26.2.2.2二次函数y=a(x−h)2 的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象和性质，涵盖开口方向、对称轴、顶点坐标及平移规律等核心知识点。通过描点画图对比y=1/2x²与y=1/2(x-2)²的图象，结合表格梳理性质，衔接已学的y=ax²，搭建知识支架帮助学生理解。 其亮点在于采用探究式教学，引导学生通过实例画图、对比分析自主总结性质，体现数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理意识。设置易错总结和中考考点，如平移规律“左加右减”的辨析，帮助学生夯实基础。课堂小结系统梳理知识，学生能提升分析应用能力，教师可高效开展教学。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 26.2.2.2二次函数y=a(x−h)2 的图象和性质 第26章 二次函数 26.2.2.2 二次函数$y=a(x-h)^2$的图象和性质 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 图象基本特征：二次函数$$y=a(x-h)^2(a eq0)$$的图象是抛物线，由基础抛物线$$y=ax^2$$经过左右平移得到。抛物线的开口大小、开口方向完全不变，只改变对称轴和顶点位置。 2. 对称轴与顶点（核心考点）：对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。这是本函数型与$y=ax^2$、$y=ax^2+k$的最大区别，图象不再关于y轴对称。 3. 平移规律（左加右减）：$h$值决定抛物线左右平移的方向与距离。①$h>0$：图象由$$y=ax^2$$向右平移$h$个单位；②$h<0$：图象由$$y=ax^2$$向左平移$|h|$个单位。 4. 开口性质：由系数$a$唯一决定。①$a>0$，开口向上，顶点是最低点，函数有最小值；②$a<0$，开口向下，顶点是最高点，函数有最大值；③$|a|$越大，开口越窄，图象越陡；$|a|$越小，开口越宽，图象越平缓。 5. 函数增减性（必考）：以对称轴直线$x=h$为分界。①$a>0$：$x<h$时，$y$随$x$增大而减小；$x>h$时，$y$随$x$增大而增大；②$a<0$：$x<h$时，$y$随$x$增大而增大；$x>h$时，$y$随$x$增大而减小。 6. 函数最值：无论$a$正负，顶点处取最值。①$a>0$，$x=h$时，$y_{最小}=0$；②$a<0$，$x=h$时，$y_{最大}=0$。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 抛物线$$y=3(x-2)^2$$的对称轴是（） A. 直线$x=2$ B. 直线$x=-2$ C. y轴 D. x轴 2. 将抛物线$$y=4x^2$$向左平移3个单位，得到的抛物线解析式是（） A. $$y=4(x-3)^2$$ B. $$y=4(x+3)^2$$ C. $$y=4x^2-3$$ D. $$y=4x^2+3$$ 3. 对于抛物线$$y=-2(x+1)^2$$，下列说法正确的是（） A. 开口向上 B. 顶点坐标$(1,0)$ C. 当$x>-1$时，$y$随$x$增大而减小 D. 最小值为0 （二）填空题 4. 抛物线$$y=5(x-4)^2$$的顶点坐标是________，对称轴是________。 5. 抛物线$$y=(x+6)^2$$由$$y=x^2$$向________平移________个单位得到。 6. 二次函数$$y=-4(x-3)^2$$，当$x=$________时，函数有最________值，值为________。 （三）解答题 7. 已知抛物线$$y=a(x-h)^2$$经过点$(2,0)$和$(3,4)$，求抛物线的解析式。 8. 请说出抛物线$$y=2(x-1)^2$$与基础抛物线$$y=2x^2$$的异同点和平移关系。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：A。解析：$$y=a(x-h)^2$$对称轴为直线$x=h$，本题$h=2$，故对称轴为直线$x=2$。 2. 答案：B。解析：根据“左加右减”原则，向左平移3个单位，$x$变为$x+3$，解析式为$$y=4(x+3)^2$$。 3. 答案：C。解析：原式可化为$$y=-2(x-(-1))^2$$，$a=-2<0$，开口向下，有最大值0，顶点$(-1,0)$；$x>-1$时，$y$随$x$增大而减小。 4. 答案：$(4,0)$，直线$x=4$。解析：对应公式$$y=a(x-h)^2$$，$h=4$，顶点$(h,0)$，对称轴为直线$x=4$。 5. 答案：左，6。解析：$y=(x+6)^2=y(x-(-6))^2$，$h=-6$，图象向左平移6个单位。 6. 答案：3，大，0。解析：$a=-4<0$，开口向下，在顶点$x=3$处取得最大值，最大值为0。 7. 解析：抛物线$$y=a(x-h)^2$$顶点为$(h,0)$，图象过$(2,0)$，可得$h=2$。将$h=2$、点$(3,4)$代入解析式：$$4=a(3-2)^2$$，解得$a=4$。 因此抛物线解析式为$$y=4(x-2)^2$$。 8. 解析：相同点：开口方向、开口宽窄完全一致，最值大小相同，增减性变化规律一致。 不同点：对称轴不同，$$y=2x^2$$对称轴为y轴，$$y=2(x-1)^2$$对称轴为直线$x=1$；顶点不同，前者顶点$(0,0)$，后者顶点$(1,0)$。 平移关系：$$y=2(x-1)^2$$由$$y=2x^2$$向右平移1个单位得到。 四、易错总结 1. 平移规律记反，混淆“左加右减”，是本节最大易错点；2. 看错$h$的符号，如$$y=(x+2)^2$$误判为向右平移，实际对应$h=-2$，向左平移；3. 对称轴记错，误写为$x=h$的相反数；4. 混淆上下平移与左右平移函数模型，混用$k$、$h$规律；5. 判断增减性时，选错对称轴分界区间，导致判断错误。 会画二次函数y=a(x-h)2的图象. 理解抛物线y=ax2 与抛物线 y=a(x-h)2的联系. 能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点. 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 探究新知 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 知识点 1 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 再描点、连线，画出这两个函数的图象： 探究新知 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向上 y轴 x=2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＞0）的性质是什么？ 探究新知 当x=0时， y最小值=0 当x=2时， y最小值=0 当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小 当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y=a(x-h)2 （a＞0） 向上 x=h （h，0） 当x=h时， y最小值=0 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小 探究新知 二次函数y=a(x-h)2（a＞0）的图象性质 【试一试】画出二次函数 的图象，并说出它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －4.5 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －4.5 0 x y －8 探究新知 －8 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) 探究新知 当x=-1时， y最大值=0 当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小 当x=0时， y最大值=0 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 当x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小 当x=1时， y最大值=0 函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质（结合图象） 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y=a(x-h)2 （a＜0） 向下 x=h （h，0） 当x=h时， y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小 【想一想】通过上述例子，函数y=a(x-h)2（a＜0）的性质是什么？ 探究新知 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 探究新知 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质 向上 直线x=h （h,0） 当x=h时，y最小值=0 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 向下 直线x=h （h,0） 当x=h时，y最大值=0 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 例 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________． 解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为直线x＝－，a＝3＞0，开口向上，∴当x＜－时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－时，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． ∵点A的坐标为(－3，y1)， ∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A′的坐标为(，y1)． 又∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1. y2＜y3＜y1 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质 素养考点 探究新知 方法点拨 探究新知 利用函数的性质比较函数值的大小时，首先确定函数的对称轴，然后判断所给点与对称轴的位置关系，若同侧，直接比较大小；若异侧，先根据对称性转化到同侧，再比较大小. 向右平移 1个单位 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 探究新知 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系 知识点 2 x y o 可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 向右（h＞0）平移 ︱h︱ 个单位 y=a(x-h)2 向左（h＜0）平移 ︱h︱个单位 y=ax2 探究新知 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 知识点1 二次函数 的图象 1. 二次函数 的图象大致是( ) B A. B. C. D. 中考考法 15 2. 对于抛物线 ,下列说法正确的 有( ) ①开口向上；②顶点坐标为；③对称轴为直线 ； ④与轴的交点坐标为 . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 16 3. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 和二次函数 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 中考考法 17 知识点2 二次函数 的性质 4. [2026东莞模拟] 若抛物线 上有三个 点，，，则，， 的大小关 系为( ) B A. B. C. D. 中考考法 18 【点拨】由 知，抛物线开口向上，对称 轴为直线 ，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越 小. 抛物线上有三个点 ， ，，则, , ，， . 中考考法 19 5. 已知二次函数,当时,随 的增大而 增大；当时,随的增大而减小,则当时, 的值为 ( ) D A. B. 12 C. 32 D. 中考考法 20 6. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征： 小明：函数图象的顶点在 轴上； 小智：函数图象的对称轴是直线 ； 小文：函数有最大值. 请你写出一个符合上述条件的二次函数解析式： ____________________________. （答案不唯一） 中考考法 知识点3 抛物线与 间的关系 7. 把抛物线 向右平移2个单位长度，则平移后所得 抛物线对应的函数解析式为( ) D A. B. C. D. 中考考法 22 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线 平移后经过原点 ，则平移的方式可能是( ) D A. 向上平移3个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 中考考法 23 9. 设函数，，直线 与函 数，的图象分别交于点， ，则下列选项， 正确的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 中考考法 24 10. 已知二次函数,当自变量 的值满足 时,与其对应的函数值的最大值为,则常数 的值 为( ) D A. 1或3 B. 或1 C. 3或5 D. 或5 中考考法 25 【点拨】由 ,得函数图象开口向下,对称轴为 直线.由题意得，当时， 的最大值为0，故 或.当时，在中，随 的增大而减 小， 当时，的最大值为 ,解 得或（舍去）;当时，在中， 随 的增大而增大， 当时， 的最大值为 ,解得（舍去）或 .综上,常 数的值为 或5. 中考考法 26 在规定范围内求二次函数最值时,需分情况讨论:若 顶点的横坐标在所给的范围内,则要从顶点、两个界点中确定 二次函数的最值；若顶点的横坐标不在所给的范围内，则从 两个界点中确定二次函数的最值. 中考考法 27 （第11题） 11. 如图，在平面直角 坐标系中，抛物线 与 交于点 ，抛物线 交轴于点，过点作 轴的平行线与两条抛物线分别交于, 两点，若点是 轴上两条抛物线顶点 之间的一点，连接，，，，则四边形 的面 积为____. 中考考法 28 复习y=ax2+k 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线x=h （h,0） a>0,开口向上 a<0,开口向下 y=ax2 平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. 课堂小结 29 $