2025-2026学年人教版八年级下册数学期末模拟测试卷

**基本信息** 以跨学科情境与分层设计为特色，覆盖四边形、勾股定理、统计等核心知识，通过物理实验、海上搜救等真实场景考查几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|正多边形内角和、逆命题判断、方差分析|结合动点对称（第9题）考查空间观念| |填空题|6/24|矩形折叠（第11题）、平行四边形边长计算|通过数轴作图（第13题）体现数学语言表达| |解答题|9/86|菱形证明（第23题）、小球反弹函数图像（第6题）|设计“重温经典-迁移运用-拓展提升”探究链（第25题），培养创新意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七年级数学下册第 19~24章。 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角与相邻的外角互补，多边形的外角和定理的应用，本题先求解多边形的每一个外角，再结合外角和求解多边形的边数即可． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 故选：D． 2．如图，在中，，，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线及勾股定理，考生要熟悉垂直平分线的性质和勾股定理的内容，是解本题的关键． 【详解】解：∵为的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为5． 故选：A． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据角、全等三角形的判定和含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C、在中，一个角所对的边是斜边的一半，则这个角的度数为，真命题，符合题意； D、在中，、、为三角形三边的长，若这个三角形为直角三角形，则，由于直角边斜边不确定，假命题，不符合题意； 故选：C． 4．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 5．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．先证明四边形是菱形，进而得出，即可判断①结论；利用30度角所对的直角边等于斜边一半，以及勾股定理，可判断②结论；连接，令与的交点为，证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ，①结论正确； 在中，，， ， ，②结论正确；如图， 如图，连接，令与的交点为， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，③结论正确； 在和中， ， ， ， ， ，即，④结论正确； 故选：D． 6．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，由题意可知小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为，从而求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为， ∴小球P的速度为：， Q的速度为：， 当时，， 又∵， ∴， 解得：， 故选：B． 7．某校准备从甲，乙，丙，丁四人中选派一人去参加本市的国际奥林匹克数学竞赛（）的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 根据数据分析比较合适的人选是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛． 【详解】解：从甲、乙、丙、丁四人的成绩可以看出乙和丁的平均分相同都是分，比甲和丙的平均分高， 但是乙的方差是，丁的方差是， 丁的成绩比乙的成绩移稳定， 应选择丁去参加比赛． 故选：D． 8．如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟悉将军饮马模型是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，利用将军饮马模型，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 等腰直角三角形， ， ∵， ∴，， ∴， 即的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，得， 故选：B． 9．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，根据轴对称的性质得出，，根据三角形三边关系得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最大值为，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点是中点， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最大值，最大值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 10．如图，在中，，，为边的中线，过点A作，垂足为H，交于点F，连结．下列结论：① ；②；③ ；④ ．其中一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查借助直角三角形性质、全等三角形的判定与性质来分析各结论是否成立．通过构造辅助线创造全等条件，再利用全等三角形对应角、对应边相等的性质，推导角度和线段的关系． 【详解】解：在中，作于，交于，连接． 已知，， 为等腰直角三角形， ． 又， ， ，， ． 在和中： ， ，且， 即． ,, 为中点，，为公共边， 且得． 在和中： ， ，． 为中点， ；且，． 在和中： ， 故，结论①成立． ； 又，且 ， ，结论②成立． ； ,, ,即,结论③成立． 不垂直， 故结论④不符合题意． 综上，①②③成立，共3个， 故选C． 【点睛】本题核心是通过构造辅助线创造全等三角形的条件，利用全等三角形的性质推导角度和线段关系．解题关键在于熟练运用全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的特性． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了作图—基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质和矩形的性质．连接，根据矩形的性质可得，由作法可得垂直平分，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即 故答案为： 12．用长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是，则长边是____，短边是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 设长边为，短边为，根据平行四边形的性质，即对边相等，结合周常，可得，解方程，即可求解． 【详解】解：长边与短边的比是，则设长边为，短边为， 根据题意，得：， 解得：， ，． 长边是，短边是． 故答案为：，． 13．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理计算得出，结合题意得出，即可得解． 【详解】解：∵在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且， ∴，， ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 14．如图，在中，．若，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理． 利用平行四边形的性质得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ 由勾股定理得， 故答案为：8． 15．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为________． 【答案】43 【分析】本题考查了等逆线问题，勾股定理及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是构造全等三角形，过点B作，且使，连接，，先证明，可得，得出，所以当三点共线时，的值最小，即的值最小，再求解即可． 【详解】解：过点B作，且使，连接，， ， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，的值最小，即的值最小， 在中，，，， ， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：43． 16．如图，在中，，于点D，平分，交于E，交于点G，过点E作于点F，若，，现有下列结论：①②③④，其中正确的结论的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据角平分线的性质得出，故①正确；证明，得出，根据，，得出，则，结合，得出，故②正确；勾股定理求出，则，勾股定理求出，则，故③正确；根据，，求出，，即可解答； 【详解】解：∵，，平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】该题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线的性质和判定等知识点，解答的关键是掌握以上知识点． 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．（本题6分）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，负整数指数幂的含义，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，化简二次根式，再合并即可； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可； （3）按照从左至右的顺序计算乘除运算即可； （4）先计算括号内的运算，二次根式的乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 18．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式运算、负整数指数幂、零指数幂、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）首先根据二次根式乘法和除法运算法则、二次根式的性质进行运算，然后相加减即可； （2）首先根据负整数指数幂运算法则、二次根式性质、零指数幂运算法则、绝对值的性质进行运算，然后相加减即可； （3）根据完全平方公式进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 19．（本题8分）六边形钢架ABCDEF由6条钢管铰接而成，如图，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）    【答案】见解析 【分析】利用三角形的稳定性，画对角线，将六边形分割为三角形，即可． 【详解】解：作图如下：    【点睛】此题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握三角形的稳定性． 20．（本题8分）折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，． (1)折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形的边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°； (2)现要折出角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2； 步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形的边上），使得______． 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为． 【答案】(1)45 (2)点C落在上，点C的对应点为点N，证明见解析 【分析】（1）由折叠可得，即可求解； （2）由折叠的性质得出垂直平分，第二次折叠可得，进而得为等边三角形，则可得出结论． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：， 故答案为：45； （2）解：步骤2：使得点C落在上，点C的对应点为点N， 证明：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，连接 ∴垂直平分， ∴， ∵再一次折叠纸片，使点C落在上，得到折痕，点C的对应点为点N， ∴，         ∴， ∴为等边三角形，     ∴．         【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 21．（本题8分）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 【答案】此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB是40海里 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，勾股定理的应用，先根据题意得出，，（海里），（海里），证明为直角三角形，再根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：由题意，得： ，，（海里），（海里）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴（海里）， 答：此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离是40海里． 22．（本题10分）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 【答案】(1)印制这批纪念册的制版费为元； (2)； (3)印数的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、解一元一次不等式．解决本题的关键是根据印刷费与印数之间的关系列出关于的函数关系式，根据关系式列不等式求出印数的取值范围．解题过程中需要注意分情况讨论． 根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量，计算求出制版费即可； 根据印数的取值范围分段列出关于的函数表达式即可； 因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围． 【详解】（1）解：制版费：(元)， 答：印制这批纪念册的制版费为元； （2）解：当时，； 当时，， 关于的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得：， ； 当时，， 解得， ， 印数的取值范围为或． 23．（本题12分）如图，中，，E，F分别是，的中点 (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由中点的性质可得，可证四边形为平行四边形，由直角三角形的性质可得，即可得结论； （2）由勾股定理可求的长，可求，即可求四边形的面积． 【详解】（1）证明：在中， ，， 又，分别是边，的中点， ，， ，且 四边形为平行四边形． 在中，，是边中点， ， 四边形是菱形； （2）解：，，， ， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形， 四边形的面积 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，熟练运用菱形的判定是本题的关键． 24．（本题14分）已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，，，再进一步证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， ，F分别是边、的中点， ，， ， ， ∴． 25．（本题14分）【重温经典】 （1）你还记得下面这道课本习题吗？请完成此题的证明． 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．(提示：取的中点，连接) 【迁移运用】 （2）如图2，点是正方形边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点；连接，过点作交于点．如果(为常数)，求为何值时四边形是平行四边形？ 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点坐标是，点是横轴上的一个动点，若将点绕点顺时针旋转得到点，则是一个等腰直角三角形．当点在横轴上左右移动时，请你判断点是否也是在一条直线上运动？如果是，请直接写出这条直线的函数解析式；如果不是，请简要说明判断理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）是，． 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取，证明是解题的关键． （1）取的中点，连接，首先说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （2）设，则，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定可得只要，即可解决问题； （3）设，过作轴于，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，于是得到点是在一条直线上运动，这条直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：如图，在边上取的中点，连接， 四边形是正方形， ，，点是边的中点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：时，四边形是平行四边形，如图2， 由（1）知，， ， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得； （3）解：点坐标是， ， 设， 过作轴于， ，， 是一个等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点是在一条直线上运动，这条直线的函数解析式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版七年级数学下册第 19~24章。 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 2．如图，在中，，，，斜边的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．在中，角所对的边是斜边的一半 D．在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形 4．如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（   ） A．4 B． C．9 D．11 5．如图，在四边形中，，，交于，平分，，，下面结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（    ）      A． B． C． D．18 7．某校准备从甲，乙，丙，丁四人中选派一人去参加本市的国际奥林匹克数学竞赛（）的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 根据数据分析比较合适的人选是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 9．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，为边的中线，过点A作，垂足为H，交于点F，连结．下列结论：① ；②；③ ；④ ．其中一定成立的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分） 11．如图，在矩形中，，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别交，于点，，则的长为__________． 12．用长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是，则长边是____，短边是_____． 13．如图，在数轴上点A表示原点，点B表示的数为1.5，，垂足为B，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为______． 14．如图，在中，．若，，则的长为______． 15．如图，在中，，，，点D是边上的动点，点E是边上的动点，且保持，则的最小值为________． 16．如图，在中，，于点D，平分，交于E，交于点G，过点E作于点F，若，，现有下列结论：①②③④，其中正确的结论的是______．（填序号） 三、解答题(本大题共9小题,满分86分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．（本题6分）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 18．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（本题8分）六边形钢架ABCDEF由6条钢管铰接而成，如图，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种方法．（只需画图，不必写出作法）    20．（本题8分）折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，． (1)折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形的边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°； (2)现要折出角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2； 步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形的边上），使得______． 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为． 21．（本题8分）某天，暴风雨突然来袭，海上搜救中心接到海面上遇险船只从A，B两地发出的求救信号．搜救中心及时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离． 22．（本题10分）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 23．（本题12分）如图，中，，E，F分别是，的中点 (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 24．（本题14分）已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 25．（本题14分）【重温经典】 （1）你还记得下面这道课本习题吗？请完成此题的证明． 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．(提示：取的中点，连接) 【迁移运用】 （2）如图2，点是正方形边上的任意一点，，且交正方形外角的平分线于点；连接，过点作交于点．如果(为常数)，求为何值时四边形是平行四边形？ 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点坐标是，点是横轴上的一个动点，若将点绕点顺时针旋转得到点，则是一个等腰直角三角形．当点在横轴上左右移动时，请你判断点是否也是在一条直线上运动？如果是，请直接写出这条直线的函数解析式；如果不是，请简要说明判断理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $