26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象性质及待定系数法求解析式，通过具体实例配方导入，衔接顶点式知识，搭建从具体到一般的学习支架，帮助学生逐步掌握配方法、顶点坐标及对称轴的推导。 其特色在于以问题链驱动思维，通过“思考1-6”引导学生经历配方过程，培养抽象能力和几何直观，结合典型例题分析系数与图象关系发展推理意识。待定系数法三种形式的归纳清晰，便于学生建立模型，既夯实基础又提升数学思维，助力教师高效教学。

第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第1课时 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 学习目标 学习重难点 熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴. 会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 难点 重点 （1）会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式. （2）会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值. （3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. 导入新知 知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 ① 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方 提出二次项系数，常数项放括号外 配方，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方 -62拿到括号外，不要漏乘括号前的系数 思考1 4 思考2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 对称轴是直线 x=6，顶点坐标是(6，3). 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 平移方法 1： 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度； 平移方法 2： 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度. 思考3 5 思考4 如何画二次函数 的图象呢？ 1.平移法 ①用配方法把二次函数 化成 的形式， 确定顶点 (6，3)； ②作出抛物线 ； ③将抛物线 平移，使其顶点平移到 (6，3) 处. 2.列表法 先利用图象的对称性列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … … … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象如图. O 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x=6 开口向上; 对称轴为x=6; 顶点坐标(6，3)； 当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当x=6时，有最小值3. O 思考5 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？ y=ax²+bx+c 思考6 归纳 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 ② (1)a决定抛物线的开口方向 当a >0时， 当a <0时， 开口向上； 开口向下． x y O x y O b与a同号 对称轴在y轴左侧； (2)b联合a决定对称轴的位置 对称轴在y轴右侧； 当b=0 ，即 时， 对称轴是y轴． 当b与a异号，即 时， 当b与a同号，即 时， 记忆口诀：左同右异 x (3) c决定抛物线与y轴的交点位置 c＝0 c＞0 c＜0 x y O x y O x y O 典型例题 例1 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 巩固练习 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 下列结论正确的是(　　) A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0 D 16 随堂演练 B 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 17 3.从地面向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动到最高点时，所花时间是多少？最高点的高度是多少？ 解：小球在顶点时达到最大高度. ∴所花时间是3 s，最高点的高度是45 m. 课堂小结 顶点： 对称轴：x= y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 配方法 公式法 y=a (顶点式) 19 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 学习目标 学习重难点 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题. 会用待定系数法求二次函数的解析式. 难点 重点 （1）会用待定系数法求二次函数的解析式. （2）会根据待定系数法解决二次函数的相关问题. 回顾复习 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1)设：（解析式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写解析式） 导入新知 知识点1 一般式法求二次函数的解析式 ① 例1 如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，得关于a，b，c的三元一次方程组， ∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5. 解得 3.解方程组 1.设一般式 2.坐标代入 4.写出解析式 a-b+c=10, a+b+c=4, 4a+2b+c=7, a=2, b=-3, c=5, 23 这种已知三点坐标求二次函数解析式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数解析式为 y=ax2+bx+c； ②将三个点的坐标代入，得到关于a，b，c的三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数换掉，写出函数解析式. 归纳 24 知识点2 顶点法求二次函数的解析式 ② 例2 已知二次函数的顶点是 (-2，1) 且过点 (1，-8)，求二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式是 y=a(x-h)2+k， 把顶点(-2，1) 的坐标代入 y=a(x-h)2+k ，得 y=a(x+2)2+1， 再把点（1，-8）的坐标代入上式，得 a(1+2)2+1= -8， 解得 a=-1. 故所求二次函数的解析式是 y=-(x+2)2+1 或 y=-x2-4x-3. 已知顶点，一般设顶点式. 归纳 已知抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫作顶点法. 其步骤是： ①设函数的解析式是 y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数解析式. 知识点3 交点法求二次函数的解析式 ③ 例3 已知二次函数的最小值为-4，它的图象经过点(-2，0)与(6，0)，求这个二次函数的解析式. 解：因为(-2，0)，(6，0) 是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点，所以可设这个二次函数的解析式是 y=a(x+2)(x-6)=ax2-4ax-12a. 故所求二次函数的解析式是 因为函数的最小值为-4 ， 解得 归纳 利用抛物线与 x 轴的交点坐标，求解析式的方法叫作交点法. 其步骤是： ①设函数解析式是 y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标 x1, x2 代入解析式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入，求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数解析式. 用待定系数法求二次函数解析式的技巧： 1.若已知抛物线上三点坐标(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3), 则设一般式y＝ax2＋bx＋c; 2.若已知抛物线的顶点(h，k)或者对称轴x=h， 则设顶点式 y=a(x-h)2+k; 3.若已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）， 则设交点式y=a(x-x1)(x-x2). 归纳 巩固练习 经过A（4，0），B（-2，0），C（0，3）三点的抛物线的解析式是 . 解：根据题意设抛物线的解析式为 ， 把C(0,3)代入得 即 则抛物线的解析式为 30 随堂演练 1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数解析式为( ). A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2 2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2) 和(-1,-6)两点，则a+c= ． 3.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为 . D -2 y=-7(x-3)2+4 31 4.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式． 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c． 依题意得 ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x-h)2+k 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式 33 $