第八章 实数&第九章 平面直角坐标系 专题复习-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（人教版·新教材 广东专版）

数理极 专题复习 5 +2b-c2的值是 第八章 实数 。考点3：实数及其性质 例3下列各数中，是无理数的是( ⊙河南焦侯杰 A.T B.5 知识回厨 无理数. 温馨提示：无理数与有理数的区别： C.-2 业-号 1.平方根 ①定义不同.任何有限小数或无限循环小 解：5=3和-2是整数，-二是分数，均 (1)一般地，如果一个正数x的平方等于a, 数都是有理数；而只有无限不循环小数才是无 即x2=a,那么这个正数x叫作a的 理数 属于有理数，而π是无理数 非负数a(a≥0)的算术平方根记作“√a”,读作 ②循环与不循环.有理数有时是无限循环 故选A. ,a叫作 .a≥0. 小数.而无理数则永远是无限不循环小数.无理 ●专项练习 (2)一般地，如果一个数的平方等于a,那 数的三种形式：开方开不尽的方根、无限不循环 10.-2+万的相反数是 ,绝对值 么这个数叫作a的 _,即如果x2=a,那 小数、含有π的数 么x叫作a的平方根正数a的平方根可以表示 (2)实数： 数和 数 11.把下列各数填入相应的集合中： 为 ,读作 统称为实数.每一个实数都可以用数轴上的 分5，号a14,-80.-212346 温馨提示：算术平方根与平方根的区别与个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示 联系： 个实数因此实数与数轴上的点是 的 a49,-县 对于平方根，要注意：①一个正数有两个平 ①对于数轴上的任意两个点，右边的点表 方根，它们互为相反数，如4的平方根是±2；② 有理数集合： …}; 示的实数总比左边的点表示的实数 0的平方根是0：③负数没有平方根 无理数集合： …； ②数a的相反数是 对于算术平方根，要注意：①一个正数只有 正实数集合：{ …}; ③一个正实数的绝对值是 :一个 一个正的算术平方根，如4的算术平方根是2；② 负实数集合： …. 负实数的绝对值是它的 :0的绝对值是 0的算术平方根是0：③负数没有算术平方根 12.把下列实数近似地表示在数轴上，并比 可见，算术平方根是特殊的平方根 较它们的大小（用“>”连接） 4.实数的分类 (3)求一个数的平方根的运算，叫作开平方 -4,受，-万，号-(-30 2.立方根 如果x3=a,那么x叫作a的立方根或三次 有限小数或 13.实数m在数轴上的位置如图2所示，则 方根数a的立方根记作“a”,读作 无限循环小数 化简√m+11-m1的结果是」 正数的立方根是一个 数；负数的立方 实 m 根是 数：0的立方根是 0 3.实数 }无限不绣环小数 考点4：实数的运算 (1)无理数： 叫作 创4计：12-51+(-40x- (2)(2x-1)2-16=9. 考点解密 ”考点2：立方根 解：原式=2-5+(-2)-(~行)=分 ”考点1：平方根 制2计每厅 例15的平方根是 ●专项练习 解：9=3,3的平方根是±5， 解： 14.若a+2与1b-21互为相反数，则 故填±3. 故填合 ab 15.如图3，点A,B,C在数轴上，点A表示的 ●专项练习 ●专项练习 数是-1，点B是AC的中点，线段AB=√2，则点 1.下列说法中，不正确的是 6.方程3(x-1)3=-81的解是 C表示的数是】 A.-11是121的一个平方根 7.比较大小：2 4.5(填“>”“<” A B C B.11是121的一个平方根 或“=”). 0 C.121的平方根是11 8.将两个正方体按如图1所示的方式叠放 图3 D.121的算术平方根是11 在一起已知大正方体的体积为125cm,小正 16.计算： 2.估计√43的值在 ( 方体的体积为8cm,则小正方体的最高点A到 (1)5+26+州5-61； A.3和4之间 B.4和5之间 地面B的距离为 C.5和6之间 D.6和7之间 2125-41-66+ 3.一个长方形信封，长与宽之比为4：3，面 17.已知4a+7的立方根是3,2a+2b+2的 积为120，则这个长方形信封的宽是 算术平方根是4，c是√7的整数部分，d是√7 4.已知3a-2与6-5a均为正数n的平方 的小数部分 根，则n的值是」 (1)求a,b,c,d的值； 1 5.求下列各式中x的值： 9.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的 (2)求c(d-/7)2+3a+b的平方根. (1)3x2=27: 立方根是4，c是算术平方根等于自身的数，则α (本章评估卷见第9~10版) 专题复习 数理报 均在格点上.已知点A(-2,0),B(1,0),则点C 第九章 平面直角坐标系 的坐标是 ( A.(1.3) B.(1,4) 江西 陈凤华 C.(-2,3) D.(-1,4) 知识回顾 特点是先选择一个原点作为基准，然后借助量 角器、刻度尺来表述方位角和距离的具体数值， 1.基本概念 (3)直角坐标定位法 (1)有序数对：有顺序的两个数a与b组成 它是利用直角坐标来表示物体的位置，需要 的数对，叫作有序数对，记作(a,b). 两个数椐：一个是横坐标，另一个是纵坐标，二者 图3 图4 (2)平面直角坐标系：在平面内画两条互 缺一不可，习惯上常用(a,b)来表示（其中a是横 相 解：建立平面直角坐标系如图4所示，则点 、原点 的数轴，组成平面直 坐标，b是纵坐标，且二者具有顺序性).其方法是 角坐标系.其中，水平的数轴称为x轴或 C的坐标是(-2,3). 先选原点，然后根据方向的正负以坐标形式表述 轴，习惯上取向 为正方向：竖 各点的位置，即“找点、建系、读坐标”三步.此方 故选C. 直的数轴称为y轴或 轴，习惯上取向 法是必须掌握的一种平面内确定物体位置的方 ●专项练习 为正方向.两坐标轴的交点0称为平 法，是学习平面直角坐标系的基础 7.下列说法中，能确定物体位置的是 面直角坐标系的 4.用坐标表示平移 2.点的坐标的特征 (1)由形到数：在平面直角坐标系中，①将 A.离小明家5千米的大楼 (1)象限内点的坐标的特征：第一象限 点(x,y)向右（或向左）平移a个单位长度，可 B.东经110°，北纬20 ),第二象限( ),第三象 以得到对应点(x+a,y)(或( C.电影院中20座 限（一 ),第四象限(，) );②将点(x,y)向上（或向下）平移 D.北偏西55°方向 (2)平行于坐标轴的直线上，点的坐标的特 b个单位长度，可以得到对应点( 8.如图5，在平面直角坐标系中，点P为第四 征：平行于x轴的直线上所有点的】 相同； )(或( )) 象限内的一点，PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点 平行于y轴的直线上所有点的■ 相同 (2)由数到形：在平面直角坐标系中，①如 B,且PA=3,PB=5,则点P的坐标是() 3.利用坐标表示地理位置的方法 果把一个图形各个点的横坐标都加上（或都减 A.(3,-5) B.(3,5) (1)区域定位法 去) 个正数a,相应的新图形就是把原图形向 C.(5,-3) D.(5,3) 其特点是先规定行、列，然后数出物体是第 (或向 )平移 个单 几行第几列便可确定其位置 位长度：②如果把它的各个点的纵坐标都加上 (2)极坐标定位法 (或都减去)一个正数b,则相应的新图形就是 它是采用方位角和距离的方式来表示物体 把原图形向 (或向 )平移 具体位置的定位方法，显然也需要两个数据，其 个单位长度 图5 图6 考点解密 5次接着运动到点(4,0)，第6次接着运动到点 9.如图6，货船B与港口A相距20海里，货 (5,3),…,按这样的运动规律，经过29次运动 ”考点1：点的坐标 船B相对港口A的位置用（南偏西40°，20海里） 后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 例1若点A(2,m)在x轴上，则点B(m 来描述，则港口A相对货船B的位置可描述为 1,m-4)在 2(1,V3) 5,V3) 9,V3) A.第一象限 10.已知点A(-1,2),点B到y轴的距离为 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若线段AB与x轴平行，则点B的坐标是 910 解：因为点A(2,m)在x轴上， -2 11.如图7，方格纸中每 所以m=0. (2,-2)(4,-2)(6,-2)(8,-2) 图1 个小方格都是边长为1个 所以m-1=-1,m-4=-4. 5.如图2，写出点A,B,C,D,E的坐标，并在 单位长度的正方形.已知学 所以点P(-1,-4)在第三象限. 平面直角坐标系中描出点P(-2,-1),Q(3, 校的位置坐标为A(2,1), 故选C -2).S(2.5).T(-4,3) 图书馆的位置坐标为 ●专项练习 B(-1,-2). 7 1.某市大地影院里，如果用(4,7)表示4排 (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出 7号，那么9排8号可以表示为 ( 坐标原点0： A.(9,8) B.(8,9) (2)若体育馆的位置坐标为C(4,-3),在 C.(4.7) D.(7,4) 坐标系中标出点C,并连接AB,BC,AC,得到三 2.下列各点中，位于第二象限的是( 角形ABC,求三角形ABC的面积 A.(4,-5) B.(4,5) 6 考点3：用坐标表示平移 C.(-4,-5) D.(-4.5) 图2 例3在平面直角坐标系中，将点A(1,1) 3.在平面直角坐标系内有一点P,若点P位 6.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2x 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别 -1,3x). 度得到点B,则点B的坐标是 为4,3，则点P的坐标是 (1)若点P在y轴上，求x的值； 解：因为点A(1,1)向右平移2个单位长 4.如图1，在平面直角坐标系中，一电子蚂 (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的 度，再向上平移3个单位长度得到点B, 蚁按照设定程序从原点O出发，按图中箭头所 距离之和为9，求点P的坐标 所以点B的坐标是(1+2,1+3)，即(3， 示的方向运动，第1次从原点运动到点(1,3) 。考点2：确定位置 4) 第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到 例2书法课上，小义在如图3所示的网格 故填(3,4). 点(2，-2)，第4次接着运动到点(4，-2)，第 纸上写了“遵”字，A,B,C为“遵”字上的点，且 (下转第4版)16 180°-2x.因为ER平分∠FEB,所以∠BER= ∠FEB =90°-x.因为∠FHD-∠AEF=30°，所以∠FHD=2x +30°.因为FH⊥FG,所以∠HFG=90°.过点G作GK∥ HF,图略.所以∠FGK=∠HFG=90°，∠KGD=∠FHD =2x+30°.所以∠FGD=∠FGK+∠KGD=2x+120° 因为GR平分∠FGD,所以∠RGD= ∠FGD=x+ 2 60°.过点R作RT∥CD,图略.所以∠TRG=∠RGD=x +60°.因为AB∥CD,RT∥CD.所以AB∥TR.所以 ∠ERT=∠BER=90°-x.所以∠ERG=∠ERT+ LTRG=150°.所以∠HMN=6∠ERG=259 《实数》专项练习 1.C;2.D;3.3√10：4.1或16. 5.(1)x=±3；(2)x=3或x=-2. 6.x=-2;7.<;8.7; 9.105或104：10.2-7，万-2. 山.有理数集合：-2,3.14，-，0,045，…： 无理数芙合：5，号-2.123456，复： 正实数集合：，号，3.14，V0.49,…: 负实数集合：-分，-派-212346，-马 … 12.实数在数轴上表示略.-(-3)>号 > 3> -万>-4 13.1-2m;14.-22;15.22-1. 16.(1)36;(2)-25. 17.(1)因为4a+7的立方根是3，所以4a+7=33 =27.解得a=5.因为2a+2b+2的算术平方根是4，所 以2a+2b+2=42=16.解得b=2.因为c是√/17的整 数部分，d是7的小数部分，所以c=4,d=√17-4. (2)当a=5,b=2,c=4,d=√17-4时，c(d- 17)2+3a+b=81.因为±√8I=±9，所以c(d- 17)2+3a+b的平方根是±9. 《实数》综合评估卷 题号 2 5 6 7 8 10 答案 B B B 二1.6，±子； 12.答案不惟一，如5+5； 13.1-/10:14.2:15.(-2,8). 三、16有理数集合：2.56，，-0,05,6，…： 无理数集合：-1.565565556…（相邻两个6之间5 的个数逐次加1)8,9，号，-0，…： 负实数集合：-1.565565556…（相邻两个6之间5 的个数逐次加1)，/9，-0.05，-√10，…}； 正整数集合：{6，√16，…}. 17.(1x=6或x=-5;(2)=-多 18.(1) 2； (2)-2. 四、19.(1)由题意，得3m+1=25,5n-m=27.解 得m=8,n=7.所以m-n=8-7=1.因为1的平方 根为±1，所以m-n的平方根为±1. (2)由题意，得4a+m=16,即4a+8=16.解得a =2.所以3a-2n=-8.因为-8的立方根为-2，所以 3a-2n的立方根为-2. 20.画板能直接放进手提袋内.理由如下： 设手提袋的长为15xcm,高为17xcm.根据题意，得 15x·17x=5100.解得x=/20或x=-/20(舍去). 所以手提袋的长为15/20cm.由题意，得正方形画板的 边长为：√/3600=60(cm).因为4<√/20<5，所以 15√20>60.所以画板能直接放进手提袋内. 21.(1)10-3,4-/13; (2)因为√8I<√90<√100，即9<√90<10， 所以√0的整数部分为9，即a=9.因为1<√3<2，所 以5的小数部分为5-1，即b=3-1.所以a+b-√5 +28=9+5-1-5+28=36.所以a+b-5+28 参考答案， 的平方根为±√36=±6. (3)因为2<√5<3，所以9<7+5<10.又因为 7+5=x+y,其中x是整数，且0<y<1,所以x=9, y=7+5-9=5-2.所以x-y+5=9-(5-2) +5=11. 五、22.（1)规律：数a的小数点每移动三位，它的立 方根a的小数点就向相同的方向移动一位 (2)①因为/2.14≈1.2887，所以2140 12.887.所以/2140介于整数12和13之间. ②12.26. ③设正方体的棱长是a米.根据题意，得a= .843≈1.226.所以6a2≈9.02. 答：大约需要9.02平方米的铁皮， 23.(1)10,5. (2)11,5-1. (3)当点C在线段AB的延长线上时，BC=√5-c, AC=10-c.因为AC=2BC,所以10-c=2(5-c). 解得c=25-10. 当点C在线段AB上时，BC=c-√5，AC=10-c. 因为AC=2BC,所以10-c=2(c-3).解得c= 25+10 3 当点C在线段BA的延长线上时，BC=c-5,AC= c-10,此时AC=2BC不成立. 综上所述，实数c的值是23-10或25+10 3 《平面直角坐标系》专项练习 1.A;2.D;3.(3,-4);4.(24,-2). 5.A(3,3),B(-5,2),C(-4,-3),D(5,-4),E(4, 0).描点略 6.()因为点P在y轴上，所以2x-1=Q解得x= 3y (2)因为点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之 和为9，所以2x-1+3x=9.解得x=2.所以2x-1= 3,3x=6.所以点P的坐标是(3,6) 7.B;8.C; 9.（北偏东40°，20海里)；10.(-3,2)或(3,2). 11.(1)图略. (2)图略.三角形ABC的面积为：5×4-7×3×3 x4x2 、 1 ×5×1=9. 12.D:13.(1,0). 14.(1)图略.点C'的坐标是(4，-5). (2)点P的坐标是(x-5,y+4). 《平面直角坐标系》综合评估卷 题号 8 9 10 答案 二、11.(5,3)：12.三；13.2：14.3：15.1或2. 三、16.图略. 17.(1)点A的坐标为(-1,4)，点B的坐标为(-4， 2),点C的坐标为(-2,0). (2)图略.点B'的坐标为(1,0) 18.(1)南偏东60°方向上有小刚家和小亮家. (2)小明家在小李家的北偏东60°方向上 四、19.(1)图略.点C的坐标为(5,5). (2)图略. (3)点N位于点B的正南方向，距离点B:35×6= 210(m). 20.(1)因为点P在x轴上，所以4a=0.解得a=0. 所以a-1=-1.所以点P的坐标为(-1,0). (2)因为点P在过点A(2,8)且与x轴平行的直线 上，所以4a=8.解得a=2. (3)因为点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，所 以a-1=4a或a-1+4a=0.解得a=-分或a=5 所以点P的坐标为(-手，-号)或(-号，号) 21.(1)点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(3,0)， 点C的坐标为(2，-3). (2)过点P作PD∥AO,图略.因为线段AO平移至 BC,所以AO∥BC.所以PD∥AO∥BC.所以∠BCP= ∠DPC,∠DPO=∠AOP.因为∠AOB=B,所以∠AOP 数理极 =90°-∠AOB=90°-B=∠DPO.所以∠DPC= ∠DPO+∠CPO=90°-B+∠CPO=∠BCP,即∠BCP -∠CP0=90°-B. 五、22.(1)点P的“3阶派生点”的坐标为：(3× (-1)+5,-1+3×5),即(2,14). 2根据超监，供踩化所 以点P的坐标为(-2,1). (3)因为点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长 度，再向上平移1个单位长度后得到了点P,所以点P 的坐标为(c-1,2c).所以点P,的“-3阶派生点”P2的 坐标为(-3(c-1)+2c,c-1+(-3)×2c),即(-c+ 3,-5c-1).因为点P2位于坐标轴上，所以当点P2位于 y轴上时，-c+3=0,解得c=3,此时点P的坐标为(0， -16);当点P2位于x轴上时，-5c-1=0,解得 c=- 行，此时点B的坐标为(9.0)。 综上所述，点B的坐标为(0，-16)或(，0). 23.(1)4,6. (2)①由(1)，得A(0,4),N(6,0).因为EN⊥x轴， 所以点E的坐标为(6,4).设运动时间为t秒.根据题意， 得OQ=tcm.当点P在y轴右侧时，AP=(6-2t)cm,因 为AP=0Q,所以6-2t=t,解得t=2;当点P在y轴左 侧时，AP=(2t-6)cm,因为AP=0Q,所以2t-6=t, 解得t=6. 综上所述，经过2秒或6秒，AP=0Q ②设运动时间为t秒.根据题意，得OA=4cm.当点 P在y轴右侧时，AP=(6-2t)cm,OQ=tcm,因为以A, 0,Q,P为顶点的四边形的面积是11cm,所以7×4×(6 -2+)=11,解得1=方，此时点P的坐标为(5,4)：当点 P在y轴左侧时，AP=(2t-6)cm,OQ=tcm,因为以A,0, Q,P为顶点的四边形的面积是1cm,所以2×4×(24-6 +)=1,解得1=名，此时点P的华标为(-子4 综上所述，点P的坐标为(5,4)或(-，4). 《二元一次方程组》专项练习 1.A:2.-1;3.8;4.B:5.C:6.C: 7.3;8.-1. 「x 9.(1) ag 2 10.51. 11.(1)设A品牌篮球的进价为x元，B品牌篮球的 进价为y元. 根据题意得{0》720，解得=10， L50x+30y=7400. ly=80. 答：A品牌篮球的进价为100元，B品牌篮球的进价 为80元. (2)设A品牌篮球打m折出售， 根据题意，得(140-100)×40+(140×m-100) 、10 ×(50-40)+[80(1+30%)-80]×30=2440. 解得m=8. 答：A品牌篮球打八折出售， 《二元一次方程组》综合评估卷 题号 8 10 答案 B B 二、11.3x-5;12.2;13.7;14.20: 15.3或15. 三16D:2{5 17.设这个班参与活动的教师有x人，学生有y人 根据题意，得{0030%，-10m0 解得4 y=46. 答：这个班参与活动的教师有4人，学生有46人. (1)因为x,y的值互为相反数，所以2a+1+1-a= 0.解得a=-2.