期末复习：第8章 整式乘法与因式分解 2024-2025学年沪科版数学七年级下册

期末复习 第八章 整式乘法与因式分解 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D D C C A C B D 10.解：根据相关运算法则，逐项分析判断如下： （x+m）（3x﹣n）＝3x2+（3m﹣n）x﹣mn， （3x+m）（x﹣n）＝3x2+（m﹣3n）x﹣mn， 由题意得a＝3m﹣n，b＝m﹣3n， ∴a+b＝3m﹣n+m+3n＝8， ∴m﹣n＝2，即n＝m﹣2， ①若a＝b， ∴3m﹣n＝m﹣3n， 整理得m+n＝0， ∴m与n互为相反数，①说法正确，符合题意； ②若a≥2b， ∴3m﹣n≥2（m﹣3n）， 整理得m≥﹣5（m﹣2）， ∴， ∴mn＝m（m﹣2）＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1， 由条件可知当m≥1，mn随m的增大而增大， ∴当时，mn的最小值为，②说法正确，符合题意； ③∵a+b＝8， ∴或或或或或或， 解得或或或或或或， 当n＝0时，分式无意义， ∴或0或或﹣1或3或5，共有6个不相等的值，③说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. ． 12.﹣2． 13.41． 14. m4n; a4b5． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解：（1）15p（p+q）﹣10（p+q） ＝（15p﹣10）（p+q） ＝5（p+q）（3p﹣2）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2 ＝（x2+y2）2﹣（2xy）2 ＝（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy） ＝（x﹣y）2（x+y）2． 16.解：（1） ＝4﹣1+1﹣3 ＝1． （2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2+8x+4﹣4x2+25 ＝8x+29． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y） ＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2 ＝2xy， 当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4． 18.解：设另一个因式为（x+n）， 得3x2+5x﹣k＝（3x﹣1）（x+n）， 化简得3x2+5x﹣k＝3x2+3nx﹣x﹣n， 整理得3x2+5x﹣k＝3x2+（3n﹣1）x﹣n， 于是有， 解得：， 因此另一个因式是（x+2），k的值为2． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：（1）∵（x+y）2＝44，xy＝2， ∴2x2+2y2＝2（x2+y2） ＝2[（x+y）2﹣2xy] ＝2×（44﹣2×2） ＝2×（44﹣4） ＝2×40 ＝80； （2）∵（x+y）2＝44，xy＝2， ∴（x﹣y）2﹣xy＝（x+y）2﹣4xy﹣xy ＝（x+y）2﹣5xy ＝44﹣5×2 ＝44﹣10 ＝34． 20.解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：B； （2）①∵a+b＝6，a2﹣b2＝24， ∴（a+b）（a﹣b）＝24， ∴6（a﹣b）＝24， ∴a﹣b＝4； ②原式． ． 六、（本题满分12分） 21.解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4， 故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4； （2）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn， 故答案为：an﹣bn； （3）①原式＝（2﹣1）（221+220+219+⋯+23+22+2+1） ＝222﹣1； ②716﹣715+714﹣713+712﹣711+⋯﹣73+72﹣7 1 1 ． 七、（本题满分12分） 22.解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042， ∴28是“神秘数”；2020是“神秘数”； （2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数． 理由如下： （2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1）， ∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数， ∵2k+1是奇数， ∴“神秘数”是4的倍数，不是8的倍数； （3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则 （2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k， 此数是8的倍数，而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数， 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 八、（本题满分14分） 23.解：（1）图2阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，图2大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，四个长为m，宽为n的长方形的面积和为4mn， 所以阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn， 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （2）由S小正方形＝S大正方形﹣4S长方形可得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （3）①由（2）得， （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝49﹣24 ＝25， 故答案为：25； ②设a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝（4﹣x）（5﹣x）＝6， ∴a+b＝4﹣x+5﹣x＝9﹣2x， ∴（9﹣2x）2＝（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab ＝1+4×6 ＝25； （4）由于BE＝2，即x﹣y＝2， ∴（x﹣y）2＝4，即x2﹣2xy+y2＝4， ∵x2+y2＝34， ∴xy＝15， ∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+2×15＝64， ∴x+y＝8， ∴S阴影部分＝S△CDF+S△BEF x（x﹣y）y（x﹣y） （x+y）（x﹣y） 8×2 ＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习 第八章 整式乘法与因式分解 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.下列计算正确的是（　　） A．2a3+3a3＝5a6 B．6x3y2÷3x＝2x2y2 C．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6 2.计算（﹣x2y3）3÷（﹣xy3）的结果为（　　） A．x5y6 B．﹣x5y6 C．x6y3 D．﹣x6y3 3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1 C． D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 4.已知3a＝2，3b＝4，3c＝12，则下列结论错误的是（　　） A．c﹣b＝1 B．c﹣2a＝1 C．2a﹣b＝0 D．2a+c﹣2b＝0 5.已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 6.若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，则a的值（　　） A．1 B．﹣9 C．1或﹣9 D．5 7.若（x+m）（x﹣6）的计算结果中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．0 D．6或﹣6 8.若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 9.图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 10.已知m，n是常数，化简（x+m）（3x﹣n）和（3x+m）（x﹣n）的结果中x的一次项系数分别为a和b，且a+b＝8．下列说法： ①若a＝b，则m与n互为相反数；②若a≥2b，则mn的最小值为；③若a，b均为正整数，则有6个不相等的值．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若（a﹣3）2+|b+2|＝0，则多项式a2+b2ab的值为 　 　 ． 12.计算的结果为　 　 ． 13.如图，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为 　 　 ． 14.阅读下面例题的解题过程：例：已知x2＝m，x3＝n，请你用含m，n的代数式表示x11． 解：因为x2＝m，x3＝n，所以x11＝x2•（x3）3＝mn3． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：x11＝（x2）4•x3＝ 　m4n　 ； （2）解决问题：若a＝45，b＝54，试用含a，b的代数式表示2020＝ 　a4b5　 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.把下列各式因式分解： （1）15p（p+q）﹣10（p+q）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 16.计算． （1）； （2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2． 18.仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题， 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n）， 得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 化简得x2﹣4x+m＝x2+nx+3x+3n， 整理得x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 于是有， 解得． 因此另一个因式是（x﹣7），m的值为21． 问题：已知二次三项式3x2+5x﹣k有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及k的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.已知（x+y）2＝44，xy＝2，求： （1）2x2+2y2的值； （2）（x﹣y）2﹣xy的值． 20.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形． （1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：　 　； A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣b2＝（a﹣b）2 （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：a+b＝6，a2﹣b2＝24，求a﹣b的值； ②计算：． 六、（本题满分12分） 21.阅读解答： （1）填空： （a﹣b）（a+b）＝ 　 　； （a﹣b）（a2+ab+b2）＝ 　 　； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝ 　 ； （2）类推：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ 　 　（其中n为正整数，且n≥2）； （3）利用（2）的结论计算： ①221+220+219+⋯+23+22+2+1； ②716﹣715+714﹣713+712﹣711+⋯﹣73+72﹣7． 七、（本题满分12分） 22.如果一个正整数能表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如果4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k和2k+2（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续的奇数的平方差（取正整数）是“神秘数”吗？为什么？ 八、（本题满分14分） 23.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形（m＞n），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：　 　 ；方法二：　 　 ； （2）观察图2，直接写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的关系：　 　 ； （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知m+n＝7，mn＝6，则（m﹣n）2的值为　 　 ； ②已知：（4﹣x）（5﹣x）＝6，求（9﹣2x）2的值； （4）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和． 学科网（北京）股份有限公司 $$