第四章 三角形 专题复习-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（北师大版·新教材）

专题复习： 数理极 则其腰长是 第四章 三角形 考点3：三角形的三条重要线段 例3如图4，在△ABC 中，∠ACB=60°，∠BAC= ©江西刘梦琪 75°，AD⊥BC于点D,BE⊥1 知识回顾 边，任意两边之差 第三边 AC于点E,AD与BE交于点B (2)三角形三个内角的和等于 直 H,则∠CHD= 图4 1.三角形的概念 角三角形的两个锐角 解析：如图4，延长CH交AB于点F在 由不在同一直线上的三条线段 所 (3)三角形具有 性，即三边长确定 △ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB.所 组成的图形叫作三角形.三角形有 后三角形的大小和形状是固定不变的 以∠AFC=90°.又因为∠BAC=75°，所以 边、 个内角和 个顶点.“三角 4.全等三角形的概念及性质 ∠ACF=90°-∠FAC=15°.又因为∠ACB= 形”可以用符号“△”表示 (1)能够 的两个三角形叫作全等 60°，所以∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°.因为 (1)在直角三角形中，直角所对的边称为直 三角形.两个三角形全等时，互相重合的顶点叫 AD⊥BC,所以∠ADC=90°.所以∠CHD=90 角三角形的 ,夹 的两条边称 作 互相重合的边叫作 ,互相 -∠BCF=45°. 为直角三角形的直角边.直角三角形ABC可记 重合的角叫作 ,夹边就是三角形中相 故填45°. 作 邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端 ●专项练习 (2)有两边相等的三角形叫作 点的两边所组成的角。 9.如图5，在周长为 边都 的三角形叫作等边三角形， (2)全等三角形的 相等 20cm的△ABC中，AD是边 2.三角形的三条重要线段 (1)从三角形的一个顶点向它的对边所在 相等 BC上的中线，若CD=4cm AC=7cm,则AB的长为 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角 (3)全等三角形的一切对应元素都 ( 形的 三角形的三条高所在的 ,一般三角形全等的判定方法 A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 交于一 10.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC (2)在三角形中，连接一个顶点与它对边中 角形全等的判定方法 简记 文宇语言简述 40°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数是 点的线段，叫作三角形的 三角形的三 边边边 SSS 条中线交于一点，这个点称为三角形的 角边角 11.如图6，AD和BF分别是 角角边 △ABC的高和角平分线，AE是 (3)在三角形中，一个内角的角平分线与它 边角边 边BC上的中线. 的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫作三角形的 一·三角形的三条角平分 6.三角形全等的应用 (1)若△ABE的面积为6，B 线交于一点 (1)根据三角形全等的判定方法，能利用尺 则△ABC的面积为 3.三角形的主要性质 规作三角形； (2)若∠C=70°，∠BAC=60°，求∠DAC 和∠AFB的度数 (1)三角形的任意两边之和 (2)利用三角形全等测距离 ÷考点4：全等三角形的性质 考点解密 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其 例4如图7，点F,B, 中α称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特 E,C在同一条直线上， ?考点1：三角形及其内角和 征三角形”，那么它的“特征角”是 △ABC≌△DEF,若∠A=E 例1将一副三角尺如图1所示摆放，点D 5.如图3，已知小岛B在基 30°，∠F=26°，则∠DEC 在AC上，延长EA交CB的延长线于点F,∠ABC地A的南偏东20°方向上，与基 的度数为 =∠ADE=90°，∠C=30°，∠E=45°，则∠F地A相距10海里，货轮C在基地 A.54° B.56° C.58°D.60 的度数是 ):A的南偏西70°方向、小岛B的 解析：因为△ABC兰△DEF,∠A=30°，所 北偏西60°方向上，则∠C= 以∠D=∠A=30°.又因为∠F=26°，所以 ∠DEF=180°-∠D-∠F=124°.所以∠DEC 考点2：三角形的三边关系 =180°-∠DEF=56°. 例2数学课上，老让小明准备三根木棒 故选B. A.10° B.15 C.20° D.25 用来研究三角形三条边之间的关系，小明已经准 ●专项练习 解析：因为∠C=30°，∠ABC=90°，所以 备了6cm和10cm的木棒，若第三根木棒能够和 12.如图8，点D,E ∠BAC=60°，∠ABF=180°-∠ABC=90°.因 已经准备好的木棒构成三角形，则第三根木棒的是△ABC的边AC,BC 为∠E=45°，∠ADE=90°，所以∠EAD=45°. 长度可以是 )上的点，△ADB≌ 所以∠FAB=180°-∠BAC-∠EAD=75°.所 A.4cm B.5cmC.16cmD.18cm:△EDB兰△EDC,下列B 以∠F=90°-∠FAB=159 解析：设第三根木棒的长度是xcm.由三角结论：①MD=ED;②BC 故选B. 形的三边关系，得10-6<x<10+6,即4<x =2AB:③∠1=∠2=∠3：④∠4=∠5=∠6 ●专项练习 <l6.所以第三根木棒的长度可以是5cm 其中正确的有 (填序号) 1.图2中以AB为边 故选B. 13.一个三角形的三边长分别为3,7，x,另 的三角形有 个 ●专项练习 个三角形的三边长分别为y,3,9,若这两个三 2.已知△ABC中， 6.下列长度的三条线段，能组成三角形的是：角形全等，则x-y= ∠A=28°，∠B=52°， () 14.如图9，在△ABC中 则△ABC是 三 A.I cm,3 cm,4 cm B.3cm,3cm,5cmAD⊥BC于点D,BE⊥AC于 角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） C.5cm,6cm,12cmD.1cm,6cm,8cm:点E,AD,BE交于点F 3.生活中处处有数学，起重机的底座、输电 7.已知三角形的两边长分别是2cm和：△ADC兰△BDF,若BD=4, 线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的8cm,如果第三边长为xcm(x是整数)，则该三 DC=2,则△ABC的面积为 数学原理是 角形周长最大为 cm. 4.当三角形中一个内角α是另一个内角B 8.若等腰三角形的周长为18，一边长为4 (下转第29版) 数理招 专题复习 29 (上接第6版) 中线，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点（上接第30版） 。考点5：全等三角形的判定 E,过点C作CF⊥AD于点F,在DA延长线上取 ●专项练习 例5如图10，点E在 12.如图14，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶 △ABC的边AC上，AE=BC 点G,连接GC,使∠G=∠BAD,则3△mE 点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB BC∥AD,∠CED=∠BAD 于点E,F:再分别以点E,F为圆心，大于之EF的 试说明：△ABC≌△DEA. 长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC 解：因为BC∥AD,所以 ∠DAC=∠C.因为∠CED 图10 于点D.若CD=6,则点D到AB的距离是 =180°-∠AED,∠D+∠DAC=180° ∠AED,所以∠CED=∠D+∠DAC.又因为 ∠CED=∠BAD,∠BAD=∠DAC+∠BAC,所 四16 17 以∠D=∠BAC.又因为BC=EA,所以△ABC 20.如图17，在△ABC中，点D在边AB上， ≌△DEA(AAS) EF分别交BC,AC于点G,O,DF∥BC,AC= ●专项练习 DF,∠C=∠OGC,∠A=∠EDF,试说明：BC= 图14 15.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人EF. 13.如图15，在△ABC中，SABe=21,∠BAC 墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着 ?考点6：全等三角形的应用 的平分线AD交BC于点D,点E为AD的中点，连 造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风 例7情境：如图18-①，为了测量池塘两 接BE,点F为BE上一点，且BF=2EF.若SADEF 筝，使其更加轻便、易于放飞在如图11所示的 端A,B之间的距离，在地面上选取可以直接到达 =2,AC=6,则AB= “风筝”图案中，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE, 点A和点B的点C,连接AC,BC,再在地面上选 (本章检测卷见第19~20版) 则可以直接判定 取可以直接到达点B和点C的点D,连接DB DC,使CB平分∠ACD,AC=DC(点A,B,C,D在 上接第31版) 同一平面内)，此时测量出线段BD的长便是池 ?考点4：用图象表示变量之间的关系 塘两端A,B之间的距离 例4小敏上午8：00 ↑/米 从家里出发，骑车去一家300 2000 超市购物，然后从这家超 网11 市返回家中，小敏离家的 A.△AEG≌△ABCB.△AEG≌△ACF 4045/份到 路程y(米)和所经过的 图3 C.△ABF≌△ADG D.△ABC≌△ADE 时间x(分钟)之间的图象如图3所示.下列结 16.如图12，已知∠1=∠2，添加下列条件 不能使△ABC≌△DCB的是 图18 论：①小敏在超市逗留了30分钟：②小敏家距离 19 A.AB CD B.AC =BD 论证：(1)请你说明“情境”中的结论正确： 超市3000米；③小敏去超市途中的速度是 C.∠A=∠D D.∠ABC=∠DCE 探究：(2)请你再设计一种测量池塘两端A 300米/分：④小敏8：50返回到家，其中正确的 B之间距离的方案，并说明理由（要求写出方案 是 (填序号) 并借助刻度尺和圆规在图18-②中画出图形) 解析：由图象知：小敏在超市逗留的时间为： 解：(1)因为CB平分∠ACD,所以∠ACB= 40-10=30(分钟)，①正确；小敏家距离超市 ∠DCB.在△ACB和△DCB中，因为AC=DC 3000米，②正确；小敏去超市途中的速度为： 图12 图13 ∠ACB=∠DCB,BC=BC,所以△ACB≌ 3000÷10=300(米/分)，③正确；小敏从超市 17.如图13，点C是线段AB的中点，∠ACD △DCB(SAS).所以AB=DB. 返回时的速度为：300-200=200（米/分）， =∠BCE,∠DME=∠DNE,试说明：△ACE兰 (2)如图19，在地面上选取可以直接到达点 45-40 △BCD. A和点B的点0，连接A0并延长到点C,使OC= 所以小敏从超市返回时的时间为：3000÷200= 例6如图14，在△ABC与△A'B'C'中，边 OA,连接BO并延长到点D,使OD=OB,连接 15(分钟)，40+15=55（分钟），所以小敏8：55 BC与边B'C上的中线分别为AD与A'D'.若AB CD,此时测量出线段CD的长就是池塘两端A,B 返回到家，④错误 =A'B',BC=B'C',AD=A'D'.试说明：△ABC 之间的距离.理由为：在△AOB和△COD中，因 故填①2③. ≌△A'B'C 为OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,所以 ●专项练习 △AOB≌△COD(SAS).所以AB=CD. 6.小明在游乐场坐 ●专项练习 98 过山车，在某一段60秒 8 21.如图20，工人师傅要检查人字梁的∠B 的时间内过山车的高度 和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有 h(米)与时间t(秒)之 个刻度尺.他是这样操作的：①分别在BA和CA 图14 间的图象如图4所示， 上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出 解：因为AD,A'D'分别是△ABC,△A'BC DE的长为a,FG的长为b.如果a=b,那么说明 下列结论错误的是 A.当t=41时，h=15 的中线，所以BD=2BC,B'D'=2B'C又因 ∠B和∠C是相等的，他得出此结论的依据是 B.过山车距水平地面的最高高度为98米 为BC=B'C',所以BD=BD'.在△ABD和 C.在0~60秒范围内，当过山车高度是 △A'BD'中，因为AB=A'B',BD=BD',AD= 80米时，t的值只能等于30 A'D',所以△ABD≌△A'B'D'(SSS).所以∠B D.在41~53秒范围内，高度h(米)随时间 =∠B'.在△ABC和△A'B'C'中，因为AB= (秒)的增大而增大 A'B',∠B=∠B',BC=B'C',所以△ABC≌ 7.如图5所示容器是由两个底面半径不相 △A'B'C'(SAS). 图20 图21 等的圆柱体构成，匀速向容器内注水，直至把容 ●专项练习 22.如图21，已知△ABC和射线EM,请仅用 器注满，在注水过程中，水面高度h随注水时间 18.如图15，AB=AC,点 无刻度直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图 变化的图象是 D在线段BE上，AD=AE 痕迹，不写作法) ∠BAC=∠DAE,∠1=25° (1)在射线EM的上方，作∠NEM=∠B; ∠2=30°，则∠3的度数为 (2)在射线EM的上方，作△EDF,使得 马1∠∠∠∠ 图15 △BAC≌△EDF 图5 19.如图16，在△ABC中，AD为BC边上的 (本章检测卷见第13~14版) （本章检测卷见第21~22版)16 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥FH.所以∠MEF= ∠EFH,∠FGC=∠GFH.由(1)知∠BMW=∠FGC.所 以∠BMN=∠GFH.所以∠EFG=∠GFH+∠EFH= ∠BMN+∠MEF. 4M E E R C G H G 图1 图2 (3)因为ER平分∠FEB,GR平分∠FGD,所以设 ∠BER=∠FER=x,∠FGR=∠DGR=y.所以∠AEF =180°-2x.如图2，过点F作FT∥AB,过点R作RS∥ AB.因为AB∥CD,所以FT∥AB∥CD∥RS.所以 ∠ERS=∠BER=x,∠GRS=∠DGR=y,∠1=∠FGC =180°-2y.所以∠ERG=x+y.因为∠HFG=90°，所 以∠2=90°-∠1=90°-(180°-2y)=2y-90°.所 以∠FHD=∠2=2y-90°.因为∠FHD-∠AEF= 30°，所以2y-90°-(180°-2x)=30°，即2x+2y= 300°.所以x+y=150°.所以∠ERG=150°.所以 ∠WW=GERG=259 《概率初步》专项练习 1.C;2.C;3.B;4.60%;5.4; 6.C;7.12:8.1 9()设盒子中有黑球x个由题意，得x=子(3+ 7+x).解得x=5. 答：盒子中有5个黑球 (2)由题意，得7=3(3+7+m).解得m=11. 10 11.A 《概率初步》复习检测卷 题号 8 10 答案 12 B B B 二、11.不可能；12.0.97；13.③：14. 49 15.1或2或3或4或5. 三、16.不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试 验次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等. 17.(1)表格中从左至右依次填4,2或3. (2)事件A发生的概率为：12-2 8 4 5 18.因为摸了100次，发现有25次摸到红色乒乓球，所 以估计模到红色乓球的概率为：高：子设箱子中有 红色兵球x个由题意，得x=子(5+).解得x=5 答：估计箱子中有5个红色乒乓球， 四19(1)P(小明茨得中性笔)=高=石 18 (2)P(小明获得奖品)=2+3+4=1 18 (3)18×号 =10(个)，10-9=1（个），所以需要再 将1个空白扇形涂上颜色 20.(1)因为盒中有x枚白棋和y枚黑棋，所以盒中 共有(x+)枚棋子由题意，得y=号(x+).所以y与 x之间的关系式为y=4 (2)由题意，得y+2=子(x+y +12). 由)得y=号，所以导+2=子（✉ 5*t 4 12).解得x=10.所以y=8. 21.(1)P(指针落在红色区域)= 144 2 360 5 P(指针落在白色区域)= 360-1443 360 1 (2)红色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 3 120°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 12 150°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 参考答案 90°.画图略 五、22.(1)0.67；(2)0.7；(3)0.4； (4根据题意，得=10（手方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是10π平方米. 23.(1)由表1可知，经过食堂的师生有70人，使用 共享雨伞的有7人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是：不=0 (2)4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：280×品=21，图信：30× 8 10 =24,食 堂：20×石=20，宿舍楼：25× 7 6 0 =15. 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：21+24+ 20+15=80,所以在4个放置区投放雨伞的把数分别为： =63，图书信240×总-72，食监20 21 教学楼：240× =60,宿舍楼：240×5 =45. 80 0 所以投放方案是教学楼63把，图书馆72把，食堂 60把，宿舍45把 《三角形》专项练习 1.3:2.钝角：3.三角形具有稳定性： 4.90°或60°；5.50：6.B;7.19; 8.7:9.B: 10.20°或80°. 11.(1)12; (2)因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.因 为∠C=70°，所以∠DAC=90°-∠C=20°.因为∠C =70°，∠BAC=60°，所以∠ABC=180°-∠C-∠BAC =50°.因为BF是△ABC的角平分线，所以∠ABF= 2∠ABC=259.所以∠AFB=180°-∠ABF-∠BAC= 95°. 12.①②③④：13.2；14.12；15.D:16.A. 17.因为点C是线段AB的中点，所以AC=BC.因为 ∠ACD=∠BCE,所以∠ACD+∠DCE=∠BCE + ∠DCE,即∠ACE=∠BCD.设BD与AE交于点O,因为 ∠DME=∠DNE,∠DOM=∠EON,所以180°-∠DME -∠DOM=180°-∠DWE-∠EON,即∠D=∠E.所以 △ACE≌△BCD(AAS). 18.55°； 191 2 20.因为DF∥BC,所以∠F=∠OGC.又因为∠C =∠OGC,所以∠F=∠C.在△ABC和△DEF中，因为 ∠C=∠F,AC=DF,∠A=∠EDF,所以△ABC≌ △DEF(ASA).所以BC=EF. 21.全等三角形的对应角相等。 22.图略. 《三角形》复习检测卷 题号 8 10 答案 C B A D 二、11.三角形具有稳定性；12.9.5,9.5； 13.140°；14.16；15.4.2或0.8. 三、16.如图3，△ABC和△ABC'即为所求， 图3 17.因为△ABE≌△ACD,所以AE=AD,AB=AC. 因为D,E分别为AB和AC上的点，所以AB-AD=AC- AE,即BD=CE. 18.因为∠BCA=40°，∠ABC=60°，所以∠BAC= 180°-∠BCA-∠ABC=80°.因为AE是△ABC的角平 分线，所以∠EAC=号∠BAC=40.因为BF是△ABC 2 的高，所以∠BFA=90°.所以∠AOF=90°-∠EAC= 50°.所以∠E0F=180°-∠A0F=130°. 四、19.(1)因为∠BCE=∠ACD=90°，所以∠BCA +∠ACE=90°，∠ECD+∠ACE=90°.所以∠BCA= ∠ECD.在△ABC和△DEC中，因为∠ABC=∠DEC,BC =EC,∠BCA=∠ECD,所以△ABC≌△DEC(ASA).所 以AC=DC. (2)由(1)知AC=DC.因为∠ACD=90°，所以 ∠CAD=∠ADC=45°.因为AC=AE,所以∠ACE= LAEC = 之(180°-∠CAD)=67.5,所以∠DEC= 数理报 180°-∠AEC=112.5°. 20.因为AB⊥BC,DE⊥CD,所以∠ABC=∠CDE =90°.又因为∠ACB=68.2°，所以∠BAC=90° ∠ACB=21.8°=∠ECD.在△ABC和△CDE中，因为 ∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CDE,BC=DE,所以 △ABC≌△CDE(AAS).所以AB=CD.因为CD=12m, 所以AB=12m,即教学楼高度AB为12m. 21.(1)因为∠ACB=∠DCE,所以∠ACB+∠BCD =∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和 △BCE中，因为CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,所 以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE. (2)△CPQ为等腰直角三角形.理由如下： 由(1)知AD=BE.因为AD,BE的中点分别为点P, Q,所以AP=BQ.因为△ACD≌△BCE,所以∠CAP= ∠CBQ.在△ACP和△BCQ中，因为CA=CB,∠CAP= ∠CBQ,AP=BQ,所以△ACP≌△BCQ(SAS).所以CP =CQ,∠ACP=∠BCQ.又因为∠ACP+∠PCB=90°， 所以∠BCQ+∠PCB=90°，即∠PCQ=90°.所以 △CPQ为等腰直角三角形 五、22.(1)240； (2)因为∠A=45°，所以∠ABC+∠ACB=180°- ∠A=135°.因为∠E+∠F=105°，所以∠D=180°- (∠E+∠F)=75°.所以∠DBC+∠DCB=180°-∠D =105°.所以∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB- (∠DBC+∠DCB)=30°. (3)不能.理由如下： 由(2)知∠DBC+∠DCB=105°.若BD,CD分别平 分∠ABC和∠ACB,所以∠ABC+∠ACB=2∠DBC+ 2∠DCB=210°，与三角形内角和定理相矛盾.所以不能 将△DEF摆放到某个位置，使得BD,CD分别平分∠ABC 和∠ACB. 23.(1)因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90° 因为BE是△ABC的高，所以∠AEB=∠BEC=90°.所 以∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°.所以 ∠EAO=∠EBC.在△AOE和△BCE中，因为∠EAO= ∠EBC,AE=BE,∠AEO=∠BEC,所以△AOE≌ △BCE(ASA).所以AO=BC=5. (2)如图4，设点P的运动时间为 x秒.由已知得OP=x,BQ=4x.因为 A0=5,所以AP=A0-OP=5-x.在 △APE和△BQE中，因为∠APE= ∠BQE,∠EAP=∠EBQ,AE=BE,所以 △APE≌△BQE(AAS).所以AP=BQ. B 所以5-x=4x.解得x=1.所以点P的 图4 运动时间是1秒. (3)存在t值，使以点B,O,P为顶点的三角形与以 点F,C,Q为顶点的三角形全等 由(1)知△AOE≌△BCE.所以∠AOE=∠BCE.所 以180°-∠AOE=180°-∠BCE,即∠POB=∠QCF. ①如图5-①，当OP=CQ时，因为OB=CF, ∠POB=∠QCF,所以△BOP≌△FCQ(SAS),所以5- 4t=t,解得t=1; 图5 ②如图5-②，当OP=CQ时，因为OB=CF, ∠POB=∠QCF,所以△BOP≌△FCQ(SAS),所以4t 5=t,解得t= 3 综上所述，存在t值，使以点B,O,P为顶点的三角形 与以点F,C,Q为顶点的三角形全等，符合条件的t值为1 《图形的轴对称》专项练习 1.B 2.如图6. 图6 3.122°. 4.图略. 5.EF=2BD.理由如下： 过点A作AG⊥EF于点G,图略.所以∠AGE=90°