专题四 轴对称图形的性质及证明 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦轴对称核心性质，通过折叠变换、三线合一、最短路径、线角平分线四大模块，系统覆盖图形变换与性质应用，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|6题|动态折叠求角度/数量关系|轴对称性质→折叠前后全等→角边转化| |三线合一|6题|等腰三角形证明与计算|轴对称性质→三线合一判定→边角关系推导| |最短路径|10题|作图与对称点应用|轴对称性质→对称点转化→路径最短模型| |垂直平分线与角平分线|9题|性质应用与综合证明|轴对称性质→线角平分线性质→距离与等量关系|

轴对称图形的性质期末复习专项训练 一、折叠问题 1．（25-26七年级下·山东·期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则____． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，根据折叠得出，进而得到，由即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 【答案】 【分析】平角的定义，求出的度数，折叠，得到，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 【答案】 【分析】由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴. 4．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则                  ； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴. （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)90 (3)的度数为或． 【分析】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得； （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 二、等腰三角形“三线合一”问题 8．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定和性质解答． 根据等腰三角形的性质和平行线的判定得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】证明：，为边的中点， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可解答； （2）在上截取，证明，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， 是的平分线； （2）证明：在上截取， 由（1）得：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 11．（2015·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 12．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据等边对等角即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 13．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 三、“最短路径”问题 作图题——角平分线及垂直平分线 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 16．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：点即为所求： 17．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 【答案】(1)画图见详解； (2)点位置见详解； (3) 【分析】本题考查轴对称图形绘制、最短路径问题（轴对称性质）及图形面积计算，运用转化思想，关键是利用轴对称性质画图和找最短路径，易错点为对称点绘制不准确及面积计算时分割图形错误． （1）根据轴对称性质画对称点然后连接,得到对称图形； （2）利用轴对称性质找的对称点，连接其与交直线得； （3）分割四边形为三角形和梯形等计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：如图， 由图形可知四边形可以分成两个三角形； 即底是格，高是格，每格长度为， 则； 底是格, 高是格，每格长度为， ， 所以：． 18．（17-18七年级上·山东泰安·期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、最短路径问题，根据轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接、、所得的三角形即为所求； （2）根据轴对称的性质可得，连接交直线于点P，则点P即为所求． （3）根据，即可得到的最大值为的长，延长交于点Q，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示，点Q即为所求． 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 【答案】(1)由题意，作图如下； (2)由题意，补全图形如下： 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作的中垂线，确定点，再根据要求，补全图形即可. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 21．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】先作的角平分线，再作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：如图，点D即为制作， ． 22．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 24．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点C在的边上，交于点C．请用尺规作图法，在射线上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示即为所求 【分析】作的角平分线交于点D，连接即可． 【详解】略 四、线段“垂直平分线”的性质与“角平分线”的性质问题 25．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，首先由线段垂直平分线的性质得到，，推出，即可得到． 【详解】解：，理由如下： 因为、分别是边、的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以． 27．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，据此可得答案； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 30．（18-19七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明： ， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 33．（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 34．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交的延长线与点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，角平分线有关的计算，三角形中线的性质，三角形外角的定义，作三角形高等知识，掌握这些知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称图形的性质期末复习专项训练 一、折叠问题 1．（25-26七年级下·山东·期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则____． 2．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 3．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 4．（25-26七年级下·广西崇左·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则                  ； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 5．（25-26七年级下·广东茂名·期中）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 二、等腰三角形“三线合一”问题 8．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 9．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，为边的中点，，垂足为，求证：． 10．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 11．（2015·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 12．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为___________． 13．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 三、“最短路径”问题 作图题——角平分线及垂直平分线 14．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 16．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 17．（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． (1)画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） (2)在直线上找一点，使周长最小； (3)连接、，计算四边形的面积． 18．（17-18七年级上·山东泰安·期末）如图，在所给的网格图中，完成下列各题 (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点P，使最小； (3)在上画出点Q，使最大． 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，点在的延长线上． (1)尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)补全图形，取的中点，连接并延长交的角平分线于点． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 21．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，请用尺规作图法，在边的上方作一点D，使得平分，且．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 23．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 24．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点C在的边上，交于点C．请用尺规作图法，在射线上找一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 四、线段“垂直平分线”的性质与“角平分线”的性质问题 25．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在中， ，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，求的周长． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点D，连接，，，．与相等吗？为什么？ 27．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 28．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 30．（18-19七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 32．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 33．（25-26八年级下·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 34．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)作出的边上的高； (3)在（1）和（2）的条件下，若的面积为40，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $