26.2.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质，涵盖抛物线特征、对称轴、顶点、平移规律等核心知识点。通过让学生绘制$y=x^2$与$y=x^2±1$的图象，对比分析开口方向、顶点等要素，搭建从基础函数到变式函数的学习支架。 其亮点在于以画图实践培养几何直观，通过对比不同函数性质发展推理意识，结合剪纸、车灯反射镜等实例体现应用意识。采用“探究-对比-总结”教学法，如对比$y=2x^2$与$y=2x^2-4$得出平移规律，小结系统梳理性质。学生能提升直观理解与探究能力，教师可获得清晰教学流程与丰富例题。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.2.2.1 二次函数y=ax2+k 的图象和 性质 第26章 二次函数 26.2.2.1 二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 图象基本特征：二次函数$$y=ax^2+k(a eq0)$$的图象是抛物线，由基础抛物线$$y=ax^2$$经过上下平移得到，图象形状、开口大小、对称轴均与$$y=ax^2$$完全相同，仅顶点位置发生改变。 2. 对称轴与顶点：对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$，这是与$y=ax^2$最核心的区别。 3. 平移规律（上加下减）：$k$值决定抛物线上下平移方向与距离。①$k>0$：图象由$$y=ax^2$$向上平移$k$个单位；②$k<0$：图象由$$y=ax^2$$向下平移$|k|$个单位。 4. 开口方向与宽窄：由系数$a$决定，与$y=ax^2$规则一致。①$a>0$，开口向上，顶点为最低点；②$a<0$，开口向下，顶点为最高点；③$|a|$越大，开口越窄，$|a|$越小，开口越宽。 5. 函数增减性：①$a>0$：$x<0$时，$y$随$x$增大而减小；$x>0$时，$y$随$x$增大而增大；②$a<0$：$x<0$时，$y$随$x$增大而增大；$x>0$时，$y$随$x$增大而减小。 6. 函数最值：①$a>0$，$x=0$时，函数有最小值，$y_{最小}=k$；②$a<0$，$x=0$时，函数有最大值，$y_{最大}=k$。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=2x^2+3$$的顶点坐标是（） A. $(3,0)$ B. $(0,3)$ C. $(2,3)$ D. $(0,-3)$ 2. 将抛物线$$y=5x^2$$向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（） A. $$y=5x^2+2$$ B. $$y=3x^2$$ C. $$y=5x^2-2$$ D. $$y=5(x-2)^2$$ 3. 对于抛物线$$y=-3x^2+4$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 最小值为4 C. 对称轴是$x$轴 D. 当$x>0$时，$y$随$x$增大而减小 （二）填空题 4. 抛物线$$y=-x^2-5$$的对称轴是________，顶点坐标是________。 5. 抛物线$$y=4x^2-1$$由$$y=4x^2$$向________平移________个单位得到。 6. 二次函数$$y=2x^2+7$$，当$x=$________时，函数取得最________值，值为________。 （三）解答题 7. 已知抛物线$$y=ax^2+k$$经过点$(1,3)$、$(0,2)$，求抛物线的解析式。 8. 对比抛物线$$y=2x^2$$与$$y=2x^2-4$$，说明二者的异同（开口、对称轴、顶点、最值、平移关系）。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B。解析：$$y=ax^2+k$$顶点坐标为$(0,k)$，本题$k=3$，故顶点为$(0,3)$。 2. 答案：C。解析：根据“上加下减”原则，向下平移2个单位，$k$值减2，解析式为$$y=5x^2-2$$。 3. 答案：D。解析：$a=-3<0$，开口向下，有最大值4；对称轴为y轴；$x>0$时，$y$随$x$增大而减小。 4. 答案：y轴（直线$x=0$），$(0,-5)$。解析：$y=ax^2+k$型函数对称轴固定为y轴，顶点坐标直接对应$(0,k)$。 5. 答案：下，1。解析：$k=-1$，相较于原函数向下平移1个单位。 6. 答案：0，小，7。解析：$a=2>0$，开口向上，在顶点$x=0$处取最小值，最小值为7。 7. 解析：将$(0,2)$代入解析式得：$k=2$；再将$(1,3)$、$k=2$代入得：$a+2=3$，解得$a=1$。 因此抛物线解析式为$$y=x^2+2$$。 8. 解析：相同点：开口方向均向上，开口宽窄一致，对称轴都是y轴，增减性完全相同； 不同点：①顶点：$$y=2x^2$$顶点$(0,0)$，$$y=2x^2-4$$顶点$(0,-4)$；②最值：前者最小值为0，后者最小值为-4； 平移关系：$$y=2x^2-4$$由$$y=2x^2$$向下平移4个单位得到。 四、易错总结 1. 混淆平移规律，记错“上加下减”，出现向上平移减、向下平移加的错误；2. 顶点坐标记错，误写成$(k,0)$，正确为$(0,k)$；3. 最值取值错误，忘记最值是$k$，依旧记为0；4. 误以为平移会改变开口方向、宽窄和对称轴，平移只改变顶点位置；5. 代入点求解析式时，符号计算失误。 会画二次函数y=ax2+k的图象. 理解抛物线y=ax²与抛物线 y=ax²+k之间的联系. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴、顶点. 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 , y=x2+1, y=x2-1的图象. 【解析】 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 … … y=x2-1 … … 10 5 2 1 2 5 10 8 3 0 -1 0 3 8 探究新知 二次函数y=ax2+k图象的画法 知识点 1 1.列表： 3 3 y=x2+1 10 8 6 4 2 -2 -5 5 x y y=x2-1 y=x2 O 2.描点，连线： 探究新知 4 4 【思考】抛物线y=x2 ，y=x2+1，y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 解： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 向上 x=0 (0,0) y=x2+1 向上 x=0 (0，1) y=x2-1 向上 x=0 (0，-1) 探究新知 5 5 二次函数y = ax2 +k的图象的画法 例 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = x2 +2， y = x2 -2的图象. 解析 先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y =x2 +2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 … y = x2 -2 … 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 … 素养考点 探究新知 6 然后描点画图： 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y =x2 -2 y = x2 +2 -2 探究新知 10 抛物线y = x2 +2, y = x2 -2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 【思考】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=x2 +2 向上 y轴 （0,2） y=x2 -2 向上 y轴 （0，-2） 解答： 探究新知 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y =x2 -2 y = x2 +2 -2 10 8 开口方向：向上 对 称 轴：y轴（或直线x=0） 顶点坐标：（0，k） 最 值：当x=0时，有最小值，y=k 增 减 性：当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 探究新知 二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质 二次函数y=ax2+k的性质 知识点 2 在同一坐标系中，画出二次函数 ， ， 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标. -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 如图所示 巩固练习 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y= -x2 向下 y轴 （0,0） y= -x2 +2 向下 y轴 （0,2） y= -x2 -2 向下 y轴 （0，-2） y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 探究新知 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 ; (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________; (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________________; 抛物线 向下 y轴 (0，0)， ( 0，2)， ( 0，-2) 探究新知 (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________; (6) 函数的增减性都相同： __________________________ __________________________ 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大, 对称轴右侧y随x增大而减小. 探究新知 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； x＞0时，y随x的增大而增大 当x＞0时，y随x的增大而减小； x＜0时，y随x的增大而增大 注意：k带前面的符号！ 探究新知 二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质 例 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 二次函数y=ax2+k的性质的应用 素养考点 探究新知 解 析 式 y=x2 y= x2 +2 y= x2 -2 +2 -2 点的坐标 函数对应值表 x … … y=x2-2 … … y=x2 … … y=x2+2 … … 2 2 0 4 -1 0.5 -1.5 2.5 x x2 x2-2 (x, ) (x, ) (x, ) x2 -2 x2 x2+2 从数的角度探究 x2+2 探究新知 二次函数y=ax2+k的图象及平移 知识点 3 观察图象可以发现，把抛物线y=x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=x2 向 平移2个单位长度，就得到抛物线 y=x2-2. 下 y=x2+2 上 从形的角度探究 探究新知 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 y =x2 -2 y = x2 +2 -2 10 y = x2 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移 |k|个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移|k| 个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 探究新知 二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系 知识点1 二次函数 的图象 1. 对于抛物线与 的说法如下，则 正确的有( ) ①对称轴都是 轴；②开口大小相同；③顶点坐标相同 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 中考考法 19 2. 函数和 为常数，且 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 【点拨】方法一:分类讨论 的符号推图象的位置;方法二:由图 象的位置推 的符号. 中考考法 20 3. 剪纸是我国的民间传统艺 术，能为节日增加许多喜庆的氛围.剪纸中 有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮 廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图， 这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶， C A. B. C. D. 建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的,,, 四点落在 抛物线 上，则下列结论正确的是( ) 中考考法 21 知识点2 二次函数 的性质 4. 对于二次函数,当时, 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 中考考法 22 【点拨】求二次函数的最值时，要确定函数在自变量取值范 围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点 处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标， 则利用函数增减性确定最值. . . . . . . . . 中考考法 23 5.已知关于的二次函数 有最值6，且 当时，随 的增大而减小，则该二次函数的解析式是 _____________. 中考考法 24 知识点3 抛物线与 间的关系 6. 下列各组抛物线中能够通过互相平移得到 的是( ) D A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 中考考法 25 （第7题） 7.如图，将抛物线 沿 轴向下平移一段距离后，得到一 条新的抛物线 .若曲线 段平移至曲线段，曲线段 所扫过的区域为阴影部分，则阴影 部分的面积是____. 16 中考考法 26 【点拨】 连接 ，由平移的性质可知四边形 是平行四边形，当 时， ，解得, ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向下平 移了4个单位长度. 阴影部分的面积是 . 抛物线的顶点坐标为 ， 中考考法 27 8. 已知抛物线上有两点, ，若 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. 或 D. 以上都不对 中考考法 28 【点拨】抛物线的开口向上，对称轴为轴. 抛 物线上有两点，，且 ， 或或 或 ． 中考考法 29 （第9题） 9. 如图①，车前大灯反射 镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所 在的位置合适时，灯光会沿着水平的方向反 射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的 “焦点”.抛物线的焦点位置有一种特性：如图 ②，抛物线上任意一点到焦点的距离 的长，等于点 C A. B. C. D. 到一条平行于轴的直线的距离 的长.若抛物线的解析式为 ，那么此抛物线的焦点坐标为 ( ) 中考考法 30 （第9题） 【点拨】设抛物线与 轴的 交点为，与轴交于点， ， ，则 ， . 由题可知， 点 为该抛物线的顶点， ,则 中考考法 31 ， . 由，得 ， ，整理，得 为任意实数， ，解得. 焦点的坐标 为 . （第9题） 中考考法 10. [2026厦门思明区模拟] 如图，正方 形的顶点，在抛物线 上，点在轴上.若， 两点的横坐标分 别为， ，则下列结论正确 的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 33 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴. 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 课堂小结 $