第8章 整式乘法与因式分解 专题复习-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（沪科版·新教材 安徽专版）

数理极 专题复习 5 。考点2：用科学记数法表示小数 第8章 整式乘法与因式分解 例2油菜是我国栽培面积最大的油料作 物，栽培范围几乎遍布全国各地，花期多集中在 浙江宋新宁 2~4月，可持续约20~30天，从花粉产量来看， 知识回圆 作为积的 ；对于只在一个单 几乎占全年花粉总产量的一半油菜花粉是蜜蜂 项式里含有的字母，则连同它的 作为 从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约 1.幂的运算性质 积的一个因式 0.00315米.将数据0.00315用科学记数法表示 (1)同底数幂的乘法：a·a”=a+"(m,n (2)单项式与多项式相乘：用单项式和多项 ( 都是正整数) 式的每一项分别 再把所得的积 A.315×10- B.0.315×10-2 同底数幂相乘，底数」 ,指数 C.3.15×10 D.3.15×10- (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式 解析：0.00315=3.15×103 (2)暴的乘方：(a")”=am(m,n都是正整的每一项与另一个多项式的每一项 故选D. 数) 再把所得的积 ●专项练习 幂的乘方，底数 ,指数 4.整式的乘法公式 (3)积的乘方：(ab)”=a"b"(n是正整数) 整式乘法公式包括平方差公式和完全平方 7.“气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新 型材料，其颗粒尺寸通常小于0.00000002m,将 积的乘方等于各因式乘方的】 公式，这是整式乘法的特殊情形，要弄清公式中 数据0.00000002用科学记数法表示为 (4)同底数幂的涂法：am÷a”=am-"(a≠ 字母的含义，把握公式的结构特点 0,m,n都是正整数，且m>n) (1)完全平方公式：两数的和（或差）的平 同底数幂相除，底数 ,指数方，等于这两个数的 加（或减）这两个 8.若把数据0.0013用科学记数法表示成 数乘积的 倍 1.3×10°的形式，其中n= (5)零指数暴：a°=1(a≠0). 即(a+b)2=a2+2ab+b2, 。考点3：整式的乘法 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 (a-b)2=a2-2ab+b2. 例3若整式(2x+m)(x-1)不含x的一 (2)平方差公式：两数的和与这两数差的 次项，则m的值为 (⑥负袋数指款家山”=宁a00是正 积，等于它们的 A.-3 B.-2 即(a+b)(a-b)=a2-b2. C.-1 D.2 整数) 5.因式分解 解析：(2x+m)(x-1)=2x2+(m-2)x-m 任何一个不等于零的数的-p(p是正整数) (1)概念：把一个多项式化成几个 因为(2x+m)(x-1)不含x的一次项， 次幂，等于这个数的P次幂的 的 的形式，叫作因式分解，也叫作把这 所以m-2=0. 2.科学记数法 个多项式分解因式 解得m=2. 用科学记数法表示一个数就是把一个数写 (2)方法 故选D. 成a×10的形式，其中 ≤al<(n ①提公因式法，即ma+mb+mc ●专项练习 为整数) 温馨提示：(1)当表示一个绝对值大于10的 ②公式法，即a2-6= 9.计算-x(x3-1)的结果是 ;a- 数时，n为正整数，且n的值等于这个数的整数部2ab+b2= ;a2-2ab+b2= A.-x-1 B.-xx 分的位数减去1. (3)因式分解的一般步骤 C.-x+x D.x-x (2)当表示一个绝对值小于1的数时，n为 ①如果多项式的各项有公因式，那么先提 10.若(x-1)(x+a)=x2-5x+4,则a= 负整数，且n的绝对值等于这个数的第一个不等 于零的数字前面的零的个数（包括小数点前面 ②如果多项式的各项没有公因式，那么可 11.老师在黑板上书写了一个正确的演算过 的零) 以尝试运用」 来分解； 程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 3.整式的乘法 ③如果多项式的各项提出公因式后，还能 2÷(-)=-6+2y-1,则手掌括住 (1)单项式相乘：把系数、同底数幂分别 用公式法分解，必须分解彻底， 的多项式为 考点解密 C.2 D.3 12.芳芳做了一个长方形学具，其中一边长 2计算：(2026-m)°-（分）2= 为2a+b,另一边长为a,则该长方形学具的面积 ”考点1：幂的运算 为 例1下列运算正确的是 3.地球可以近似地看成是球体，球的体积公 13.已知ab=1,a+b=-3,则代数式(a- A.(x3)2=x2 式是V=青2.已知地球的半径约为6×10千)(6-)的值为 B.x2·x4=x 米，则它的体积大约是 立方千米（π取 14.计算： C.x÷x3=x 3). (1)4x2y·2xy; D.(-3x)3=-9x2 4.已知3”=6,9=3，则32"的值为 (2)(-2ab)(3a2-2ab-462): 解析：(x)2=x0,故选项A不正确： (3)(2x-1)(x-4)-(x+3)(x+2) x2·x=x,故选项B不正确； 5.若82+m=32m+1,则4”+4的值是 15.计算图1中阴影部分的面积S(用含a,b x5÷x=x,故选项C正确； 的代数式表示) (-3x)3=-27x3,故选项D不正确 6.计算： 故选C. (1)(x2)3÷x: ●专项练习 (2)(a2)2·a2+(-3a3)2-(2a2)3: 1.已知a3÷a=a,则“？”是 2a+ 图1 A.0 B.1 (3)(3)2x2.535×(-1)2m. (下转第6版) 6 专题复习 数理招 (上接第5版) A.k=-8,从左到右是乘法运算 (上接第3版) ”考点4：乘法公式 B.k=8,从左到右是乘法运算 15.实数m在数轴上的位置如图3所示，则 例4如图2，在长方形 C.k=-8,从左到右是因式分解 化简√m+11-ml的结果是 ABCD中，AB=6,点E,F是边 D.k=8,从左到右是因式分解 01 BC,CD上的点，EC=3,且BE 22.若多项式x2+mx+n因式分解的结果为 考点5：实数的运算 =DF=x,分别以FC,CB为边 (x-3)(x+1),则m+n= 在长方形ABCD外侧作正方形 图2 A.-5 B.-1 5计12-1+(-4×易 CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积为20， C.1 D.-6 则图中阴影部分的面积和为 ÷考点6：因式分解的方法 解：原赋=2-5+(-2)-（）=号- 解析：设CF=a,BC=b. 例6因式分解：x2-x= ●专项练习 由题意，得FC=6-x,BC=3+x,即a= 解析：原式=x2(1-x2)=x2(1+x)(1- 16.若√a+2与1b-21互为相反数，则 6-x,b=3+x. x). ab 因为长方形CBQF的面积为20， 故填x2(1+x)(1-x) 17.如图4，点A,B,C在数轴上，点A表示的 所以ab=20. ●专项练习 数是-1，点B是AC的中点，线段AB=巨，则点 又因为a+b=(6-x)+(x+3)=9, 23.下列因式分解正确的是 所以S周影=CF+BC2=a2+62=(a+b)2 C表示的数是 A.ax ay a(x +y)+I -2ab=92-2×20=41. B.3a+3b=3(a+b) B 故填41. 0 C.d2+4a+4=(a+4)2 图4 ●专项练习 D.a'+b =a(a+b) 18.计算： 16.若m-n=-2,且m+n=5,则m2-n2 24.分解因式： (1)5+26+5-61; (1)4m2(x+2y)-n2(x+2y); 17.小北将(2026x+2027)2展开后得到 (2)(y2-1)2+6(1-y2)+9: 2125-41-66+ 01x2+b1x+c1,小湖将(2027x-2026)2展开后 (3)x4-x3+x2-x 19.已知4a+7的立方根是3,2a+2b+2的 得到a2x2+bx+c2,若两人计算过程无误，则b 考点7：因式分解的应用 算术平方根是4，c是7的整数部分，d是7 +b2的值为 例7如图3，将长方 A 的小数部分 18.若(2x+m)2=4x2+4mx+1,则m的值 形ABCD分成四个面积分 (1)求a,b,c,d的值； 别为ac,cd,ab,bd的小长方 19.已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2- (2)求c(d-√17)2+3a+b的平方根. 形，则AB的长为( 4x+3的值为 (专项练习答案参见第15~18版，后同) A.a+b 20.利用乘法公式计算！ (本章检测卷见第7~8版) B.b+c (1)(3a-b)2-(a-3b)(a+3b): C.c+d (上接第4版) (2)(a-2b+1)(a+2b+1); D.a+d 有1位同学有植树但植树棵数不到3棵，则该小 (3)3012; 解析：根据题意可得长方形ABCD的面积= 组有同学 ( (4)101×99: ac+ed +ab +bd c(a+d)+b(a+d)=(a A.8人 B.9人 (5)(x-2y)2(x+2y)2; +d)(c+b), C.10人 D.11人 (6)(a-52+2a(2a+8) 当AB=c+b,AD=a+d时，与图形不符 11.一部电梯的额定限载量为1000千克， 合； 位工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯 考点5：因式分解的定义 里，然后从楼底运到楼顶.已知工人师傅的体重 例5下列从左到右的变形，属于因式分解 当AB=a+d,AD=c+b时，与图形符合； 所以AB=a+d. 为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的 的是 故选D. 质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运 A.d2+2ab+6=(a+b)2 货物箱。 B.ab ac +d=a(b+c)+d ●专项练习 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 25.若k为任意整数，则(k+5)2-(k-2)2 12.在东莞市全力推进“百县千镇万村高质 量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜 D.12ab2=3a·4b 的值总能 ( 解析：d2+2ab+?=(a+b)2是因式分解， A.被2除 B.被3整除 果畅销全国。某商贩看准商机，购进了一批桂味 故选项A符合题意： C.被5整除 荔枝和糕米糍荔枝.已知购进桂味荔枝3千克、 D.被7整除 糯米糍荔枝1千克共需90元：购进桂味荔枝 ab+ac+d=a(b+c)+d不是因式分解 26.如图4为某正方形的 1千克、糯米糍荔枝2千克共需60元. 故选项B不符合题意； 房屋结构平面图，其中主卧 (1)每千克桂味荔枝和糯米糍荔枝的进价 (a+b)(a-b)=a2-6是整式乘法，故选 与客卧都是正方形，它们的 分别是多少元？ 项C不符合题意； 边长分别为a,b,其面积之和 主卧 客卧 (2)该商贩决定购进桂味荔枝和糯米糍荔 12ab2=3a·4b不是因式分解，故选项D不 比其余面积（阴影部分）多 枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂 符合题意 6.25平方米，则主卧与客卧 4 味荔枝最多可购进多少千克？将桂味荔枝的售价 故选A 的周长差为 定为每千克40元，精米糍荔枝的售价定为每千 ●专项练习 A.2.5米 B.5米 克30元，按照桂味荔枝的最大购进量，请算出该 21.若x2+kx+16=(x-4)2,那么下列说 C.6米 D.10米 商贩把全部荔枝售出时获得的总利润。 法正确的是 (本章检测卷见第11~12版) (本章检测卷见第9~10版)16 所以总利润为：(40-24)×40+(30-18)×(100- 40)=1360(元). 答：桂味荔枝最多可购进40千克，按桂味荔枝的最 大购进量该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润为 1360元. 《一元一次不等式与不等式组》复习检测卷 题号 2 3 4 7 8 10 答案 B B B B 二1.-7；12>：13x<1:1418:15-3 三、16.解集在数轴上表示略 (①)x>(2)-6<x<1 17.设该商场需购进x件A种商品，购进(34-x)件 B种商品 根据题意，得200x+100(34-x)≥4000. 解得x≥6. 答：该商场至少需购进6件A种商品 18.实数k按C→B→A的顺序运算，则可列算式[飞 +（-1)-3]×(-2)=-2k+8.根据题意，得-2k+8 <-2.解得k>5. 19.(1)根据题意，得3+2x<7.解得x<2. (2)解不等式3(x+1)≤8-x,得x≤子由@a ≤5，得x+2a≤5.解得x≤5-2a.因为不等式3(x+1) ≤8-x的解和x@a≤5的解相同，所以5-2a=子解 得a= 15 20解不等式-3(x-2)≤a-,得x≥62解不 等式2“≥x-1,得x≤4 (1)因为该不等式组的解集为2≤x≤4，所以，4 =2.解得a=2. (2)根据题意，得该不等式组的解集是6。 ≤x 4.因为该不等式组有且仅有3个整数解，所以1<6,4 2 ≤2.解得2≤a<4. 21.(1)设该超市采购1个A型篮球需要x元，1个 B型篮球需要y元 、根据题意得3+20·解符{ Lx+4y=290. 答：该超市采购1个A型篮球需要30元，1个B型篮 球需要65元. (2)设采购B型篮球a个，则采购A型篮球(50-a)个 根据题意，得30(50-a)+65a≤2550.解得a≤30. 答：最多可采购B型篮球30个 (3)根据题意，得(98-65)a+(58-30)(50-a)≥ 1540.解得a≥28.由(2)得a≤30.所以28≤a≤30. 因为a为正整数，所以a可取28,29,30.所以能实现利润 不少于1540元的目标，该超市共有3种采购方案：方案 一：采购A型篮球22个，B型篮球28个；方案二：采购A型 篮球21个，B型篮球29个；方案三：采购A型篮球20个， B型篮球30个. 《整式乘法与因式分解》专项练习 1.C;2.-3;3.8.64×10";4.4;5.20. 6D;(22a;(3)-3 7.2×10-8；8.-3；9.C; 10-4:1.3y-y2+7 12.2a2+ab:13.5. …参考答案、 14.(1)8x3y2;(2)-6a3b+4a2b2+8ab3; (3)x2-14x-2. 15.S=(2a+b)(a+b)-a2=2a2+2ab+ab+b -a2=a2+3ab+b2. 16.-10;17.0;18.±1；19.13. 20.(1)8a2-6ab+1062;(2)a2+2a+1-4b2; (3)90601;(4)9999;(5)x4-8x22+16y. (6)2a2-6a+25. 21.C;22.A;23.B. 24.(1)(x+2y)(2m+n)(2m-n); (2)(y+2)2(y-2)2;(3)x(x-1)(x2+1). 25.D:26.D. 《整式乘法与因式分解》复习检测卷 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B 二、11.x(x+y)(x-y)；12.x8-1;13.41; 14.36;15.-1或3或1. 三、16.(1)-6a；(2)-2x-3;(3)899.91. 17.原式=- 2 当x=2026,y=-2025时，原式=-1013. mn+2n2,即空白部分的面积为()m2+mm+2n)cm; (m+nm)(m+2n)-()m2+mn+2n2)=m2+2mn mn 2n2-1m2 m -mn -2n=了m2+2mn,即箭头的 面积为（号m2+2mn)cm2. (2)当m=10,n=20时，2m2+2mn=3×10 +2×10×20=450,即箭头的面积为450cm2. 19.(1)因为甲错把b看成了6，所以(2x+a)(x+6) =2x2+(12+a)x+6a. 又因为(2x+a)(x+6)=2x2+8x-24,所以6a= -24.解得a=-4. 因为乙错把a看成了-a,所以(2x-a)(x+b)= 2x2+(2b-a)x-ab. 又因为(2x-a)(x+b)=2x2+14x+20,所以2b- a=2b-(-4)=14.解得b=5. (2)由(1)得，(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5) =2x2+6x-20. 20.(1)1,0: (2)因为x2+2y2-2xy+6y+9=0,所以(x-y)2 +(y+3)2=0.所以x-y=0,y+3=0.解得x=y= -3所以=(-3)3=7 (3)因为a2+b2+c2-4a-6b-8c+29=0,所以 (a-2)2+(b-3)2+(c-4)2=0.所以a-2=0,b- 3=0,c-4=0.解得a=2,b=3,c=4.所以三角形 ABC的周长为：2+3+4=9. 21.(1)①5：②3+4i. (2)因为(1+2i)2=1+4i+42=1+4i-4=-3 +4i,a+bi是(1+2i)2的共轭复数，所以a=-3,b= -4.所以(b-a)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (3)因为(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i+2=ab -1+(a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3.所 以ab=2,a+b=-3.所以a2+b2=(a+b)2-2ab= (-3)2-2×2=5.因为2+°+°+5=-1-i+1+ i=0,2+2++…+25有2024个加数，2024÷4 =506,所以2+2+4+…+2m5=0.所以i+2+ +4+…+25=i.所以(a2+2)(i+2+i3+i+… +25)=5i. 数理极 《分式》专项练习 1.B:2.C:3.D:4.B;5.C;6.D; 7.D;8.C;9. -b 10.(1)最简公分母是2a262c. 3 3bc a-b_2a2-2ab 2a2b2abe'ab'c 2a'bc (2)最简公分母是2(x+1)2(x-1) 1 (x+1)(x-1) 3 2x+2 2(x+1)2(x-1) 2-1 6(x+1) 2x(x-1) 2(x+1)2(x-1)'2+2x+1=2(x+1)2(x-1) 11.A. 1210a2万：(2)子6(3)2 a a-1 13.原式=(4 x2-4 x+x x+1 ÷+4+4-(x+2)(x-2.xx+1 2-2x x2 +x x+1 (x+2) 、 x+21 根据分式有意义的条件，可知x不能为-1,0，所以x =1或x=2. 当1时原式分 =-3或当x=2时， 原式=2-2 2=0. 2+2 14.D;15.C;16.7. 17.(1)x=1;(2)无解 18.A. 19.设步行速度为xkm/h,则骑自行车的速度为 3x km/h. 由题意，得45-0,5- 3x 解得x=6. 经检验，x=6是原方程的根 此时3x=18. 答：步行速度为6km/h,骑自行车的速度为 18 km/h. 20.(1)设B型圆珠笔单价为x元，则A型圆珠笔单 价为1.5x元 根据题意，得60-60=5， x-1.5x 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的根， 此时1.5x=6. 答：A型圆珠笔单价为6元，B型圆珠笔单价为4元 (2)设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买 (15-a)支， 根据题意，得6a+4(15-a)≤80. 解得a≤10. 答：A型圆珠笔最多可购买10支， 《分式》复习检测卷 题号 1 2 5 6 8 9 10 答案 C B A B A A B C A A 二.m:12女；131：14子；15129 三、16.(1)x=号；(2) 4 4b a(x-y) 17.原式=-1-1： (x-2)2 2 x-1÷x+2)-2)= x+2 =+2 x-2-x-11 当x=5+1时，原武=5+1+2-5+3=1+尽 5+1-1√5 18.设A型机器人每分钟搬运x千克货物，则B型机