山东省泰安市肥城市2025--2026学年九年级下学期期末备考通关检测卷

**基本信息** 立足初三期末备考，融合劳动教育、文化传承等真实情境，梯度覆盖代数几何核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题40分|比例中项、根式合并、菱形性质、方程应用|以“共享种植角”考矩形面积方程，“树叶黄金分割”体现数学审美| |填空题|5题20分|函数取值、根与系数关系、相似比|结合最简根式合并、平行线分线段成比例，强化基础运算| |解答题|9题90分|测高仪相似应用、商场销售模型、折叠综合探究|“森林测高仪”考相似判定，销售问题培养模型意识，折叠探究发展创新思维|

泰安市肥城市2025-2026学年初三下学期期末备考通关检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（本题4分）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 7．（本题4分）为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（     ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 9．（本题4分）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，点D是中上一点，连接．以下条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）函数中自变量的取值范围是________． 12．（本题4分）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 13．（本题4分）与最简二次根式能合并，则__________． 14．（本题4分）在中，，，，，则______． 15．（本题4分）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则_____． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算： (1) (2) 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题9分）在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 19．（本题9分）已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 20．（本题10分）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使与的相似比为，且点、、的对应点分别是、、； (2)与的面积比为________． 22．（本题11分）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 23．（本题12分）某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． (1)若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ (2)如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ (3)如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 24．（本题13分）综合与探究 已知在中，点为边的中点，连接． 【动手操作】 如图1，将四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，，如图2所示． 【问题解决】 (1)请直接写出图2中的形状__________________； (2)判断图2中和的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 (3)如图3，若平行四边形中，，且，当的某一个内角的度数为时，请直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市肥城市2025-2026学年初三下学期期末备考通关检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B D B A C A C 1．A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 2．B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 3．A 【分析】由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长． 4．B 【分析】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；     B、，故该选项正确，符合题意；     C、 ，故该选项不正确，不符合题意；     D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5．D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 6．B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 7．A 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为 米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 8．C 【分析】连接，结合题意可知垂直平分，易得；设，则，在和中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为边长为2的正方形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点F为中点，且，即垂直平分， ∴， 设，则， 在和中， ，， ∴，解得， ∴． 9．A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、若，能判定，故本选项不符合题意； B、若，能判定，故本选项不符合题意； C、若，不能判定，故本选项符合题意； D、若，则，能判定，故本选项不符合题意； 故选：C 11．/ 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列不等式求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知，二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不能为零，因此可得 ， 移项得， 系数化为得． 12． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 13．4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 14． 【分析】由题意易得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】解：如图，过点作交于点． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 17．(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 可得或， 故，； （2）解：， ， 由题意得，，，， ， ， 故，． 18．米 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 19．见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了位似图形、相似三角形的性质． (1)分别连接、、并延长，到点、、，使、、，连接点、、，得到即为所求； (2)由作图可知与的相似比为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得与的面积比为． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别连接、、并延长，到点、、， 使、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （2）解：与的相似比为， ， 故答案为：． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 23．(1)平均每天可销售180件 (2)单价应降低5元 (3)不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． （2）解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． （3）略 24．(1)为直角三角形 (2)，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）延长交于点M，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，可得，再结合平行四边形的性质可得，即可解答； （3）分两种情况，结合等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点为边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形； （2）解：，理由如下： 如图2，延长交于点M， 由折叠的性质得：，，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴ 由（1），（2）得：， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的长度2或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $