26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象和性质，通过回顾上下平移（\(y=ax^2+k\)）和左右平移（\(y=a(x-h)^2\)）的基础，以“顶点不在坐标轴上的二次函数如何平移”为思考导入，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过表格对比不同函数的开口方向、对称轴等培养推理意识，结合太阳镜轮廓抛物线等生活实例渗透应用意识，易错总结精准解决顶点坐标符号等问题。学生能在探究中提升数学思维，教师可借助清晰结构和详细解析提高教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第26章 二次函数 26.2.2.3 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 函数形式与图象本质：$$y=a(x-h)^2+k(a eq0)$$是二次函数的顶点式，图象为抛物线。由基础抛物线$$y=ax^2$$先左右平移、再上下平移得到，开口大小、开口方向保持不变，顶点与对称轴发生改变，是前两种平移模型的综合形式。 2. 顶点与对称轴（必考核心）：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。顶点坐标直接决定抛物线的位置，是求最值、判断增减性、平移变换的关键。 3. 完整平移口诀：左加右减，上加下减。①$h$控制左右平移：$h>0$右移$h$个单位，$h<0$左移$|h|$个单位；②$k$控制上下平移：$k>0$上移$k$个单位，$k<0$下移$|k|$个单位。 4. 开口性质：仅由系数$a$决定。①$a>0$，开口向上，顶点为最低点，函数有最小值；②$a<0$，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值；③$|a|$越大，开口越窄；$|a|$越小，开口越宽。 5. 函数增减性（以对称轴$x=h$为分界）：①$a>0$：$x<h$，$y$随$x$增大而减小；$x>h$，$y$随$x$增大而增大；②$a<0$：$x<h$，$y$随$x$增大而增大；$x>h$，$y$随$x$增大而减小。 6. 函数最值：在顶点处取得最值。①$a>0$，$x=h$时，$$y_{最小值}=k$$；②$a<0$，$x=h$时，$$y_{最大值}=k$$。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=2(x-1)^2+3$$的顶点坐标是（） A. $(1,3)$ B. $(-1,3)$ C. $(1,-3)$ D. $(-1,-3)$ 2. 将抛物线$$y=x^2$$向右平移2个单位，再向上平移4个单位，所得解析式为（） A. $$y=(x+2)^2+4$$ B. $$y=(x-2)^2+4$$ C.$$y=(x-2)^2-4$$ D. $$y=(x+2)^2-4$$ 3. 对于抛物线$$y=-3(x+2)^2-1$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 对称轴为直线$x=2$ C. 最大值为$-1$ D. $x>-2$时，$y$随$x$增大而增大 （二）填空题 4. 抛物线$$y=4(x-3)^2-5$$的对称轴是________，顶点坐标是________。 5. 抛物线$$y=(x+1)^2-2$$由$$y=x^2$$先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到。 6. 二次函数$$y=5(x-2)^2+4$$，当$x=$________时，函数有最________值，值为________。 （三）解答题 7. 已知抛物线$$y=a(x-h)^2+k$$的顶点为$(2,-3)$，且经过点$(3,1)$，求抛物线解析式。 8. 已知抛物线$$y=-2(x+1)^2+4$$，写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：A。解析：顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$顶点为$(h,k)$，本题$h=1，k=3$，顶点$(1,3)$。 2. 答案：B。解析：右减上加，右移2个单位$x\to x-2$，上移4个单位整体加4，解析式为$$y=(x-2)^2+4$$。 3. 答案：C。解析：$a=-3<0$，开口向下，有最大值；顶点$(-2,-1)$，最大值为$-1$；对称轴$x=-2$，$x>-2$时$y$随$x$增大而减小。 4. 答案：直线$x=3$，$(3,-5)$。解析：对照顶点式，$h=3，k=-5$，直接得出对称轴与顶点。 5. 答案：左，1，下，2。解析：$x+1$对应左移1个单位，$-2$对应下移2个单位。 6. 答案：2，小，4。解析：$a=5>0$开口向上，$x=2$时在顶点处取得最小值4。 7. 解析：由顶点$(2,-3)$得$h=2，k=-3$，代入得$$y=a(x-2)^2-3$$。将点$(3,1)$代入：$$1=a(3-2)^2-3$$，解得$a=4$。 抛物线解析式为$$y=4(x-2)^2-3$$。 8. 解析：$a=-2<0$，开口向下；对称轴为直线$x=-1$；顶点坐标$(-1,4)$； 函数有最大值4；增减性：当$x<-1$时，$y$随$x$增大而增大；当$x>-1$时，$y$随$x$增大而减小。 四、易错总结 1. 顶点坐标符号出错，混淆$h$的正负，误将$(x-h)^2$中的负号反向看错；2. 平移顺序与规律记混，左右平移看$x$、上下平移看整体，极易混用；3. 最值看错，忘记最值是$k$，错当成0；4. 增减性区间判断错误，未以对称轴$x=h$为分界；5. 顶点式代入求值时，括号符号计算失误。 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点. y=ax2 y=a(x-h)2 y=ax2+k y=ax2 k>0 k<0 上移 下移 右移 左移 说出平移方式，并指出其顶点与对称轴. 顶点 在x轴上（h，0） 顶点 在y轴上(0,k) 对称轴 y轴 对称轴 x=h 导入新知 【思考】 顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？ h>0 h<0 3 3 画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解： -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 开口方向： 对称轴： 顶点： 向下. 直线x=-1. (-1,-1). 探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 知识点 1 4 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 探究新知 画一画，填写下表: 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 向下 向下 向下 直线x=0 直线x=0 直线x=－1 直线x=－1 （0,0） （0,－1） （－1,0） （－1,－1） 画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 巩固练习 6 a>0 a<0 图象 h>0 h<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 探究新知 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析 根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限． A 利用二次函数y= a(x-h)2+k的性质识别图象 素养考点 探究新知 B. D. A. C. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 向左平移一个单位 向下平移一个单位 向左平移一个单位， 再向下平移一个单位 探究新知 二次函数y= a(x-h)2+k的图象与平移 知识点 2 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 向左平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 【思考】还可以怎样移动抛物线 来得到抛物线 ？ 平移方法： 向下平移 1个单位 探究新知 y=a(x-h)2+k y=ax2 平移关系 ？ 二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象： 这些图象与抛物线y=ax2有什么关系？ 探究新知 方法点拨 一般地,抛物线y=a(x－h) ²＋k与y=ax²形状相同,位置不同.把抛物线y=ax²向上(或向下)向左(或向右)平移,可以得到抛物线y=a(x－h) ²＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定. 向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位 向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位 y=ax2 y=a(x－h)2 y=a(x－h) 2+k y=ax2 y=a(x－h)2+k y=ax²+k 平移方法: 探究新知 向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位 向左（h＜0）或向右（h＞0）平移|h|个单位 (1)当a＞0时, 开口向上; 当a＜0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k). 探究新知 抛物线y=a(x－h)2+k的特点 13 13 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 探究新知 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 知识点1 二次函数 的图象 1. 抛物线 的顶点一定不在( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】由 知,该抛物线的顶点坐标为 .当时， ，此时顶点在第一象限，故 A不符合题意;当时， ,此时顶点在第四象 限，故D不符合题意;当时， ，此时顶点在第 三象限，故C不符合题意. 中考考法 15 （第2题） 2. 若二次函数 的图象如图所 示，则坐标原点可能是( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 中考考法 16 知识点2 二次函数 的性质 3. [2025威海] 已知点,, 都在二 次函数的图象上，则,, 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 17 【点拨】比较二次函数中函数值大小的三种常用方法： （1）代入比较法：直接代入自变量的值，求得函数值后比 较大小.（2）增减性比较法（借助图象）:①当自变量的取值 在对称轴同侧时，直接根据二次函数的增减性判断；②当自 变量的取值在对称轴两侧时，找某点关于对称轴的对称点， 均转化到同侧求解.（3）到对称轴的距离比较法：当抛物线 的开口向上时，点到对称轴的距离越远，相应的函数值越大； 当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越远，相应的函 数值越小. . . . . . . 中考考法 18 4. [2026广东实验中学期中] 若二次函数 ， 当时，随的增大而减小，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 5. 已知二次函数 ，当 时，的最小值为，则 的值为( ) D A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 中考考法 19 （第6题） 6. 为了美观，在加工 太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛 物线的形状（如图所示），对应的 两条抛物线关于 轴对称，左轮廓 所在抛物线的解析式为 B A. B. C. D. ，则右轮廓 所在抛物线的解析式为( ) 中考考法 20 7.如图，点在抛物线 上，且在对 称轴的右侧. 中考考法 21 （1）写出抛物线的对称轴和 的 最大值，并求出 的值； 【解】 抛物线 ，的最大值为4.当时， ，解得 或 点在对称轴的右侧， . ， 抛物线 的对称轴为直线 中考考法 22 （2）坐标平面上放置一透明胶片， 并在胶片上描画出点及 的一段， 分别记为，.平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数解析式恰好 为.求点 移动的最 短路程. 平移后的抛物线的解析式为， 平移后的顶 点坐标为 平移前抛物线的顶点坐标为， 点 移动的最短路程为 . 中考考法 23 8. 已知抛物线 ,顶点为 ，将抛物线沿水平方向向右平移 个单位长度， 得到抛物线，顶点为，与相交于点 ,若 ,则 ( ) A A. B. C. 或 D. 或 中考考法 24 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 y O x y=ax2 y=a(x-h)2+k h k 课堂小结 $