第1-3章复习专题（三大部分二十六类题型）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

第1-3章复习专题（三大部分二十六类题型） 【新教材北师大八下】 【复习范围】第1章 三角形的证明及其应用， 第2章 不等式与不等式组， 第3章 图形的平移与旋转. 目录 第一部分、基础篇（基本运算与简单推理） 1 【题型1】轴对称与中心对称图形定义识别 2 【题型2】利用平移性质求值（角度、线段长、面积） 3 【题型3】利用平移规律求点的坐标 5 【题型4】利用旋转性质求线段长与角度 7 【题型5】利用线段垂直平分线与角平分线性质求值 9 【题型6】利用直角三角形性质求线段长或角度 12 【题型7】利用不等式基本性质进行判断 15 【题型8】数轴上表示一元一次不等式（组）解集 16 【题型9】求一元一次不等式（组）整数解 19 【题型10】平面直角坐标系中列不等式（组）求参数 21 【题型11】利用等腰（边）三角形性质进行角度运算 22 【题型12】尺规基本作图与简单推理对应题型 25 【题型13】全等三角形的基础证明对应题型 29 第二部分、综合篇（综合运算与推理） 32 【题型14】解一元一次不等式（组） 32 【题型15】解一元一次不等式与方程综合 34 【题型16】勾股定理与等腰三角形性质综合 38 【题型17】勾股定理与角平分线、线段垂直平分线性质综合 42 【题型18】一元一次不等式（组）的实际应用 47 【题型19】一次函数与一元一次不等式的应用 51 【题型20】图形变换的综合性质（平移与旋转求面积） 53 【题型21】已知不等式（组）解集（有解、无解、整数解）求参数 59 【题型22】一次函数的图象与性质综合与一元一次不等式（组）综合 61 【题型23】等腰三角形与直角三角形的综合推理 67 第三部分、压轴篇（运算与推理探究） 72 【考点24】一次函数与特殊三角形的综合性质 72 【考点25】一元一次不等式（组）与方案问题实际应用 80 【考点26】图形变换探究性问题 85 第一部分、基础篇（基本运算与简单推理） 【题型1】轴对称与中心对称图形定义识别 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2026九年级·辽宁·专题练习）关于如图所示的图案，下列说法正确的是（   ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握图形的特点是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的特点判断即可． 解：由题意可得：本图为轴对称图形，不是中心对称图形， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）（新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（    ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 【题型2】利用平移性质求值（角度、线段长、面积） 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，掌握平移不改变角的大小是解题的关键． 直接利用平移的性质求解即可． 解：∵平移后得到，， ∴． 故选C． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，根据平移的性质，得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 解：∵将沿方向平移到， ∴， ∴， 故选B． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解． 解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 【答案】13 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是进行面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 解：四边形沿方向平移得到四边形，， ∴，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3】利用平移规律求点的坐标 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征． 先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可． 解：∵点向右平移3个单位长度， ∴平移后点的坐标为， ∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征，先根据平移规律得到的坐标，再利用y轴上点横坐标为0的性质列方程求出，进而得到点的坐标． 解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的性质，解题的关键是通过已知对应点（B与D）确定平移向量，再利用平移向量计算未知对应点（C）的坐标． 计算B到D的横、纵坐标变化量（平移向量）；用相同的变化量计算A平移后对应点C的坐标． 解：，点B的对应点为点， 变化规律是横坐标减2，纵坐标减1， ， 平移后点A的对应点C的坐标为 故答案为： 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 __． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 【题型4】利用旋转性质求线段长与角度 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质得，，则利用等腰三角形的性质得到，然后根据三角形内角和计算的度数． 解：∵绕点A按逆时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握旋转的性质，得到为等腰三角形是解决问题的关键． 2．（21-22九年级下·海南海口·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理解得AC的长，再关键旋转的性质得到，，在中，再利用勾股定理解得的长即可． 解： ，，， 在中， ， 由旋转的性质得，， 在中， ， 故选：D. 【点拨】本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键. 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 【答案】/62度 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 根据旋转的性质知，，然后利用三角形内角和定理进行求解． 解：∵绕点按逆时针方向旋转后与重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长． 解：由旋转性质可知，，， 则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上性质是解题关键． 【题型5】利用线段垂直平分线与角平分线性质求值 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和中点的定义，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．先求出点到的距离，再利用该性质得到点到直线的距离． 解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∵是的平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴点到直线的距离为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，根据三角形周长的定义和线段的和差得到，即可求出的长度． 解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 【题型6】利用直角三角形性质求线段长或角度 1．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知在中，，，是边上的高，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，先根据直角三角形的两个锐角互余及余角性质求得，再根据直角三角形中， 30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故选：A． 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查轴对称性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 先根据轴对称性质求得，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而可求解． 解：由轴对称性质得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 解：（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 解：（1）证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【题型7】利用不等式基本性质进行判断 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，依据不等式的基本性质逐一分析选项即可，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 解：、∵， ∴当时，；当时，，故该选项不一定成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同乘，不等号方向改变，则，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴根据不等式两边同时加，不等号方向不变， ∴，故该选项不成立，不符合题意； 、∵， ∴根据不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故该选项成立，符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质变换是解题的关键． 根据不等式的基本性质，结合已知条件逐一分析选项，判断正误即可． 解：∵，， ∴根据不等式性质1，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变， 可得，，故A、B选项错误； ∵， ∴（负数的平方是正数）， 又∵， ∴根据不等式性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，故C选项正确； ∵，， ∴根据不等式性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，故D选项错误； 故选C． 【题型8】数轴上表示一元一次不等式（组）解集 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握第二象限点的符号特点是解题的关键． 根据点在第二象限，列出不等式组，求解即可． 解：点在第二象限， ，解得， 在数轴上表示为，． 故选：B． 2．（24-25九年级下·浙江·月考）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．根据不等式的解法，先分别求解两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定方法求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． 解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 故此不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．移项合并同类项，再把系数化为1，即可求解． 解：， ， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 故选：D 4．（24-25九年级下·广东深圳·月考）若点在第二象限，则在第 _____象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，不等式的性质，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 先根据点在第二象限得到，再由不等式的性质得到，即可判断点所在象限． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴在第三象限， 故答案为：三． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知，则______．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 解：∵，且， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）若关于的一元一次不等式的解集在数轴上如图所示，则常数的值是__________． 【答案】0 【分析】本题考查了求不等式的解集，根据数轴求解集． 先求出不等式的解集，再根据数轴列式计算即可． 解：解得， 由数轴可知， ∴， 解得， 故答案为：0． 【题型9】求一元一次不等式（组）整数解 1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 解：解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）写出不等式的一个负整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次不等式及求整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．先求解不等式，再找出负整数解即可． 解：， ， ， 解得， ∴ 不等式的负整数解为、、， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解． 【答案】1，2，3，4，5 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正整数解有1，2，3，4，5． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 【答案】，数轴见分析，非负整数解为0，1． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，求不等式的整数解等知识．根据去分母、去括号，移项合并，最后系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示解集，最后求非负整数解即可， 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ， ∴该不等式的非负整数解为0，1． 【题型10】平面直角坐标系中列不等式（组）求参数 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解． 解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 则m的值可能为． 故选：A． 2．（2024·湖南益阳·三模）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及一元一次不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 解：由点在平面直角坐标系的第四象限内，可知：， 解得：； 则x的取值范围在数轴上的表示为    故选：C． 3．（24-25九年级下·河北承德·月考）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．也考查了直角坐标系各个象限坐标特点． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系内，点在第四象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据第四象限点的特点为（正，负），再用P点坐标得到不等式组计算即可． 解：∵点在第四象限， ∴，解得； ∴． m的取值范围是． 【点拨】本题考查直角坐标系基本性质，不等式组的解法，熟练分辨每个象限的正负并准确计算是解题的关键． 【题型11】利用等腰（边）三角形性质进行角度运算 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到即可求出答案． 解：∵在等腰三角形中，是中线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 解：（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质． （1）由得到，证明，即可得解； （2）利用全等三角形的性质，得到，利用等边对等角，求出，再利用三角形外角的性质即可得解． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． ∴； （2）解：由（1）知，，则． ∵， ∴． ∴ ∴． 【题型12】尺规基本作图与简单推理对应题型 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，连接，以点为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段，于点，点，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧交线段于点，以点为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点为圆心，线段长为半径所画弧于点，点位于上方，作射线交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用三边相等作全等三角形，平行线的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作图． 根据尺规作图操作得到和，判定出，最后利用平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：通过尺规作图的操作可得， ∴， ∴， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到． 由作图可知：，由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出． 解：由作图知：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 【答案】（1）相等，理由见分析；（2） 【分析】（1）利用即可； （2）先根据等边对等角求得，再结合（1）求得． 解：（1）解：相等， 理由：连结，， ∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E， ∴， ∵大于的长为半径画弧，两弧交于点F， ∴， 又， ， ， 即以上作图得到的和数量上有相等关系； （2）， ， ． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等的性质和综合（），等边对等角，作角平分线（尺规作图），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）9cm 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可； （2）根据线段的和差关系分别用表示出，再利用勾股定理建立方程求解即可． 解：（1）解：， ． ， ． ； （2）解：， ， ， 由勾股定理得：，即， 解得：cm． 【点拨】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握勾股定理是解题的关键． 【题型13】全等三角形的基础证明对应题型 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，则． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 【答案】67 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形两锐角互余．根据题意得出，，进而利用定理得出，进而得出答案． 解：∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：67． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用直角三角形全等的判定（HL）证明三角形全等，结合角度关系推导所求角． （1）通过证明，利用全等三角形的对应边相等得到； （2）结合等腰直角三角形的角度特征，再证明，通过等腰三角形的性质得到最后通过全等三角形的性质得到的度数． 解：（1）证明：∵， ， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， （1）求证：． （2）若，，求． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 第二部分、综合篇（综合运算与推理） 【题型14】解一元一次不等式（组） 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解下列一元一次不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质解不等式即可； （2）根据不等式的性质分别解不等式，然后取公共部分，写出解集即可． 解：（1）解： ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式及不等式组的步骤． （1）按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得． 故不等式组的解集为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 解：（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 4．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）解下列不等式或不等式组： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求不等式的解集，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 解：（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2） 解：解不等式①，得 解不等式②，得 所以该不等式组的解集是． 【题型15】解一元一次不等式与方程综合 1．（24-25七年级下·四川内江·期末）已知关于、的方程组的解为非负数， （1）用含的代数式表示方程组的解； （2）求的取值范围，并化简式子． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的消元解法、一元一次不等式组的求解步骤和绝对值的性质是解题的关键． （1）对于用含的代数式表示方程组的解，思路是通过解二元一次方程组的常规方法，比如加减消元法，消去其中一个未知数，求出另一个未知数用表示的式子，再代入求出另一个未知数． （2）先根据方程组的解为非负数，得到关于的不等式组，解出的取值范围，再根据的范围化简绝对值式子，依据是绝对值的性质：当时，；当时， ． 解：（1）解： 得： 把代入得： ∴方程组的解为 （2）解：∵方程组的解为非负数， ∴，即 解得： 解得： ∴的取值范围是． 当时， ， ∴ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 （1）若方程组的解是正数，求m的取值范围； （2）若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 解：（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 3．（22-23七年级下·广东广州·月考）已知关于的方程组． （1）求方程组的解（用含的式子表示）； （2）若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）由题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而根据是整数可得的值； 本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的整数解，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 解：（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 由①得，， 由②得，， ∴， ∵是整数， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 【题型16】勾股定理与等腰三角形性质综合 1．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据网格结构利用勾股定理分别求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理判断的形状，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 解：由勾股定理得：，，， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． 3．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ________________ ． 【答案】 【分析】以为边向下作等腰直角三角形，由直线解析式易求得点、的坐标，得到，进而证明，然后在中，利用勾股定理得出结论． 解：如图，以为边向下作等腰直角三角形， 则，，， ， 直线与轴、轴分别交于点、， 令，则， 令，则， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 在中，， ，即， （负值已舍去）． 4．（2026·福建·一模）如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积． （1）直接写出的取值范围； （2）求关于的函数表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过作于，由等边三角形的性质推出，即可得到； （2）过作于，由等边三角形的性质得到，，由含度角的直角三角形的性质得到，求出，由勾股定理求出，由三角形的面积公式即可得到关于的函数关系式． 解：（1）解：过作于， 是边长为的等边三角形， ， 不与、重合， ， ； （2）解：过作于， 是边长为的等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即．如图，在等腰三角形中，，点的坐标为，． （1）点的坐标为_____________； （2）求直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由中点坐标公式，即可求解； （2）设交轴于，轴于，连接，根据垂直平分线的性质得出，利用勾股定理求出，可得点坐标，利用待定系数法求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴，即点为中点， ∵，， ∴，即． （2）解：设交轴于，轴于，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【题型17】勾股定理与角平分线、线段垂直平分线性质综合 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等知识，由题意可得平分，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求出度数；过作，交延长线于点，设点到三边的距离为，则，通过等角对等边，勾股定理求得，，然后通过等面积法即可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵与的角平分线交于点， ∴点到三边的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作，交延长线于点，则， 设点到三边的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）图见分析；（2） 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点； （2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可． 解：（1）解：如图所示，点即为所求： （2）解：连接， 依题得， 中，，，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为H，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型18】一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． （1）杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ （2）该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】（1）杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元；（2）共有种进货方案． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 解：（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 4．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． （1）乙队单独完成这项工程需要几个月？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】（1）乙队需要16个月完成；（2）方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 解：（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 5．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元；（2）购进甲型号90套，乙型号30套时花费最少 【分析】（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，根据每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号 “文房四宝”共用1100元，得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元，根据题意得到w表达式和不等式，解不等式，根据w随m的增大而减小，即可得到结论． 解：（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元， 则， 解得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元． 则， ， 解得， 又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套， ∴且为整数． ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴当时，w最小， 此时， 故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少． 【题型19】一次函数与一元一次不等式的应用 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图①所示，在两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论： ①的值为120； ②的值1.3； ③小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：； ④乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象得到信息，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键． 先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离；利用待定系数法可求解析式；分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 解：甲的速度， 的距离，故①正确； ， 乙车速度， ，故②错误； 设1.5小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式， 把和代入可得， 解得， 函数关系式为，故③正确； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ， 综上所述，，故④错误； 其中正确的有①③两个， 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两家商店销售同一种产品，每件产品的售价（单位：元）与数量（单位：件）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．买2件时，甲、乙两家售价一样 B．买1件时，买乙家的合算 C．买3件时，买甲家的合算 D．买1件时，乙商店的售价约为3元 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图像判断实际问题中的数量关系，掌握从图像中获取信息并进行比较分析是解题的关键． 根据图像，甲商店的售价与数量的关系为一次函数，乙商店的售价与数量的关系为正比例函数． 解：A、买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元。所以该说法正确，不符合题意； B、买1件时，买乙家的合算，当时，从图像上可以看出，乙商店的图像在甲商店图像的下方，表示乙的售价低于甲的售价，具体计算：甲的售价为元，乙的售价为，因为 ，所以买乙家的合算，该说法正确，不符合题意； C、买3件时，买甲家的合算，当时，从图像上可以看出，甲商店的图像在乙商店图像的下方，表示甲的售价低于乙的售价，具体计算：甲的售价为元，乙的售价为，因为，所以买甲家的合算，该说法正确，不符合题意； D、买1件时，乙商店的售价约为3元，当时，乙商店的售价为元，选项中说售价约为3元，与实际值2元不符，所以该说法错误，符合题意； 故选：D． 【题型20】图形变换的综合性质（平移与旋转求面积） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的综合应用，平移的性质，用待定系数法求一次函数，勾股定理，正确掌握用待定系数法求一次函数是解题的关键． 先根据勾股定理，得，从而，再根据待定系数法求出直线的解析式，把代入求得，进而求出平移的距离，计算即可求出面积． 解：、， ， 在中，， 则， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， ， 如图，当向右平移，当点B落在直线上时， 即当时，，解得， 向右移动的距离为， 则线段扫过的面积是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 解：如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． （1）①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． （2）将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 【答案】（1）①，；②3；（2） 【分析】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移规则，割补法求图形面积，掌握平面直角坐标系内图形的平移规则是解题的关键． （1）①根据非负数的性质得到a、b的值即可得到A、B的坐标； ②利用平移规则得到C、D的坐标即可求解； （2）根据E向下移动1个单位长度得到点F的坐标，求出三角形和三角形的面积，最后根据三角形的面积不小于三角形的面积即可解答． 解：（1）解：①∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； ②∵平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上，且，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵将点E向下移动1个单位长度得到点F， ∴， ∴三角形的面积， 三角形的面积， ∵三角形的面积不小于三角形的面积， ∴， ∵是x轴负半轴上一点， ∴， ∴， ∴m的取值范围为． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 解：（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【题型21】已知不等式（组）解集（有解、无解、整数解）求参数 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 解：解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【答案】 【分析】该题考查了不等式组的解集，由已知不等式组的解集为，可确定参数，再代入第二个不等式组求解解集． 解：∵不等式组，解集为． ∴，且（即）， 设不等式①的解为，不等式②的解为， 解集为， 因此，解得． 将代入第二个不等式组， 得， 解得：． 故答案为：． 【题型22】一次函数的图象与性质综合与一元一次不等式（组）综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． （1）求点P的坐标及的面积； （2）利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象与性质以及一次函数和一元一次不等式和二元一次方程组的关系，准确求出各点坐标是解题关键． （1）先分别求出点坐标，即可求解，然后联立两直线的表达式求出点，再由三角形面积公式求解的面积； （2）时，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的取值范围． 解：（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）当时，；（3）点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标． （1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可； （2）观察图象直接判断即可； （3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可． 解：（1）解：由题意，过点， ， 解得, ， 又过， ， 解得， ， 联立方程组得，， ， ； （2）由图象可得：当时，； （3）由（1）知，，， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 当时，， ， 点坐标为； 当时，， ， 点坐标为； 综上，点坐标为或． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围； （3）已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由求出，把代入即可得b的值； （2）由数形结合思想直接可得，当时，x的取值范围是； （3）设点D的坐标为，根据，，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 解：（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 即b的值是； （2）解：由图像可得：当时，就是在图象下方，且两个图象都在x轴的下方，x的取值范围，即； （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴点不可能为直角顶点； 当时，， ∴， 解得：， 此时点D的坐标为； 当时，， ∴， 整理得：， 即， ， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 【点拨】本题考查两条直线相交的问题，两点间距离公式，勾股定理，利用平方根解方程，理解数形结合是解题的关键． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． （1）求直线的函数解析式． （2）直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关内容是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）用m表示出点E、F的坐标，然后分别代入对应的解析式中，根据两点位置关系列出不等式即可求解． 解：（1）解：由题意，得 解得 直线的函数解析式为． （2）解：由题意可知，点，的纵坐标均为． 设，． 将点代入， 得， 解得． 将点代入， 得． ∵点在点的右边， ， ， 解得， 即的取值范围为． 【题型23】等腰三角形与直角三角形的综合推理 1．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可． 解：如图，作，垂足为E，连接， ∵是等边三角形， 又∵点D为边中点， ∴，， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，取到最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形外角的性质．分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，即可求解． 解：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图，在钝角中，交的延长线于点D，则， ∵， ∴； 当等腰三角形的顶角是锐角时，如图，在锐角中，于点D，则， ∵， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数是或． 故答案为：或 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理． （1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明； （2）利用勾股定理在中求解，先求出的长度，再计算． 解：（1）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在中，； 在中，． ∵ ， ∴ ． 又∵ （对顶角相等）， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形． （2）解：∵ ，为中点， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： ． 答：的长为． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）的面积为；（3）在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，可得，由折叠的性质可得，即可得点的坐标； （2）由折叠的性质，可得，根据勾股定理，可得，代入三角形的面积公式，即可得的面积； （3）假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则，根据勾股定理可得，即可得点的坐标． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，可得， ∵点在轴上， ∴，， ∴点的坐标为． （2）解：由折叠的性质，可得， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为． （3）解：假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则， ∴， 解得，或， ∴在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【点拨】本题考查绝对值和平方的非负性，折叠的性质，勾股定理，与三角形的高相关的计算，等腰三角形． 第三部分、压轴篇（运算与推理探究） 【考点24】一次函数与特殊三角形的综合性质 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】C 【分析】由函数图象可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断A；由函数图象可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断B；由，可得直线的解析式为，可判断C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断D． 解：A、令直线， 解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图象可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ 点A的坐标为， ∴A错误； B、由函数图象可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：， ∴B不正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴D不正确； 故选：C. 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以点A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O重合）．在中，如果和之间为2倍关系，则的度数是_____________． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理．根据已知条件可得到的度数，由和之间为2倍关系可知，需进行分类讨论，利用三角形内角和定理，根据不同的情况得到不同的的度数． 解：∵，， ∴， 又∵和之间为2倍关系， ∴当时，，则， 当时，，则 ， ∴的度数为或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点． （1）直接写出的形状； （2）若点的坐标为，求点的坐标； （3）①求证：； ②的面积_____．（用含的代数式表示．） 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）①证明见分析；② 【分析】（1）由绝对值及完全平方的非负性可得，进而判断的形状即可； （2）将关于对称得到，过分别作轴、轴，先证，得到点，再根据中点坐标公式求点即可； （3）①过作，交延长线于点，先证，再证即可求解； ②设，则，利用中点公式列出方程组，得到，，再利用待定系数法得到直线的解析式，进而得到，得点的横坐标为，最后根据即可求解． 解：（1）解：， ，解得， ，即， 为等腰直角三角形； （2）解：将关于对称得到，过分别作轴、轴， ， ，，即， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，即， 由对称可知为中点，则， 即； （3）①证明：过作，交延长线于点， 则， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， ； ②解：由（2）知，设，则，又， ，解得，即，， 设直线的解析式为， ，解得， 即， 令，解得， 故，则， 又，且由①知为中点， 点的横坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点，直线与x轴交于点C． （1）在直线上是否存在点E，使，若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）若点H为线段上的一个动点，一动点P从C出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到H点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点D后停止．当点P在整个运动过程中所用时间最少时，试求出点H的坐标． 【答案】（1）存在，点E的坐标为；（2） 【分析】（1）过点O作交于点E，求出直线的解析式为，当时，点E到的距离与O到的距离相等，即，联立组成方程组求出交点即可； （2）过点C作x轴的垂线交于点H，过点D作轴，过点H作于Q，证明都是等腰直角三角形，得出，当C、H、Q三点共线时，P在整个运动过程中所用时间最少，进而求出结论即可． 解：（1）解：在直线上存在点E，使；理由如下： 过点O作交于点E，如图1， 将代入直线：得： ， ∴， 将点D的坐标代入直线：得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，点E到的距离与O到的距离相等， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点E的坐标为； （2）解：过点C作x轴的垂线交于点H，过点D作轴，过点H作于Q，如图2， ∵直线与x轴交于点C， ∴， 解得：， ∴， ∵直线： 与x轴、y轴交于A、B两点， ∴时，， 当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当C、H、Q三点共线时，P在整个运动过程中所用时间最少， ∴H的横坐标为时，， ∴． 【考点25】一元一次不等式（组）与方案问题实际应用 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 【答案】2026 【分析】本题考查“逐步确定”策略，根据题意，先确定之间，满足除以8余2的数，再在这些数中确定除以7余3的数，再确定除以5余1的数即可． 解：设八八数之剩二的数为， 由题意，， ∴，即， ∴满足题意的整数为共13个数， ∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数， 这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数， 2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026； 故共有兵2026人； 故答案为：2026. 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】（1）；（2）；（3）7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 解：（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 （1）设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ （3）若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【答案】（1），自变量的取值范围是；（2）当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元；（3） 【分析】本题主要考查了列一次函数，一元一次不等式组的应用，一次函数图象的性质， 对于（1），先分别表示出甲，乙仓库运往A，B两地物资的吨数，再分别根据运费的单价得出总费用的关系式，列不等式组得出自变量取值范围； 对于（2），根据一次函数图象的性质，并结合自变量取值范围，当时，的值最小，进而求出最小值即可； 对于（3），先根据题意得出含有a的一次函数关系式，再分三种情况根据总费用最低等于23100得出方程，并求出符合题意的答案． 解：（1）解：由题意，得甲仓库运往地吨物资， ∴乙仓库运往地吨物资，甲仓库运往地吨物资，乙仓库运往地吨物资． ． 由题意，得 解得． ∴自变量的取值范围是； （2）解：对于， ， 随的减小而减小． ∴当时，的值最小，． ∴当甲仓库运往地100吨物资时，总运费最低，最低为23700元； （3）解：甲仓库运往地的运费下降了元/吨后，总运费． ①当时，， 随的减小而减小． ∴当时，最小，即， 解得（舍去）； ②当时，（舍去）； ③当时，随的增大而减小． ∴当时，最小，即， 解得． 综上，． 【考点26】图形变换探究性问题 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点拨】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    【答案】 【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解． 解：如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应            ∵，，， ∴旋转后与重合，与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴点，，三点共线，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 在，由勾股定理得：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． （1）求的度数； （2）如图2，点E在内部，满足，求证：； （3）在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）9 【分析】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； （3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 解：（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∴． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，点在线段上，且，求的度数； （2）如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①，，理由见分析；② 【分析】（1）由题目条件和旋转特点得和是等边三角形，由计算，进而计算度数，由三角形外角性质计算，最后通过计算即可； （2）①结合题目条件判断是等腰直角三角形，得，由题目条件和旋转的性质通过证明，得，，从而判断，结合点与点关于直线的对称，得于点C，得，进而通过证明，则线段和的数量关系得证，借助全等得到的角度关系稍加计算，线段和的位置关系得证； ②设，则由得，在中，由勾股定理得，通过①中得到的全等关系计算，进而将转化成，计算即可得答案． 解：（1）解：，， 是等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，， 理由：，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 点与点关于直线的对称， 于点C， 如图所示，连接，延长交于点， 点与点关于直线的对称， ，，， ， 在和中， ， ， ，， , ， ， ； ②如图所示， 设， 由①得，， 在中， ，， 由勾股定理得，， 由①得，是等腰直角三角形，， ，， ， ． 【点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形性质，三角形的外角性质，对称点的特性，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握并综合应用这些性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1-3章复习专题（三大部分二十六类题型） 【新教材北师大八下】 【复习范围】第1章 三角形的证明及其应用， 第2章 不等式与不等式组， 第3章 图形的平移与旋转. 目录 第一部分、基础篇（基本运算与简单推理） 2 【题型1】轴对称与中心对称图形定义识别 2 【题型2】利用平移性质求值（角度、线段长、面积） 2 【题型3】利用平移规律求点的坐标 3 【题型4】利用旋转性质求线段长与角度 4 【题型5】利用线段垂直平分线与角平分线性质求值 5 【题型6】利用直角三角形性质求线段长或角度 6 【题型7】利用不等式基本性质进行判断 7 【题型8】数轴上表示一元一次不等式（组）解集 7 【题型9】求一元一次不等式（组）整数解 8 【题型10】平面直角坐标系中列不等式（组）求参数 8 【题型11】利用等腰（边）三角形性质进行角度运算 9 【题型12】尺规基本作图与简单推理对应题型 10 【题型13】全等三角形的基础证明对应题型 11 第二部分、综合篇（综合运算与推理） 12 【题型14】解一元一次不等式（组） 12 【题型15】解一元一次不等式与方程综合 12 【题型16】勾股定理与等腰三角形性质综合 13 【题型17】勾股定理与角平分线、线段垂直平分线性质综合 14 【题型18】一元一次不等式（组）的实际应用 15 【题型19】一次函数与一元一次不等式的应用 16 【题型20】图形变换的综合性质（平移与旋转求面积） 17 【题型21】已知不等式（组）解集（有解、无解、整数解）求参数 18 【题型22】一次函数的图象与性质综合与一元一次不等式（组）综合 19 【题型23】等腰三角形与直角三角形的综合推理 20 第三部分、压轴篇（运算与推理探究） 22 【考点24】一次函数与特殊三角形的综合性质 22 【考点25】一元一次不等式（组）与方案问题实际应用 23 【考点26】图形变换探究性问题 25 第一部分、基础篇（基本运算与简单推理） 【题型1】轴对称与中心对称图形定义识别 1．（24-25九年级上·湖北孝感·期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级·辽宁·专题练习）关于如图所示的图案，下列说法正确的是（   ） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）（新情境）神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（    ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【题型2】利用平移性质求值（角度、线段长、面积） 1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，平移后得到，已知，则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，将沿方向平移到的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为________． 【题型3】利用平移规律求点的坐标 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为______． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 __． 【题型4】利用旋转性质求线段长与角度 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·海南海口·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点A按逆时针方向旋转后与重合，则______． 4．（22-23八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转，得到，则线段的长为______． 【题型5】利用线段垂直平分线与角平分线性质求值 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，，，的周长为16，则的长度为_____． 4．（25-26八年级上·上海·期末）如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 【题型6】利用直角三角形性质求线段长或角度 1．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知在中，，，是边上的高，若，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·月考）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【题型7】利用不等式基本性质进行判断 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8】数轴上表示一元一次不等式（组）解集 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江·月考）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·广东深圳·月考）若点在第二象限，则在第 _____象限． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）已知，则______．（填“”、“”或“”号） 6．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）若关于的一元一次不等式的解集在数轴上如图所示，则常数的值是__________． 【题型9】求一元一次不等式（组）整数解 1．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）写出不等式的一个负整数解________． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）解不等式：，将解集在数轴上表示出来，并写出符合解集条件的非负整数解． 【题型10】平面直角坐标系中列不等式（组）求参数 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 2．（2024·湖南益阳·三模）若点在平面直角坐标系的第四象限内，则x 的取值范围在数轴上可表示为（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25九年级下·河北承德·月考）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系内，点在第四象限，则m的取值范围是_________． 【题型11】利用等腰（边）三角形性质进行角度运算 1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在等腰三角形中，是中线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【题型12】尺规基本作图与简单推理对应题型 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，连接，以点为圆心，小于线段长为半径画弧分别交线段，于点，点，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧交线段于点，以点为圆心，线段长为半径画弧，该弧交以点为圆心，线段长为半径所画弧于点，点位于上方，作射线交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则_______． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接BF并延长交于点P． （1）以上作图得到的和数量上有什么关系？请进行证明； （2）若，求的度数． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【题型13】全等三角形的基础证明对应题型 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 3．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点， （1）求证：． （2）若，，求． 第二部分、综合篇（综合运算与推理） 【题型14】解一元一次不等式（组） 1．（25-26七年级下·重庆·开学考试）解下列一元一次不等式（组）： （1） （2） 2．（24-25七年级下·全国·单元测试） （1）解不等式：； （2）解不等式组： 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） （1）； （2）． 4．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）解下列不等式或不等式组： （1）； （2） 【题型15】解一元一次不等式与方程综合 1．（24-25七年级下·四川内江·期末）已知关于、的方程组的解为非负数， （1）用含的代数式表示方程组的解； （2）求的取值范围，并化简式子． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 （1）若方程组的解是正数，求m的取值范围； （2）若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 3．（22-23七年级下·广东广州·月考）已知关于的方程组． （1）求方程组的解（用含的式子表示）； （2）若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【题型16】勾股定理与等腰三角形性质综合 1．（24-25八年级下·天津·月考）如图，每个小正方形的边长为1，若、、是小正方形的顶点，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在第一象限内且，，，则线段长度为 ________________ ． 4．（2026·福建·一模）如图，正三角形的边长为，是边上不与点，重合的动点，过点作边的垂线，交于，用表示线段的长度，用表示的面积． （1）直接写出的取值范围； （2）求关于的函数表达式． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）材料：点，的中点坐标为．例如，点，的中点坐标为，即．如图，在等腰三角形中，，点的坐标为，． （1）点的坐标为_____________； （2）求直线的表达式． 【题型17】勾股定理与角平分线、线段垂直平分线性质综合 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，连接，则______，若，，，则______． 3．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 4．（25-26九年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的面积． 【题型18】一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2026七年级下·北京·专题练习）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________，小朋友的人数是________． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． （1）杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ （2）该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 4．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． （1）乙队单独完成这项工程需要几个月？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 5．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少． 【题型19】一次函数与一元一次不等式的应用 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图①所示，在两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论： ①的值为120； ②的值1.3； ③小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：； ④乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两家商店销售同一种产品，每件产品的售价（单位：元）与数量（单位：件）之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．买2件时，甲、乙两家售价一样 B．买1件时，买乙家的合算 C．买3件时，买甲家的合算 D．买1件时，乙商店的售价约为3元 【题型20】图形变换的综合性质（平移与旋转求面积） 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． （1）①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． （2）将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． （1）求的度数； （2）求的长； （3）求的面积． 【题型21】已知不等式（组）解集（有解、无解、整数解）求参数 1．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于的不等式组的解集是，则关于的不等式组的解集是___________． 【题型22】一次函数的图象与性质综合与一元一次不等式（组）综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． （1）求点P的坐标及的面积； （2）利用图象直接写出当时，x取值范围． 2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出点的坐标； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为． （1）求的值； （2）当时，请根据图象直接写出的取值范围； （3）已知点是轴上一点，当以A，O，D为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． （1）求直线的函数解析式． （2）直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【题型23】等腰三角形与直角三角形的综合推理 1．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，在等边中，D为边中点，，点P为线段上一动点，连接，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数是_______． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长． 4．（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第三部分、压轴篇（运算与推理探究） 【考点24】一次函数与特殊三角形的综合性质 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 2．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以点A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O重合）．在中，如果和之间为2倍关系，则的度数是_____________． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点． （1）直接写出的形状； （2）若点的坐标为，求点的坐标； （3）①求证：； ②的面积_____．（用含的代数式表示．） 4．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点，直线与x轴交于点C． （1）在直线上是否存在点E，使，若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （2）若点H为线段上的一个动点，一动点P从C出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到H点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到点D后停止．当点P在整个运动过程中所用时间最少时，试求出点H的坐标． 【考点25】一元一次不等式（组）与方案问题实际应用 1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 2．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A，B两地的运费单价如下表： A地（元/吨） B地（元/吨） 甲仓库 12 15 乙仓库 10 18 （1）设甲仓库运往A地x吨物资，求总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最低？最低为多少元？ （3）若甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后（且a为常数），总运费最低可为23100元，求a的值． 【考点26】图形变换探究性问题 1．（25-26八年级上·福建泉州·月考）在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为____．    3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． （1）求的度数； （2）如图2，点E在内部，满足，求证：； （3）在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，点在线段上，且，求的度数； （2）如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $