专题04认识三角形期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题04认识三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点），会对三角形按边、按角正确分类。 2.熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 3.掌握三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余的性质。 4.理解并识别三角形三条重要线段：角平分线、中线、高，掌握各自基本性质。 1.能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 2.能利用内角和、互余性质，熟练进行三角形角度计算。 3.能准确画出任意三角形的高、中线、角平分线，区分钝角三角形高的位置。 4.会利用三角形中线性质求解线段长度、面积关系。 1.选择填空：三角形分类、三边取值、基础角度计算零失误。 2.基础解答：熟练判断三边能否构成三角形、规范求角度。 3.中档题型：掌握高、中线、角平分线综合计算，熟练解决面积、线段计算题型。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.三角形内角和定理的证明 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形的分类 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.构成三角形的条件 题型08.确定第三边的取值范围 题型09.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.三角形三边关系的应用 题型14.与三角形高有关的计算 题型15.利用网格求三角形面积 题型16.重心的性质 题型17.三角形与动点问题 题型18.三角形三边关系与绝对值化简. 一、三角形相关概念与分类 1. 基本定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形；三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（必考） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 2. 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（都 < 90°） 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，标注 “┐”） 钝角三角形：有一个内角是钝角（>90° 且 < 180°） 知识点04:三角形三条重要线段（重难点） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错汇总（表格） 易错点 错误形式 正确做法 三边判定 逐条验算麻烦，或只算一组和 短边之和＞最长边即可判定成立 钝角三角形画高 高全部画在图形内部 钝角两条高线落在三角形外侧 中线面积 误认为中线分周长相等 中线等分面积，不等分周长 直角三角形内角 忘记两锐角互余性质 出现直角，剩余两角相加直接用90计算 知识点07:期末常考题型 1.选填：三角形分类判断、第三边取值范围、简单内角计算； 2.基础计算：利用内角和、直角互余求未知角度； 3.中档题：结合中线性质求线段长、三角形面积计算； 4.画图题：规范画出任意三角形的三条高、中线、角平分线。 题型01.三角形的识别与概念 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．三角形具有稳定性，原说法错误； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误； C．重心是三角形三条中线的交点，中线始终在三角形内部，因此重心必在内部，原说法正确； D．直角三角形有三条高，两条直角边分别作为对方的高，以及斜边上的高，原说法错误； 故选C． 2．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 【答案】4 【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 题型02.三角形的个数问题 4．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 5．如图，图中有________条线段，________个三角形，________个梯形． 【答案】 【分析】本题考查数图形中的线段条数、三角形个数、梯形个数问题，掌握规律，不重不漏是解决问题的关键． 根据线段特征、三角形定义及梯形特征，通过数一数，不重不漏找出线段、三角形及梯形个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 图中竖着的线段有7条，每条线段上有5个点，则每条线段上共有线段10条， 图中横着的线段有4条，每条线段上有7个点，则每条线段上共有线段21条， 图中有线段条数为； 图中相邻两条竖线构成的三角形有个， 图中相邻三条竖线构成的三角形有个， 图中相邻四条竖线构成的三角形有个， 图中相邻五条竖线构成的三角形有个， 图中相邻六条竖线构成的三角形有个， 图中全部七条竖线构成的三角形有个， 图中有三角形数为； 图中只有最后横着的两条线平行，则图中有梯形数为； 故答案为：；；． 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 题型03.三角形内角和定理的证明 7．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 【答案】A 【分析】先由题意画出图形，结合图形根据平行线的判定与性质可得∠BPQ＋∠DQP＝180°，再由角平分线的定义可求得∠MPQ＋∠NQP＝90°，利用三角形的内角和为180°可求得∠POQ＝90°，进而求解． 【详解】解：如图， ∵∠APE＝∠CQE， ∴AB∥CD， ∴∠BPQ＋∠DQP＝180°， ∵PM平分∠BPQ，QN平分∠DQP， ∴∠BPQ＝2∠MPQ，∠DQP＝2∠NQP， ∴∠MPQ＋∠NQP＝90°， ∴∠POQ＝90°， 即PM⊥QN， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理及垂线的定义，能求解∠POQ＝90°是解决问题的关键． 9．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． . 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型04.与平行线有关的内角和问题. 10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，及邻补角的定义求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数． 【详解】解：如图所示， ∵AB∥CD，∠C=125°， ∴∠C=∠EFB=125°， ∴∠EFA=180-125=55°， ∵∠A=45°， ∴∠E=180°-∠A-∠EFA=180°-45°-55°=80°． 故选：B． 【点睛】本题应用的知识点为：根据两直线平行，同位角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理． 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 12．如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型05.三角形的分类 13．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 14．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 15．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 题型06.直角三角形的两个锐角互余 16．如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，邻补角的性质．先根据三角形的内角和定理求出，再根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有____对. 【答案】4 【详解】 ,共四对. 18．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 【答案】(1)①② (2)A、D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余即可得解；②由①得，由邻补角的定义得到，最后根据平行线的性质即可得解； （2）根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴， 又∵， ∴； ②由①知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：A，D． 题型07.构成三角形的条件 19．以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 【答案】A 【详解】解：A．∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能组成三角形，符合题意； B．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； C．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； D．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意． 20．有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 【答案】 【分析】先列举出从四条线段中任取三条的所有等可能结果，再根据三角形三边关系判断能组成三角形的结果个数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从长度为，，，的四条线段中任取三条， 共有以下种等可能的结果： ①，，；②，，；③，，；④，，， 对四种结果逐一判断： ，满足三边关系，可以组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，不满足三边关系，不能组成三角形； ，满足三边关系，可以组成三角形， 因此能组成三角形的结果有种， 根据概率公式，． 21．若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求解即可，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴的值可以是， 故选：C． 22．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 题型08.确定第三边的取值范围 23．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边． ∴第三边可以是，答案不唯一． 24．已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 【答案】 【详解】解：由三角形三边关系得，即， 为整数， 整数的最小值是． 25．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 26．一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 【答案】第三根木条长度大于且小于 【分析】三角形第三边的长度应该大于另两边长之差小于另两边长之和． 【详解】解：∵一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架， ∴第三根木条应大于，小于， 即第三根木条长度大于且小于． 题型09.等腰三角形的定义 27．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 28．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出，的值，再结合等腰三角形性质和三角形三边关系，分情况讨论计算周长，排除不成立的情况得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 分两种情况讨论等腰三角形的边长： 情况1：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立，舍去． 情况2：若腰长为，底边长为，则三边长为，，，，满足三角形三边关系．周长为． 29．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系，得到，再根据等腰三角形的定义即可得出结果. 【详解】解：由题意，且， 故， 又∵图中三角形有一个是等腰三角形， 故. 题型10.画三角形的高 30．中边上的高的作法正确的是（     ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 31．如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可； 【详解】解：在 中，边所对的顶点是， 交的延长线于点， 边上的高是． 32．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 33．作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线； （2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高． 【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线； （2）解：如图，为三角形的三条高． 题型11.三角形角平分线的定义. 34．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 35．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 36．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 题型12.重心的概念 37．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的概念，掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点是解题的关键． 根据题意得：支撑点应是三角形的重心，据此即可解答． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴支撑点是三角形三边中线的交点． 故选：B． 38．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 39．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 题型13.三角形三边关系的应用 40．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 41．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】14 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵，且， 解得：， 设三角形的第三边为， 当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形； 此时，三角形的周长， 综上，该等腰三角形的周长是14． 42．已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设篮球场和图书馆的直线距离为． 当校门口、篮球场和图书馆不共线时，根据三角形三边关系得：，即； 当校门口、篮球场和图书馆共线时，或， 综上，的取值范围为，故不可能是． 43．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 题型14.与三角形高有关的计算 44．若某三角形面积为，其中一边长为，则该边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据面积公式推导出高的表达式，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：设该边上的高为，底边长为， ∴ 三角形面积公式为 ， ∵面积 ，底边长为， ∴ ． 45．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 46．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短．此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知，当垂直于时，的长度最短， ∵， ∴， 解得． 47．如图，在中，，为的外部一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、，是的高． (1)作出线段、、、； (2)写出线段、、、之间的等量关系式并证明． 【答案】(1)见解析 (2)＝，证明见解析 【分析】本题考查了画三角形的高以及与三角形的高有关的计算，根据题意正确作出图形即可． （1）依照题意，根据垂线的作法画出图形即可； （2）利用三角形面积关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：＝，证明如下： 如上图，连接，，， ∵， ∴，且＝＝， ∴＝． 题型15.利用网格求三角形面积 48．如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 49．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 50．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点G，连接交于点E，则点E即为所求； （2）取格点F，连接，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，． 题型16.重心的性质 51．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 52．如图，在中，与相交于点，若，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键． 根据题意可知：点O是的重心，然后根据重心的性质即可解答． 【详解】解：在中，与相交于点， ∴分别是的中线， ∴点O是的重心， ∵， ∴ 故答案为：2． 53．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 题型17.三角形与动点问题 54．如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 55．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．根据垂线段最短，得出当时，最小，利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为：． 56．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 题型18.三角形三边关系与绝对值化简. 57．若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 【答案】 或 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：根据题意，由非负数的性质得，， 解得：，， ①当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为； ②当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为． 58．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 59．已知，，为三角形的三边长，化简：=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系及化简绝对值，先根据三角形的三边关系得到式子的正负，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵，，为三角形的三边长， ∴，， ∴，，， ∴原式 ， 故选：A． 60．已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 _____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形三边关系以、绝对值的性质和偶次方的性质等知识点，正确求得a的值是解题关键． 利用绝对值的性质以及偶次方的性质可得的值，再解绝对值方程可得或，进而利用三角形三边关系得出a的值，最后求出的周长即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∵a为方程的解， ∴或， 又∵，不能构成三角形， ∴， ∴的周长为． 故答案为：9． 61．已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：的三边长为，，，且，， ， 即． 故答案为：； （2）解：是的三边长， ∴，则， 原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识三角形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形的定义、基本要素（边、角、顶点），会对三角形按边、按角正确分类。 2.熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 3.掌握三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余的性质。 4.理解并识别三角形三条重要线段：角平分线、中线、高，掌握各自基本性质。 1.能利用三边关系判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 2.能利用内角和、互余性质，熟练进行三角形角度计算。 3.能准确画出任意三角形的高、中线、角平分线，区分钝角三角形高的位置。 4.会利用三角形中线性质求解线段长度、面积关系。 1.选择填空：三角形分类、三边取值、基础角度计算零失误。 2.基础解答：熟练判断三边能否构成三角形、规范求角度。 3.中档题型：掌握高、中线、角平分线综合计算，熟练解决面积、线段计算题型。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.三角形内角和定理的证明 题型04.与平行线有关的内角和问题 题型05.三角形的分类 题型06.直角三角形的两个锐角互余 题型07.构成三角形的条件 题型08.确定第三边的取值范围 题型09.等腰三角形的定义 题型10.画三角形的高 题型11.三角形角平分线的定义 题型12.重心的概念 题型13.三角形三边关系的应用 题型14.与三角形高有关的计算 题型15.利用网格求三角形面积 题型16.重心的性质 题型17.三角形与动点问题 题型18.三角形三边关系与绝对值化简. 一、三角形相关概念与分类 1. 基本定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形；三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 2. 三角形分类 知识点02:三角形三边关系（必考） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 2. 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点03.内角性质（必考） 内角和定理：三角形内角和为180∘ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180∘ 直角三角形推论：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A+∠B=90∘（两锐角互余） 按角分类： 锐角三角形：三个内角都是锐角（都 < 90°） 直角三角形：有一个内角是直角（=90°，标注 “┐”） 钝角三角形：有一个内角是钝角（>90° 且 < 180°） 知识点04:三角形三条重要线段（重难点） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） 知识点05:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点06:高频易错汇总（表格） 易错点 错误形式 正确做法 三边判定 逐条验算麻烦，或只算一组和 短边之和＞最长边即可判定成立 钝角三角形画高 高全部画在图形内部 钝角两条高线落在三角形外侧 中线面积 误认为中线分周长相等 中线等分面积，不等分周长 直角三角形内角 忘记两锐角互余性质 出现直角，剩余两角相加直接用90计算 知识点07:期末常考题型 1.选填：三角形分类判断、第三边取值范围、简单内角计算； 2.基础计算：利用内角和、直角互余求未知角度； 3.中档题：结合中线性质求线段长、三角形面积计算； 4.画图题：规范画出任意三角形的三条高、中线、角平分线。 题型01.三角形的识别与概念 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 2．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________． 3．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 题型02.三角形的个数问题 4．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，图中有________条线段，________个三角形，________个梯形． 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型03.三角形内角和定理的证明 7．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 8．若两条直线被第三条直线所截，有一对同位角相等，则其中一对同旁内角的角平分线 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交或平行 D．不相等 9．如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． . 题型04.与平行线有关的内角和问题. 10．如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（ ） A．70° B．80° C．90° D．100° 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 12．如图，，，，求的度数． 题型05.三角形的分类 13．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 14．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 15．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 题型06.直角三角形的两个锐角互余 16．如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（        ） A． B． C． D． 17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有____对. 18．如图，直线，直线分别交于点E、F，点G是直线上一点，于H． (1)若． ①求的度数； ②求的度数； (2)若，则下列说法中，正确的是________． A．；B．；C．；D．． 题型07.构成三角形的条件 19．以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 20．有长度分别为，，，的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________． 21．若三角形的三边长分别为3，5，，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 22．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 题型08.确定第三边的取值范围 23．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 24．已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 25．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 26．一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 题型09.等腰三角形的定义 27．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 28．已知，是等腰三角形的两边，且，则等腰三角形的周长为______． 29．如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则的值是（    ） A．5 B．7 C．8 D．14 题型10.画三角形的高 30．中边上的高的作法正确的是（     ） A．B． C．D． 31．如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 32．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 33．作图： (1)作三角形的三条角平分线； (2)作三角形的三条高． 题型11.三角形角平分线的定义. 34．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 35．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 36．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 题型12.重心的概念 37．如图，用铅笔支起一块质地均匀的三角形薄板，使薄板保持平衡，关于这个平衡点位置的确定，下列说法正确的是（    ） A．画出三角形薄板的三条高，取其交点 B．画出三角形薄板的三条中线，取其交点 C．画出三角形薄板的三条角平分线，取其交点 D．过不同顶点画出三角形薄板的一条高，中线和角平分线，取其交点． 38．如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 39．平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A．B．C．D． 题型13.三角形三边关系的应用 40．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 41．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______． 42．已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是(     ) A． B． C． D． 43．已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 题型14.与三角形高有关的计算 44．若某三角形面积为，其中一边长为，则该边上的高为（    ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 46．如图，在三角形中，边上的高，若点M在边上移动，则的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 47．如图，在中，，为的外部一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点、、，是的高． (1)作出线段、、、； (2)写出线段、、、之间的等量关系式并证明． 题型15.利用网格求三角形面积 48．如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 49．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是______． 50．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)过点C画的平行线，F在格点上 (3)连接，则三角形的面积为________． 题型16.重心的性质 51．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 52．如图，在中，与相交于点，若，则_____． 53．如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 题型17.三角形与动点问题 54．如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 55．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是________． 56．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 题型18.三角形三边关系与绝对值化简. 57．若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 58．已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 59．已知，，为三角形的三边长，化简：=（   ） A． B． C． D． 60．已知a，b，c为的三边长，b，c满足，且a为方程的解，则的周长为 _____． 61．已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $