专题4.3 全等三角形（4大知识点3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.3 全等三角形（4大知识点3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。“完全重合” 意味着两个三角形的形状和大小完全相同，即对应边的长度相等，对应角的度数相等。例如，将一个三角形通过平移、旋转、翻折等变换后能与另一个三角形完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形。 【知识点2】全等三角形表示方法 全等用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”。如三角形 ABC 与三角形 DEF 全等，记作 “△ABC≌△DEF”。在表示全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以方便地确定对应边和对应角。 【知识点3】全等三角形相关元素 1.对应顶点：两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。在△ABC≌△DEF 中，点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别是对应顶点。 2.对应边：互相重合的边叫做对应边。在△ABC≌△DEF 中，AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 分别是对应边。 3.对应角：互相重合的角叫做对应角。在△ABC≌△DEF 中，∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 分别是对应角。 【知识点4】全等三角形性质 性质1：对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等。 性质2：对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的。 拓展性质： 1：对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的。 2：对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等。 3：对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等。 4：周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等。 5：面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等。 考点与题型目录 【考点一】全等三角形的概念 【题型1】全等三角形对应边、对应角............................................2 【题型2】全等三角形表示方法..................................................3 【考点二】全等三角形性质 【题型3】利用全等三角形的性质求线段..........................................3 【题型4】利用全等三角形的性质求角度..........................................4 【题型5】利用全等三角形民性质证明............................................4 【题型6】利用全等三角形的性质解决动点问题....................................5 【题型7】利用全等三角形的性质求周长、面积....................................6 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接............................................................7 【题型9】拓展延伸............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】全等三角形的概念 【题型1】全等三角形对应边、对应角 【例1】1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【变式1】2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【题型2】全等三角形表示方法 【例2】（22-23八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【考点二】全等三角形性质 【题型3】利用全等三角形的性质求线段长 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，若，，则的长为（   ） A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 【题型4】利用全等三角形的性质求角度 【例4】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，，，． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点在上，点在上，，且．则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的度数为 【题型5】利用全等三角形的性质证明 【例5】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． （1）求证：； （2）请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【题型6】利用全等三角形的性质解决动点问题 【例6】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． （1）用含的式子表示、； （2）若点的运动速度也为每秒，为何值时，； （3）若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【变式1】（24-25八年级上·天津南开·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点向点运动．则当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【题型7】利用全等三角形的性质求周长、面积 【例7】（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，B，C，D三点在同一条直线上，，． （1）求的周长． （2）求的面积． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知在和中，，且，，，，则的周长为 cm，面积为 ． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【题型9】拓展延伸 【例1】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形ABC的边长为6，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段BC1上一动点，则AD＋CD的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【例2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．   （1）直接填空：与的位置关系是__________； （2）点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； （3）试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 全等三角形（4大知识点3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】全等三角形概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。“完全重合” 意味着两个三角形的形状和大小完全相同，即对应边的长度相等，对应角的度数相等。例如，将一个三角形通过平移、旋转、翻折等变换后能与另一个三角形完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形。 【知识点2】全等三角形表示方法 全等用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”。如三角形 ABC 与三角形 DEF 全等，记作 “△ABC≌△DEF”。在表示全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以方便地确定对应边和对应角。 【知识点3】全等三角形相关元素 1.对应顶点：两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。在△ABC≌△DEF 中，点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别是对应顶点。 2.对应边：互相重合的边叫做对应边。在△ABC≌△DEF 中，AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 分别是对应边。 3.对应角：互相重合的角叫做对应角。在△ABC≌△DEF 中，∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 分别是对应角。 【知识点4】全等三角形性质 性质1：对应边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长度完全相等。 性质2：对应角相等：全等三角形的对应角大小是相等的。 拓展性质： 1：对应高相等：全等三角形对应边上的高是相等的。 2：对应中线相等：全等三角形对应边上的中线长度相等。 3：对应角平分线相等：全等三角形对应角的平分线长度也相等。 4：周长相等：因为全等三角形的对应边都相等，所以它们的周长必然相等。 5：面积相等：全等三角形能够完全重合，它们所覆盖的区域大小相同，所以面积相等。 考点与题型目录 【考点一】全等三角形的概念 【题型1】全等三角形对应边、对应角............................................2 【题型2】全等三角形表示方法..................................................3 【考点二】全等三角形性质 【题型3】利用全等三角形的性质求线段..........................................4 【题型4】利用全等三角形的性质求角度..........................................6 【题型5】利用全等三角形民性质证明............................................8 【题型6】利用全等三角形的性质解决动点问题...................................10 【题型7】利用全等三角形的性质求周长、面积...................................13 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接...........................................................15 【题型9】拓展延伸...........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】全等三角形的概念 【题型1】全等三角形对应边、对应角 【例1】1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见分析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 【变式1】2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【题型2】全等三角形表示方法 【例2】（22-23八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念求解即可． 解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【考点二】全等三角形性质 【题型3】利用全等三角形的性质求线段长 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 解：因为，，． 所以，， 则． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，若，，则的长为（   ） A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形对应边相等成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． 【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】据全等三角形的性质可得，进而可得，再由，，即可求出的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键． 解：， ， ， 即， ∵，， ， 即， ， 故答案为：2． 【题型4】利用全等三角形的性质求角度 【例4】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，，，． （1）求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查全等三角形的性质， （1）根据三角形外角的性质得，根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和可得的度数； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形外角的性质可得的度数； 解题的关键是掌握：全等三角形的对应角相等． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，点在上，点在上，，且．则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识是解答本题的关键；本题可由可设，，根据三角形全等可得，解出的数值，进而求解得到的度数； 解：由可设，， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，，，，则的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得再利用三角形内角和定理求得的度数，然后根据即可得解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【题型5】利用全等三角形的性质证明 【例5】（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． （1）求证：； （2）请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 解：（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角、对应边相等．根据全等三角形的性质，对每一项分别分析、解答出即可． 解：， ，，，， 故①④正确； ， ，， ，， ， 故②③正确； 综上，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 【题型6】利用全等三角形的性质解决动点问题 【例6】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． （1）用含的式子表示、； （2）若点的运动速度也为每秒，为何值时，； （3）若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【答案】（1），；（2）；（3）每秒；． 【分析】（）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 【变式1】（24-25八年级上·天津南开·期中）现有一块如图所示的四边形草地，经测量，，，，，点是边的中点．甲机器人从点出发以的速度沿向点运动，同时乙机器人从点出发沿向点运动，若将甲、乙机器人各自到达的位置分别记为点和点．如果能够在某一时刻使与全等，则乙机器人的运动速度为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，先求出，设运动时间为秒，则，，，然后分当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 解：∵点是边的中点， ∴， 设运动时间为秒， ∴，，， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴乙机器人的运动速度为； 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴乙机器人的运动速度为； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点向点运动．则当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，分别利用：①当时，；②当时，，进行求解即可，关键是掌握三边对应相等的两个三角形全等． 解：①当时，， ，， ， ， ， ， 点从点出发在线段上以的速度向点向运动， 时间为：， 点的运动速度为； ②当时，， 设秒时，， 由题意得：， 解得：， ∵ ， 故答案为：或． 【题型7】利用全等三角形的性质求周长、面积 【例7】（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，B，C，D三点在同一条直线上，，． （1）求的周长． （2）求的面积． 【答案】（1）30；（2） 【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到，然后计算的周长； （2）先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后根据三角形面积公式计算的面积． 解：（1）， ， 的周长； （2）， ， ， ， ， ， 的面积． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（    ）． A．和的面积相等 B．和的周长相等 C． D．，且 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及应用，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质是解答本题的关键． 解：∵， ∴两个全等的三角形是一定能够完全重合的图形， ∴和的面积与周长都相等． ∴选项A、B都正确，不符合题意． 又∵， ∴ ∴（全等三角形的对应角相等） ∴与不一定相等， ∴选项C不正确，符合题意． 又∵， ∴（全等三角形的对应边相等） 又∵ ∴（内错角相等两直线平行） ∴选项D正确，不符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知在和中，，且，，，，则的周长为 cm，面积为 ． 【答案】 12 6 【分析】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等的性质得到，即可求出面积和周长． 解：， ，，， 故的周长为， 面积为：， 故答案为：，． 【考点六】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接 【例1】（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 【例2】（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点拨】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【题型9】拓展延伸 【例1】（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形ABC的边长为6，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段BC1上一动点，则AD＋CD的最小值是（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】连接 ，由△ABC≌△A1BC1，A、B、A1三点在一条直线上，可得点C关于的对称点是A1，则当点D与点B重合时，AD＋CD取最小值． 解：如图，连接 ， ∵△ABC≌△A1BC1，三角形ABC是等边三角形，边长为6， ∴ ， ∵A、B、A1三点在同一直线上， ∴点C关于的对称点是A1， ∴当点D与点B重合时，AD＋CD取最小值， 此时AD＋CD， 故选：B． 【点拨】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题关键是得出当点D与点B重合时，AD＋CD取最小值． 【例2】（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．   （1）直接填空：与的位置关系是__________； （2）点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； （3）试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】（1）；（2）9；（3）当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 解：（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 【点拨】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$