专题4 期末复习题题组——整式的乘法及应用（4大类型）训练　2024—2025学年沪科版数学七年级下册　

专题4 期末复习题题组——整式的乘法及应用（4大类型）（40道） 类型1 整式的乘法/p1 类型2：与新定义有关的整式的乘除/p5 类型3：整式乘法的实际应用/p10 类型4：整式的乘法公式的背景应用/p23 类型1 整式的乘法 1．（2025春安丘市月考）（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【解答】解：（1）（ax﹣b）（3x2+x+2） ＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b ＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b， ∵关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5， ∴， ①×2得：2a﹣6b＝0③， ②﹣③得：b＝﹣1， 把b＝﹣1代入①得：a＝﹣3， ∴； （2）设另一个因式为x+c， ∴（x+c）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k， 2x2﹣5x+2cx﹣5c＝2x2+3x﹣k， 2x2+（2c﹣5）x﹣5c＝2x2+3x﹣k， ∴2c﹣5＝3，5c＝k， 解得c＝4，k＝20， ∴另一个因式为x+4，k＝20． 2．（2025春汉台区校级期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果． 【解答】解：（1）（2x+a）（x+6） ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+（12+a）x+6a， ∵计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24， ∴a＝﹣4， （2x+4）（x+b） ＝2x2+2bx+4x+4b ＝2x2+（2b+4）x+4b， 由条件可知4b＝20， ∴b＝5． （2）（2x﹣4）（x+5） ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 3．（2025春碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 【解答】解：（1）一次项的系数就是： 1×2×（﹣3）+3×1×（﹣3）+5×1×2 ＝﹣6+（﹣9）+10 ＝﹣5； （2）一次项系数为： 1×a×（﹣3）+（﹣2）×5×（﹣3）+3×5×a ＝﹣3a+30+15a ＝12a+30， 因为所得多项式中不含一次项， 所以12a+30＝0， 所以． 4．（2025春杭州月考）若x＝1+ap，y＝1+a﹣p，其中a是不为0的常数，p是正整数． （1）用含x的代数式表示y． （2）若x＝a，xy＝1，求p的值． 【解答】解：∵x＝1+ap， ∴ap＝x﹣1， ∵y＝1+a﹣p， ∴y ； （2）由（1）可知，y， 当x＝a时， y， ∵xy＝a1， 即a2＝a﹣1， 又∵x＝a＝1+ap， ∴ap＝a﹣1， 又∵a≠0， ∴p＝2． 5．（2025春昭平县期中）在计算（ax﹣1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5． （1）求a，b的值； （2）计算（ax﹣1）（2x+b）的正确结果． 【解答】解：（1）（ax﹣1）（2x+b） ＝2ax2+abx﹣2x﹣b ＝2ax2+（ab﹣2）x﹣b， ∵小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4， ∴2a＝2，即a＝1． ∵小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5， ∴﹣b＝﹣5，即b＝5． （2）当a＝1，b＝5时， （ax﹣1）（2x+b） ＝（x﹣1）（2x+5） ＝2x2+5x﹣2x﹣5 ＝2x2+3x﹣5． 6．（2025春天府新区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2025n2026的值． 【解答】解：（1）（mx﹣2）（2x+1）+x2+n ＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n ＝（2m+1）x2+（m﹣4）x+（n﹣2）， ∵化简后不含x2的项和常数项， ∴2m+1＝0，n﹣2＝0， 解得：，n＝2； （2）把，n＝2代入m2025n2026，得： ＝（﹣1）2025×2 ＝﹣1×2 ＝﹣2． 7．（2025春滨湖区期中）小明在计算一个多项式A乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，算成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1． （1）求这个多项式A； （2）请你帮助小明计算正确的结果． 【解答】解：（1）A＝﹣2x2﹣2x+1﹣（﹣2x2+x﹣1） ＝﹣2x2﹣2x+1+2x2﹣x+1 ＝﹣3x+2； （2）（﹣3x+2）（﹣2x2+x﹣1） ＝6x3﹣3x2+3x﹣4x2+2x﹣2 ＝6x3﹣7x2+5x﹣2． 类型2：与新定义有关的整式的乘除 8．（2025春沭阳县期中）定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 【解答】解（1）∵x※y＝3x×3y， ∴2※5 ＝32×35 ＝37； （2）∵x※y＝3x×3y， ∴1※（4x﹣3） ＝31×34x﹣3 ＝34x﹣2， ∵1※（4x﹣3）＝9＝32， ∴4x﹣2＝2， 解得：x＝1． 9．（2025春泰兴市月考）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若9x＝312，求x的值． （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 【解答】解：（1）32x＝312， ∴2x＝12， 解得：x＝6， ∴x的值为6． （2）∵3x+2﹣3x+1＝33x+1﹣3x+1＝23x+1，3x+2﹣3x+1＝162， ∴23x+1＝162， ∴3x+1＝81＝34， ∴x+1＝4， 解得：x＝3， ∴x的值为3． （3）2x＝m﹣1， ∴n＝（22）x+2x ＝（2x）2+2x ＝（m﹣1）2+m﹣1 ＝m2﹣2m+1+m﹣1 ＝m2﹣m， ∴n＝m2﹣m． 10．（2024秋海港区期末）对于任意数a，b，规定a⊕b＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：（﹣2）⊕3＝（﹣2+3）×[（﹣2）2﹣（﹣2）×3+32]﹣33 ＝1×19﹣27 ＝19﹣27 ＝﹣8 求（﹣2）⊕（﹣4）的值． 【解答】解：由新定义可知： ∴（﹣2）⊕（﹣4） ＝（﹣2﹣4）×[（﹣2）2﹣（﹣2）×（﹣4）+（﹣4）2]﹣（﹣4）3 ＝﹣6×（4﹣8+16）﹣（﹣64） ＝﹣6×12+64 ＝﹣72+64 ＝﹣8． 11．（2025春新沂市期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，计算：（3，27）＝　 　 ．　 　 ． （2）记（4，12）＝a，（8，5）＝b，（2，60）＝c．探究a、b、c三者之间的等量关系，并给出理由； （3）若（m，8）+（m，2）＝（m，t），则t＝　 　 ． 【解答】解：（1）∵33＝27， ∴（3，27）＝3， ∵， ∴3， 故答案为：3，﹣3； （2）c＝2a+3b， 理由如下： 由题意得：4a＝12，8b＝5，2c＝60， 即22a＝12，23b＝5， ∵60＝12×5， ∴2c＝22a×23b， 即2c＝22a+3b， ∴c＝2a+3b； （3）设（m，8）＝n1，（m，2）＝n2，（m，t）＝n3， 即8，2，t， ∵（m，8）+（m，2）＝（m，t）， ∴n1+n2＝n3， ∴， 即t＝8×2＝16． 故答案为：16． 12．（2025春房山区期中）定义：如果ac＝b，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为.例如32＝9，那么2为的“甜幂指数”，记为.根据定义回答以下问题： （1）若，则m＝　2　 ；若，则n＝　3　 ； （2）已知，，，x，y，z为正整数，且x+y＝z，求m的值； （3）已知当x，y为正整数，且a＞0时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且a＞0，b＞0时，求的值． 【解答】解：（1）∵42＝16， ∴m＝2， ∵32＝9， ∴n＝3． 故答案为：2；3； （2）由题意得：ax＝16，ay＝4，az＝m， ∴axay＝16×4＝64， ∴ax+y＝64， ∵x+y＝z， ∴az＝64， ∴m＝64． （3）由题意得：am＝ab，bn＝ab， ∴b， ∴（am﹣1）n＝ab＝am， ∴amn﹣n＝am， ∴mn﹣n＝m， ∴mn＝m+n， ∴1． 13．（2025春沈阳期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p＝p+n+m＝m+p+n，所以m+n+p是对称式． 又如：交换代数式m﹣n中字母m，n的位置，得到代数式n﹣m，因为m﹣n≠n﹣m，所以m﹣n不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于a，b的代数式（ka+3）（b﹣3）为对称式（k为常数）． （1）求k的值； （2）已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，若p＝4，q＝﹣3，求对称式（ka+3）（b﹣3）的值． 【解答】解：（1）（ka+3）（b﹣3）＝kab﹣3ka+3b﹣9， 交换a、b的位置（kb+3）（a﹣3）＝kab﹣3kb+3a﹣9， 根据新定义可得kab﹣3ka+3b﹣9＝kab﹣3kb+3a﹣9， ∴3k（b﹣a）+3（b﹣a）＝0， ∴（3k+3）（b﹣a）＝0， ∴3k+3＝0， 解得：k＝﹣1； （2）∵（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，p＝4，q＝﹣3， ∴x2﹣ax﹣bx+ab＝x2+4x﹣3， 即x2﹣（a+b）x+ab＝x2+4x﹣3， ∴a+b＝﹣4，ab＝﹣3， 把k＝﹣1代入（ka+3）（b﹣3）得： 原式＝﹣ab+3a+3b﹣9 ＝﹣ab+3（a+b）﹣9 ＝﹣（﹣3）+3×（﹣4）﹣9 ＝3﹣12﹣9 ＝﹣18． 类型3：整式的乘法的实际应用 14．（2025春济阳区期中）“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积． 【解答】解：（1）（3a﹣b）（2a+b）﹣a2 ＝6a2+3ab﹣2ab﹣b2﹣a2 ＝（5a2+ab﹣b2）平方米， 答：绿化面积是（5a2+ab﹣b2）平方米； （2）5a2+ab﹣b2 ＝5×32+3×1﹣12 ＝47（平方米）， 答：绿化面积是47平方米． 15．（2025春莱芜区期中）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b），宽为（2a+b）的大长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a+b），宽为2b的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求大长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当a＝3，b＝2时，求绿化部分的面积． 【解答】解：（1）大长方形地块的面积：（3a+2b）（2a+b）＝6a2+7ab+2b2， （2）小长方形地块的面积：2b（2a+b）＝4ab+2b2； （3）绿化部分的面积：（6a2+7ab+2b2）﹣（4ab+2b2）＝6a2+3ab． 当a＝3，b＝2时， 6a2+3ab＝6×32+3×3×2＝72． 答：绿化部分的面积72． 16．（2025春礼泉县期中）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 ，宽b＝　　 ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 【解答】解：（1）大长方形的长a＝m+n+3m＝4m+n，宽b＝m+n+m＝2m+n； 故答案为：4m+n，2m+n； （2）阴影部分的面积： （4m+n）（2m+n）﹣6m（m+n） ＝8m2+4mn+2mn+n2﹣6m2﹣6mn， ＝2m2+n2， ∴阴影部分的面积为2m2+n2； （3），阴影部分的面积为2m2+n2，且S1＝4S2， ∴8m2+6mn+n2＝4（2m2+n2）＝8m2+4n2， 整理得：6mn＝3n2， 解得：n＝2m． 17．（2025春清城区期中）如图，和谐广场有一块长为（3a+b）米、宽为（4a+2b）米的长方形空地，角上有两块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝30，b＝10，求出绿化的总面积． 【解答】解：（1）由题意得：（3a+b）（4a+2b）﹣2（a﹣b）2 ＝12a2+6ab+4ab+2b2﹣2（a2﹣2ab+b2） ＝12a2+10ab+2b2﹣2a2+4ab﹣2b2 ＝（10a2+14ab）平方米， ∴绿化的总面积为（10a2+14ab）平方米； （2）当a＝30，b＝10时，绿化的总面积为： 10a2+14ab ＝10×302+14×30×10 ＝10×900+14×30×10 ＝9000+4200 ＝13200（平方米）． 18．（2025春怀宁县期中）如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b）米，宽为（5a+4b）米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底部的长和宽．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （2）求这个盒子底部的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （3）将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用．（用含a、b的代数式表示，要求化简） 【解答】解：（1）这个盒子底部的长：（7a+b）﹣2（a+b）＝7a+b﹣2a﹣2b＝5a﹣b． 这个盒子底部的宽：（5a+4b）﹣2（a+b）＝5a+4b﹣2a﹣2b＝3a+2b． 答：这个盒子底部的长为（5a﹣b）米，宽为（3a+2b）米； （2）（5a﹣b）（3a+2b）＝15a2+10ab﹣3ab﹣2b2＝15a2+7ab﹣2b2， 答：这个盒子底部的面积为（15a2+7ab﹣2b2）平方米； （3）（7a+b）（5a+4b）﹣4（a+b）2＝35a2+33ab+4b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2＝31a2+25ab， 8（31a2+25ab）＝248a2+200ab． 答：喷漆共需要费用（248a2+200ab）元． 19．（2025春高州市期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 　4　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【解答】解：（1）mx﹣4x+3 ＝（m﹣4）x+3， ∵关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关， ∴m﹣4＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4； （2）∵A＝（2x+1）（x﹣2） ＝2x2﹣4x+x﹣2 ＝2x2﹣3x﹣2， 2B＝2x（m﹣x） ＝2mx﹣2x2， ∴A+2B＝2x2﹣3x﹣2+2mx﹣2x2 ＝2x2﹣2x2+2mx﹣3x﹣2 ＝2mx﹣3x﹣2 ＝（2m﹣3）x﹣2， ∵A+2B的值与x无关， ∴2m﹣3＝0， 解得：； （3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2 ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2取值与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 20．（2025春碑林区校级期中）对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）计算（1，2）☆（3，﹣2）的结果为　　 ； （2）对于数x，y，若x+y＝8，（x，x）☆（y，y）＝46． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）（1，2）☆（3，﹣2）＝1﹣2×3+4＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）①∵（x，x）☆（y，y）＝x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣3xy＝46， ∴xy＝6； ②阴影部分的面积为：x2+2y2y（x+2y）＝x2+y2﹣0.5xy＝（x+y）2﹣2.5xy＝64﹣15＝49． 21．（2025春昌平区期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a﹣b）2+2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． （1）根据以上变形填空：已知a2+b2＝10；（a+b）2＝16，则ab＝　　 ； （2）若2x+y＝11，xy＝5，求2x﹣y的值； （3）如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x，y，若x2+y2＝29，AE＝3，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【解答】解：（1）∵a2+b2＝10，（a+b）2＝16，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴10＝16﹣2ab， ∴ab＝3． 故答案为：3； （2）∵（2x﹣y）2＝（2x+y）2﹣4×2xy， ∴（2x﹣y）2＝112﹣8×5＝81， ∴2x﹣y＝±9． （3）∵AE＝3， ∴x﹣y＝3， ∴（x﹣y）2＝9， ∴x2﹣2xy+y2＝9． ∵x2+y2＝29， ∴29﹣2xy＝9， ∴xy＝10． ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝29+20＝49， ∵x+y＞0， ∴x+y＝7． 图中阴影部分的面积 （EF+AD）AE （y+x）×3 ． 22．（2025春佛山校级期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． （1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ （2）村口王大叔告诉同学们a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2，求a的值为多少？ 【解答】解：（1）回字形福建土楼占地面积为： （3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a） ＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣2b2﹣2ab﹣ab﹣a2 ＝5a2+4ab； 新中式民宿占地面积为： （a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b） ＝（2a+b）（4a+b﹣a﹣b） ＝（2a+b）3a ＝6a2+3ab； （2）解：∵a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2， ∴5a2+4ab＝5a2+4a2＝9a2＝324， ∴a2＝36， ∴a＝6（负值舍去）， 即a的值为6． 23．（2025涿州市一模）甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）． （1）写出S1与S2的大小关系：S1　 　 S2．（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值； （3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）S1＝（m+7）（m+1） ＝m2+m+7m+7 ＝m2+8m+7； S2＝（m+4）（m+2） ＝m2+2m+4m+8 ＝m2+6m+8； ， 因为m为正整数， 所以2m﹣1＞0， 所以S1＞S2． 故答案为：＞． （2）因为S1﹣S2＝2m﹣1，|S1﹣S2|≤2025， 即|2m﹣1|≤2025， 2m﹣1≤2025， 2m≤2026， m≤1013． 所以m得最大值是1013． （3）S3＝[3（m+4）﹣（m+1）]（m+7） ＝[3m+12﹣m﹣1]（m+7） ＝（2m+11）（m+7） ＝2m2+25m+77， S4＝3（m+1）（m+2） ＝3（m2+3m+2） ＝3m2+9m+6， ∵2S3＝S4， ∴2×（2m2+25m+77）＝3m2+9m+6， 整理得：m2+41m+148＝0， 解得：m＝﹣4或﹣37，均不符合题意， ∴m 不存在． 24．（2025春高新区校级月考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为x+p，x+q的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ （1）用等式表示出来为　 　． （2）已知（x﹣6）（x﹣p）＝x2+mx+36，求m的值． （3）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+16，p，q为正整数，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意，这个等式可以为（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq， 故答案为：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq； （2）由（1）的结论得（x﹣6）（x﹣p）＝x2﹣（6+p）x+6p， ∵（x﹣6）（x﹣p）＝x2+mx+36， ∴x2﹣（6+p）x+6p＝x2+mx+36， 即m＝﹣（6+p），6p＝36， ∴p＝6，m＝﹣12， ∴m的值为﹣12； （3）∵x2+（p+q）x+pq＝x2+mx+16， ∴p+q＝m，pq＝16， ∵p，q为正整数， ∴p，q分别为1，16或2，8或4，4或16，1或8，2， ∴m＝p+q＝1+16＝17或m＝p+q＝2+8＝10或m＝p+q＝4+4＝8， 综上，m的值为17或10或8． 25．（2025春郓城县期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为（4a+3b）m，宽为（3a+4b）m．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为am、bm（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）． （2）音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 【解答】解：（1）由题可得音乐喷泉池的占地面积为 （4a+3b﹣2a）（3a+4b﹣2b）＝6a2+13ab+6b2． 答：音乐喷泉池的占地面积为（6a2+13ab+6b2）m2． （2）由题可得市民活动区域的面积为： （4a+3b）（3a+4b）﹣（6a2+13ab+6b2） ＝6a2+12ab+6b2． ∴80×（6a2+12ab+6b2）＝480a2+960ab+480b2． 答：市民活动区域铺设地砖的费用为（480a2+960ab+480b2）元． 26．（2025春宜兴市校级月考）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为（9a﹣1）米、宽为（3b﹣5）米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a，b的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； （2）当a＝9，b＝15时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 【解答】解：（1）（9a﹣1）（3b﹣5）﹣b（3a+1） ＝27ab﹣45a﹣3b+5﹣3ab﹣b ＝（24ab﹣45a﹣4b+5）平方米， 答：安装健身器材的区域面积为（24ab﹣45a﹣4b+5）平方米； （2）当a＝9，b＝15时， 安装健身器材区域的地面面积＝24ab﹣45a﹣4b+5＝24×9×15﹣45×9﹣4×15+5＝2780（平方米）， 篮球场地面积＝b（3a+1）＝15×（3×9+1）＝420（平方米）， 答：篮球场地面积为420平方米，安装健身器材的区域面积为2780平方米； （3）420×100+2780×50＝181000（元）， 答：建设该居民健身场所所需的地面费用为181000元． 27．（2025春宝安区校级期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　 　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）∵（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2， ∴（x，k）☆（x，1）＝x2﹣kx+1＝（x±1）2， ∴k＝±2． 故答案为：±2； （2）①由题意知， ∵（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104， ∴（x+y）2﹣（2x+y）y+y2＝x2+y2＝104， ∵x+y＝12， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝144， ∴2xy＝40， ∴xy＝20； ②由图可知，， ∵xy＝20，x2+y2＝104， ∴． 类型4：整式的乘法公式的背景应用 28．（2025春织金县期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　 ； （2）拓展应用：若（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7，求（2020﹣m）（m﹣2021）的值． 【解答】解：（1）由题意得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）令2020﹣m＝a，m﹣2021＝b， 则a2+b2＝7，a+b＝﹣1， ∵（a+b）2﹣2ab＝a2+b2， ∴（﹣1）2﹣2ab＝7， ∴ab＝﹣3， 即（2020﹣m）（m﹣2021）＝﹣3． 29．（2025春溆浦县期中）【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证，如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是　 　 ． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：299×301+1； （3）计算：． 【解答】解：（1）图①中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成图②中阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）原式＝（300﹣1）（300+1）+1 ＝3002﹣1+1 ＝90000； （3）原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）×…×（1）（1）（1）（1） ． 30．（2025春余江区期中）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　 （写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是　 　 （用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）； （3）比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　 （用等式表达）； （4）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①10.2×9.8； ②（m+n﹣p）（m﹣n+p）． 【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 故答案为：a2﹣b2； （2）拼成的图2，是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 故答案为：（a+b）（a﹣b）； （3）由（1）（2）两种方法所表示的阴影部分的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）①原式＝（10+0.2）×（10﹣0.2） ＝102﹣0.22 ＝100﹣0.04 ＝99.96； ②原式 ＝[m+（n﹣p）[m﹣（n﹣p）] ＝m2﹣（n﹣p）2 ＝m2﹣n2+2np﹣p2． 31．（2025春锦江区校级期中）【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值； 【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【解答】解：（1）∵（a+b）2＝49，ab＝6， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝49﹣24＝25， 则a﹣b＝±5； （2）∵AB＝14，BC＝10，DE＝BF＝a， ∴AE＝10﹣a，AF＝14﹣a， ∵长方形AFGE的面积为60， ∴AEAF＝（10﹣a）（14﹣a）＝60， ∴（10﹣a）2+（14﹣a）2 ＝[（10﹣a）﹣（14﹣a）]2+2（10﹣a）（14﹣a） ＝（﹣4）2+2×60 ＝16+120 ＝136． 32．（2025春临澧县期中）我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的，例如，教材在探究乘法公式时，就利用了数形结合的方法． （1）如图1，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积： 方法1：　 　 ； 方法2：　 　 ． 于是可以得到乘法公式：　 　 ． （2）若a+b＝10，ab＝6，求a2+b2的值； （3）如图2，点C是线段AB上的一点，在AB的同侧作正方形ACDE与正方形CBGF，连接AD、AF、BD、BF，两个正方形的面积差为6，求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）方法一：图1整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，方法二：拼成图1的四个部分的面积和为a2+2ab+b2，因此可得（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵a+b＝10，ab＝6， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣12＝88； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形CBGF的边长为b，则DF＝a﹣b，由于两个正方形的面积差为6，即a2﹣b2＝6， 所以S阴影部分＝S△ADF+S△ BDF DFABDFBC a（a﹣b）b（a﹣b） （a+b）（a﹣b） （a2﹣b2） 6 ＝3． 33．（2025春兴化市期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为 　 　 ．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为2a+3b，宽为3a+4b的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为3a2+7ab+2b2的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型． （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 【解答】解：（1）图②整体上是长为2a+b，宽为a+b的长方形，因此面积为（2a+b）（a+b），拼成图②的各个部分的面积和为2a2+3ab+b2， 因此有（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2， 故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2； （2）∵长为2a+3b，宽为3a+4b的长方形的面积为（2a+3b）（3a+4b）＝6a2+17ab+12b2，而正方形A的面积为a2，正方形B的面积为b2，长方形C的面积为ab， ∴需要A型卡片6张，B型卡片12张，C型卡片17张； （3）∵3a2+7ab+2b2＝（a+2b）（3a+b）， ∴面积为3a2+7ab+2b2的长方形的长为3a+b，宽为a+2b，拼图如下： （4）由题意得，3a2+7ab+2b2＝（a+2b）（3a+b）＝63，而63＝1×63＝3×21＝7×9， ①当（a+2b）（3a+b）＝1×63时，有a+2b＝1，3a+b＝63，解得a＝25，b＝﹣12，不合题意舍去， 或a+2b＝63，3a+b＝1，解得a＝﹣12.2，b＝37.6，不合题意舍去， ②当（a+2b）（3a+b）＝3×21时，有a+2b＝3，3a+b＝21，解得a＝7.8，b＝﹣2.4，不合题意舍去， 或a+2b＝21，3a+b＝3，解得a＝﹣3，b＝12，不合题意舍去， ③当（a+2b）（3a+b）＝7×9时，有a+2b＝7，3a+b＝9，解得a＝2.2，b＝2.4， 或a+2b＝9，3a+b＝7，解得a＝1，b＝4， 又∵a，b皆为正整数， ∴a＝1，b＝4． 34．（2025春佛山校级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　 　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　 　 ． 【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2； （2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、 故答案为：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （3）∵a﹣b＝5，ab＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33， 故答案为：33． （4）阴影部分面积等于 ， ∵a+b＝6，ab＝6， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12， ∴阴影部分面积等于12＝3． 故答案为：3． 35．（2025春吉安期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． （1）图B可以解释的代数恒等式是　 　 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C： ①若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要1号卡片　 　 张，2号卡片　 　 张，3号卡片　 　 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为（2a+b）（a+2b）． 【解答】解：（1）根据图形可得（m+n）（2n+m）＝2n2+3mn+m2， 故答案为：（m+n）（2n+m）＝2n2+3mn+m2； （2）①根据多项式乘多项式可得：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， 所以需要1号卡片1张，2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：①1，2，3； ②根据多项式乘多项式可得：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2， 根据上述恒等式可知需要1号卡片2张，2号卡片2张，3号卡片5张； 画图如下： 36．（2025春泗阳县期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，“算两次”原理也称做富比尼原理，它是一种重要的数学思想．换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如： 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看作一个大长方形，它的面积是c（a+b），如果把图1看作是由2个长方形组成，它的面积为ac+bc，由此可得到公式：c（a+b）＝ac+bc． 除此之外，在对七下第八章教材的学习探究中，我们还利用“算两次”的思想探索得到了如下三个公式： 公式①：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd 公式②：（a+b）2＝a2+2ab+b2 公式③：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 请根据图2、图3、图4从上述3个公式中正确选出对应的序号填上． 图2对应公式 　 　 ，图3对应公式 　 　 ，图4对应公式 　 　 ． 【方法应用】将边长分别为a，b，c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图．如图5，请利用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系． 【应用拓展】请利用图6，通过构图表示（a﹣2b）2，在图中用阴影部分表示：并利用“算两次”的方法说明（a﹣2b）2的计算结果．（要求：构图时请标注出相应的数据） 【解答】解：（1）图2：（a+b）2＝a2+b2+2ab； 图3：（a+b）（c+d）＝ad+ac+bc+bd； 图4：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：②；①；③． （2）ab（a+b）（a+b）， 2ab+c2＝a2+2ab+b2， c2＝a2+b2． （3）如图所示： （a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2． 37．（2025春包河区校级期中）现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片若干，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙） 尝试解决： （1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是 　 　 ； （2）若想验证（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，则需要Ⅰ号卡片 　 　 张、Ⅱ号卡片 　 　 张、Ⅲ号卡片 　 　 张． 拓展研究： （3）如图2，已知大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用a，b表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有 　 　 ．（填写序号） ①；②a+b＝m；③a2+b2＝m2；④． 实践应用： （4）若图2中的a+b＝17，a2+b2＝169，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）若想验证（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，则需要Ⅰ号卡片1张、Ⅱ号卡片3张、Ⅲ号卡片4张． 故答案为：1、3、4． （3）∵m2﹣n2＝4ab＝2ab， ∴ab， 故①正确； a+b＞m， 故②不正确； 根据勾股定理可得，a2+b2＝m2． 故③正确； ∵2a2+2b2＝2m2， ∴2a2+2b2＞m2+n2， ∴a2+b2． 故④不正确． 故答案为：①③． （4）∵a+b＝17，a2+b2＝169， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝172﹣169＝120， ∴ab＝60， n2＝（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝172﹣4×60＝49． 38．（2025春海州区期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ； （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　 　 ； ②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）依题意，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； 故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （2）①与（1）同理得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∵x+y＝7，xy＝6， ∴49＝（x﹣y）2+4×6， ∴（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y＝±5； 故答案为：±5； ②∵（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2025）2 ＝[（2024﹣x）+（x﹣2025）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2025） ＝（﹣1）2﹣2×（﹣6） ＝1+12 ＝13． （3）∵BE＝2， ∴x﹣y＝2． 由图可知△CDF的底为x，高为2， ∴． △BEF的底为2，高为y， ∴， ∴S阴影＝S△CDF+S△BEF＝x+y． ∵22+2xy＝34， ∴xy＝15， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝34+2×15＝64， ∴x+y＝8（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 39．（2025春福田区校级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是　 　 ； （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知a+b＝5，ab＝5，则（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝　 　 ． ②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值． 【知识迁移】 （4）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的边长分别为a和b（a＞b）．已知两正方形边长之和a+b＝6，边长之积ab＝5，且E为AB中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是　4　 ． 【解答】解：（1）图4中阴影部分是一个边长为b﹣a正方形，其面积为（a﹣b）2，而阴影正方形的面积也等于大正方形（边长为a+b）面积减去4个边长为a，b的长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）①由（2）可知（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝25﹣20＝5， （a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4＝5+2×5+4＝19， ∴（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝5+19＝24， 故答案为：24； ②（2024﹣a+a﹣2023）2＝（2024﹣a）2+（a﹣2023）2+2（2024﹣a）（a﹣2023）＝1， ∵（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7， ∴（2024﹣a）（a﹣2023）（1﹣7）＝﹣3； （4）∵E为AB中点， ∴AE＝BEa， 如图5，延长HG交BC于点P，则四边形EHPB为长方形， ∴PB＝EH＝b，PH＝BEa，CP＝a﹣b， ∴S△AHC＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△CPH﹣S长方形EHPB ， ∴阴影部分的面积为S△ACH， ∵a+b＝6，ab＝5， ∴4， 故答案为：4． 40．（2025春于洪区期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　 　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）阴影部分的面积是： （a+b）2﹣4ab ＝a2+2ab+b2﹣4ab ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 阴影部分的面积是： a2﹣ab﹣（a﹣b）×b ＝a2﹣ab﹣ab+b2 ＝a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2； 即（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （2）若a+b＝7，ab＝5， （a﹣b）2 ＝（a+b）2﹣4ab ＝72﹣4×5 ＝29； （3）如图：延长AD、FG交于点H， 设正方形CEFG的边长为x，正方形ABCD的边长为（9﹣x），得： x2+（9﹣x）2＝47， x2+81﹣18x+x2＝47， 2x2﹣18x+34＝0， 即x2﹣9x+17＝0， 9x﹣x2＝17， S阴影＝S梯AEFH﹣S△AGH﹣S正CEFG， 即（x+9）×9÷2﹣9×（9﹣x）÷2﹣x2 x2 ＝9x﹣x2 ＝17． 答：图中阴影部分的面积是17． 期末复习专题21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 期末复习题题组——整式的乘法及应用（4大类型）（40道） 类型1 整式的乘法/p1 类型2：与新定义有关的整式的乘除/p2 类型3：整式乘法的实际应用/p4 类型4：整式的乘法公式的背景应用/p10 类型1 整式的乘法 1．（2025春安丘市月考）（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 2．（2025春汉台区校级期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果． 3．（2025春碧江区 期中）我们在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为4×5×（﹣6）＝﹣120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是5×（﹣6）+2×4×（﹣6）+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x． 请你参考上面的计算方法，解答下列问题： （1）计算（x+1）（3x+2）（5x﹣3）求所得多项式的一次项系数； （2）如果计算（x+5）（﹣2x+a）（3x﹣3）所得多项式中不含一次项，求常数a的值． 4．（2025春杭州月考）若x＝1+ap，y＝1+a﹣p，其中a是不为0的常数，p是正整数． （1）用含x的代数式表示y． （2）若x＝a，xy＝1，求p的值． 5．（2025春昭平县期中）在计算（ax﹣1）（2x+b）时，小泉同学看错了b的值，计算结果为2x2+2x﹣4；小张同学看错了a的值，计算结果为4x2﹣12x﹣5． （1）求a，b的值； （2）计算（ax﹣1）（2x+b）的正确结果． 6．（2025春天府新区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2025n2026的值． 7．（2025春滨湖区期中）小明在计算一个多项式A乘以﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，算成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为﹣2x2﹣2x+1． （1）求这个多项式A； （2）请你帮助小明计算正确的结果． 类型2：与新定义有关的整式的乘除 8．（2025春沭阳县期中）定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 9．（2025春泰兴市月考）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面规定解答下列问题： （1）若9x＝312，求x的值． （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． （3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n． 10．（2024秋海港区期末）对于任意数a，b，规定a⊕b＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣b3，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：（﹣2）⊕3＝（﹣2+3）×[（﹣2）2﹣（﹣2）×3+32]﹣33 ＝1×19﹣27 ＝19﹣27 ＝﹣8 求（﹣2）⊕（﹣4）的值． 11．（2025春新沂市期中）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，计算：（3，27）＝　 　 ．　 　 ． （2）记（4，12）＝a，（8，5）＝b，（2，60）＝c．探究a、b、c三者之间的等量关系，并给出理由； （3）若（m，8）+（m，2）＝（m，t），则t＝　 　 ． 12．（2025春房山区期中）定义：如果ac＝b，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为.例如32＝9，那么2为的“甜幂指数”，记为.根据定义回答以下问题： （1）若，则m＝　2　 ；若，则n＝　3　 ； （2）已知，，，x，y，z为正整数，且x+y＝z，求m的值； （3）已知当x，y为正整数，且a＞0时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且a＞0，b＞0时，求的值． 13．（2025春沈阳期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p＝p+n+m＝m+p+n，所以m+n+p是对称式． 又如：交换代数式m﹣n中字母m，n的位置，得到代数式n﹣m，因为m﹣n≠n﹣m，所以m﹣n不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于a，b的代数式（ka+3）（b﹣3）为对称式（k为常数）． （1）求k的值； （2）已知（x﹣a）（x﹣b）＝x2+px+q，若p＝4，q＝﹣3，求对称式（ka+3）（b﹣3）的值． 类型3：整式的乘法的实际应用 14．（2025春济阳区期中）“筑牢民生之基，增强百姓奉福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图．某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为a米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． （1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积． 15．（2025春莱芜区期中）如图，某中学校园内有一块长为（3a+2b），宽为（2a+b）的大长方形地块，学校计划在中间留一块长为（2a+b），宽为2b的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求大长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （2）求小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） （3）当a＝3，b＝2时，求绿化部分的面积． 16．（2025春礼泉县期中）如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 ，宽b＝　　 ．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 17．（2025春清城区期中）如图，和谐广场有一块长为（3a+b）米、宽为（4a+2b）米的长方形空地，角上有两块边长均为（a﹣b）米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） （1）用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； （2）若a＝30，b＝10，求出绿化的总面积． 18．（2025春怀宁县期中）如图，一块长方形铁皮的长为（7a+b）米，宽为（5a+4b）米．将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为（a+b）米的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． （1）求这个盒子底部的长和宽．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （2）求这个盒子底部的面积．（用含a、b的代数式表示，要求化简） （3）将盒子的外部表面进行喷漆，若每平方米喷漆的费用为8元，求喷漆共需要的费用．（用含a、b的代数式表示，要求化简） 19．（2025春高州市期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x一5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式（a+3）x﹣6y+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴a+3＝0，解a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式mx﹣4x+3的值与x的取值无关，则m值为 　4　 ． （2）已知A＝（2x+1）（x﹣2），B＝x（m﹣x），且A+2B的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 20．（2025春碑林区校级期中）对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）计算（1，2）☆（3，﹣2）的结果为　　 ； （2）对于数x，y，若x+y＝8，（x，x）☆（y，y）＝46． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 21．（2025春昌平区期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a﹣b）2+2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． （1）根据以上变形填空：已知a2+b2＝10；（a+b）2＝16，则ab＝　　 ； （2）若2x+y＝11，xy＝5，求2x﹣y的值； （3）如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x，y，若x2+y2＝29，AE＝3，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 22．（2025春佛山校级期中）某校同学在社会实践的过程中，遇到一些各具特色的建筑，有在加拿大魁北克城举行的第32届世界遗产大会上正式被列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有新中式风格的传统民宿，同学们对于哪个建筑的占地面积更大展开了争论． ①组的同学们认为回字形福建土楼占地面积更大； ②组的同学们认为新中式民宿占地面积更大； 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据的测量，数据如图所示． （1）请你选择一组同学，帮助他们计算建筑物的占地面积为多少？ （2）村口王大叔告诉同学们a＝b，两栋建筑的占地面积均为324m2，求a的值为多少？ 23．（2025涿州市一模）甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）． （1）写出S1与S2的大小关系：S1　 　 S2．（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值； （3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 24．（2025春高新区校级月考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为x+p，x+q的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ （1）用等式表示出来为　 　． （2）已知（x﹣6）（x﹣p）＝x2+mx+36，求m的值． （3）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+16，p，q为正整数，求m的值． 25．（2025春郓城县期中）如图，某城市广场是一个长方形，长为（4a+3b）m，宽为（3a+4b）m．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为am、bm（如图所示）． （1）求音乐喷泉池的占地面积（用含a，b的式子表示）． （2）音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 26．（2025春宜兴市校级月考）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为（9a﹣1）米、宽为（3b﹣5）米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a，b的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简； （2）当a＝9，b＝15时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面费用． 27．（2025春宝安区校级期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）填空：对于有理数x，k，若（x，k）☆（x，1）＝（x±1）2，则k＝　 　 ； （2）对于有理数x，y，若x+y＝12，（x+y，y）☆（2x+y，y）＝104． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 类型4：整式的乘法公式的背景应用 28．（2025春织金县期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　 ； （2）拓展应用：若（2020﹣m）2+（m﹣2021）2＝7，求（2020﹣m）（m﹣2021）的值． 29．（2025春溆浦县期中）【实践操作】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证，如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是　 　 ． 【应用探究】 （2）利用（1）中的公式简便计算：299×301+1； （3）计算：． 30．（2025春余江区期中）乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　 （写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的面积是　 　 （用a，b表示，并写成多项式乘法的形式）； （3）比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　 （用等式表达）； （4）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①10.2×9.8； ②（m+n﹣p）（m﹣n+p）． 31．（2025春锦江区校级期中）【背景】对于两数和（差）的完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2中的三个代数式：a±b，a2+b2和ab，若已知其中任意两个代数式的值，则可求第三个代数式的值．由此解决下列问题： 【应用】（1）若（a+b）2＝49，ab＝6，求a﹣b的值； 【迁移】（2）如图，在长方形ABCD中，AB＝14，BC＝10，点E，F分别是边AD，AB上的点，且DE＝BF＝a，分别以AE，AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形APQF，若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 32．（2025春临澧县期中）我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的，例如，教材在探究乘法公式时，就利用了数形结合的方法． （1）如图1，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积： 方法1：　 　 ； 方法2：　 　 ． 于是可以得到乘法公式：　 　 ． （2）若a+b＝10，ab＝6，求a2+b2的值； （3）如图2，点C是线段AB上的一点，在AB的同侧作正方形ACDE与正方形CBGF，连接AD、AF、BD、BF，两个正方形的面积差为6，求阴影部分的面积． 33．（2025春兴化市期中）借助拼图活动，我们可以得到一些数学结论． 【活动一】有若干张如图①所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形．图②是由三种卡片拼成的一个长方形． （1）用不同方法表示图②中长方形的面积，得到的等式为 　 　 ．（用含a，b的式子表示） （2）用这三种卡片紧密拼接成一个长为2a+3b，宽为3a+4b的长方形，求需要A型卡片，B型卡片，C型卡片各多少张？ 【活动二】用图①所示的正方形卡片和长方形卡片紧密拼出一个面积为3a2+7ab+2b2的长方形． （3）在方框内画出草图，并标出对应的卡片类型． （4）若a，b皆为正整数，能否使得（3）中拼出的长方形的面积为63，若能直接写出所有符合条件的a，b的值；若不能请说明理由． 34．（2025春佛山校级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是 　 　 ； （3）若a﹣b＝5，ab＝2，则（a+b）2＝　 　 ； 【知识迁移】（4）如图5，正方形ABCD和正方形EFGH边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中点，则图中的阴影部分面积的和是 　 　 ． 35．（2025春吉安期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些整式进行乘法运算． （1）图B可以解释的代数恒等式是　 　 ； （2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C： ①若要拼出一个面积为（a+2b）（a+b）的矩形，则需要1号卡片　 　 张，2号卡片　 　 张，3号卡片　 　 张； ②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为（2a+b）（a+2b）． 36．（2025春泗阳县期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，“算两次”原理也称做富比尼原理，它是一种重要的数学思想．换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如： 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看作一个大长方形，它的面积是c（a+b），如果把图1看作是由2个长方形组成，它的面积为ac+bc，由此可得到公式：c（a+b）＝ac+bc． 除此之外，在对七下第八章教材的学习探究中，我们还利用“算两次”的思想探索得到了如下三个公式： 公式①：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd 公式②：（a+b）2＝a2+2ab+b2 公式③：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 请根据图2、图3、图4从上述3个公式中正确选出对应的序号填上． 图2对应公式 　 　 ，图3对应公式 　 　 ，图4对应公式 　 　 ． 【方法应用】将边长分别为a，b，c的两个直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图．如图5，请利用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系． 【应用拓展】请利用图6，通过构图表示（a﹣2b）2，在图中用阴影部分表示：并利用“算两次”的方法说明（a﹣2b）2的计算结果．（要求：构图时请标注出相应的数据） 37．（2025春包河区校级期中）现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a，宽为b的长方形Ⅲ号卡片若干，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形．（卡片间不重叠、无缝隙） 尝试解决： （1）图1是由1张Ⅰ号卡片、1张Ⅱ号卡片、2张Ⅲ号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是 　 　 ； （2）若想验证（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，则需要Ⅰ号卡片 　 　 张、Ⅱ号卡片 　 　 张、Ⅲ号卡片 　 　 张． 拓展研究： （3）如图2，已知大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用a，b表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有 　 　 ．（填写序号） ①；②a+b＝m；③a2+b2＝m2；④． 实践应用： （4）若图2中的a+b＝17，a2+b2＝169，求图中阴影部分的面积． 38．（2025春海州区期中）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ； （2）利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知x+y＝7，xy＝6，则x﹣y的值为　 　 ； ②已知（2024﹣x）（x﹣2025）＝﹣6，求（2024﹣x）2+（x﹣2025）2的值； （3）两个正方形ABCD、AEFG如图3摆放．边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分的面积． 39．（2025春福田区校级期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）由（1）可得到一个关于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系式是　 　 ； （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知a+b＝5，ab＝5，则（a﹣b）2+（a+2）（b+2）＝　 　 ． ②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值． 【知识迁移】 （4）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形ABCD与小正方形EFGH的边长分别为a和b（a＞b）．已知两正方形边长之和a+b＝6，边长之积ab＝5，且E为AB中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是　4　 ． 40．（2025春于洪区期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积可表示为：（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于（a+b）2，（a﹣b）2，ab的等式是 　 　 ． （2）若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为S1和S2，若BG＝9，两正方形的面积和S1+S2＝47，求图中阴影部分的面积． 期末复习专题21 学科网（北京）股份有限公司 $$