第一章 整式的乘除&第二章 相交线与平行线&第三章 概率初步 专题复习-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（北师大版·新教材）

数理极 第44期2版参考答案 6.4用图象表示变量之间的关系 6.4.1曲线型图象 基础训练1.D;2.C;3.①②. 4.(1)10,5;(2)8; (3)这只蝴蝶在0~1秒飞行高度逐渐升高，1~2 秒飞行高度逐渐降低，2~3秒飞行高度逐渐升高，3~5 秒飞行高度逐渐降低 能力提高5.D. 6.4.2折线型图象 基础训练1.A;2.C; 3.(1)时间（或t),(2)5,(3)25,(4)2,15,(5)第6 分钟时，无人机飞行的高度是50米. 4.（1)观察时间x; (2)该植物从观察时起，60天以后停止长高. (3)因为31-24=7（厘米），7÷(60-40)= (厘 米/天)，所以从第40天到第60天，植物的高度增长7厘米， 植物平均每天长高 厘米. 第44期3,4版参考答案 题号 1 6 8 9 10 答案 B B 二、11.15；12.y=4x;13.20: 14.①②③：15.2.5或8.5. 三、16常量：，分8：变量h, 4 17.(1)常量：3，m;变量：R, (2)当R=2时，=：当R=3时，y=36m:当 R=4时，V=2 3m.列表略 18.(1)垂直于墙的边长x,平行于墙的边长y: (2)y与x之间的关系式为y=-2x+41. (3)当x=7时，y=-2×7+41=27.因为27>26， 所以不合理. 四、19.(1)反映了速度和时间的关系 (2)点A表示6分钟时的速度为60千米/时，点B表 示18分钟时的速度为0千米/时. (3)0到6分钟时加速行驶，6到12分钟匀速行驶，12 到18分钟减速行驶至停止. (4)答案不惟一，如：小明的爸爸驾车上班，前6分 钟在加速行驶，加速到60千米/时后，匀速行驶了6分 钟，12到18分钟减速行驶至停止 20.(1)容器内原有水0.5L (2)水龙头关闭不严造成的滴水速度为：(2.0- 0.5)÷1.5=1(L/h). 设上午有n个小时水龙头关闭不严，导致容器内显 示水量3.5L根据题意，得0.5+1×n=3.5.解得n= 3. 因为开始时间是上午7：30，所以经过3小时应该是 上午10：30，即当容器内显示水量3.5L时是上午10：30. 21.(1)由甲印刷厂的优惠方法可得，y甲=x+ 1500: 由乙印刷厂的优惠方法可得，y2=2.5x. (2)当x=800时，y甲=800+1500=2300，yz= 2.5×800=2000. 因为2300>2000，所以印制800份宣传材料时，选 择乙印刷厂比较合算 (3)当y=3000时，甲印刷厂印制份数为：3000- 1500=1500(份)，乙印刷厂印制份数为：3000÷2.5= 1200(份). 因为1500>1200，所以找甲印刷厂印制宣传材料 的份数较多. 五、22.(1)71；(2)y=75-2 (3)因为x+y=10,所以x+75-之=110.解得 x=70. 答：此时单层部分的长度为70cm. 23.(1)甲行驶的时间t,甲、乙两人间的距离3 (2)①P;②M;③W. (3)240. (4)由(1)可得甲、乙的行驶时间分别为6h和3h. 所以甲的速度是：240÷6=40(km/h),乙的速度 是：240÷3=80(km/h). (5)①相遇之前：(240-180)÷(40+80)=7（小时）： ·参考答案 ②相遇之后：3+(180-120)÷40=？（小时）。 答：甲出发？小时或号小时后，甲，乙两人相距0千米 复习专号参考答案 《整式的乘除》专项练习 1.-3;2.8.64×10";3.4. 4.(1)x3;(2)2a;(3) 5.-4；6.2a2+ab:7.5. 8.(1)8x3y2;(2)-6a3b+4a2B+8ab2; (3)x2-14x-2. 9.-10 10.0;11.±1. 12.(1)8a2-6ab+1062;(2)a2+2a+1-462; (3)90601;(4)9999;(5)x4-8x2y2+16y 13.A;14.x2+2x-3. 15.原式=3y-x. 当x=3,y=-1时，原式=-6 16.2×10-8;17.-3. 《整式的乘除》复习检测卷 题号 10 答案 D B B 二、11.4；12.x8-1;13.41;14.36: 15.-1或3或1. 三、16.(1)-6a;(2)-2x-3. 17.原式 、1 当x=2026,y=-2025时，原式=-1013. 18.(1)899.91. (2)第一处被弄污的内容为：-（-7x2y)·5xy= 35x2y 第二处被弄污的内容为：21xy3÷(-7xy)= -1 2 四、19.(1)2×7×2m(m+2n) n+=m +mn+2n,即空白部分的面积为(？m+mn 2n2)cm2; (m+n)(m+2m)-(7m2+mn+2r)=m2+2mn +m+2n2-2m -m -2m=号m2+2mn,即箭头的 面积为(2m2+2mn)cm2. (2)当m=10,n=20时，7m2+2mn=3×102 +2×10×20=450,即箭头的面积为450cm2. 20.(1)因为甲错把b看成了6，所以(2x+a)(x+6) =2x2+(12+a)x+6a. 又因为(2x+a)(x+6)=2x2+8x-24,所以6a= -24.解得a=-4. 因为乙错把a看成了-a,所以(2x-a)(x+b)= 2:x2+(2b-a)x-ab. 又因为(2x-a)(x+b)=2x2+14x+20,所以2b- a=2b-(-4)=14.解得b=5. (2)由(1)得，(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5) =2x2+6x-20. 21.(1)因为32×92m1÷27m+1=81,所以32×3如+2 ÷33m+3=32+4m+2-3m-3=3m+1=34.所以m+1=4.解得 m=3. (2)因为x2m=2,所以原式=9x-4x"=9(x2")3 -4(x2)2=9×23-4×22=72-16=56. 五2.(0(x+-3)(-+3刘)=-2-2+ 3x+3q0+3qr-9=-+(3g-1)+(3p+3g)x 因为(2+x-了)(-x+3g)的积中不含x与 项，i以3刘-1=0，+3刘=0解得p=-3g=号 (2)(-p2)2+P2晒g=pg+p25g2·q=p2 四）°+(g)2·4当p=-3,9=号时，p9 1.原 式=(-3)2x(-1°+(-1)2×3 23.(1)①5；②3+4i. (2)因为(1+2i)2=1+4i+42=1+4i-4=-3 +4i,a+bi是(1+2i)2的共轭复数，所以a=-3,b= 15 -4.所以(b-a)2=(-4+3)2=（-1)2=1. (3)因为(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i+2=ab -1+(a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3.所 以ab=2.所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(-3)2-2 ×2=5.因为2+4+5+=-i+1+i-1=0,+ +…+226有2024个加数，2024÷4=506，所以2+ 2+…+2026=0.所以i+2+2+i2+…+226=i- 1.所以(a2+62)(i+2+2+4+…+226)=5i-5. 《相交线与平行线》专项练习 1.D;2.B;3.C;4.(1)∠AOE,∠NOB, (2)∠A0S,∠B0E,(3)北偏东62°；5.A. 6.(1)因为0C⊥AB,所以∠A0C=∠B0C=90°. 因为∠A0D:∠C0D=1:2,所以∠C0D=2 ∠A0C= 60°.因为0E平分∠B0C,所以∠C0E=: 1 ∠BOC= 45°.所以∠D0E=∠C0D+∠C0E=105. (2)OD⊥OE.理由如下： 由题意，得∠A0E-3∠C0E=30°.因为∠A0E= ∠AOC+∠C0E,所以∠AOC+∠C0E-3∠C0E=30°. 由(1)，得∠A0C=90°.所以90°+2∠C0E=30°.所以 ∠C0E=30°.所以∠D0E=∠C0D+∠C0E=90°.所 以OD⊥OE. 7.B;8.①②③⑤；9.B;10.39°. 11.(1)因为AB∥CD,所以∠B=∠DCE.又因为 ∠B=∠D,所以∠DCE=∠D.所以AD∥BE. (2)因为AB∥CD,∠2=60°，所以∠BAE=∠2= 60°，即∠EAC+∠BAC=60°.因为∠BAC=2∠EAC,所 以∠EAC=20°.所以∠BAC=40°.因为∠1=60°，所 以∠B=180°-∠1-∠BAC=80°. 《相交线与平行线》复习检测卷 题号 10 答案 B B 二、11.130°； 12.10°；13.4.8；14.112.5； 15.6或9或15或33. 三、16.图略。 17.设这个锐角的度数为x°. 根据题意，得180-x=3(90-x)+30. 解得x=60. 答：这个锐角的度数是60°. 18.因为∠D0E是直角，所以∠C0E=180°-90°= 90°.因为∠A0C=∠B0D=22°，所以∠A0E=∠A0C +∠COE=112°.又因为OF平分∠AOE,所以∠AOF= 5LA0E=56,所以∠C0F=LA0F-LA0C=349 四、19.(1)∠BAD;∠BAC,∠EAB和∠C (2)因为∠EAC=∠C,所以DE∥BC.所以∠BAE +∠B=180°.因为∠B=44°，所以∠BAE=180°-∠B =136°.因为AC平分LBAE,所以∠EAC= 2∠BAE= 68°.所以∠C=∠EAC=68° 20.角平分线的定义；∠BDE;等量代换；DE;同位角 相等，两直线平行；∠DEB;两直线平行，同位角相等；垂 直的定义；90°. 21.(1)因为∠AOB=∠B0C=∠A0C,∠AOB+ ∠B0C+∠AOC=360°，所以∠AOB=∠BOC=∠A0C =120°.因为0A⊥0P,所以∠A0P=90° 当OP在∠AOC内部时，∠COP=∠AOC-∠AOP =30°.所以∠B0P=∠B0C+∠C0P=150°. 当OP在∠AOB内部阳时，∠BOP=∠AOB-∠AOP =30°. 综上所述，∠B0P的度数是30°或150°. (2)设旋转的最小角度是x°，则∠AOP=x°，∠BOP =(x+120)°.因为∠AOP与∠B0P互补，所以∠AOP +∠B0P=180°，即x+x+120=180.解得x=30.所 以旋转的最小角度是30° 五、22.(1)EH∥AD.理由如下： 因为∠1=∠B,所以AB∥GD,所以∠2=∠BAD. 因为∠2+∠3=180°，所以∠BAD+∠3=180°.所以 EH∥AD. (2)由(1)得AB∥GD.所以∠2=∠BAD,∠DGC =∠BAC.因为∠DGC=58°，所以∠BAC=58°.因为 EH∥AD,所以∠2=∠H.所以∠H=∠BAD.所以 ∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°.因为∠H= ∠4+10°，所以∠4+10°+∠4=58°.解得∠4=24° 所以∠H=34°. 23.(1)因为AB∥CD,所以∠BMN=∠CNM.因为 I∥FG,所以∠FGC=∠CNM.所以∠BMN=∠FGC. (2)如图1，过点F作FH∥AB. 16 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥FH.所以∠MEF= ∠EFH,∠FGC=∠GFH.由(1)知∠BMW=∠FGC.所 以∠BMN=∠GFH.所以∠EFG=∠GFH+∠EFH= ∠BMN+∠MEF. 4M E E R C G H G 图1 图2 (3)因为ER平分∠FEB,GR平分∠FGD,所以设 ∠BER=∠FER=x,∠FGR=∠DGR=y.所以∠AEF =180°-2x.如图2，过点F作FT∥AB,过点R作RS∥ AB.因为AB∥CD,所以FT∥AB∥CD∥RS.所以 ∠ERS=∠BER=x,∠GRS=∠DGR=y,∠1=∠FGC =180°-2y.所以∠ERG=x+y.因为∠HFG=90°，所 以∠2=90°-∠1=90°-(180°-2y)=2y-90°.所 以∠FHD=∠2=2y-90°.因为∠FHD-∠AEF= 30°，所以2y-90°-(180°-2x)=30°，即2x+2y= 300°.所以x+y=150°.所以∠ERG=150°.所以 ∠WW=GERG=259 《概率初步》专项练习 1.C;2.C;3.B;4.60%;5.4; 6.C;7.12:8.1 9()设盒子中有黑球x个由题意，得x=子(3+ 7+x).解得x=5. 答：盒子中有5个黑球 (2)由题意，得7=3(3+7+m).解得m=11. 10 11.A 《概率初步》复习检测卷 题号 8 10 答案 12 B B B 二、11.不可能；12.0.97；13.③：14. 49 15.1或2或3或4或5. 三、16.不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试 验次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等. 17.(1)表格中从左至右依次填4,2或3. (2)事件A发生的概率为：12-2 8 4 5 18.因为摸了100次，发现有25次摸到红色乒乓球，所 以估计模到红色乓球的概率为：高：子设箱子中有 红色兵球x个由题意，得x=子(5+).解得x=5 答：估计箱子中有5个红色乒乓球， 四19(1)P(小明茨得中性笔)=高=石 18 (2)P(小明获得奖品)=2+3+4=1 18 (3)18×号 =10(个)，10-9=1（个），所以需要再 将1个空白扇形涂上颜色 20.(1)因为盒中有x枚白棋和y枚黑棋，所以盒中 共有(x+)枚棋子由题意，得y=号(x+).所以y与 x之间的关系式为y=4 (2)由题意，得y+2=子(x+y +12). 由)得y=号，所以导+2=子（✉ 5*t 4 12).解得x=10.所以y=8. 21.(1)P(指针落在红色区域)= 144 2 360 5 P(指针落在白色区域)= 360-1443 360 1 (2)红色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 3 120°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 12 150°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：360°× 参考答案 90°.画图略 五、22.(1)0.67；(2)0.7；(3)0.4； (4根据题意，得=10（手方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是10π平方米. 23.(1)由表1可知，经过食堂的师生有70人，使用 共享雨伞的有7人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是：不=0 (2)4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：280×品=21，图信：30× 8 10 =24,食 堂：20×石=20，宿舍楼：25× 7 6 0 =15. 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：21+24+ 20+15=80,所以在4个放置区投放雨伞的把数分别为： =63，图书信240×总-72，食监20 21 教学楼：240× =60,宿舍楼：240×5 =45. 80 0 所以投放方案是教学楼63把，图书馆72把，食堂 60把，宿舍45把 《三角形》专项练习 1.3:2.钝角：3.三角形具有稳定性： 4.90°或60°；5.50：6.B;7.19; 8.7:9.B: 10.20°或80°. 11.(1)12; (2)因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90°.因 为∠C=70°，所以∠DAC=90°-∠C=20°.因为∠C =70°，∠BAC=60°，所以∠ABC=180°-∠C-∠BAC =50°.因为BF是△ABC的角平分线，所以∠ABF= 2∠ABC=259.所以∠AFB=180°-∠ABF-∠BAC= 95°. 12.①②③④：13.2；14.12；15.D:16.A. 17.因为点C是线段AB的中点，所以AC=BC.因为 ∠ACD=∠BCE,所以∠ACD+∠DCE=∠BCE + ∠DCE,即∠ACE=∠BCD.设BD与AE交于点O,因为 ∠DME=∠DNE,∠DOM=∠EON,所以180°-∠DME -∠DOM=180°-∠DWE-∠EON,即∠D=∠E.所以 △ACE≌△BCD(AAS). 18.55°； 191 2 20.因为DF∥BC,所以∠F=∠OGC.又因为∠C =∠OGC,所以∠F=∠C.在△ABC和△DEF中，因为 ∠C=∠F,AC=DF,∠A=∠EDF,所以△ABC≌ △DEF(ASA).所以BC=EF. 21.全等三角形的对应角相等。 22.图略. 《三角形》复习检测卷 题号 8 10 答案 C B A D 二、11.三角形具有稳定性；12.9.5,9.5； 13.140°；14.16；15.4.2或0.8. 三、16.如图3，△ABC和△ABC'即为所求， 图3 17.因为△ABE≌△ACD,所以AE=AD,AB=AC. 因为D,E分别为AB和AC上的点，所以AB-AD=AC- AE,即BD=CE. 18.因为∠BCA=40°，∠ABC=60°，所以∠BAC= 180°-∠BCA-∠ABC=80°.因为AE是△ABC的角平 分线，所以∠EAC=号∠BAC=40.因为BF是△ABC 2 的高，所以∠BFA=90°.所以∠AOF=90°-∠EAC= 50°.所以∠E0F=180°-∠A0F=130°. 四、19.(1)因为∠BCE=∠ACD=90°，所以∠BCA +∠ACE=90°，∠ECD+∠ACE=90°.所以∠BCA= ∠ECD.在△ABC和△DEC中，因为∠ABC=∠DEC,BC =EC,∠BCA=∠ECD,所以△ABC≌△DEC(ASA).所 以AC=DC. (2)由(1)知AC=DC.因为∠ACD=90°，所以 ∠CAD=∠ADC=45°.因为AC=AE,所以∠ACE= LAEC = 之(180°-∠CAD)=67.5,所以∠DEC= 数理报 180°-∠AEC=112.5°. 20.因为AB⊥BC,DE⊥CD,所以∠ABC=∠CDE =90°.又因为∠ACB=68.2°，所以∠BAC=90° ∠ACB=21.8°=∠ECD.在△ABC和△CDE中，因为 ∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CDE,BC=DE,所以 △ABC≌△CDE(AAS).所以AB=CD.因为CD=12m, 所以AB=12m,即教学楼高度AB为12m. 21.(1)因为∠ACB=∠DCE,所以∠ACB+∠BCD =∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.在△ACD和 △BCE中，因为CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,所 以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE. (2)△CPQ为等腰直角三角形.理由如下： 由(1)知AD=BE.因为AD,BE的中点分别为点P, Q,所以AP=BQ.因为△ACD≌△BCE,所以∠CAP= ∠CBQ.在△ACP和△BCQ中，因为CA=CB,∠CAP= ∠CBQ,AP=BQ,所以△ACP≌△BCQ(SAS).所以CP =CQ,∠ACP=∠BCQ.又因为∠ACP+∠PCB=90°， 所以∠BCQ+∠PCB=90°，即∠PCQ=90°.所以 △CPQ为等腰直角三角形 五、22.(1)240； (2)因为∠A=45°，所以∠ABC+∠ACB=180°- ∠A=135°.因为∠E+∠F=105°，所以∠D=180°- (∠E+∠F)=75°.所以∠DBC+∠DCB=180°-∠D =105°.所以∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB- (∠DBC+∠DCB)=30°. (3)不能.理由如下： 由(2)知∠DBC+∠DCB=105°.若BD,CD分别平 分∠ABC和∠ACB,所以∠ABC+∠ACB=2∠DBC+ 2∠DCB=210°，与三角形内角和定理相矛盾.所以不能 将△DEF摆放到某个位置，使得BD,CD分别平分∠ABC 和∠ACB. 23.(1)因为AD是△ABC的高，所以∠ADC=90° 因为BE是△ABC的高，所以∠AEB=∠BEC=90°.所 以∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°.所以 ∠EAO=∠EBC.在△AOE和△BCE中，因为∠EAO= ∠EBC,AE=BE,∠AEO=∠BEC,所以△AOE≌ △BCE(ASA).所以AO=BC=5. (2)如图4，设点P的运动时间为 x秒.由已知得OP=x,BQ=4x.因为 A0=5,所以AP=A0-OP=5-x.在 △APE和△BQE中，因为∠APE= ∠BQE,∠EAP=∠EBQ,AE=BE,所以 △APE≌△BQE(AAS).所以AP=BQ. B 所以5-x=4x.解得x=1.所以点P的 图4 运动时间是1秒. (3)存在t值，使以点B,O,P为顶点的三角形与以 点F,C,Q为顶点的三角形全等 由(1)知△AOE≌△BCE.所以∠AOE=∠BCE.所 以180°-∠AOE=180°-∠BCE,即∠POB=∠QCF. ①如图5-①，当OP=CQ时，因为OB=CF, ∠POB=∠QCF,所以△BOP≌△FCQ(SAS),所以5- 4t=t,解得t=1; 图5 ②如图5-②，当OP=CQ时，因为OB=CF, ∠POB=∠QCF,所以△BOP≌△FCQ(SAS),所以4t 5=t,解得t= 3 综上所述，存在t值，使以点B,O,P为顶点的三角形 与以点F,C,Q为顶点的三角形全等，符合条件的t值为1 《图形的轴对称》专项练习 1.B 2.如图6. 图6 3.122°. 4.图略. 5.EF=2BD.理由如下： 过点A作AG⊥EF于点G,图略.所以∠AGE=90°数理极 专题复习 第一章 整式的乘除 ⊙广东穆婷雅 知识回顾 3.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数 1.幂的乘除 相同字母的幂分别 ,其余字母连同它 (1)同底数幂相乘，底数 ,指数 的指数 ,作为积的 .即am·a”=am+"(m,n都是正整数). (2)单项式与多项式相乘：就是根据分配律 (2)幂的乘方，底数 ，指数 用单项式乘多项式的 ,再把所得的积 .即(a")”=am(m,n都是正整数). (3)积的乘方等于各因数的乘方的 (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式 .即(ab)”=a"b”(n是正整数). 的每一项乘另一个多项式的 ,再把所 (4)同底数幂相除，底数 ,指数 得的积 4.乘法公式 .即am÷a”=am-"(a≠0，m,n都是正 整数，且m>n). (1)平方差公式：两数和与这两数差的积， (5)a0= 等于它们的 .即(a+b)(a-b)=a2 (a≠0)」 62 (6)ap= (a≠0，p是正整数). (2)完全平方公式：两数和（或差）的平方， 2.科学记数法 用科学记数法表示一个数就是把一个数写的 于它们的 ,加上（或减去）它们的积 倍.即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a 成a×10”的形式，其中≤|a1< （n )2=a2-2ab+b2. 为整数)， 5.整式的除法 温馨提示： (1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂 (1)当表示一个绝对值大于10的数时，n为分别相除后，作为商的 ;对于只在被除 正整数，且的值等于这个数的整数部分的位数式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商 减去1. 的一个 （2)当表示一个绝对值小于1的数时，n为 (2)多项式除以单项式：先把这个多项式的 负整数，且的绝对值等于这个数的第一个非零 每一项分别除以」 再把所得的商 数前面的零的个数（包括小数点前面的零） 解析：(2x+m)(x-1)=2x2+(m-2)x 考点解密 m. 考点1：幂的运算 因为(2x+m)(x-1)不含x的一次项，所以 例1下列运算正确的是 m-2=0.解得m=2. A.(x5)2=x B.x2.x4=x3 故选D. C.x6÷x3=x D.(-3x)3=-9x ●专项练习 解析：(x5)2=x0,故选项A不正确； 5.若(x-1)(x+a)=x2-5x+4,则a= x2·x=x,故选项B不正确； x6÷x3=x3,故选项C正确； 6.李老师做了一个长方形教具，其中一边长 (-3x)3=-27x,故选项D不正确 为2a+b,另一边长为a,则该长方形教具的面积 故选C. 为 ●专项练习 7.已知ab=1,a+b=-3,则代数式(a- 1)(b-1)的值为 1.计算：(2026-π)°-(3)2= 8.计算： 2.地球可以近似地看成是球体，球的体积公 (1)4x2y·2xy; 式是V=专户.已知地球的半径约为6×10千 (2)(-2ab)(3a2-2ab-462); (3)(2x-1)(x-4)-(x+3)(x+2). 米，则它的体积大约是 立方千米（π取 考点3：乘法公式 3). 例3如图，在长方形 G 3.已知3"=6,9”=3，则32m的值为ABCD中，AB=6,点E,F是边 BC,CD上的点，EC=3,且BED 4.计算： =DF=x,分别以FC,CB为边 (1)(x3)3÷x4; 在长方形ABCD外侧作正方形 Q (2)(a2)2·a2+(-3a3)2-(2a2)3; CFGH和CBMN,若长方形CBQF的面积为20， (3)(号)2×2.5×(-1)2 则图中阴影部分的面积和为 解析：设CF=a,BC=b. 考点2：整式的乘法 由题意，得FC=6-x,BC=3+x,即a= 例2若整式(2x+m)(x-1)不含x的一 6-x,b=3+x. 次项，则m的值为 因为长方形CBQF的面积为20，所以ab= A.-3B.-2 C.-1 D.2 20 3 又因为a+b=(6-x)+(x+3)=9,所以 S阴影=CF2+BC2=a2+b2=(a+b)2-2ab= 92-2×20=41. 故填41. ●专项练习 9.若m-n=-2,且m+n=5,则m2-n2 10.小北将(2026x+2025)2展开后得到 a1x2+b1x+c1,小湖将(2025x-2026)2展开后 得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无误，则b, +b2的值为 11.若(2x+m)2=4x2+4mx+1,则m的值 是 12.利用乘法公式计算： (1)(3a-b)2-(a-3b)(a+3b); (2)(a-2b+1)(a+2b+1); (3)3012; (4)101×99; (5)(x-2y)2(x+2y)2. ÷考点4：整式的除法 例4小明与小亮在做游戏时，两人各报一 个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整 式作为被除式，要求商必须为2xy.若小明报的 整式是xy-2xy,则小亮应报的整式是 解析：根据题意可知，小亮应报的整式为： (x3y-2xy3）÷2xy=x3y÷2xy-2xy3÷2xy= 2 21 故填2-y ●专项练习 13.若(-3a3bm)2÷9ab=ab,则m+n的 值为 A.3 B.4 C.5 D.6 14.已知多项式3x3+6x2-8x+2除以A得 商式3x,余式x+2,则多项式A为 15.先化简，再求值：[(2x-y)2-x(4x-y) +8y2]÷3y,其中x=3,y=-1. 冬考点5：用科学记数法表示小数 例5油菜是我国栽培面积最大的油料作 物，栽培范围几乎遍布全国各地，花期多集中在 2~4月，可持续约20~30天，从花粉产量来看， 几乎占全年花粉总产量的一半.油菜花粉是蜜蜂 从油菜花中采集回来的花粉团，花粉团直径约 0.00315米.将数据0.00315用科学记数法表示 为 A.315×10-5 B.0.315×10-2 C.3.15×10-2 D.3.15×10-3 解析：0.00315=3.15×10-3. 故选D. ●专项练习 16.“气凝胶”是一种具有纳米多孔结构的新 型材料，其颗粒尺寸通常小于0.00000002m,将 数据0.00000002用科学记数法表示为 17.若把数据0.0013用科学记数法表示成 1.3×10”的形式，其中n= (本合刊专项练习答案见第15~18版) (本章检测卷见第7~8版) 考点解密 考点1：相交线 例1如图1，直线AB, CD相交于点O,∠AOD 135°，21=7∠2，则∠1的度 数为 ( 图1 A.40° B.50 C.45° D.60 解析：由对顶角相等，得∠BOC=∠AOD= 135°，所以∠1+∠2=135°.因为∠1=号 ∠2， 所以3∠1=135°.所以∠1=45°.故选C. ●专项练习 1.如图2，直线a,b相交于点0，若∠1+∠3 =60°，则∠2的度数为 () A.60° B.70° C.110° D.150° 图2 图3 2.将一个含30°角的三角尺和直尺如图3所 示放置，若∠1=50°，则∠2的度数是() A.30° B.40° C.50° D.60° ?考点2：余角和补角 例 2一个角的余角比它的补角的号少 40°，则这个角的度数为 A.30° B.36 C.42° D.48° 解析：设这个角的度数是x°.根据题意，得 90-x= (180-)-40，解得=30.所以这 个角的度数是30°.故选A. ●专项练习 3.已知∠1=ax<90°，则∠1的余角比∠1 的补角少 ( A.a B.90°-a C.90 D.180°-2a 4.如图4，射线0E,0S, 北 0W,ON分别表示东、南、西、 N B 北方向，已知∠A0B=90. (1)图中与∠AON互余 西市 ·东 E 的角是 (2)图中与∠AON互补 南 的角是 图4 (3)如果∠B0E=118°，那么点A在点0的 方向 考点3：垂线及其性质 例3如图5，直线AB,G CD相交于点O,E0⊥CD. A 0 若∠A0C:∠B0E=1:4, 图5 则∠BOD的度数为 A.10° B.18 C.20° D.25 解析：因为E0⊥CD,所以∠COE=90°.所 以∠AOC+∠B0E=90°.因为∠AOC:∠B0E =1:4,所以∠40C=90°×，1=18°.由对 1+4 J顶角相等，得∠BOD=∠AOC=18°.故选B. ●专项练习 5.如图6，小华同学的家在点P处，他想尽快 到达公路边乘车到学校，就选择沿线段PC去公 路边，他的这一选择用到的数学知识是() A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.经过一点有无数条直线 专题复习 数理极 第二章 相交线与平行线 ◎四川梁沛帆 知识回顾 2.同位角、内错角、同旁内角 如图2，直线AB,CD被直A 1.相交线 线EF所截，形成了八个角. 65 (1)相交线：若两条直线只有 ,那 (1)两个角都在两直线c 么称这两条直线为相交线 的同侧，并且在第三条直线的 78 图2 同旁，这样的一对角叫作 图2中的 (2)对顶角：如图1，∠1和 C ∠1与 、∠2与 、∠3与 、∠4 ∠3有一个 ,并且∠1 与 都是同位角 的两边分别是∠3的两边的 02 (2)两个角都在两直线之间，并且在第三条 ,具有这种位置关系的 直线的两旁，这样的一对角叫作 .图2 两个角叫作对顶角. 中的∠3与 、∠4与 都是内错角. 对项角的性质： (3)两个角都在两直线之间，并且在第三条 (3)补角：如果两个角的和是 那 直线的同旁，这样的一对角叫作】 ·图2 么称这两个角互为 中的∠3与 、∠4与都是同旁内 角 补角的性质：同角（或等角）的补角相等。 3.平行线 (4)余角：如果两个角的和是 ,那 (1)平行线：在同 一平面内， 的两 么称这两个角互为 条直线叫作平行线 余角的性质：同角（或等角）的余角相等 在同一平面内，过直线外一点 (5)垂线 条直线与这条直线平行 ①垂直：两条直线相交成四个角，如果有 (2)判定两直线平行的方法 个角是 _,那么称这两条直线互相垂直 ① ,两直线平行： 它们的交点叫作 ② 两直线平行； 垂线的性质：同一平面内，过一点 ,两直线平行； ④平行于同一条直线的两条直线 一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线 (3)平行线的性质 上各点连接的所有线段中， ①两直线平行， ②点到直线的距离：直线外一点到这条直 ②两直线平行， 线的 的长度， ③两直线平行， 考点5：平行线的判定与性质 例5如图10，已知 直线AF交CD于点E,连c 接AB,EB,DB.若∠A与 图6 ∠BED互余，∠EBA与 6.如图7，已知0C1AB于点0，∠A0D: ∠CEB互补，求∠AEB 图10 ∠COD=1：2,OE是∠BOC内一条射线 的度数 (1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数： 解：因为∠EBA与∠CEB互补，所以∠EBA (2)若∠AOE的度数比∠C0E的度数的3 +∠CEB=180°.所以AB∥DC.所以∠A= 倍多30°，试判断0D与0E的位置关系，并说明∠AEC.因为∠A与LBED互余，所以∠A+ 理由. ∠BED=90°.所以∠AEC+∠BED=90°.所以 ÷考点4：同位角、内错角、同旁内角 ∠AEB=180°-（∠AEC+∠BED)=90°. 例4如图8，下列结论 ●专项练习 d 不正确的是 9.如图11，已知∠3=∠4， A.∠5与∠6是内错角 ∠1=105°，则∠2等于() B.∠1与∠4是同位角 6入 A.70° B.75° 2P4 B C.∠3与∠4是内错角 图8 C.80 D.85° 图11 D.∠2与∠3是同旁内角 10.善思的雯雯发现英文大写字母“F”中某 解：B. 个部分也可以抽象成一个数学问题：如图12， ●专项练习 已知AB∥CD,∠ABE=97°，∠CDE=136°，则 7.以下几个英文大写字母中，不含有同旁内 ∠E的度数是 角的是 AXFH-文 12 8.如图9，下列判断：①∠A与4 11.如图13，已知AB∥CD,∠B=∠D,AE ∠1是同位角；②∠A与∠B是同 交BC的延长线于点E. 旁内角：③∠4与∠1是内错角： (1)试说明：AD∥BE; ④∠1与∠3是同位角；⑤∠2和 (2)若∠1=∠2=60°，∠BAC=2∠EAC, ∠3是对顶角，其中正确的是 求∠B的度数 (本章检测卷见第9~10版) 数理极 专题复习 5 0.3,即为：10×8×0.3=24(cm2).故选B. 第三章 概率初步 ●专项练习 6.某科学研究院为研究一类新品种苹果树 的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如 。湖南江夕蕾 下表所示： 知识回顾 :性也就越大 移植总数n270400750150035007000100004000 (3)概率：把刻画事件A发生的 成活总数m2353696821393203639891022782 1.事件发生的可能性 小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A) 成活率m87.0%92.3%90.9%90.6%91.5%91.4%91.0%91.3% (1)在一定条件下进行可重复试验时，有些一般地，在大量重复的试验中，我们常用事件A 估计这一类新品种苹果树成活的概率为 事件一定会发生，这样的事件称为 事发生的频率来估计事件A发生的概率 A.89% 件 B.90%C.91%D.92% 般地，如果一个试验有n种等可能的结 7.一个不透明的袋子里装有18个黄球和若 (2)在一定条件下进行可重复试验时，有些果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发 干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随 事件一定不会发生，这样的事件称为 生的概率P(A)= 机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多 事件 (4)几何事件的概率 次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4， (3)在一定条件下进行可重复试验时，有些 在与图形有关的概率问题中，概率的大小 则袋子里约有红球 个 事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为往往与面积有关，这种类型的概率称为几何概 。考点4：等可能事件的概率 事件 率.在几何事件中，某一事件发生的概率等于这 例42025年中国在科技领域取得了多项 2.频率和概率 重大成就，涵盖了多个领域，包括高铁提速、科技 事件所有结果组成的图形的面积除以所有结 创新、量子科技、航天发射等，小强同学随机从上 (1)频率：在n次重复试验中，事件A发生 果组成的图形的面积 面四个领域中选择一个领域做深入研究，则恰好 了m次，则比值 称为事件A发生的频 例如，向一个圆形盘内扔石 选中科技创新的概率为 率 子（假设石子必落在盘内），如 (2)频率的稳定性：一般地，在大量重复的 B.g D. 右图，大圆的面积为4π，小圆的 试验中，一个随机事件发生的频率会在 解：A. 面积为T,则P(石子落在阴影 附近摆动，这个性质称为频率的稳定 ●专项练习 部分)=4π-T 3 8.从拼音“zhong kao'”中随机抽取一个字 性.事件A的频率越大，那么事件A发生的可能 4T 母，抽中字母“o”的概率为 9.在一个不透明的盒子里装有除颜色外都 考点解密 解析：因为一个不透明的盒子中装有2个黑 球、3个白球、4个红球，即红球个数最多，所以摸 相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个， 到红球的可能性最大.故选C. 白球7个，黑球若干个.若从中任意摸出1个球是 考点1：事件的分类 例1下列事件中，属于必然事件的是 。专项练习 黑球的概率是兮 3.投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面 A.射击运动员射击一次，命中10环 朝上，那么投掷第5次硬币正面朝上的可能性是 (1)求盒子中黑球的个数； B.一匹马奔跑的速度是70米/秒 (2)若黑球的数量变更为m个，且使得任意 C.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 A.5 3 C. 摸出1个球是白球的概率是？，求m的值， D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将 4.春节期间，某商场举行有 例5 如图3，是一个可以自 落下 解析：A.射击运动员射击一次，命中10环， 奖促销活动，各个奖项所占比例 由转动的转盘，转动转盘，当转盘 59 谢谢 如图1所示，某消费者在购物后 惠顾 停止时，指针落在白色区域的概率 是随机事件，不符合题意； 109% 是 B.一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可 要进行一次抽奖，则该消费者中 奖的可能性是 解析：根据几何概率的求法， 能事件，不符合题意； C.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事 5.一个不透明的袋子中装 用白色区域的面积除以转盘的面积即可.根据扇 图1 件，不符合题意； 有红球、白球共9个，这些球除颜 形的面积公式，白色区域的面积与转盘的面积之 D.在地面上向空中抛掷一石块，石块终将 色外都相同.若从中任意摸出一个球，摸到白球 比等于白色区域扇形圆心角的度数与360°之 落下，是必然事件，符合题意.故选D. 的可能性大，则红球至多有 个 ●专项练习 ”考点3：用频率估计概率 比所以指计格车白色区域的概率是：認-是 1.下列事件中，属于随机事件的是( 2-①，在长为10cm,宽为8c四 A.把实心铁球放入水中，铁球会沉人水底 :的长方形内部有一个不规则图案（图中阴影部 B.测量三角形的三个内角，其和等于360° 分)，某数学小组为了探究该不规则图案的面 ●专项练习 10.如图4，在4×3的小正方形网格中，已有 C.随机抽取九年级(1)班10名学生测量视 积，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投 力，该班的小明同学参加视力测量 放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数5个阴影小正方形，任意再涂1个小正方形，使得 D.对九年级(1)班的每一名学生测量视力， (点在界线上不计入试验结果)，得到如图2-② !6个阴影小正方形是正方体展开图的概率为 该班的小明同学参加视力测量 所示数据： 2.赵师秀在《约客》诗中写道“黄梅时节家 个点落在不规则图案内的频率 家雨，青草池塘处处蛙”，从数学的观点看，诗句 0.35 03上 中描述的事件是 0.25 A.必然事件 B.不可能事件 03 120240360480600720840试验次数 网4 5 C.随机事件 D.无法确定 11.如图5，正方形ABCD的边长为2，分别以 ÷考点2：随机事件发生的可能性 图2 点A,C为圆心，正方形的边长为半径画弧，在正 例2一个不透明的盒子中装有2个黑球、 由此可估计这个不规则图案的面积大约为 方形ABCD中随机抛掷一粒豆子，则豆子落在阴 3个白球、4个红球，它们除颜色外都相同.若从 ( 影区域内的概率为 中任意摸出一个球，下列说法正确的是( A.32 cm2 B.24 cm2 A.摸出黑球的可能性最大 C.16 cm2 D.8 cm2 A.T-2 B.T-2 2 4 B.摸出白球的可能性最大 解析：由折线统计图可知，随着试验次数的 C.π-1 C.摸出红球的可能性最大 增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.3 D.T-1 D.摸出黑球、白球、红球的可能性一样大 所以不规则图案的面积大约占长方形面积的 (本章检测卷见第11~12版)