第9章 轴对称、平移与旋转 专题复习-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（华东师大版·新教材）

30 专题复习 第9章 轴对称、平移与旋转型 ◎湖南 董林有 知识回顾 (2)特征 ①平移后的图形与原来图形的对应线段平 1.成轴对称和轴对称图形 行（或在同一条直线上）且 ,对应角 (1)如果一个图形沿着某条直线对折，对 折后的两部分完全重合，那么这个图形就叫做 ②图形的 都没有发生 ,这条直线叫做这个图形的 变化； ③在平移过程中，对应线段、对应点所连的 (2)把一个图形沿着某一条直线 线可能在一条直线上： 如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说 ④平移后对应点所连的线段平行（或在同 这两个图形成轴对称，这条直线叫做」 条直线上)且 两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相 ⑤连结对应点的线段的长度就是平移的距 重合的点)叫做 离，线段的方向就是平移的方向， (3)轴对称的特征 (3)平移作图 ①关于某条直线对称的两个图形完全 ①找出已知图形中的关键点； ②过这些关键点作与已知平移方向平行的 ②连结对应点的线段被对称轴 ③对应线段 线段，使这些平行线段的长度都等于平移距离； ,对应角 ③依照图形依次连结对应点，得到新的图 (4)画轴对称图形的方法 画一个图形关于某条直线成轴对称的图形 形，这个图形就是已知图形的平移图形， 时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、 3.旋转 角的顶点)的」 ,然后顺次连结画出的 (1)理解旋转要注意以下两点： 各点即可，而对称点的确定，则要应用到“对应 ①图形的旋转是由旋转， 旋转的 点的连线被对称轴 ”的特征 及旋转的 决定的 2.平移 ②注意图形旋转的对应元素， (1)平面图形在它所在的平面上的平行移 (2)特征 动，简称为平移 ①对应点到旋转中心的距离相等； 正确理解平移的概念应注意以下四点： ②经过旋转后，图形上的每个点都绕着旋 ①平移由移动的 和 决定； 转中心沿相同的方向转动了相同的 ②要找到每对对应点； ③旋转后的图形与原图形的对应线段 ③通过对应点确定对应线段； ,对应角 ,图形的形状和大小 ④熟记平移的定义. 不变 考点解密 考点2：轴对称图形的性质 例2如图2，AD是 考点1：识别轴对称图形 △ABC的高，线段AE与线段 例1在一些美术字中，有的汉字是轴对 AB关于AD所在直线对称. 称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图 若∠B=35°，∠CAE=40° 形的是 则∠BAC的度数为 民和年丰 A.70° B.759 C.809 D.85 解析：因为AE与AB关于AD所在直线对 称，AD是△ABC的高， 解：D. 所以∠E=∠B=35°，点D,C,E三点共 ●专项练习 线所以∠BAE=180°-∠B-∠E=110°. 1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资 因为∠CAE=40°， 源通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的 所以∠BAC=∠BAE-∠CAE=70°. 故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个 故选A. 个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一些博 ●专项练习 物馆的标志，其中是轴对称图形的是 3.如图3，在△ABC中，D,E分别是AB,AC 尚○帛 上的点，点A与点A'关于DE所在直线对称，∠A =34°，∠CEA'=54°，则∠BDA'的度数为 4 2.如图1，用无刻度的直尺分别画出下列图 形的对称轴 & 数理招 (3)旋转作图 ①在已知图形上找关键点； ②作出关键点的对应点，对应点的找法是： 将各关键点与旋转中心连结，以旋转中心 为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角的 另一边，使这些角的大小都等于旋转的角度，且 使另一边长度都等于对应关键点到旋转中心的 长度，这些端点就是对应点； ③顺次连结对应点， (4)旋转一定角度后能与自身重合的图形 叫做 4.中心对称 (1)在平面内，一个图形绕着中心旋转 ,如果旋转前后的图形完全重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对 称中心 (2)把一个图形绕着某一点旋转180°，如 果它能够与另一个图形重合，那么，这两个图形 ,这个点叫做 ,这两 个图形中的对应点叫做关于中心的 (3)在成中心对称的两个图形中，连结对 称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心 (4)如果两个图形的所有对应点连成的线 段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两 个图形关于这一点成 5.图形的全等 (1)定义： 叫 做全等图形， (2)特征：全等图形的对应边 ,对 应角 (3)全等多边形的判定方法：边、角分别 的两个多边形全等 (4)三角形是特殊的多边形，因此，全等三角 形的对应边、对应角分别相等.如果两个三角形的 边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 4.如图4，在正方形网格中，直线l与网格线 重合，点A,C,A',B′均在网格点上 (1)已知△ABC和△A'B'C'关于直线I对 称，请把△ABC和△A'B'C'补充完整； (2)在直线l上画出点P,使得PA+PC的 线段和最短 考点3：平移 例3 如图5，∠AOB的J顶点O在直线MN 上，把∠AOB沿直线MN平移到∠A'O'B′处.若 ∠AOM=40°，∠AOB=90°，则∠B'0'N的度数 是 B B' 0 0 图5 A.45° B.50° C.55 D.60° 解析：因为∠AOM=40°，∠AOB=90°， 所以∠B0N=180°-∠AOM-∠AOB=50°. 由平移的性质，得OB∥O'B. 所以∠B'O'N=∠BON=50° 故选B (下转第31版) 数理招 专题复习 (上接第30版) 了许多优美的图案，下列图案中，既是轴对称图 ●专项练习 形，又是中心对称图形的是 5.如图6，在正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点 均为格点，将△ABC先向右平移4个单位长度 得到△A,B,C,再向上平移3个单位长度得到 △4B,C2.画出平移后的△A,B,C,及△AB,C2 解：A ●专项练习 8.随着AI技术的迅猛发展，各类与AI相关 的图标层出不穷，以下是几个常见的AI图标， 仅看图标其中是中心对称图形的是 图6 考点4：图形的旋转 天工3.0 文心一言 即梦AI 例4如图7，在△ABC A C D 9.如图10，长方形ABCD与长方形CDEF关 中，∠B=75°，∠C=40°，点 D 于某点对称，则该点为 E是边AC上一点.如果 △ABC经过旋转后能与 A.点C B.点D △AED重合，那么旋转角的 C.线段EF的中点 度数为 D.线段CD的中点 图10 A.65° B.75° 冬考点6：作图与图案设计 C.1059 D.1309 例6实践与操作：如图11，现有如图①所 解析：在△ABC中，∠B=75°，∠C=40°， 示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°- 边长是大正方形边长的一半)，请从这两种瓷砖 75°-40°=65° 中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案 因为△ABC经过旋转后能与△AED重合， (阴影部分用斜线画). 所以∠BAC的度数即为旋转角的度数， (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使 所以旋转角的度数为65. 故选A. 图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③ 是中心对称图形而不是轴对称图形； ●专项练习 (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使 6.如图8，将该图按逆时针方向旋转90°后 这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图 得到的图形是 形，且互不相同（两个图案之间若能通过轴对 称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图 B 7.平移、旋转和轴对称是图形运动的基本 2 图11 形式.图9-①、图9-②中的三角形①~⑤的 顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点 解：(1)答案不惟一，如图12-①所示，是 轴对称图形而不是中心对称图形 上 ☒12 图13 2 答案不惟一，如图12-②所示，是中心对 图9 (1)如图9-①，三角形②可以看成由三 称图形而不是轴对称图形 角形①经过一次 _得到；三角形③可以 (2)答案不惟一，如图13所示，既是轴对称 看成由三角形①经过一次 得到（填 图形又是中心对称图形 “平移”“旋转”或“轴对称”) ●专项练习 (2)如图9-②，三角形⑤可以看成由三 10.图14-①，图14-②是由边长为1的小 角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： 等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个 A.1次轴对称 小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小 B.1次旋转 等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上 C.1次平移和1次旋转 阴影（请将两个小题依次作答在图14-①，图 D.1次旋转和1次轴对称 14-②中，均只需画出符合条件的一种情形)： 其中，所有正确结论是 (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个 冬考点5：中心对称 轴对称图形但不是中心对称图形： 例5校园开放月活动，学生们精心设计 (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个 31 中心对称图形但不是轴对称图形 图14 11.如图15，将点A,B,C,D用线段依次连 结起来得到一个图案N. ② 3 图15 (1)在图15-①中，分别画出图案N绕点 A顺时针旋转90°和逆时针旋转90°的图案； (2)在图15-②中，将图案N先向左平移 3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出 第二次平移后的图案； (3)在图15-③中，以点A为对称中心，画 出与图案N成中心对称的图案， 冬考点7：全等图形的性质 例7如图16，△ABC ≌△CDE,∠B=∠D = E 90°，且B,C,D三点在一条 直线上，BD=7cm,DE= B C D 3cm,∠A=35°，则下列 图16 说法不正确的是 A.AB 4 cm B.∠ACE=90° C.BC 3 cm D.∠CED=65° 解析：因为△ABC≌△CDE, 所以BC=DE=3cm,AB=CD,∠DCE= ∠A=35°，∠ACB=∠CED,故选项C正确，不 符合题意； 因为BD=7cm,所以AB=CD=BD-BC =4cm,故选项A正确，不符合题意； 因为∠B=∠D=90°，所以∠CED=90° ∠DCE=55°，∠A+∠ACB=∠ACB + ∠DCE=90°，故选项D错误，符合题意； 所以∠ACE=90°，故选项B正确，不符合 题意 故选D. ●专项练习 12.如图17，下列四个图形中，有两个是全 等图形，它们是 图17 A.①和② B.①和③ C.②和④ D.③和④ 13.如图18，四 边形ABCD兰四边 D 形A'B'CD',则 12 120 8 ∠D' 85 685 85 ∠A B 10 C C B' B'C' = 图18 AD (专项练习答案参见第15~18版) (本章检测卷见第19~20版)数理报 3倍，所以 $$\left( n - 2 \right) \times { 1 8 0 ^ { \circ } } = 3 \times 3 6 0 ^ { \circ } ，$$ ，解得 n=8. (2)因为过一个顶点的对角线有8条，所以 nn-3= 8， n=11， ，所以这个n边形对角线的总数为 $$\frac { n \left( n - 3 \right) } { 2 } = \frac { 1 1 \times \left( 1 1 - 3 \right) } { 2 } = 4 4 \left($$ 条). 21.(1) 因为 $$\angle A + \angle A B C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle A B C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A .$$ 因为 △ABC 两个外角的平 分线交于点 P， 所以 $$\angle E C B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A C B ， \angle D B C =$$ $$1 8 0 ^ { \circ } - \angle A B C ， \angle C B P = \frac { 1 } { 2 } \angle C B D ， \angle B C P = \frac { 1 } { 2 } \angle E C B ，$$ 所以 $$\angle C B D + \angle B C E = 3 6 0 ^ { \circ } - \left( \angle A B C + \angle A C B \right) =$$ $$1 8 0 ^ { \circ } + \angle A ，$$ 所以 $$\angle P B C + \angle P C B = \frac { 1 } { 2 } \left( \angle C B D +$$ $$\angle B C E \right) = 9 0 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 2 } \angle A ， 则 F \bot \angle P$$ $$\angle P = 1 8 0 ^ { \circ } - \left( \angle P B C +$$ $$\angle P C B \right) = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle A ，$$ ，所以当 $$\angle A = 4 0 ^ { \circ } 时 ，$$ $$， \angle P = 9 0 ^ { \circ }$$ $$- \frac { 1 } { 2 } \times { 4 0 ^ { \circ } } = 7 0 ^ { \circ } .$$ (2) 由 且(1\right. (1) 可知： $$： \angle P = 1 8 0 ^ { \circ } - \left( \angle P B C + \angle P C B \right) =$$ $$9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle A ， 则$$ ∠A=α且 $$， \angle P = 9 0 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \alpha .$$ 22.(1)240； (2) )因为 $$\angle A = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle A B C + \angle A C B = 1 8 0 ^ { \circ } -$$ $$\angle A = 1 3 5 ^ { \circ } .$$ ^{∘}. 因为 $$\angle E + \angle F = 1 0 5 ^ { \circ } ，$$ 所以 $$\angle D = 1 8 0 ^ { \circ } -$$ $$\left( \angle E + \angle F \right) = 7 5 ^ { \circ } .$$ 所以 $$\angle D B C + \angle D C B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle D$$ $$= 1 0 5 ^ { \circ } .$$ 所以 ∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB- $$\left( \angle D B C + \angle D C B \right) = 3 0 ^ { \circ } .$$ (3) )不能.理由如 由 (2\right. 知 $$\angle D B C + \angle D C B = 1 0 5 ^ { \circ } .$$ ^{∘}. 若 BD，CD 分别平 分 ∠ABC ∠ACB， 所以 ∠ABC+∠ACB=2∠DBC+ $$2 \angle D C B = 2 1 0 ^ { \circ } ，$$ 与三角形内角和定理相矛盾.所以不能 将 △DEF 摆放到某个位置，使得 BD，CD 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB. 《轴对称、平移与旋转》专项练习 1.B. 2.图略. 3.122°. 4.图略. 5.图略 6.B. 7.(1 旋转，轴对称； (2)BC. 8.A；9.D. 10.图略. 11.图略. $$1 2 . D ； 1 3 . 1 2 0 ^ { \circ } ， 7 0 ^ { \circ } ， 1 0 ， 6 .$$ 油对称、平移与旋转》复习检测卷 题号 号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 7 8 9 10 101 11 1 12 答案 B A A B B A A D D A A B 3 B A 二、13.答案不惟一，如圆； $$1 4 . 8 5 ^ { \circ } ；$$ ； 15.8； 16.3，9或11. 三、17.图略 18. 由平移的性质，得 AD=BE=2.5cm，AC=DF= 3 3cm，BC=EF=2cm. .所以阴影部分的周长为 ：AC+AD+ DF+BC+BE+EF=15cm. 19.(1) 图略. (2) 图略. (3)点 N. 20.(1) 因为 $$\angle B = 1 5 ^ { \circ } ， \angle A C B = 4 0 ^ { \circ }$$ ，所以 ∠BAC $$= 1 8 0 ^ { \circ } - \angle B - \angle A C B = 1 2 5 ^ { \circ } .$$ 由旋转的性质可知 $$\angle D A E = \angle B A C = 1 2 5 ^ { \circ } .$$ .所以旋转中心为点 ，旋转的角 度为 $$1 2 5 ^ { \circ } .$$ (2) )由( (1) 得 $$\angle B A E = 3 6 0 ^ { \circ } - \angle B A C - \angle D A E =$$ $$1 1 0 ^ { \circ } .$$ .由旋转的性质，得 AD=AB=4cm，AE=AC. 因为 点 C 恰好为 AD 的中点， $$则 f L / A C = \frac { 1 } { 2 } A D = 2 c m$$ .所以 AE =2cm. 21.(1) 由折叠可得 $$\angle B E M = \angle F E M = 6 0 ^ { \circ } .$$ (2) )因为 $$\angle A E F = 7 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle F E B = 1 8 0 ^ { \circ } - 7 0 ^ { \circ } =$$ $$1 1 0 ^ { \circ } ，$$ 所以 $$\angle F E M = \angle M E B = \frac { 1 } { 2 } \angle F E B = \frac { 1 } { 2 } \times 1 1 0 ^ { \circ } =$$ 参考答案。 55. (3)由轴对称的性质可知，∠FEM=∠MEB= Z∠FEB,LFEN=∠NEA= 1 ∠AEF, 所以∠FEM+LFEN= LFEB+∠AER 因为∠FEB+∠AEF=180°， 所以∠FEM+LPEN=号LFEB+ 2 -LAEF (LFEB+LAEP)=3×180°=90e 22.(1)95,80: (2)结论：∠CAD-∠BAE=15°，理由如下： 由题意得，∠CAD=135°-a°，∠BAE=120°-°， 所以∠CAD-∠BAE=135°-a°-(120°-a°)=15°. (3)设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°.因为AB 在AE下方，所以∠BAE=5t°-120°，此时t>24. (I)当AC在AD上方时，图略，∠CAD=135°- 5t°，所以当∠BAE=2∠CAD时，5t°-120°=2(135°- 5t),解得t=26,符合题意. (Ⅱ)当AC在AD下方时，图略，∠CAD=5t°- 135°，所以当∠BAE=2∠CAD时，5t°-120°=2(5t°- 135),解得t=30,符合题意 综上，26秒或30秒后，∠BAE是∠CAD的两倍. 七年级第二学期期末复习检测卷（一）】 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 答案 C B B D B B B B 二、13.2；1425；15.240,16.(90+号). 三-na0, 18.解集在数轴上表示略。 (1)x<7;(2)-1≤x<2. 19.设该班有男生x人，则有女生(x+3)人， 依题意得x+(x+3)=55, 解得x=26,经检验，符合题意 所以x+3=26+3=29(人). 答：该班有男生26人，女生29人 20.在△ABC中，AD是BC边上的高线，所以∠ADB =90°.因为∠B=60°，所以∠BAD=180°-∠B ∠ADB=180°-60°-90°=30°.因为∠DAE=10°，所 以∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+10° =40°.因为AE 平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAE=2×40°=80°.所 以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-60°-80°=40°. 21.(1)设甲型号智能快递机器人每台每天可分栋 快递x万件，乙型号智能快递机器人每台每天可分栋快 递y万件 根据题意，得：+3y=36, 解得12， 3x-2y=20. y=8. 答：甲型号智能快递机器人每台每天可分栋快递 12万件，乙型号智能快递机器人每台每天可分栋快递 8万件 (2)设该公司购买甲型号智能快递分栋机器人 a台，则购买乙型号智能快递分拣机器人(10-a)台. 根据题意，得12a+8(10-a)≤100.解得a≤5. 答：该公司最多需要购买甲型号智能快递分栋机器 人5合 22.(1)由折叠得∠NMA=∠NME=30°.所 ∠AME=∠NMA+∠NME=60°. 因为AB∥CD,所以∠CPM=∠AME=60. (2)①因为AB∥CD,所以∠CPM=∠AME=76°， ∠CPM+∠BMP=180°，∠1=∠AMN.所以∠BMP= 180°-∠CPM=180°-76°=104°. 由折叠得∠NME=∠NMA=∠1=子∠AME 38°，∠BMP=∠GME=104°. 17 因为∠GME=∠2+∠AME, 所以∠2=∠GME-∠AME=104°-76°=28°. ②由①得，∠AME=2∠1=∠CPM,∠2=∠GME ∠AME=∠BMP-∠CPM=180°-∠CPM-∠CPM =180°-2∠1-2∠1=180°-4∠1. 因为∠2=m∠1，所以m∠1=180°-4∠1， 所以∠1= 180° m+4 所以∠CPM=2L1=2×180° 360° m+4 m+4 七年级第二学期期末复习检测卷（二）】 题号 2 3 8 9 10 11 12 答案 D B B D B B A B B B 二、13.60；14.50：15.4或12；16.-1. 三a=e2, 18.(1)六，没有改变符号： (2)不等式的性质2； (3)x≥3. 19.(1)因为在四边形ABCD中，∠A=∠C=90, ∠ABC=42°，所以∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C= 138°.因为DF平分∠ADC,所以∠ADF=号∠ADC=699 (2)设∠ABC=x°.因为BE平分∠ABC,所以 ∠BBM=7∠ABC=78因为LA=∠C=90,所以 在四边形ABCD中，∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C= 180°-x 因为DF平分∠ADC,所以∠ADF=分∠ADC =90° 7x°，所以在Rt△DAF中，∠AFD=9O°-∠ADF 2°所以∠EBA=∠AFD.所以BE∥DF 1 20.(1)因为两个三角形全等，所以当2m-2与8是 对应边，n+1与10是对应边时，2m-2=8,n+1=10, 解得m=5,n=9;当2m-2与10是对应边，n+1与8 是对应边时，2m-2=10,n+1=8,解得m=6,n=7. 综上，m=5,n=9或m=6,n=7. (2)因为边长n+1小于边长2m-2,所以取m=6,n =7.当m=6,n=7时，若以a,m,n为三角形的三边长，则 边长a的取值范围为7-6<a<7+6.即1<a<13. 21.(1)设购进“哪吒”纪念品每件需要x元，购进 “敖丙”纪念品每件需要y元 根据题意，得厂x+2y =70, 解得30， 3x+y=110. y=20. 答：购进“哪吒”纪念品每件需要30元，购进“敖丙” 纪念品每件需要20元. (2)设购进“哪吒”纪念品a件，则购进“敖丙”纪念 品(120-a)件 根据题意，得30a+20(120-a)≤3100. 解得a≤70. 答：最多购进“哪吒”纪念品0件。 (3)根据题意，得(40-30)a+(25-20)(120-a) ≥940.解得a≥68.由(2)，得a≤70.所以68≤a≤70. 因为a为正整数，所以a的取值为68,69,70.所以商场有 3种进货方案： 方案一：购进“哪吒”纪念品68件，“敖丙”纪念品2件； 方案二：购进“哪吒”纪念品69件，“敖丙”纪念品51件： 方案三：购进“哪吒”纪念品70件，“敖丙”纪念品50件 22.(1)①20； ②由题意知，180°(n-2)=1080°，解得n=8,所 以小东求的是八边形的内角和， (2)由题意知，这个正多边形的每一个内角是 1080° =135. 8