26.3 二次函数与一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心涵盖判别式与交点个数、根的对应，根与交点坐标及函数值正负范围。课堂通过“思考”环节，观察具体函数与x轴交点，对应方程根的情况，衔接二次函数图象和一元二次方程解法，搭建知识支架。 其亮点是以探究活动（如小球飞行高度问题）培养数学眼光，通过推理证明（如判别式非负证明）发展数学思维，用表格总结关系规范数学语言。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统资料提高教学效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.3 二次函数与一元二次方程 第26章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 本节核心：打通二次函数、一元二次方程、抛物线与x轴交点三者关系，是中考必考重难点，涵盖图象交点判断、方程求解、函数与方程综合应用。 1. 核心对应关系（必考） 对于二次函数 $$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$：令 $$y=0$$，即可得到一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0$$。 方程的根 = 抛物线与x轴交点的横坐标 方程根的个数 = 抛物线与x轴交点个数 2. 判别式Δ的三种对应情况 设 $$\Delta=b^2-4ac$$ ① $$\Delta>0$$：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个不同交点； ② $$\Delta=0$$：方程有两个相等的实数根（一个实数根），抛物线与x轴只有一个交点（顶点在x轴上，相切）； ③ $$\Delta<0$$：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 根与交点坐标 若方程 $$ax^2+bx+c=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，则抛物线与x轴交点为 $$(x_1,0)、(x_2,0)$$。 抛物线对称轴公式（根的对称性）：$$x=\dfrac{x_1+x_2}{2}$$ 4. 拓展：函数值正负与自变量范围 ① $$a>0$$开口向上：两交点外侧 $$y>0$$，两交点之间 $$y<0$$； ② $$a<0$$开口向下：两交点外侧 $$y<0$$，两交点之间 $$y>0$$。 5. 二次函数与一元二次方程的转化应用 1. 求抛物线与x轴交点坐标 → 解对应一元二次方程； 2. 判断抛物线与x轴交点个数 → 计算判别式Δ； 3. 已知交点坐标 → 直接写出对应方程的根。 二、基础+进阶练习题 （一）选择题 1. 二次函数$$y=x^2-2x-3$$的图象与x轴交点个数为（） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 2. 若抛物线$$y=ax^2+bx+c$$与x轴只有一个交点，则方程$$ax^2+bx+c=0$$的根的情况是（） A. 无实数根 B. 两个不相等实数根 C. 两个相等实数根 D. 无法判断 3. 已知抛物线$$y=x^2-4x+m$$与x轴无交点，则m的取值范围是（） A. $$m>4$$ B. $$m&lt;4$$ C. $$m\ge4$$ D. $$m\le4$$ （二）填空题 4. 二次函数$$y=x^2-9$$的图象与x轴交点坐标为________，对应方程$$x^2-9=0$$的根为________。 5. 抛物线$$y=2x^2-8x+8$$与x轴有________个交点。 6. 已知二次函数$$y=ax^2+bx+c$$过点$$(-1,0)、(3,0)$$，则方程$$ax^2+bx+c=0$$的两根为________。 （三）解答题 7. 求二次函数$$y=-x^2+2x+3$$的图象与x轴的交点坐标。 8. 已知二次函数$$y=x^2-(m+2)x+2m$$，求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有交点。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0$$，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个交点。 2. 答案：C 解析：抛物线与x轴仅有一个交点，对应$$\Delta=0$$，方程有两个相等的实数根。 3. 答案：A 解析：与x轴无交点，即$$\Delta<0$$，$$\Delta=16-4m<0$$，解得$$m>4$$。 4. 答案：$(3,0)、(-3,0)$；$x_1=3，x_2=-3$ 解析：令$$y=0$$，$$x^2-9=0$$，解得$$x=\pm3$$，即为交点横坐标。 5. 答案：1 解析：$$\Delta=64-4\times2\times8=64-64=0$$，抛物线与x轴只有1个交点。 6. 答案：$x_1=-1，x_2=3$ 解析：抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 7. 解析：令$$y=0$$，得方程：$$-x^2+2x+3=0$$，整理得$$x^2-2x-3=0$$。 因式分解：$$(x-3)(x+1)=0$$，解得$$x_1=3，x_2=-1$$。 所以抛物线与x轴交点坐标为$$(3,0)$$、$$(-1,0)$$。 8. 证明：计算判别式 $$\Delta=[-(m+2)]^2-4\times1\times2m$$ 展开化简：$$\Delta=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$$ ∵ 任意实数的平方恒非负，即 $$(m-2)^2\ge0$$，也就是$$\Delta\ge0$$。 ∴ 无论m取何实数，方程总有实数根，抛物线总与x轴有交点。 四、易错总结 1. 混淆Δ与交点个数的对应关系，记错符号规律；2. 误认为Δ=0时方程无实数根，实际是两个相等实数根；3. 求x轴交点时忘记令y=0，审题出错；4. 判别式化简计算失误，尤其是含参数的配方化简；5. 无法区分“无交点、一个交点、两个交点”对应的函数与方程结论。 掌握二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【思考】如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0， x2-x+1=0的根的情况吗？ 探究新知 利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况 知识点 1 1 O y = x2－8x＋16 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 y x 3 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ 无公共点 观察函数图象 对应一元二次方程的根是多少？ x1 =-2， x2 =1. x1 =x2 =4. 方程无解 有两个不等的实根 有两个相等的实根 没有实数根 公共点的函数值为 . 探究新知 0 4 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根. 反过来，由一元二 次方程的根的情况， 也可以确定相应二 次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 探究新知 有两个不等实根 有两个相等实根 没有根 有两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 一元二次方程ax2+bx+c = 0 的根 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，则 b2 – 4ac ≥ 0. Δ= b2 – 4ac 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系（1） Δ ＞0 Δ =0 Δ ＜0 o x y Δ = b2 – 4ac y=ax2+bx+c 那么a<0时呢？ a＞0 探究新知 1 O y = x2－8x＋16 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－8x＋16 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 4 x2-8x+16=0，x1=x2=4 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 探究新知 y x 8 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 探究新知 9 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系 知识点 2 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 h = 20t - 5t 2．小球的飞行高度能否达到 20 m？ 如果能，需要多长时间？ 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t 20 2 20=20t-5t2,即t2-4t+4=0, 解得t1=t2=2. 故当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. h=20t-5t2 探究新知 解： 当h=20时，由函数关系h=20t-5t2,列得方程 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？ 追问1 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时， 它的高度为15m. 解：15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得t1=1,t2=3. 探究新知 你能结合上图，指出为什么在两个时间小求的高度为15m吗？ h=20t-5t2 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？ O h t 你能结合图形指出为什么小球不能达到20.5m的高度? 20.5 解：20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到20.5m. h=20t-5t2 探究新知 13 追问3小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, 解得t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 解：小球飞出时和落地时的高度均为0m， 探究新知 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 探究新知 15 二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 探究新知 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 解一元二次方程 探究新知 二次函数与一元二次方程的关系（2） 求一元二次方程 的根的近似值（结果留小数点后一位）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 探究新知 知识点 3 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如右图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 探究新知 求一元二次方程 的根的近似值（结果留小数点后一位）. 知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系 1. 二次函数 的图象如图 所示，对称轴为直线，图象与 轴 的一个交点坐标为 ，则方程 的根为( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 中考考法 20 【点拨】 抛物线与轴的一个交点的坐标为 ,且对称轴 为直线, 抛物线与轴的另一个交点的坐标为 , 方程的解为, . 中考考法 21 2. 若关于的一元二次方程 的两个根为 ,，则二次函数 的图象 的对称轴为( ) B A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 中考考法 22 3. 若函数的图象与 轴有交 点，则 的取值范围是( ) C A. B. 且 C. D. 且 【点拨】 当时，函数 是二次函数. 函数的图象与 轴有交点， ,解得,且 .当 时，函数是一次函数，图象与 轴有交点. 综上所述 . 中考考法 23 本题条件中并未说明函数是哪类函数，所以对它的 不同情况都要予以讨论.解答时，先由系数 的取值情况确定 函数类型,然后再根据交点情况求 的取值范围. . . . . 中考考法 24 知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 4. 下表是二次函数的自变量与函数值 的若 干组对应值： … 0.7 0.8 0.9 1.0 … … 0.30 0.05 … 则下面是关于的方程 的一个近似根 （精确到 ）的是( ) C A. 3.0 B. 3.1 C. 3.2 D. 3.3 中考考法 25 5.二次函数 的图象如图所示，若方程 的一个近似根是 ，则方程的另一个 近似根为________（结果精确到 ）. 中考考法 26 知识点3 利用图象法解一元二次不等式 6. 如图，二次函数 的图象 与轴交于点，其对称轴是直线 ， 则不等式 的解集是( ) D A. B. 或 C. D. 或 中考考法 27 7.[2026北京交大附中期末] 已知一个二次函数 图象上部分点的横坐标与纵坐标 的对应值 如下表所示： … 0 1 … … 0 0 … 中考考法 28 （1）求这个二次函数的解析式； 【解】 二次函数的图象过点和 ， 该二次函数的解析式为 . 将代入,得 ， 解得 ， 二次函数的解析式为 . （2）当时，直接写出 的取值范围； . 中考考法 29 （3）当时，对于的每一个值，函数 的值都 小于二次函数的值，直接写出 的取值范围. . 中考考法 30 【点拨】 二次函数 的图象过点 , 当直线过点 时, , .如图,可知 . 中考考法 31 8. 李同学在探究函数 的性质时，作出了如 图所示的图象，请根据图象判断，当方程 有两个实数根时，常 数 满足的条件是( ) D A. B. C. D. 或 中考考法 32 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根的情况 抛物线与x轴的三种位置关系 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 有两个公共点（x1 ，0）， （x2 ，0） 有两个相等的实数根x1 =x2＝－ 无实数根 有一个公共点（ －，0） 没有公共点 有两个不相等的实数根x1 ， x2 课堂小结 $