专题11 期末真题百练通关（100题19大解答压轴题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

### 基本信息 19类压轴题型系统整合，以真题为载体，提炼解题模型与思想方法，构建代数几何融合的知识网络，培养数学抽象与逻辑推理能力。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|32题（含二次根式、一次函数）|整体代入、换元法、分类讨论|从概念化简到实际应用，形成"性质-运算-建模"递进链条| |几何综合|64题（含勾股定理、四边形）|折叠变换、将军饮马模型、存在性分析|以图形性质为基础，通过动态问题发展空间观念与推理能力| |统计与综合|4题|数据特征分析|体现数据分析观念，衔接代数几何知识综合应用|

专题11 期末真题百练通关（100题19大解答压轴题型） 题型1 二次根式化简+整体代入求值（高频压轴） 题型11 四边形动点问题（分类讨论压轴） 题型2 分母有理化综合+比较大小/化简计算 题型12 四边形存在性问题（难点压轴） 题型3 二次根式规律探究（解答压轴） 题型13 中位线、直角三角形斜边中线综合 题型4 直角三角形折叠问题（期末必考压轴） 题型14 一次函数解析式求解+图像交点、坐标计算 题型5 动点类勾股定理综合（难点压轴） 题型15 一次函数与几何图形面积综合（必考压轴） 题型6 最短路径问题（将军饮马模型） 题型16 一次函数与方程、不等式综合 题型7 勾股定理逆定理 + 几何证明综合 题型17 一次函数动点问题（代数+几何综合难点） 题型8 勾股定理与面积综合 题型18 一次函数实际应用（方案选择、最值问题） 题型9 四边形判定+线段/面积计算（基础压轴） 题型19 平均数、中位数、众数、方差综合计算 题型10 特殊四边形折叠综合（高频大题） 题型1 二次根式化简+整体代入求值（高频压轴）（共3小题） 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）乔乔在解决问题：已知，求的值时，是这样想的：先将化简成不含分母的形式：，此时， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据乔乔的分析过程，解决下列问题： (1)分别化简：和； (2)若，请你求出的值． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 题型2 分母有理化综合+比较大小/化简计算（共4小题） 4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 6．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 7．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 题型3 二次根式规律探究（解答压轴）（共4小题） 8．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ (3)证明你的猜想． 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 10．观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 11．观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 题型4 直角三角形折叠问题（期末必考压轴）（共5小题） 12．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 13．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，D为边上一点，将沿着折叠，使点C落在边上，请用直尺和圆规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点A，B重合，折痕交于点P，请用直尺和圆规作出点P；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求的长． 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 题型5 动点类勾股定理综合（难点压轴）（共3小题） 17．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点． (1)求的度数； (2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结， ①求证：； ②延长交于点，当是直角三角形时，求的值． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 19．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，t的值为________； (3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 题型6 最短路径问题（将军饮马模型）（共6小题） 20．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 21．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 22．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 23．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 24．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 25．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 题型7 勾股定理逆定理 + 几何证明综合（共5小题） 26．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 27．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 28．（25-26八年级下·新疆·期末）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 29．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 30．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 题型8 勾股定理与面积综合（共4小题） 31．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 32．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 33．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 34．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 题型9 四边形判定+线段/面积计算（基础压轴）（共6小题） 35．（25-26八年级下·山东·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 36．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 37．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 38．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 39．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 40．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 题型10 特殊四边形折叠综合（高频大题）（共7小题） 41．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 43．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 44．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 45．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 46．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，；根据以上操作，当点在上时，________，________． (2)迁移探究 小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，． ①如图2，当点在上时，与的数量关系是________． ②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为10，当时，求的长． 47．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ． (2)探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数． (3)拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ． 题型11 四边形动点问题（分类讨论压轴）（共5小题） 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 49．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 50．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点（点不与重合），，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)若， ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的周长； (2)如图2，于点，于点，探究：当为何值时，四边形是正方形？ 51．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 52．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． (1)的长为______，的长为______； (2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值； (3)若为等腰三角形，求t的值； (4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 题型12 四边形存在性问题（难点压轴）（共4小题） 53．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 54．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且与直线交于点A．已知点A的横坐标为6，点C的坐标为．    (1)点A的坐标是 ；点B的坐标是 ；直线的解析式是 ； (2)若D是直线上的点，且的面积为12，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标．此时在平面内存在点Q，使以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 55．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 56．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13 中位线、直角三角形斜边中线综合（共4小题） 57．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．    （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 58．（24-25八年级下·江西吉安·期末）（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 59．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 60．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：． (2)【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和． ①求证：． ②若，，求的度数． ③若，，则E到的距离是___________（直接写答案）． 题型14 一次函数解析式求解+图像交点、坐标计算（共5小题） 61．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 62．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 63．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，过点的两条直线，分别交轴于点，，其中点在原点上方，点在原点下方，已知． (1)求点的坐标． (2)若的面积为，求直线的解析式． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 65．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 题型15 一次函数与几何图形面积综合（必考压轴）（共4小题） 66．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线（k，b为常数，且）与x轴、y轴分别交于点C、点D，且，直线与直线交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点F为线段EC上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积． 67．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 68．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，直线与轴、轴交于点A，B，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 69．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 题型16 一次函数与方程、不等式综合（共7小题） 70．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 71．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知直线，如图，它与直线相交于点P，它们与x轴分别相交于两点，请画出直线，并根据图象解答下列问题： (1)求的面积； (2)写出不等式的解集． 72．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 73．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 74．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 75．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 76．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接， 求的面积． 题型17 一次函数动点问题（代数+几何综合难点）（共5小题） 77．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 78．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 79．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知：在平面直角坐标系中，点坐标，B点坐标为． (1)如图1，点为平分线与平分线的交点，连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，若，且． ①直接写出点坐标__________，点坐标__________； ②求点坐标． (2)在（1）的条件下，在坐标轴上有一点，若，求点坐标． (3)若直线解析式为，向下平移直线得直线，如图2，若，在直线上，连接，交于点，求点横坐标． 80．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 81．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型18 一次函数实际应用（方案选择、最值问题）（共8小题） 82．（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 83．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 84．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 85．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 86．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）为了更好的预防疫情，我校准备购买A、B两种型号的免手洗消毒液，已知购买8瓶A型和3瓶B型共需要950元；购买5瓶A型和6瓶B型共需要800元． (1)求A、B两种型号的免手洗消毒液的单价各是多少？ (2)现在学校需购买A、B两种型号的免手洗消毒液共100瓶，考虑到学校班级数和资金问题，购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元，则学校有几种购买方案？ (3)在（2）的前提下，求满足学校要求的最低费用． 87．（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 88．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 89．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 题型19 平均数、中位数、众数、方差综合计算（共4小题） 90．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 91．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，_______，_______，_______； (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 92．（25-26八年级上·广东河源·期末）综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】广东河源市连平县的鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下： 56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101 2号桃树水蜜桃直径数据如下： 62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如下表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 (1)a的值为________，b的值为________； (2)小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整； (3)请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类． 93．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 2．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 3．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 4．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 5．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 7．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 期末真题百练通关（100题19大解答压轴题型） 题型1 二次根式化简+整体代入求值（高频压轴） 题型11 四边形动点问题（分类讨论压轴） 题型2 分母有理化综合+比较大小/化简计算 题型12 四边形存在性问题（难点压轴） 题型3 二次根式规律探究（解答压轴） 题型13 中位线、直角三角形斜边中线综合 题型4 直角三角形折叠问题（期末必考压轴） 题型14 一次函数解析式求解+图像交点、坐标计算 题型5 动点类勾股定理综合（难点压轴） 题型15 一次函数与几何图形面积综合（必考压轴） 题型6 最短路径问题（将军饮马模型） 题型16 一次函数与方程、不等式综合 题型7 勾股定理逆定理 + 几何证明综合 题型17 一次函数动点问题（代数+几何综合难点） 题型8 勾股定理与面积综合 题型18 一次函数实际应用（方案选择、最值问题） 题型9 四边形判定+线段/面积计算（基础压轴） 题型19 平均数、中位数、众数、方差综合计算 题型10 特殊四边形折叠综合（高频大题） 题型1 二次根式化简+整体代入求值（高频压轴）（共3小题） 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）乔乔在解决问题：已知，求的值时，是这样想的：先将化简成不含分母的形式：，此时， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据乔乔的分析过程，解决下列问题： (1)分别化简：和； (2)若，请你求出的值． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，，，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)26 (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 题型2 分母有理化综合+比较大小/化简计算（共4小题） 4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 因为，所以， 即． 仔细研读上面的解题方法，完成下列问题： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解： ； ． 因为， 所以， 即． （2） ． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 6．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【答案】(1) (2)> (3) 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 7．（23-24八年级上·四川达州·期末）阅读下列解题过程∶ 请回答下列问题∶ (1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________． (2)请直接写出的化简结果∶____________． (3)利用上面所提供的想法，求的值． (4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)，理由见解析 【详解】（1）解： ； 故答案为：，，； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ； （4）解：，理由如下： 与 ， ∵， ∴， ∴ ∴． 题型3 二次根式规律探究（解答压轴）（共4小题） 8．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ (3)证明你的猜想． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据上述计算可得，， 故答案为：（为正整数）； （3）证明： 左边， ∵为正整数， ∴左边右边， ∴． 9．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 10．观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， …… (1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）； (2)利用上面的规律，计算：； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：通过观察可知，， 故答案为：； （2）解：原式 ， ； （3）解：，， ， ． 11．观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 题型4 直角三角形折叠问题（期末必考压轴）（共5小题） 12．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 13．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，D为边上一点，将沿着折叠，使点C落在边上，请用直尺和圆规作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，在中，，将沿着某条直线折叠，使得点A，B重合，折痕交于点P，请用直尺和圆规作出点P；（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求， （2）如图，点P即为所求， （3）连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 设， ∴， 在中，， 在中， ， 解得， ． 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，点D是线段上的一动点（不含点C），连接，将沿翻折．点C的对应点为E． (1)如图1．当点E在边上时，求线段的长； (2)在右侧取点F，使，且，连接，交于点H． ①如图2，当时，求证：； ②当为等腰三角形时，求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由翻折得： ∴当点E在边上时，； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由上知：， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，过点F作于点G，过点E作于点K，过点F作于点M，连接，交于点L， 同上可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折知：垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ∵， ， ∴， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得； 当时，过点F作于点G， ∵， ∴， ∴当时， ∴， ∴点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点重合，如图： ∴， ∴点共线， 由翻折得：， ∴此时， ∴ 此时， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 综上：当为等腰三角形时，线段的长为或． 题型5 动点类勾股定理综合（难点压轴）（共3小题） 17．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，是等边三角形，，是上一动点，在上取点，使，，相交于点． (1)求的度数； (2)如图2，过点作交于点，在延长线上截取，连结， ①求证：； ②延长交于点，当是直角三角形时，求的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵，是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形． 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的值是或． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，， 如图①： 在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 19．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． (1)当时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，t的值为________； (3)过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 【答案】(1) (2)或16或5 (3)5 【详解】（1）解：当时，，，， 在中，根据勾股定理，得． （2）解：由题意可知，， ①当时， ∵， ，解得； ②当时，如图 ∵， ∴， ∴； ③若，则， 在中，， ∴ 解得：； 综上所述：t的值或16或5； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 如图，连接， ∵P在C点的左侧， ∴． 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 题型6 最短路径问题（将军饮马模型）（共6小题） 20．（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，． (1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？ (2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）． 【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下： 在中， ， ，即， 由垂线段最短， 的长为攀梯A到泳道l的最近距离． （2）， ． 在中， ． 答：的长度为． 21．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 22．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 23．（25-26八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 24．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 25．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 题型7 勾股定理逆定理 + 几何证明综合（共5小题） 26．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）综合与实践 在现代地理测绘与土地规划工作中，无人机凭借其灵活便捷的特点，成为获取地形数据的重要工具．某数学兴趣小组利用无人机对一块不规则四边形空地进行研究，以解决这块空地的面积问题，方案如下： 准备 工作 1．知识储备：勾股定理及其逆定理，以及三角形面积计算方法． 2．器材准备：调试好无人机（配备高清摄像头），准备记录数据的纸笔或电子设备． 无人机 测绘 操控无人机对模拟的四边形空地进行低空拍摄，要求从不同角度获取清晰图像，重点清晰呈现边、、、的长度信息（假设在图像测量中得出米，米，，米，米） 方法 分析 1．验证直角三角形：根据测量数据，求证是直角三角形． 2．计算面积：计算四边形的面积．可将其分割为和，分别计算两个三角形面积后相加． 请根据表格中信息，计算四边形空地的面积． 【答案】四边形的面积为 【详解】解：连接， ， 在中，由勾股定理得： ， （米）， 在中，，，， ， ， ， 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ， ， ． 27．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 28．（25-26八年级下·新疆·期末）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）解：如图，过点A作， 是等边三角形，， ， ， ； （2）解：如图2，过点C作于点D， ， 在中，， ， ∴ ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 29．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 30．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 题型8 勾股定理与面积综合（共4小题） 31．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 32．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积． 【详解】（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于， ∴， ∴， ∵左边：， ∴； （2）解：∵，千米，千米，， ∴设千米， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴新路比原路少千米； （3）解：如图所示， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为24或84． 33．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 34．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 题型9 四边形判定+线段/面积计算（基础压轴）（共6小题） 35．（25-26八年级下·山东·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【详解】(1)证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ， ， 点为的中点，， ． 36．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 37．（25-26八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 38．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 39．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 40．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【详解】(1)证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 题型10 特殊四边形折叠综合（高频大题）（共7小题） 41．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 【详解】(1)证明：∵是对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； (2)证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴ 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，设交于点P， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． 42．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【问题情境】 已知在四边形中，E为边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点F． 【问题解决】 (1)如图①，若四边形是正方形，点F落在对角线上，连接并延长交于点G．求的度数； 【拓展变式】 (2)如图②，若四边形是矩形，点F恰好落在的垂直平分线上，与交于点O．求证：； (3)如图③，若四边形是平行四边形，，点F落在线段上，点P为边上一点，连接，求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可知：， ， ； (2)证明：∵四边形是矩形，垂直平分线段， ， 由折叠的性质可知：，， 取的中点H，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ； （3）解：连接， ， 由折叠的性质可知：，， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ，为等边三角形， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， 在平行四边形中，， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 43．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 44．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图1，点E、F分别在正方形边、上，沿直线将正方形折叠．使点B的对应点G落在边上（点G不与点A、D重合），点C落在点H处，与交于点M，分别连接， (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若，点M为的中点，求的长． 【详解】（1）证明：沿直线将正方形折叠， ，， ， ， 即， 正方形， ， ， ． （2）解：如图，过点B作于K， 则， 正方形ABCD， ，， ，， 由（1）得， 又， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， ； （3）解：正方形， ， 点M为的中点， ， 如图，过点B作于K， 由(2)可知， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 设，， 在中，， 即， 解得， ． 45．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 46．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，；根据以上操作，当点在上时，________，________． (2)迁移探究 小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，． ①如图2，当点在上时，与的数量关系是________． ②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为10，当时，求的长． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知：，，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②与的数量关系仍然成立；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿折叠，使点落在正方形内部点处， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，           ∵，， ∴， ∴； （3）分两种情况： ①点在线段上时，如图； ∵， ∴， ∴， 设，则，           在中，， ∴， 即， 解得，           即； ②点在线段上时，如图； ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即，          解得， 即； ∴综上所述，的长为或． 47．（24-25八年级下·河南郑州·期末）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，四边形是长方形，，点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，则 ． (2)探究迁移：如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点，连接．试说明四边形是平行四边形，并求的度数． (3)拓展应用：如图3，四边形是边长为2的正方形，，，，分别为，，，的中点，连接，．点是边上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在或上时，直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵点是边上一点，连接，沿折叠，使点的对应点落在上，， ∴，， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：如图：∵四边形是矩形， ∴，，即， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：∵正方形的边长为2，E、F、G、H分别为、、、的中点， ∴，四边形是矩形， ∴， ①如图：当点落在上时， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， 如图：取的中点O，连接，则， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②当点落在上时， 由折叠的性质可得：， 利用（1）的方法进而得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，的值为或． 故答案为：或． 题型11 四边形动点问题（分类讨论压轴）（共5小题） 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 【答案】(1) ， ； ； (2) 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，． 如图，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 同得是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴． （2）解：连接交与点，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分， 又∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 平移至，连接，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 49．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 是等边三角形，于点，是射线上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，． （1）如图，当时， ； （2）如图，点在线段的延长线上，连接，当点在线段上，时，求的长； 【变式应用】 （3）如图，在中，，，点是的中点，点在线段上，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接并延长交于点，求证：． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，； （3）证明：如图，在上截取，连接， ∵，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， 又∵点是的中点， ∴， ∴， 而， ∴． 50．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点（点不与重合），，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)若， ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的周长； (2)如图2，于点，于点，探究：当为何值时，四边形是正方形？ 【详解】（1）①证明：在矩形中，，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ 又∵， 在和中， ∴ ∴， ∵，且， ∴ 四边形是平行四边形 又∵， ∴ 平行四边形是菱形 ②由①得 ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵，， ∴ （2）当时，四边形是正方形 ∵ ∴ ∵在矩形中， ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵，于点 ∴ ∴四边形为矩形 ∵ ∴矩形为正方形 51．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ， ， ． （2）解：如图，同（1），过点作，则，， 点在的垂直平分线上， ，， 在中，， 则， 化简得，解得． （3）解：点沿射线运动， ， 四边形是平行四边形，， ， ， 当点未到达点时，即，解得； 当点过点后，即，解得． 故或． （4）解：如图，当在上时： 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， 解得； 如图，当在延长线上时： 此时，点已过点，延长于点， 根据对称的性质，可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故或． 52．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，四边形中，，，，，点C在边上，四边形为平行四边形，，动点P从点B出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点D运动，设点P的运动时间为t秒． (1)的长为______，的长为______； (2)连接，若将的面积分为两部分，求t的值； (3)若为等腰三角形，求t的值； (4)在点P运动过程中，作点D关于直线的对称点M，当直线与的一边平行或共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 (4)或或 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：如图， 由题意得， ∵， ∴， ∵将的面积分为两部分，即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴t的值为或； （3）解：如图，过点作，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴（平行线间距离处处相等）， ∵， ∴， 由（1）知，由（2）知， ∴， ∵为等腰三角形， ∴分三种情况， 当时，则，解得； 当时， ∵，， ∴，即，则，解得； 当时，则， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； 综上，当为等腰三角形，t的值为或或； （4）解：∵点在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， 如图，当共线时，则， 同理（3）得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得； 如图，当时，设交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由对称的性质得，， ∴，， 在中，，即， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（此时，点P，点D，点M重合，舍去）， 综上，当直线与的一边平行或共线时，t的值为或或． 题型12 四边形存在性问题（难点压轴）（共4小题） 53．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 54．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且与直线交于点A．已知点A的横坐标为6，点C的坐标为．    (1)点A的坐标是 ；点B的坐标是 ；直线的解析式是 ； (2)若D是直线上的点，且的面积为12，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，且当点D在第一象限时，设P是射线上的点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标．此时在平面内存在点Q，使以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；；yx+6 (2)或 (3)； 【详解】（1）解：在中，令得， ； 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式是； 令得， ， 故答案为：，，； （2）解：设， ， ， 的面积为12， ， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：当点在第一象限时，点的坐标为， 由，可得直线解析式为， 设，其中， ①当时，如图：   ， 解得（此时P，C重合，舍去）或， ， ， ， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； ②当时，如图：   ， 解得（舍去）或， ， 四边形是以为对角线的菱形，， 将向下平移6个单位即得， ， ③当时，过作于，如图：   ，即为中点， ， ， 解得， ， ， 此时， 在平面内不存在点，使以为对角线的四边形是菱形，故这种情况不存在； 综上所述，的坐标为，的坐标为． 55．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【详解】（1）解： 其中 ，其“守望一次函数”为： 代入 得： ∴的 “守望一次函数”为 ； 联立原函数与“守望一次函数”求交点C： 解得 ， 故C点坐标为 ； （2）解：， 令，求得， 令，求得， ∴，， 作， 由勾股定理得，， ∵， 即， ， 的运动速度每秒个单位长度， 当在上运动，即时，， ； 当在上运动，即时，， ； 综上，函数解析式为： ； （3）解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上， 根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形， 当时，如图，在原点处， 此时； 当时，如图， 设， ∴， ， ， ， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 当时，如图， 设， ∴， ∵， ， 解得：， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 综上所述，或或． 56．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线过点，交轴于点，且为线段的中点． (1)求、的值； (2)点为线段延长线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)在（2）的条件下，当时，若点是直线上一点，轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：当时，， ， ， 为线段的中点， ， 当时，， ， 将点、代入， ， 解得； （2）解：， ； （3）解：当时， ， 解得， 代入解析式得， ∴， 由题意以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当以为边时， 则， ∴ 代入得， ∴， 则， ∵， ∴或； 当以为对角线时， 则中点重合， 设，， 由中点公式知， 解得 ∴， 综上所述或或． 题型13 中位线、直角三角形斜边中线综合（共4小题） 57．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在△中，点，分别是，边的中点．求证：，且．    方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接，，．    方法二：证明：如图3，取的中点，连接并延长到点，使，连接．    【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，，两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了，间的距离：先在池塘外选一点，连接，，然后测出，的中点，，并测出的长度为12米，则，两点间的距离为_____米．   （3）如图5，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）见解析． 【详解】（1）证明：取的中点，连接并延长到点，使，连接，如图， 是边的中点， ． 在和中，， ∴， ，， ， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ∴，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 即三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，分别是，的中点， 为的中位线， （米）． 故答案为：24 （3）证明：如图，连接，取的中点，连接，， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ． ， ， ， ． 58．（24-25八年级下·江西吉安·期末）（1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【详解】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ， 点是的边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点是的边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即，；   （2）解：点，，分别是，，的中点，，，，， ，，，， ，， ， ， 在中，． 的长为5． 59．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，是等腰直角三角形，是的中点，为边上的动点，以为直角边，为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点． (1)如图1，当点与点重合时． ①求的长． ②求证：． (2)如图2，连接，若，求的长． 【详解】（1）①解：是等腰直角三角形，， ； 是的中点，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由勾股定理得：； ②证明：是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 是的中点，， ， ． 60．（24-25八年级下·广西南宁·期末）【教材呈现】下图是人教版八年级下册数学教材53页部分内容． 思考：如图，矩形的对角线、相交于点O，我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 【过程再现】相信你和你的伙伴们根据矩形的性质得到结论：，这一结论用文字语言阐述为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)证明这一结论：如图，在中，，是斜边边上的中线．求证：． (2)【定理应用】如图，在中，于点E，于点F，点D是边上的中点，连结，和． ①求证：． ②若，，求的度数． ③若，，则E到的距离是___________（直接写答案）． 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接，如下图， ∵为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即； （2）∵在中，于点E，于点F，点D是边上的中点， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ，点D是的中点 由（2）得：， ∴，， ∴，， ∴， ③解：过D作于G，如图②所示： ∵，， ∴， ∵D为边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设到的距离是， ∴的面积， ∴． 题型14 一次函数解析式求解+图像交点、坐标计算（共5小题） 61．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)或 【详解】（1）解：由得， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：设， 由（1）得点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 的面积为3， ， 即， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 62．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把和代入得： ， 解得：， 一次函数表达式为； （2）解：把代入得：， ， ， 设点的横坐标为，则，， ， ， ， ， ． 63．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，过点的两条直线，分别交轴于点，，其中点在原点上方，点在原点下方，已知． (1)求点的坐标． (2)若的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点，， ∴，． ∴点的坐标为． （2）解：∵的面积为， ∴． ∴，即． 由（1）知：点的坐标为． ∴， ∴． ∴． 设的解析式为，则， 解得． ∴的解析式为． 64．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 65．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 题型15 一次函数与几何图形面积综合（必考压轴）（共4小题） 66．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线（k，b为常数，且）与x轴、y轴分别交于点C、点D，且，直线与直线交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若点F为线段EC上一个动点，过点F作轴于点H，交直线于点G，当时，求点F的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)，面积为 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点． 当时，，解得， ， ∵直线与轴和轴分别交于点、点， ∴令，则，令，则， ，， ， ， ， ∵点在轴的负半轴上， ， 把，代入中得： 解得 ∴直线的函数解析式． （2）解：如图 ∵点为线段上一个动点，过点作轴于点，交直线于点， 设，则，， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 边上的高为：， 面积． 67．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或． 68．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，直线与轴、轴交于点A，B，点在直线上，点的横坐标为． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则， 解得， 点的坐标为 （2）点的坐标为， ， 当时，，则， ． （3）令，则， 点A的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ，， ， ， 解得或． 的值为． 69．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴； （2）解：把代入得，， ∴点C的坐标为， 把代入得，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，如图所示： ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为． 综上可知，或． 题型16 一次函数与方程、不等式综合（共7小题） 70．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线分别与轴交于点，，两直线交于点． (1)求点P的坐标及的面积； (2)利用图象直接写出当时，x取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得：，所以 把代入中得：， 解得：，所以， 所以， 联立与得，， 解得， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以由图象可得当时，； 71．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知直线，如图，它与直线相交于点P，它们与x轴分别相交于两点，请画出直线，并根据图象解答下列问题： (1)求的面积； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴，与y轴的交点坐标为， 如图， 由图可知，直线与直线的交点P的坐标为， ∴的面积为：； （2）解：由图象可知，不等式的解集是． 72．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 73．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 74．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 75．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 76．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)结合图象，当时，直接写出x的取值范围； (3)若一次函数的图象与y轴交于点B，一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1)点A的坐标为 (2) (3) 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为． （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是． （3）解：如图，连接，令与y轴的交点为点D， 当时，，， 点B坐标为，点D坐标为， ， 当时，，解得， 点C坐标为， ． 题型17 一次函数动点问题（代数+几何综合难点）（共5小题） 77．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①，理由见解析；②或 【详解】（1）解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为； 当时， 可得：， 点的坐标为； （2）解：点是线段上的一个动点， 设点的坐标为其中， 的面积为， ； （3）①解：， 理由如下： 点的坐标为，点的坐标为， ，， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为， ， ； ②解：当时，如下图所示， 过点作轴，过点作， 点的坐标为， 点的坐标是， 点的坐标为， ，， ， ， 轴，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标是； 当时，如下图所示， 过点作，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 78．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点． (1)直接写出点的坐标为_____，直线的函数表达式为______； (2)判断的形状并说明理由； (3)点是直线上一个动点，且，请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中画出满足条件的点，并直接写出点的坐标为______．（不写作法，保留作图痕迹） 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得 ∴点的坐标为，点的坐标为； 把代入得到，解得， ∴， 设直线的函数表达式为，把和代入得到， ， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：直角三角形，理由见解析 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， （3）解：如图，点和点即为所求， 由（1）可知点的坐标为，点的坐标为； ①当点E在线段上时，即为，设与x轴的交点为M， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ． 设直线的解析式为，把代入可得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 联立直线和直线的函数解析式得到，， 解得， ∴． ②当点在线段的延长线上时,即为， ∵， ， ， 把代入得到，解得， ． 综上所述，点E的坐标为或． 79．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知：在平面直角坐标系中，点坐标，B点坐标为． (1)如图1，点为平分线与平分线的交点，连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，若，且． ①直接写出点坐标__________，点坐标__________； ②求点坐标． (2)在（1）的条件下，在坐标轴上有一点，若，求点坐标． (3)若直线解析式为，向下平移直线得直线，如图2，若，在直线上，连接，交于点，求点横坐标． 【答案】(1)①，② (2)或 (3) 【详解】（1）解：①∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴ ∴点坐标为，点坐标为． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ 如图，过P点作，，， ∵点为平分线与平分线的交点， ∴点也在的角平分线上， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①当Q点在x轴上时，设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ②当Q点在y轴上时， ∵，且底边都为， ∴与的高相同，这种情况不存在， ∴Q点不可能在y轴上． 综上，Q点的坐标为或． （3）解：∵直线解析式为， ∴， ∵直线平行于， ∴设直线的表达式为， 把，代入，得 ， 得， 解得， ∴． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 联立， 得， 又∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴点的横坐标为． 80．（24-25八年级上·河南郑州·期末）【模型呈现】如图1，在中，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A作线段且，直线交x轴于点D． ①点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； ②求直线的函数表达式． 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点Q的坐标． 【详解】【模型呈现】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【模型应用】①过C作轴于K，如图2： 一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，即，解得：， 当时，即， ∴，， ∴，， 由【模型呈现】可得：， ∴，， ∴， ∴， ②设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【模型迁移】如图，过点作轴于点N，过点P作于点M，设，，分两种情况： ①如图，当在点左侧时， ∵点是点C关于y轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 由【模型呈现】可得， ∴， ∴，解得：， ∴， ②如图，当在右侧时， ，解得：， ∴， 综上：点Q的坐标为或． 81．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点，使的周长最短 (3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或． 【详解】（1）解：直线经过定点， ∴， ， 直线为， 直线经过点， ， 点的坐标为， 直线经过点， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小． ∵，， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 存在一点，使的周长最短； （3）解：直线为 点的坐标为， ， ， 点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位， ， 分两种情况： ①如图，点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上． 和的面积比为， ， ， ， ； 综上，存在的值，使和的面积比为，值为或； 题型18 一次函数实际应用（方案选择、最值问题）（共8小题） 82．（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 【答案】（1）1.25，1.9；（2）；；（3）2.7千米；（4）符合约定 【详解】解：（1）根据函数图象可得，运输车比无人机晚出发1.25分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了分钟； （2）设运输车所行路程直线的表达式为， ∵点，点均在直线上， ∴， 解得， ∴运输车所行路程直线的表达式是． ∵点C在直线上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标是． 设直线的解析式为， ∵点、点在直线上， ∴， 解得， ∴无人机在接收完指令后（即时段）的表达式． （3）∵B点在直线上且点B的横坐标为4.9，代入y得， ∴无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）符合约定； 方法一：由图象可知：无人机和运输车第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有千米220米250米； 在点D有千米200米250米， ∴按图象所表示的走法符合约定． 方法二：设两设备之间的距离为h千米， 当时，， ∵，∴h随着x的增大而减小， ∴当时，（千米）220米250米； 当时，， ∵，∴h随着x的增大而增大， ∴当时，（千米）200米250米； ∴按图象所表示的走法符合约定． 83．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)线段，所在直线的函数表达式分别为、 (2)小明、小丽第二次相遇时的值为 (3)的值为或 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， 故段的速度也为， 根据题意可知，点， 故令线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值， 故， 得， 解得， 故小明、小丽第二次相遇时的值为． （3）解：当时，得 得此时， 故当时，恰在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得或， 故的值为或． 84．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 85．（25-26八年级上·江苏南京·期末）杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 86．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）为了更好的预防疫情，我校准备购买A、B两种型号的免手洗消毒液，已知购买8瓶A型和3瓶B型共需要950元；购买5瓶A型和6瓶B型共需要800元． (1)求A、B两种型号的免手洗消毒液的单价各是多少？ (2)现在学校需购买A、B两种型号的免手洗消毒液共100瓶，考虑到学校班级数和资金问题，购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元，则学校有几种购买方案？ (3)在（2）的前提下，求满足学校要求的最低费用． 【答案】(1)A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元 (2)学校有5种购买方案 (3)满足学校要求的最低费用为7550元 【详解】（1）解：设A型号的免手洗消毒液的单价是x元，B型号的免手洗消毒液的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元； （2）解：设购买A型免手洗消毒液m瓶，则购买B型免手洗消毒液瓶， ∵购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元， 根据题意得：， 解得， ∵m为整数， ∴m可取51，52，53，54，55， ∴学校有5种购买方案； （3）解：设购买的费用是W元， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴时，W取最小值，最小值为（元）， 答：满足学校要求的最低费用为7550元． 87．（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【详解】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 88．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) ①(是正数）； ②购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润为元． 【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 89．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 景点 园中园 白鸽广场 海豹池 猴山 路程（） 1 2 2.5 3 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为，则， 当时，得， 解得， ∴此时距出发经过了， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当时，然然的速度为， ∴， 当时，得， 解得， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场， ∴②合理，符合题意； 当时，， ， ∴时，琦琦比然然多走了， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为， 则， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式及自变量x的取值范围为； （5）解：综上，与x的函数关系式为，与x的函数关系式为， 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得； 当，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得． 综上，当琦琦和然然相距时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 题型19 平均数、中位数、众数、方差综合计算（共4小题） 90．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． (3)若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【答案】(1)，， (2)八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） (3)216 【详解】（1）解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组人、C组人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组从小到大排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴，则； （2）略 （3）解：（人）， ∴估计两个年级得分在A组共有人． 91．（25-26八年级上·山西运城·期末）为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】        技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_______，_______，_______，_______； (2)本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】(1)，，， (2)甲更好 (3)从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是3.25小于甲的得分方差36.25，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好 【详解】（1）乙的得分中，出现次数最多（3次），因此得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，共8个数， 中位数为第4、5个数的平均数：； 乙平均得分为27，方差计算： ， 由篮板统计图，甲8场篮板总和为，平均篮板； （2）甲综合得分：， 乙综合得分：， 因为， 所以甲队员的表现更好； （3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好． 92．（25-26八年级上·广东河源·期末）综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】广东河源市连平县的鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下： 56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101 2号桃树水蜜桃直径数据如下： 62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如下表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 (1)a的值为________，b的值为________； (2)小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整； (3)请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类． 【详解】（1）解：根据1号桃树水蜜桃直径数据可知，最中间两个数字为86，86， ∴， 根据2号桃树水蜜桃直径数据可知，88出现次数为3次， ∴； （2）解：由2号桃树水蜜桃直径数据可知，中位数为， 下四分位数为，上四分位数为， 如图， （3）解：结合箱线图可知， 1号桃树水蜜桃在直径上整体稍大且大小相对均匀，2号桃树水蜜桃个体间直径差异较大， 所以选择种植1号桃树水蜜桃更合适． 93．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 2．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 3．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 4．探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； (2)，证明如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 过点F作于P，连接交于点N，交于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 5．如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， 则，， 同理可得，四边形是矩形， ∴， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 7．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 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