专题4.4 探究三角形全等的条件（SSS和SAS）（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.4 探究三角形全等的条件（SSS和SAS）（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】三角形的稳定性 1.三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. （2）四边形具有不稳定性. 2.三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点2】三角形全等的条件——“边边边” 1.边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2.书写格式：如图：在△ABC和△A’B’C’中, △ABC≌△A’B’C’（SSS） 【要点提示】在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来. 【知识点3】三角形全等的条件——“边角边” 1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 2.书写格式：如图，在△ABC和△A’B’C’中， △ABC≌△A’B’C（SAS） 【要点提示】如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 考点与题型目录 【考点一】三角形的稳定性 【题型1】三角形的稳定性.......................................................3 【题型2】四边形的不稳定性.....................................................3 【考点二】三角形全等的条件——“SSS” 【题型3】用SSS证明三角形全等.................................................4 【题型4】用SSS间接证明三角形全等.............................................7 【题型5】全等的性质和SSS综合.................................................8 【考点三】三角形全等的条件——“SAS” 【题型6】用SAS证明三角形全等................................................11 【题型7】用SAS间接证明三角形全等............................................12 【题型8】全等的性质和SAS综合................................................15 【考点四】三角形全等的条件——“SSS”和“SAS”综合 【题型9】全等的性质和“SAS”“SSS”综合......................................17 【题型10】添加辅助线证明三角形全等...........................................21 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】链接中考...........................................................25 【题型12】拓展延伸...........................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三角形的稳定性 【题型1】三角形的稳定性 【例1】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，则形成三角形，由于三角形具有稳定性，故能防止椅子摇晃． 解：木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 【变式】（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故答案为：三角形的稳定性． 【题型2】四边形的不稳定性 【例2】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明做了一个长方形框架，但发现它很容易变形．若要加固此长方形框架，则他应该选择的加固方案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的基本性质，熟知三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比， 具有不容易扭转或变形的特点是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案． 解：∵三角形的稳定性是指三角形与其他多边形相比， 具有不容易扭转或变形的特点， ∴加固方案应加固成三角形的形状． 故选：B． 【考点二】三角形全等的条件——“SSS” 【题型3】用SSS证明三角形全等（SSS） 【例3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题． 解：证明：∵， ∴， ∵， ． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 解：在和中， ， ， 就是的平分线， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）完成下面的说理过程． 已知：，，． 试说明：． 解：因为（已知）， 所以，即（ ）． 在和中，， 所以（ ）． 【答案】 等式性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定．先求得，再利用证明即可． 解：因为（已知）， 所以，即（等式性质）． 在和中， ， 所以． 故答案为：等式性质；． 【题型4】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【例4】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 解：证明：， 则，即， 在和中， ， ． 【变式1】（17-18七年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【变式2】（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型5】全等的性质和SSS综合 【例5】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 解：（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式1】（21-22八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明可得，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 【考点三】三角形全等的条件——“SAS” 【题型6】用SAS证明三角形全等 【例6】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）由，推导出，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，根据同位角相等，两直线平行得出结论． 解：（1）证明：， ， ， 在与中， ． （2）由（1）得， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期末）在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，若要测量雉形瓶底面内径的长度，只需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证，根据全等三角形的性质求解即可． 本题考查了全等三角形的应用，根据题意确定全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：在和中， ， ， ， 即若要测量雉形瓶底面内径的长度，只需要测量的线段是， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 【题型7】用SAS间接证明三角形全等 【例7】（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 【答案】（1）图见分析；（2）详见分析 【分析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，正确画出图形是解题关键． （1）根据题意，在射线上截取，连接即可； （2）利用全等三角形的判定方法结合得出答案． 解：（1）解：作图如图， （2）证明：在和中 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 【变式2】（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 【题型8】全等的性质和SAS综合 【例8】（2025·陕西西安·一模）如图，已知点A、F、C、D在同一条直线上,且，若，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质．由得．由得，证明，即可得出． 解：证明：， ． ， ，即， 在和 中， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．先证明，再由全等三角形的性质可得对应角，进而得出答案． 解：如图所示： 在和中， ， ， ， 则． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的度数是 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题中条件根据得出，即，进而可求解其结论． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【题型9】全等的性质和“SAS”“SSS”综合 【例9】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． （1）根据中点的定义得出，，则，即可根据求证； （2）由（1）可得，则，根据中点的定义推出，即可根据证明． 解：（1）证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ． 在和中， ， ； （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可． 解：（1）从作图可知：，， 根据“”可得：， 所以； （2）从操作可得：，，，根据“”得； （3）因为，，，根据“”得， 所以是的平分线； （4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得； 综上分析可知：判定方法不一样的是（4）． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积．其中正确的结论有 ．        【答案】①②③ 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明与全等，再证明与全等即可判断． 解：在与中， ， ∴，故③正确； ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故①②正确； 四边形的面积， 故④错误； 故答案为：①②③． 【题型10】添加辅助线证明三角形全等 【例10】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． （1）若，求证：； （2）当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）延长至E，使，连接，运用证明，可得结论； （2）在的延长线上取点F，使，连接，根据推导得到结论． 解：（1）证明：延长至E，使，连接. ∵， ∴. ∵平分， ∴. 在与中， , ∴. ∴. ∵， ∴ ∵， ∴. （2）解：. 理由：在的延长线上取点F，使，连接. ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. ∵是的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴. ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，补角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键. 延长到点G，使，连接，证明，得，，再利用证明，得，从而解决问题． 解：如图，延长到点G，使，连接， ，， ， 又，， ∴， ，， 若， 则， ， ， ， 故答案为：． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型11】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 解：证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【例2】（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】见分析 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 解：证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【点拨】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．在边上取点D，使，连接，证明，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解． 解：如图，在边上取点D，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 所以A选项符合题意． 故选：A 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∴，， 若，则当时， 根据可得， ∴，解得； 若，则当时， 根据可得， ∴，解得：． 综上，当和全等时，t的值为1或7． 故答案为：1或7． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 探究三角形全等的条件（SSS和SAS）（3大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】三角形的稳定性 1.三角形的稳定性 （1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. （2）四边形具有不稳定性. 2.三角形稳定性的应用 稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等. 【知识点2】三角形全等的条件——“边边边” 1.边边边：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 2.书写格式：如图：在△ABC和△A’B’C’中, △ABC≌△A’B’C’（SSS） 【要点提示】在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来. 【知识点3】三角形全等的条件——“边角边” 1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 2.书写格式：如图，在△ABC和△A’B’C’中， △ABC≌△A’B’C（SAS） 【要点提示】如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 3. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 考点与题型目录 【考点一】三角形的稳定性 【题型1】三角形的稳定性.......................................................3 【题型2】四边形的不稳定性.....................................................3 【考点二】三角形全等的条件——“SSS” 【题型3】用SSS证明三角形全等.................................................4 【题型4】用SSS间接证明三角形全等.............................................5 【题型5】全等的性质和SSS综合.................................................6 【考点三】三角形全等的条件——“SAS” 【题型6】用SAS证明三角形全等.................................................6 【题型7】用SAS间接证明三角形全等.............................................7 【题型8】全等的性质和SAS综合.................................................8 【考点四】三角形全等的条件——“SSS”和“SAS”综合 【题型9】全等的性质和“SAS”“SSS”综合.......................................9 【题型10】添加辅助线证明三角形全等...........................................10 【考点五】链接中考与拓展延伸 【题型11】链接中考...........................................................11 【题型12】拓展延伸...........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】三角形的稳定性 【题型1】三角形的稳定性 【例1】（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，木工师傅在晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止椅子摇晃，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【变式】（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【题型2】四边形的不稳定性 【例2】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，小明做了一个长方形框架，但发现它很容易变形．若要加固此长方形框架，则他应该选择的加固方案是（   ） A． B． C． D． 【考点二】三角形全等的条件——“SSS” 【题型3】用SSS证明三角形全等（SSS） 【例3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B在同一直线上，，且．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，小敏做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）完成下面的说理过程． 已知：，，． 试说明：． 解：因为（已知）， 所以，即（ ）． 在和中，， 所以（ ）． 【题型4】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【例4】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【变式1】（17-18七年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式2】（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【题型5】全等的性质和SSS综合 【例5】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1】（21-22八年级上·福建厦门·期末）如图，已知与，四点在同一条直线上，其中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【考点三】三角形全等的条件——“SAS” 【题型6】用SAS证明三角形全等 【例6】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·广东云浮·期末）在生物实验课上，老师布置了“测量雉形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，若要测量雉形瓶底面内径的长度，只需要测量的线段是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【题型7】用SAS间接证明三角形全等 【例7】（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，射线在外，． （1）在射线上截取，连接；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：； 【变式1】（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（21-22八年级上·云南昭通·期中）如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【题型8】全等的性质和SAS综合 【例8】（2025·陕西西安·一模）如图，已知点A、F、C、D在同一条直线上,且，若，．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的度数是 ． 【题型9】全等的性质和“SAS”“SSS”综合 【例9】（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）完成下面的证明： 如图（1），，E、F分别是、的中点．那么． 证明：∵E、F分别是、的中点， ，． ∵ ． 在和中， （                   ） （2）根据（1）的证明，若连接，如图7（2）．请证明：． 【变式1】（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）． （2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线． （3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线． （4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的． 以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（　　） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 四边形是一个筝形，其中，，、交于点O，探究筝形的性质时，得到如下结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积．其中正确的结论有 ．        【题型10】添加辅助线证明三角形全等 【例10】（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，是的角平分线． （1）若，求证：； （2）当时，与的数量关系如何？说说你的理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，且，则 （用含α的代数式表示）． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型11】链接中考 【例1】（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【例2】（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【题型12】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$