第一章 三角形的证明及其应用 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（北师大版·新教材）

数理招 专题复习 角形； 第一章 三角形的证明及其应 ②勾股定理的逆定理：如果三角形两条边 的 那么这个三角形是 广东 刘骏浩 直角三角形 知识回圆 4.等边三角形 (3)两个直角三角形全等的判定方法： (1)定理：等边三角形的三个内角都 1.三角形的内角与外角 ,并且每个角都等于」 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角 (2)判定定理： 7.互逆命题和互逆定理 的和等于 ①三个角都相等的三角形是】 三角 (1)互逆命题：在两个命题中，如果一个命 (2)三角形内角的一条边与另一条边的反 形； 题的条件和结论分别是另一个命题的 向延长线组成的角，叫作三角形的外角 ②有一个角等于60°的 三角形是 和 (3)推论：三角形的一个外角 ,那么这两个命题称为互逆命题，如 与 等边三角形 它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角 (3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命 大于任何一个与它 的内角 30°，那么它所对的 等于斜边的 题就称为它的 命题， 2.多边形 (2)定理与逆定理：如果一个定理的逆命 (1)多边形的性质定理 5.反证法 题经过证明是】 命题，那么它也是一个 ①n边形的内角和等于 (1)概念：在证明时，先假设命题的 ,其中一个定理称为另一个定理的逆 ②多边形的外角和等于 不成立，然后推导出与 定理 (2)正n边形的每一个内角的度数为 已有」 或已知 相矛 8.线段的垂直平分线 一：每一个外角的度数为 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点到 3.等腰三角形 证明方法称为反证法 这条线段两个端点的距离 ()定理：等腰三角形的两个底角 (2)步骤：“反设一归谬一结论”三步曲。 (简称“ 6.直角三角形 (2)判定定理：到一条线段两个端点距离 对 (2)定理：等腰三角形顶角的 、底 (1)性质定理： 相等的点，在这条线段的 边上的 底边上的 _重合（简称 ①直角三角形的两个锐角 9.角平分线 ”) ②勾股定理：直角三角形两条直角边的平 (1)性质定理：角平分线上的点到这个角 (3)判定定理：有两个角 的三角 方和等于 的两边的距离 形是等腰三角形（简述为“ 对 (2)判定定理： (2)判定定理：在一个角的内部，到角的两 ①有两个角」 的三角形是直角三 边距离 的点在这个角的平分线上 考点解密 。考点2：多边形 例2如图4，正五边形 。考点1：三角形的内角与外角 ABCDE中，连接AC,则∠BAC 例1如图1，点D,E 的度数是 分别在线段AC,BC上，连接 解：因为五边形ABCDE是 AE,BD交于点F.若∠A= 正五边形，所以AB=BC,∠B A.459 B.60° 27°，∠B=45°，∠C=38°， =(5-2)×180° =108°.所以∠BAC= C.110° D.135 则∠DFE的度数为( 5 解：因为正八边形的外角和是360°，所以它 A.1109 B.115 BCA=)180°-∠B)=36的 的每一个外角的度数为：360°÷8=45° C.1209 D.1259 故选A. 解：因为∠B=45°，∠C=38°，所以 故填36， ●专项练习 ∠ADF=∠B+∠C=83.因为∠A=27°，所 ●专项练习 5.一个多边形的每个外角都是36°，则这个 以∠DFE=∠A+∠ADF=110°. 3.一个n边形从一个顶点可引4条对角线， 多边形的内角和是。 故选A 则这个n边形的内角和是 ( ?考点3：等腰三角形 ●专项练习 A.900° B.720° 1.如图2，在△ABC中，D,E分别在AB,AC C.540° D.360 例4如图7，直线 ∥2，Rt△ABC的直角顶 上，DE∥BC,∠ACF是△ABC的外角，已知∠A 4.如图5-①所示的是一把木工台锯使用 点B在直线2上，AC,BC =40°，∠ADE=60°，则∠ACF的度数为 的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图 5-②所示的六角尺示意图中，x的值是 分别交直线l,于点D,E. 若∠C=35°，DE=CE A.100° B.120° 则∠1的度数是 C.140° D.1609 350 A.30°B.15 C.25° D.20° 120)°(x+9)( 解：因为DE=CE,所以∠CDE=∠C= 120°1269 35°.所以∠CED=180°-∠CDE-∠C= 网5 110°.因为直线L,∥L,,所以∠CBF=∠CED= 地面 例3如图6-①是我国古建筑墙上采用的 110°.因为∠ABE=90°，所以∠1=∠CBF- 图3 八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境 ∠ABE=20° 2.如图3是两根木棒放在地面上的情形 如同镶嵌于一个画框之中，如图6-②是八角形 故选D 若∠3=100°，则∠2-∠1的度数是 空窗的示意图，它的一个外角∠1= (下转第4版) 4 专题复习 数理招 (上接第3版) ÷考点5：直角三角形 考点7：线段的垂直平分线 ●专项练习 例6如图14，CD⊥AB于点D,EF⊥AB 例9如图17，以△ABC 6.已知等腰三角形的一个外角为140°，则 于点F,CD=EF,要根据“HL”证明Rt△ACD 的顶点C为圆心，CA为半径 它的底角度数为 ≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是 作圆弧交AB于点D,边BC的 A.40° B.70° 垂直平分线恰好过点D,交 C.30°或60 D.40°或70 BC于点E.若BD=6,AD= 7.如图8，D为△ABC内一点，CD平分 4,则△ACD的周长是 ∠ACB,BD⊥CD,延长BD交AC于点E.若∠A 解：由作图可知CA=CD.因为ED垂直平 =∠ABE,BD=1,BC=3,则AC的长为 图14 分BC,所以CD=BD=6.所以△ACD的周长 A.∠A=∠B B.∠C=∠E 为：CD+CA+AD=16. ( A.4 B. 9 C.AD BF D.AC BE 故填16. C.5 D.7 解：因为CD⊥AB,EF⊥AB,所以∠ADC ●专项练习 =∠BFE=90°.因为CD=EF,当添加AC= 17.写出下列命题的逆命题. BE时，即可根据“HL”判断R△ACD≌ (1)如果a+b>0,那么ab>0: RL△BEF. (2)三个内角度数之比为1：2：3的三角形 故选D. 为直角三角形 图8 ●专项练习 18.如图18，在△ABC中，AB,AC边的垂直 8.如图9，在△ABC中，∠A=60°，∠C= 12.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝 平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为点F 40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为 G.若△ADE的周长为8，则边BC的长度是 角的度数为 ( BC的中点，连接DE. A.100° B.120°C.135°D.140 (1)求证：△BCD为等腰三角形； 13.如图15，∠BAC=90°，AB=4,AC=4 (2)求∠EDC的度数 BD=7,CD=9,则∠DBA= ”考点4：等边三角形 例5如图10，△ABC为等 A 图18 边三角形，D为BC延长线上的 19.如图19，在△4BC 一点，作DE∥AB,交AC的延长 中，AB=AC,DE是AB的垂 图15 6 线于点E.若AB=5,DE=3,则 直平分线，交AB于点E,交 14.如图16，在△ABC中，∠C=90°，AC= AC于点D,连接BD,且BD AE的长为 () 图10 10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P,Q两 BC. A.2 B.5 C.8 D.11 点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ (1)求∠A的度数： 解：因为△ABC为等边三角形，所以AC= 上运动，问点P运动到AC上什么位置时， (2)作DF⊥BC,垂足为F,连接EF.求证： AB=5,∠A=∠B=60°.因为DE∥AB,所以 △ABC才能和△APQ全等（根据直角三角形 BD垂直平分EF. ∠D=∠B=60°，∠E=∠A=60°.所以 全等的判定方法“HL”解答)？ 考点8：角平分线 ∠DCE=180°-∠D-∠E=60°.所以∠D= 。考点6：反证法与互逆命题 例10如图20，在 ∠E=∠DCE.所以△CDE为等边三角形.所以 例7牛顿谱说过：“反证法是数学家最精 Rt△ABC中，∠C=90°，利 CE=DE=3.所以AE=AC+CE=8. 良的武器之一，”那么我们用反证法证明“若a 用尺规在BA,BC上分别截 故选C. >b>0,则a<√”，首先应该假设( 取BM=BN:分别以点M, ●专项练习 家20 A.a<6 B.a>√b N为圆心，大于号MW的长 9.如图11，△ABC是等边三角形，AB=6, BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E,使 C.a<b D.a≥6 为半径作圆弧，两弧在∠CBA内部交于点E,作 ∠DEC=30°，则BE的长为 ( 解：D. 射线BE交AC于点F.若CF=2,点H为AB上 A.7 B.8 ●专项练习 的一动点，则FH的最小值是 17 15.我们用反证法证明命题“三角形中不能 解：当FH⊥AB时，FH的值最小.由作图▣ C D.9 有两个直角”，应先假设 ) 知BF平分∠ABC.因为FC⊥CB,FH⊥AB,所 A.三角形中有一个内角是直角 以FH=CF=2,即FH的最小值为2. B.三角形中至少有两个内角是直角 故填2. C.三角形中有三个内角是直角 ●专项练习 D.三角形中不能有内角是直角 20.如图21，有三条道路围成Rt△ABC,其中 11 例8命题“等腰三角形的两底角相等”的 ∠C=90°，一个人从C处出发沿CB行走了200m 10.如图12，在等边三角形ABC中，点E在 到达D处，此时他到直线AB的距离DE也是 逆命题是 它是 AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落 200m.若∠B=20°，则∠CAD= (填“真”或“假”)命题 在BC边上的点D处，且ED⊥BC,则∠EFD的 解：有两个角相等的三角形是等腰三角形， 度数是 ) 真 A.459 B.50 ●专项练习 C.40° D.559 16.下列命题中，原命题与逆命题均为真命 图21 图22 11.如图13，点D是 题的是 21.如图22，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD △ABC边AC上的点，且点D A.若a=b,则3a=3b 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若AB=10 在线段AB的垂直平分线上， B.若ma2>na2,则m>n AC=6,BC=8,则△BDE的周长为 ∠ABC=87°，∠C=33°.求 C.全等三角形的面积相等 (本合刊专项练习答案见第15~18版) 证：△ABD是等边三角形， D.全等三角形的对应角相等 (本章复习检测卷见第7~8版)数理极 第44期1,2版参考答案 专题一 平行四边形的性质与判定 1.B;2.C;3.D; 4.3:5.(-4,3)或(4，-3). 6.(1)因为BE垂直平分AC,所以AB=CB,AE= EC.因为BF=FC,所以EF是△ABC的中位线所以EF ∥AB,即AB∥ED.又因为BE∥AD,所以四边形ABED 是平行四边形 (2)因为BE⊥AC,BE∥AD,所以∠BEC=∠AEB =∠CAD=90°，因为EF=A 2 AB =CB =FC =1, ∠ECF=60°，所以BC=2FC=2,△CFE是等边三角 形.所以AE=CE=FC=1.所以AC=2AE=2,AD=BE =√BC-CE=5.所以CD=AD+AC=万. 专题二 三角形的中位线 3.10°；42 1 1.B;2.D: 5.因为点D,E分别是AB,AC的中点，所以DE是 △4BC的中位线，EC=5.所以DE=BC=8,DE/ BC.所以∠EFC=∠FCB.因为CF是∠ACB的平分线， 所以∠ECF=∠FCB.所以∠EFC=∠ECF.所以EF= EC=5.所以DF=DE-EF=3. 专题三 多边形的内角和与外角和 1.B;2.B;3.100;4.10;5.(1)16,(2)5. 6.(1)由n边形内角和=180°(n-2)可知，多边形 内角和是180°的倍数，而2020°不是180°的倍数，故不 可能是多边形内角和. (2)因为2020°÷180°=11…40°，11+2=13， 故明明求的是十三边形的内角和. (3)由(2)计算可知余数为40°.所以多加的外角为 40°. 第44期3,4版参考答案 题号 2 3 8 10 答案 B B 二、11.1080°；12.20： 13.60°： 14.16;15.(2,2)或(-2,10). 三、16.∠DCF的度数为42°. 17.补全图形略.四边形ABCD是平行四边形.证明 如下： 因为BE是△ABC的中线，所以AE=CE.又因为BE =DE,所以四边形ABCD是平行四边形 18.延长AG,CD交于点H,图略.因为∠A=∠B= ∠C=∠CDE=∠AGF=90°，所以∠H=(4-2)× 180°-∠A-∠B-∠C=90°，∠EDH=180°-∠CDE =90°，∠FGH=180°-∠AGF=90°.所以∠F=(5- 2)×180°-∠EDH-∠E-∠FGH-∠H=130°≠ 140°.所以这个零件不合格， 四、19.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A =∠C,AB=CD,AD=BC.又因为∠ADE=∠CBF,所 以△ADE≌△CBF(ASA).所以AE=CF.所以AB-AE =CD-CF,即BE=DF 20.设这个多边形的边数是m.根据题意，得1280° -180°<(m-2)×180°<1280°解得8号 <m< 9分因为m是正整数，所以m=9.所以他重复加的那 个角的度数是：1280°-(9-2)×180°=20°. 21.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ CD,AB=CD.所以∠GAE=∠HCF.因为点G,H分别是 AB,CD的中点，所以AG=CH.在△AGE和△CHF中，因 为AG=CH,∠GAE=∠HCF,AE=CF,所以△AGE≌ △CHF(SAS).所以GE=HF,∠AEG=∠CFH.所以 180°-∠AEG=180°-∠CFH,即∠GEF=∠HFE.所以 GE∥HF.所以四边形EGFH是平行四边形， (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB= OD 因为BD=14,所以0B=0D=7.因为E,G分别 是A0,AB的中点，所以EG= 30B 参考答案 五、22.(1)因为∠A=150°，∠D=80°，所以∠ABC +∠BCD=(4-2)×180°-∠A-∠D=130°.因为CE 平分∠BCD,BF平分∠ABG,所以∠BCE=2∠BCD, LABF=7∠ABG=2(180°-∠ABC)=90° 5LABC.所以LE+LF=360°-LBCE-∠CBF 360°-∠BCE-(∠ABC+∠ABF)=360° LBCD （LABc+90°-7∠ABC) 270°-(LABC ∠BCD)=205 (2)2(∠E+∠F)=∠A+∠D+180°. 23.(1)因为AD⊥CM,BE⊥CM,所以AD∥BE, ∠ADM=∠BEM=90°.因为点M是AB的中点，所以AM =BM.在△ADM和△BEM中，因为∠ADM=∠BEM, ∠AMD=∠BME,AM=BM,所以△ADM ≌ △BEM(AAS).所以AD=BE.所以四边形ADBE是平行 四边形 (2)延长DO交BE于点F,图略.因为AD⊥CM,BE ⊥CM.所以AD∥BE,∠BEM=90°.所以∠DAO= ∠FBO,∠ODE+∠OFE=∠DE0+∠FE0=90°.因为 点O在DE的垂直平分线上，所以DO=EO.所以∠ODE =∠DEO.所以∠OFE=∠FEO.所以FO=EO.所以 D0=FO.在△ADO和△BFO中，因为∠DAO=∠FBO, ∠AOD =∠BOF,DO =FO,所以△ADO兰 △BFO(AAS).所以AO=BO. 复习专号参考答案 《三角形的证明及其应用》专项练习 1.A;2.80°：3.A;4.112.5:5.1440°： 6.D:7.C. 8.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 ∠DBC=分∠ABC=40°=∠C所以DB=DC,所以 △BCD为等腰三角形， (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=180° -∠DBC-∠C=1O0°.因为DB=DC,E为BC的中点， 所以∠EDC= ∠BDC=50°. 2 9.D:10.A 11.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形 12.C;13.45°. 14.由题意，得∠C=∠QAP=90° ①当点P运动到AC的中点时，4P=号AC=5cm, 2 所以AP=BC.在Rt△ABC和Rt△QPA中，因为AB QP,BC=PA,所以Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). ②当点P运动到与点C重合时，AP=AC=10cm.在 Rt△ABC和Rt△PQA中，因为AB=PQ,AC=PA,所以 Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 综上所述，当点P运动到AC的中点处或当点P运动 到与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等. 15.B;16.A. 17.(1)如果ab>0,那么a+b>0. (2)如果一个三角形为直角三角形，那么该三角形 三个内角度数之比为1：2：3. 18.8. 19.（1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD= BD.所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD= 2∠A.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为AB =AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+ ∠ABC+∠C=5∠A=180°，所以∠A=36°. (2)由(1)得，∠A=36°，所以∠ABD=36°，∠ABC =72°.所以∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平 分∠ABC.因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF, ∠DEB=∠DFB=90°.在Rt△BDE和Rt△BDF中，因为 BD=BD,DE=DF,所以Rt△BDE≌Rt△BDF(HL).所 以BE=BF.所以BD垂直平分EF 20.35°：21.12. 15 《三角形的证明及其应用》复习检测卷 题号 8 10 答案 B B 二、11.HL;12.12;13.60°；14.108°；15.8. 三、16.设这个多边形的边数是n. 根据题意，得(n-2)×180°=3×360°-180°. 解得n=7. 答：这个多边形的边数是7 17.因为BD是△ABC的高，所以∠ADB=90°.因为 ∠ABD=12°，所以∠A=90°-∠ABD=78°.因为AB= AC,所以∠ABC=∠C= ×(180°-∠A)=51.所 1 以∠DBC=∠ABC-∠ABD=39° 18.（1)图略. (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 ∠EAB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B=70°. 四、19.(1)因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.在 Rt△ADE和Rt△ABC中，因为AD=AB,AE=AC,所以 Rt△ADE≌Rt△ABC(HL).所以DE=BC. (2)连接AF,图略.因为BF=2,CF=1,所以BC= BF+CF=3.所以DE=BC=3.在Rt△AEF和Rt△ACF 中，因为AF=AF,AE=AC,所以Rt△AEF≌ Rt△ACF(HL).所以EF=CF=I.所以DF=DE+EF =4. 20.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC= 60°，AB=AC.因为线段AB与线段AD关于直线AP对称， 所以AB=AD,∠BAE=∠EAD.所以AC=AD,∠CAD= ∠BAD-∠BAC=2∠BAE-60°.所以∠ACD=∠D= 2(180°-∠CMD)=120°-LBAE.所以∠E=∠ACD -∠EAC=120°-∠BAE-(60°-∠BAE)=60°. (2)过点A作AT1DE于点T,图略.所以∠ATE= 90.所以∠EA7=90°-∠E=30°所以E7=24E= 4.因为AC=AD,所以CT=Dr=2CD=子所以CE ET-CT=5 21.(1)过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F, 图略.因为CE⊥AD,所以∠DEC=∠CFB=90°.因为 ∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，所以∠D =∠CBF.在△CDE和△CBF中，因为∠DEC=∠BFC ∠D=∠CBF,CD=CB,所I以△CDE≌△CBF(AAS). 所以CE=CF.所以AC平分∠DAB. (2)由(1)，得BF=DE=4.在Rt△ACE和Rt△ACF 中，因为AC=AC,CE=CF,所以Rt△ACE≌ Rt△ACF(HL).所以AE=AF=10.所以AB=AF-BF=6. 五、22.(1)因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC =90°，所以AB=AC.因为△ABD是等边三角形，所以 AD=AB,∠BAD=60°.所以∠CAD=∠BAD+∠BAC =150°，AD=AC.所以∠ACD=∠ADC=2(180°- ∠CAD)=15. (2)过点E作EG⊥BM于点G,EH⊥CM交MC的 延长线于点H,连接BE,图略.因为AE平分∠BAC,所以 ∠BHE=∠CAE=7∠BAC=45所以∠AEC=180 -∠CAE-∠ACE=120°.又因为AB=AC,AE=AE,所 以△AEB≌△AEC(SAS).所以∠AEB=∠AEC=120°， BE=CE.所以∠BEC=360°-∠AEC-∠AEB=120°. 因为EG⊥MG,EH⊥MH,∠GMH=60°，所以∠GEH= 360°-∠EGM-∠EHM-∠GMH=120°.所以∠BEG= ∠CEH.又因为∠BGE=∠CHE=90°，BE=CE,所以 △BGE兰△CHE(AAS).所以EG=EH.所以EM平分 ∠BMC. 23.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC= ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC (1)因为BD=CE,所以AC-CE=BC-BD,即AE = CD.在△ABE和△CAD中，因为AB=CA,∠BAE= ∠ACD,AE=CD,所以△ABE≌△CAD(SAS). (2)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为EF∥BC,所以∠CEF=∠ACB