数式化为积的形式，利用整体代入降低运算量，注意条件变形如移项、平方等，巧用配对法或拆项重组，结果化简后计算。 【典例1】（24-25八年级上·全国·期末）若，且，则值是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式． 根据平方差公式解答即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：，， ． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，，则的值是_____． 【答案】9 【分析】根据平方差公式计算得出，即可求出的值，再结合已知条件进一步确定的值，再将要求的代数式变形为代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 题型七 十字相乘法因式分解 解｜题｜技｜巧 将二次项与常数项拆成两数乘积，交叉相乘和等于一次项；注意符号，正负常数项分解要试，先排系数竖写，检验交叉和，熟练后心算，分解后写为两因式乘积。 【典例1】（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【答案】；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．根据阅读材料得到：，． （1）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （2）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （3）将看作一个整体．因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由已知条件易得：，． 故答案为：；； （1）； （2）； （3）． 【典例2】（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ；． 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 题型八 分组分解法因式分解 解｜题｜技｜巧 将项分组，使每组有公因式或可用公式，再提取组间公因式；分组要有目的，常按系数比例或相同结构分，四项常用二二分组，三项加一项可考虑拆项，分解后验证。 【典例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【典例2】（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 题型九 因式分解的应用 解｜题｜技｜巧 用于简化计算、解方程、判断整除或变形代数式；先整体分解，再根据条件代入或分析符号，解高次方程常化积为0，注意结果检验是否合理，避免增根或丢失解。 【典例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知a，b，c是的三边长． (1)若，求c的取值范围； (2)若，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【分析】（1）先利用完全平方公式将其配方成非负数和的模型，再求出，即可根据三角形的三边关系求解； （2）先将其因式分解得到，则或，再根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， 则， 解得， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形或直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或 ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【典例2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【分析】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】由题意可得，，再对进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】公因式：多项式的每一项都含有的因式． 【详解】解：的公因式是． 5．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知，，则M与N的大小关系是__． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、整式的乘法混合运算，利用作差法比较大小是解题的关键． 通过计算与的差，并化简表达式，利用完全平方公式判断其符号，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 【答案】3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 7．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2704 【分析】本题考查了新定义“可乐数”以及平方差公式的运用． （1）根据“可乐数”的定义解答即可； （2）根据解答即可； （3）由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，若偶数是“可乐数”，根据 与的奇偶性相同，可得是偶数，则一定是4的倍数，且，所有的“可乐数”从小到大排列为：，进而得到当时，所有“可乐数”可以表示为，当时，分别是第个“可乐数”，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差， ∴18不是“可乐数”； 即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵， ∴ 即能表示为两个正整数和的平方差， ∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得， ∴， ∵与的奇偶性相同， ∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵， ∴第2026个“可乐数”为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（    ） A．17是和谐数 B．（，是整数）不一定是和谐数 C．如果，都是和谐数（），则也是“和谐数” D．当时，（，是整数）是“和谐数” 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．根据“和谐数”的定义，利用完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A.， 17是和谐数，故该说法正确，不符合题意； B. ， （是整数）一定是和谐数，故该说法错误，符合题意； C. ， 都是“和谐数”，设， 原式 ， 也是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意； D.， ， 当时，（是整数）是“和谐数”，故该说法正确，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）因式分解：________． 【答案】 【分析】观察多项式的各项，发现都含有公因数，先提取公因式得到；接着观察括号内的式子，它符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海虹口·期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，其余各数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 【答案】44 【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 由题意可得，，则得到，据此求解即可． 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 7．（25-26八年级上·福建福州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键是先提取公因式，再根据多项式特点选择完全平方公式或平方差公式继续分解． （1）先提取公因式，再对剩余多项式用完全平方公式分解； （2）先提取公因式，再对剩余多项式用平方差公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26八年级上·山东烟台·期末）先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题． 已知二次三项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， ， ，解得， 的值为． 解法二：设（为整式）， 当，即时，， 把代入，得， 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求的值； (2)多项式分解因式后有一个因式是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． （1）把代入即可求解； （2）把代入即可求解． 【详解】（1）解：设（为整式） 当，即时，． 把代入，得， ． （2）解：设（为整式） 当，即时，， 把代入，得， ． 9．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)2与1的“2次幂差数”为_____； (2)若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) (3)的最小值为8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，理解新定义． （1）根据“2次幂差数”的定义进行求解即可； （2）根据“2次幂差数”的定义列出算式进行求解即可； （3）根据“2次幂差数”的定义结合题意得出，求出， 根据非负数的性质，求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，． 2与1的“2次幂差数”为3， 故答案为：3． （2）解：依题 ； （3）解：已知，， 代入得：， 即， ， 由，及为整数，可得的取值范围为， ∵在该范围内， ∴当时，取得最小值64，则的最小值为8． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04因式分解（期末复习讲义） 内容导航 明期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识育区 破•重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型O1判断是否是因式分解 题型02已知因式分解的结果求参数 题型03公因式 题型04判断能否用公式法分解因式 题型05综合提公因式和公式法分解因式 题型06利用因式分解求值 题型07十字相乘法因式分解 题型08分组分解法因式分解 题型09因式分解的应用 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期未考情 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义 理解因式分解的概念，能辨别变形是否 基础概念题，常以选择、判断形式出现 为因式分解 提公因式法 能准确找出多项式各项的公因式，并熟 高频必考点，易错点为公因式提取不彻 练完成提取 底或符号处理错误 公式法一一平方差 掌握平方差公式的结构特征，能灵活运 常与提公因式结合考查，注意分解要彻 公式 用分解因式 底 公式法一一完全平 识别完全平方式，能正确应用公式分解 中档题常见，易与平方差公式混淆，需 方公式 因式 关注首项系数为负的情况 十字相乘法（二次 理解十字相乘法的原理，能对形如 部分地区选学，高频出现在综合题中， 项系数为1) x2+px+q的式子分解 需注意常数项符号 因式分解的综合应 能综合运用多种方法（先提后套、换元 压轴小题或解答题常考，核心要求是 1/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用 等)进行因式分解 “分解到不能再分解为止” 记·必备知识 国知识点01因式分解的定义 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（或分解因式）。 示例：(a+b+c)=ctb+c是整式乘法，不是因式分解。a+b+c=(a+b+c)是因式分解。 易错点： 1.混淆因式分解与整式乘法（两者是互逆过程）。 2.分解结果必须为乘积形式，如x2·4=(+2)-2)正确，写成(x+2)x-2)也算积，但不能写成 x(x-2)+2(x-2)(仍是和的形式)。 3.分解要彻底（最终每个因式不能再分解）。 国知识点02提公因武法 定义：多项式各项都含有的公共因式，提取出来写成乘积形式。 步骤： 1.确定公因式（系数取最大公约数，字母取相同字母的最低次幂)。 2.多项式除以公因式，得到另一个因式。 示例：-8b2+12b=-4b(2a-3b)：-2x2+4x=-2x(x·2)(提负号时注意括号内变号) 易错点： 1.公因式漏项：如3xy+6y=3xy(c+2)正确，若写成3xy(x)漏了+2y错误。 2.提公因式后括号内项数与原多项式项数相同（不要丢掉“1”项）。 例：4x2.2x=2x(2x·1),括号内是两项，不要写成2x(2x)。 3.首项为负时，一般提出负号（使括号内首项为正）。 4.公因式可能是多项式，如(a-b)+c(a-b)=(b)1+c)。 昼知识点03公式法（平方差公式） 公式：2.=(atb)(a-b 特征：两项、都是平方、符号相反。 示例：9x2.25=(3x)2-52=(3x+53x-5),x4.16=(2+4)2.4=(x2+4)x+2)x-2)(注意分解彻底) 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错点： 1.误用于和的形式(+P不能分解)。 2.系数未写成平方形式：如2x2-8=2(2-4)=2+2)(x-2),不能直接套公式。 3.分解不彻底：如x4-y4=(x2+y)x2-y还要再分解为(x2+y)x+)x-y))。 民知识点04公式法（完全平方公式） 公式：d2+2ab+2=(a+b)2；ad2-2ab+b=(a-b 特征：三项、首尾是平方、中间项是首尾积的2倍（可正可负）。 示例：x2+6r+9=(+3)2;4x2·12xy+9y2=(2x}-22x3y+(3y2=(2x-3y)3 -x2+4x-4=-(x2-4x+4)=-(x-2)2 易错点： 1.中间项符号判断错误x2.4x+4=(x-2)2,不是(x+2)2。 2.忽略首尾项必须是平方且为正，如x2+4x+16不能直接用公式(4x≠2x·4)。 3.系数要配成平方：9x2+12x+4=(3x+2)2(检查12x=23x2)。 4.忘记先提公因式：2x2+8x+8=2(x2+4x+4)=2(x+2)2。 属知识点05十字相乘法（补充知识点，教材有时选学） 适用：二次三项式x2+叶qx+pg 方法：常数项分解成两个数，和等于一次项系数。 示例：x2+5x+6=(+2)+3);x2-7x+12=(-3)04)；x2+x-6=(x+3)x-2) 易错点： 1.符号错误：x2-5x+6=(-2)x-3),不是(+2)c-3)。 2.忽略系数不为1的情况：2x2+5x+2=(2x+1)x+2)需要拆首项系数。 3.忘记验证交叉相乘再相加是否等于一次项系数。 民如识点06因式分解的一般步囊（提、公、式、十） 顺序： 1.提：先看有无公因式，先提出来。 2.公：提公因式后，看项数。 ·两项→平方差公式（或立方和差，但教材以平方差为主) ·三项一完全平方公式或十字相乘法 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.式：检查每个因式是否还能分解。 4.十：十字相乘作为补充工具。 示例：2x-8x=2x(2-4)=2x(+2)(-2)(先提公因式，再平方差) 3d.62+3a=3a(d-2a+1)=3a(-1)2(先提，再用完全平方) 易错点： 1.不按步骤：看到三项直接用公式，忽略有公因式。 2.分解不彻底，例如-b分解成(+b)(-b)就停下（少了一步）。 3.结果写成连乘不用括号括起来（如2x(x+2)(x-2)不规范，应写作2x(+2)(x-2))。 破·重难题型 心腮型一 判断是否是因式分解 解|题|技|巧 因式分解结果必须是整式乘积，无加减运算，每个因式不能再分解；检查恒等变形，可用整式乘法验 证，注意提取公因式要彻底，避免漏项或符号错误，常见形式如平方差、完全平方。 【典例1】(25-26八年级上：广东湛江·期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是() A.r-4=(x-2y+4x B.x-6x+9=(x-3)} c.(a+l(a-1)=a2-1 D.a-1+2a=(a+10a-l)+2a 【典例2】(25-26八年级上山东临沂·期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是() 1.+4=(0x-22+4x B.x-6r+9=(x-3)月 C.(a+l)(a-1)=a2-1 n.( 【变式1】(25-26七年级上上海奉贤·期末)下列从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(x-2)=x2-4x+4 B.r+3x+2=x(x+3)+2 C.x2-9=(x+3)(x-3) 02+2=2+ 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上福建福州期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是() A.x-0=x2-x x2-2x+1=x(x-2)+1 B C.x2-y2=(x+y)(x-y) 题型二已知因式分解的结果求参数 解|题|技|巧 将结果展开后与原多项式对应项系数相等列方程求解；注意分解彻底性，可代特殊值（如x=0)快速求部 分参数，再用比较系数法验证，确保所有参数满足恒等关系。 【典例1】(25-26八年级上江苏泰州期末)若二次三项式x2-mx-6可分解为(x-3x+2),则m的值为 【典例2】(25.26八年级上江西南昌期末)若多项式+a-b因式分解的结果是：-2川x+5),则 a+b= 【变式1】(25-26八年级上河南周口期末)已知多项式4y+M可分解因武为4(：+W-y）则M 为 【变式2】(25-26七年级上·上海·期末)已知整式mx2+7x-20(是常数)可以分解为两个一次因式的 积，其中一个因式是2x+5,则另一个因式是 题型三公因式 解|题|技|巧 公因式取系数最大公约数、相同字母最低次幂；多项式先化最简再提取，注意首项负号可提出，括号内项 数不变，提取后可用整式乘法检验，避免漏项或符号错误。 4x2y-2y 【典例1】(25-26八年级上：江苏泰州期末)把多项式" 分解因式时，应提取的公因式是 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26八年级上河北保定期末)将多项式6ab-3a2b分解因式时，应提取的公因式是 9x2y-36xy2+3xy 【变式1】(25-26八年级上甘肃天水期末)多项式 的公因式是 【变式2】(24-25七年级下河北保定期末)9a2-l12a+4和6a2-4a的公因式为 题型四 判断能否用公式法分解因式 解|题|技」巧 先看项数：两项看平方差，三项看完全平方；检查是否标准形式，系数是否为平方数，符号是否符合， 注意提取公因式后看能否再用公式，避免忽略负号或系数非平方情况。 【典例1】(25-26八年级上·海南海口·期末)下列多项式属于完全平方式的是() A.x2-2x+4 B.x2-4x+4 C.-y+ D.4r2-4x-1 【典例2】(25-26八年级上重庆綦江期末)下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是() A.2+2 By2-9 C.y3-27 D.y+6y+1 【变式1】(24-25七年级下·安徽六安·期末)下列多项式中，能用公式法分解因式的是() 4.x- B.r+2 c.-2 D.x+ 【变式2】(24-25八年级上山东烟台期中)下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.x2-1 B.4x2+4x+4 C.x2+2x+1 D.x2-2x-1 巴影型五 综合提公因式和公式法分解因式 6/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧 先提公因式，再检查括号内是否可用平方差或完全平方；注意公因式提尽，公式要完全套对，分解到每个 因式不能再分为止，结果写成乘积形式，可用整式乘法验证。 【典例1】(25-26八年级上贵州遵义·期末)因式分解： (1)3ab-6ab+3a ②(a-b)+b(b-a） 【典例2】(25-26八年级上河北张家口期末)将下列各式分解因式. r(6x-)-16(x- (②m-m°-6(n-m)+9 【变式1】(25-26八年级上：山东期末)因式分解： 03x2-27x (2m-3(m-5)+1 6(2x+y-(x+2)月 【变式2】(25-26八年级上山东泰安·期末)因式分解： 4r2-9y2 (206-2ab2+ab 6)0x-川+60-x) ④c+0x+2列+号 巴题型六利用因式分解求值 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧 先整体分解因式，再代入已知条件求值；常将代数式化为积的形式，利用整体代入降低运算量，注意条件 变形如移项、平方等，巧用配对法或拆项重组，结果化简后计算。 2-y2=20 【典例1】(24-25八年级上全国期末)若 +y=-5 ,X一y ,且 ,则”值是 -b=√2ab=3a2b-ab2 【典例2】(25-26八年级上河南漯河期末)已知 ,则 的值为. 【变式1】(25.26八年级上福建厦门期未)已知>0，b>0,(a+2h+2a+26-2)=5,则 a2+2ab+6b 的值是一 【变式2】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·期末)若实数x,y,m满足 x2-2xy-4y=1+m 2y2+4xy+6=1-m 则的值为， 巴题型七十字相乘法因式分解 解|题|技|巧 将二次项与常数项拆成两数乘积，交叉相乘和等于一次项；注意符号，正负常数项分解要试，先排系数 竖写，检验交叉和，熟练后心算，分解后写为两因式乘积。 【典例1】(25-26八年级上广西期末)阅读下面内容并完成后面的练习： 因为(x+1x+2)=x2+3x+2,所以x2+3x+2=(x+1x+2): 因为(x-1x-2)=x2-3x+2,所以x2-3x+2=(x-1x-2); 因为(x-10x+2)=x2+x-2,所以x2+x-2=(x-10x+2): 因为红-2刃=-2，所以--2=+W-2》 因为(x+ax+b)= 所以 =(x+a)(x+b) 8/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解： +6r+5 202-1a+24 3mn+14mm-32 【典例2】(24-25八年级上·甘肃临夏·月考)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：=xx,-35=（5)x(+7) -5 ②交叉相乘，验中项： x+7→7x-5x=2x x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 试用上述方法分解因式： 0r+5x+4 2r-6r-7 32r2+x-6 【变式1】(24-25八年级上江西上饶期末)阅读下列材料： 将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：=x,-35=(-5)×(+7） ②交叉相乘，验中项： X -5 =>7x-5x=2x +7 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+2x-35=(x+7)(x-5) ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， 试用上述方法分解因式： 0①+5x+4 (22-6r-7 【变式2】(24-25八年级上山东临沂·期末)材料：将一个形如 r+pr+9的二次三项式因式分解时，如 果能满足P=m+m且9=m”,则可以把+r+9因式分解成 x+m)x+n) 例如·+3x+2,具体做法 是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右 上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”· x2+3x+2=(x+1)(x+2) 这样，我们可以得到： 、2 1×2+1×1=3 材料2：分解因式： (x+y)+2(x+y)+1 解：将。+y”看成一个整体，令+y=K,则原式+2K+1=(K+,再将“K”还原，行：原 式=(x+y+1)2 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法. 【迁移运用】 ()利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①x2+5x+6②2x2+2x-12 (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①(x-y)°+4(x-y)+3②(2a+3b)-4(2a+3b)-12 分组分解法因式分解 解|题|技|巧 将项分组，使每组有公因式或可用公式，再提取组间公因式：分组要有目的，常按系数比例或相同结构 分，四项常用二二分组，三项加一项可考虑拆项，分解后验证。 【典例1】(25-26八年级上陕西渭南期末)【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 4+9y4-15x2y2 例如：分解因式 =x4-6x2y2+9y4-9x2y2 解：原式 =(x4-6x2y2+9y）-(3xy)月 =(x2-3y2）-(3xy)月 =(x2-3y2+3xy)(x2-3y2-3y) x4+49y4-30x2y2 像这样分解因式的方法叫做拆项法.请用以上方法分解因式： 【典例2】(25-26八年级上·重庆合川期末)阅读下列材料：分解因式：2ar-10ay+5y-br 方法：原式=(2ar-10a)+(5-bm)-2a(x-5y)+b5y-x)=(k-5y2a-b） 方法=：原式=(2ar-b)+(5-10a)=x(2a-b〕+5y6-2a)=(2a-b(x-5) 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用 提公因式法、公式法分解因式 请尝试利用材料中的方法分解因式： a①r+2+x+1 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、3x2+3xy-4x-4y (2 【变式1】(25-26七年级上·上海闵行·期中)乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式 x2-36y2+x-6y 进行因式分解 r-36y+x-6y解：原式(-36y)+(r-6列 第 步 ①提公因式法： =(x-6y)x+6y)+(x-6y) ②公式法： 第二步 ③十字相乘法. =(x-6y)x+6y+1) 第三步 (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是 法，第二步到第三步因式分解运用的方法是 法（从右框中分别选择一种方法填入序号）： (2)请你按照上述方法分解因式： x2-6xy+9y2-3x+9y 【变式2】(25-26八年级上陕西西安·期末)阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如 x2-4y2-2x+4y 细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两 部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下： x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2）-(2x-4y) =(x+2y)(x-2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2). 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法. 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：a2-ab+3a-3b: 12/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若多项式r-9y2+bx+3y 利用分组分解法可分解为 2x+32x-3y+),求b的值. 巴慰型九 因式分解的应用 解|题|技|巧 用于简化计算、解方程、判断整除或变形代数式：先整体分解，再根据条件代入或分析符号，解高次方程 常化积为0，注意结果检验是否合理，避免增根或丢失解。 【典例1】(25-26八年级上福建福州期末)己知a,b,c是△ABC的三边长. (1)若a2+b2-4a-8b+20=0,求c的取值范围： (2)若a-b=a2c2-bc2,试判断△ABC的形状并说明理由. 【典例2】(25-26八年级上四川泸州期末)阅读下面的因式分解的过程： m3-m2+2m-2=(m3-m2)+(2m-2）=m2(m-1)+2(m-1)=(m-1)(m2+2） m3-m2+2m-2=(m3+2m)-(m2+2）=m(m2+2）-(m2+2）=(m-1)(m2+2）片 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：a3-3a2-4a+12: 2已知P+9=-3,求广+3p-9-39的值： ,求 3)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a2-ab+bc-c2=2a2-2ac,证明△ABC是等腰三角形. 【变式1】(25-26八年级上广西玉林期末)阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b及a2-2ab+b叫做完全平方式”，如果关于某 一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方 式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.例如：分解因式x2+2x-3.原式 =x2+2x-3=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【材料2】因式分解：(x+)+2(x+y)+1 解：起+y看成一个整体，令+y=A,则原式=+24+1=(1+少，再将4=x+y重新代入，得：原 式(6x+y+1)2 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2-4x-5: ②)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：(x-广-4(-)+4、 当a6,c分别为。aC的三边时，且满足女++之-a-2沙-2c+号=0时，类断ABC的形状 22 2 并说明理由. 【变式2】(25-26八年级上江西宜春·期末)【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完 全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代 数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用. 例1：因式分解：a2+6a+8. =a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4) 解：原式 例2：若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值. 解 a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1 (a-b)2≥0(b-1)2≥0 .当a=b=1时，M有最小值1. 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：a2-12a+35= (2)已知a2+2b2+c2-2ab+4b-6c+13=0,求a+b+c的值. 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)已知 =x2-y2+6x-19=2x2+4y+13 3,试比较P,2的大小 ④活a,b为有理数且满足 ab=a+b,P=a2-4ab+b2+11 ,求P的最小值. 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26八年级上四川泸州期末)下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是() A.m(x+y)=mx+my B x2+3x-10=(x-2)(x+5) m2-9+3m=(m+3)(m-3)+3m nr-=f） 2.(25-26八年级上陕西延安期末)若将多项式x+mx+6因式分解得 x+3)(c+m). 则m的值为 () A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26八年级上·贵州遵义期末)已知长方形的长是a,宽是b,它的长与宽的和为7，面积为10.则 a b+ab' 的值为() 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.140 B.70 C.35 D.24 4x2y-2y 4.(25-26八年级上江苏泰州期末)把多项式 分解因式时，应提取的公因式是 5.(25-26八年级上广东云浮·期末)已知 M=(a+b)(a-2b)N=-3b(a+2b)(ab≠0) ,则M与N的大 小关系是一 x2-2xy-4y=1+m2y2+4xy+6=1-m 6.(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·期末)若实数x,y,m满足 则的值为 7.(25-26八年级上河南许昌·期末)因式分解： -6r2+9x 2x2+4)}'-16r2 8.(25-26八年级上·福建龙岩期末)如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数 m为“可乐数”.例如： 3=22-12,8=32-12,64=102-62 ,所以3,8,64都是“可乐数”. (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有_；（填序号） (2)求证：当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数” 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26八年级上广西贵港期末)如果a+b=2,ab=1,那么ab+2a2b2+ab的值为() A.1 B.3 C.4 D.8 2.(25-26八年级上湖北恩施期末)某课外密码研究小组接收到一条密文： 8x(m2-n2）-8y(m2-n2) 己知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 m-n m+n x-y x+y … 16/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 明文 恩 爱 施 美 我 丽 8x(m2-n2）-8y(m2-n2 把密文 用因式分解解码后，明文可能是() A.美丽恩施 B.我爱恩施 C.我爱美丽 D.恩爱美丽 3.(25-26八年级上四川泸州期末)定义：若一个整数能表示成2+b2(a,b是整数)的形式，则称这 个数为“和谐数”.例如，13=32+22，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（) A.17是和谐数 B.a2-2ab+2b2(a,b是整数)不一定是和谐数 (m+n)}-（(m-n)2 C.如果m,n都是和谐数(m≠n),则4 也是“和谐数” D.当=15时，+4少+4-12y+,'是整数)是“和谐数” 4.(25-26八年级上山东滨州期末)因式分解：2026-2026x2= 5.(25-26八年级上江苏南通·期末)如图，图中的大长方形是由2块边长为a的大正方形，2块边长为b 的小正方形，5块长为a,宽为b的相同的长方形拼接而成.观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b因 式分解的结果为 a 6.(25-26七年级上·上海虹口期末)1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出 了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅 被后人称为“贾宪三角”，这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，其余各数等于它“肩 上”的两个数的和.在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1,2,3,4,5，…，我们把第 1个数记为“，第2个数记为，第3个数记为，，第”个数记为.第3斜列上的数依次为： 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 161015,把第1个数记为，第2个致记为，第个数记为8“，杀”个数记为之，者 b b. 2b1-an=2026 1 则的值为一 本积 左积今右隅 第2斜列， 商除○⊙方法 第3斜列 、1 平方积合⊙○平方隅 1 2 1 立方积白€€○立方隅 13 3 1 三乘积○四分四○三乘隅 1464N 1 四乘积○团⊕⊕团○四乘隅 151010 5 1 五乘积白⊙①①④⊕⊙白五乘隅 1615201561 命 中 右 左 而除之 廉乘商 廉 乃隅算 乃积数 图1 图2 7.(25-26八年级上福建福州期末)分解因式： (1)x2-4x2+4x: 2a6x-月-4x-) 8.(25-26八年级上山东烟台期末)先阅读下题的解答过程，然后完成后面的问题. 已知二次三项式-+m有一个因式是K+3》,求m的值。 2-x+m=(x+3)(x+n) 解法一：设 ∴.x2-x+m=x2+(n+3)x+3n n+3=-1 m=-12 m=3n,解得n=-4, m的值为-12 解法二：设 -x+m=A(x+3)(A为整式)， 当x+3=0,即x=-3时，x2-x+m=0, 把x=-3代入-x+m=0,得（3)-(-3)+m=0 18/19 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .m=-12. 根据上面材料，选择一种方法解答下列各题： 0①已知二次三项式2x+ar-20有一-个因武是2x-5）,求“的值， ②多顶式x-3x+8分解因式后有一个因式是任-3)，求长的值 9.(25-26八年级上湖北孝感期末)对于三个非负整数卫，“，b,若满足： p=a2-b2 则称”为“与b p、 的“2次幂差数”. (1)2与1的“2次幂差数”为一： (2)若P为m+1与m-1的“2次幂差数”，求P(用含m的代数式表示)； (3)若P为a与b的“2次幂差数”，且b=k-3,p=-2k+71,求a的最小值. 10.(25-26八年级上：湖北襄阳·期末)我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法.但某 些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解.下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程. x2+xy-2x-2y 甲： 乙：a2-b2+2b-1 =(x2+y）-(2x+2y）(先分成两组) =a2-(b2-2b+1） (先分成两组)=-(6-1 =x(x+y)-2(x+y) =(a+b-1)(a-b+1) =(x+y)(x-2) 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法.请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：m2-n2+m+n. (2)若a-b=4,a-c=2,求ab-bc+ac-a2的值. (3)已知a、b、c为等腰三角形ABC的三边长，且a2+10b2-6ab-2b+1=0,求△ABC的周长. 19/19