河北省衡水市2025-2026学年八年级下学期期末数学培优试卷

**基本信息** 2025-2026学年河北省衡水市八年级（下）期末数学培优拔高试卷，聚焦统计、函数、几何核心知识，融入航空航天、爱眼日等真实情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|16/42|普查与抽样调查、一次函数性质、平行四边形判定|足球比赛观众调查考普查适用，正三角形网格考平行四边形存在性| |填空题|4/12|函数自变量范围、一次函数应用、矩形动态问题|弹簧长度与质量关系考一次函数建模，矩形动点最值考几何直观| |解答题|6/66|统计分析、几何证明、函数综合|爱眼日调查分析考数据意识，正方形旋转问题考推理与创新应用|

2025-2026学年河北省衡水市八年级（下）期末数学培优拔高试卷 一．选择题（本大题共16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列调查中，适合采用普查的是（　　） A．调查某场足球比赛的现场观众人数 B．调查某批树苗的成活率 C．调查某市居民的节水意识 D．调查疫情期间某学校教师的健康码 2．若m＜﹣3，则一次函数y ＝（m+2）x+2﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 4．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），正比例函数y＝2x的图象经过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＞﹣1 D．x＜﹣2 5．四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 6．已知点P（k，b）在第二象限，则一次函数y＝（k﹣2）x+b+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图，长方形ABCD，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点P，已知长方形AEPG的面积等于长方形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　） A．长方形AEFD与长方形PHCF的面积之差 B．长方形ABHG与长方形PHCF的面积之差 C．长方形AEFD与长方形PHCF的面积之和 D．长方形ABHG与长方形PHCF的面积之和 8．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学七年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七年级学生的知识问答成绩中，随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这20名学生的成绩（单位：分）的众数是（　　） A．3 B．7 C．9 D．10 9．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 10．下列说法中正确的是（　　） A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 11．一个多边形边数每增加2条时，其内角和（　　） A．增加180° B．增加360° C．不变 D．增加540° 12．在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论： ①AE+BFAB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDFS△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 13．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝10cm，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，若△ACD的面积为7.5cm2，则BE的长是（　　） A． B．3 C．4 D．5 14．星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度，已知水池里水的质量为100t． 小贴士 ①物质吸收或释放的热量Q＝cmΔt，其中c为该物质的比热容，m为该物质的质量，Δt为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（　　） A．气温与时间的关系为二次函数关系 B．水温上升或下降的速度比气温快 C．质量为1g的空气在6﹣8时吸收的热量比在16﹣18时放出的热量少 D．水池里的水在6﹣13时吸收的热量约为4.2×108J 15．如图1，在▱ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q沿折线ADCB向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（　　） A．AB的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形ABCD的面积为32 D．曲线NG段是函数y＝﹣3x2+12x的图的一部分 16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共4个小题，共12分．每小题各3分） 17．函数y中自变量x的取值范围是　 　 ． 18．在弹性限度内，某弹簧挂上重物后的总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间满足一次函数关系，且点A（0，16），B（2，20）均在其图象上，则L与x之间的函数关系式是．（不必写出x的取值范围） 19．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB延长线上一动点，连接BD，ED，EC，若，则的最小值为 　 　 ． 20．如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，yt2；③直线NH的解析式为yt+27；④若△ABE与△QBP相似，则t秒． 其中正确的结论为 　 　 ． 三．解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 21．已知：函数且y是x的正比例函数，3a+3的立方根是3，d是的整数部分．（1）求a，m，d的值；（2）求3a﹣m+d的平方根． 22．2026年6月6日是全国“爱眼日”．为了解学生对护眼知识的掌握情况，配合我校“美丽行动一明眸护双眼，清辉照未来”主题活动开展，学校随机抽取八年级、九年级各20名学生开展线上问卷测试，并对测试得分进行整理、分析（得分用整数x表示，单位：分），并分为A、B、C三个等级，分别是：优秀（A等级）：90≤x≤100；合格（B等级）：75≤x＜90；不合格（C等级）：0≤x＜75；分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为： 75，82，77，82，80，85，89，86，82，88，87． 八、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a b 九年级 85 87 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为我校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八年级有1300名学生，九年级有1150名学生，请估计两个年级中成绩为合格的学生共有多少名？ 23．C镇举办文艺活动需购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品4件和乙种奖品3件，共需70元；若购买甲种奖品2件和乙种奖品4件，共需60元．（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？（2）活动组委会计划购买甲、乙两种奖品共80件，购买费用不超过1000元，且甲种奖品的数量不大于乙种奖品数量的2倍，设购买甲种奖品n件，购买费用为Q元，写出Q（元）与n（件）之间的函数关系式．求出自变量n的取值范围，并确定最少费用Q的值． 24．如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝1，求BC的长． 25．如图，直线l1过点A（0，6），D（3，0），直线与x轴交于点C，两直线交于点B． （1）求直线l1的解析式，并直接写出点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）若当x＞6时，直线l1始终在直线y＝m（x﹣4）的上方，直接写出m的取值范围． 26．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　 ； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 2025-2026学年河北省衡水市八年级（下）期末数学培优拔高试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共16小题） 1．下列调查中，适合采用普查的是（　　） A．调查某场足球比赛的现场观众人数 B．调查某批树苗的成活率 C．调查某市居民的节水意识 D．调查疫情期间某学校教师的健康码 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．当调查对象数量较少、容易调查、调查结果需要准确时，适合采用普查；当调查对象数量众多、调查具有破坏性或不易全面调查时，适合采用抽样调查． 【解答】逐一分析选项：A选项，调查某场足球比赛的现场观众人数，人数相对较少，容易调查，适合普查；B选项，调查某批树苗的成活率，具有破坏性，不适合普查，适合抽样调查；C选项，调查某市居民的节水意识，人数众多，不适合普查，适合抽样调查；D选项，调查疫情期间某学校教师的健康码，人数相对较少，容易调查，适合普查．所以答案是D． 【点评】本题考查全面调查与抽样调查的概念，关键是理解两者的适用范围，注意区分不同的调查情景． 2．若m＜﹣3，则一次函数y ＝（m+2）x+2﹣m的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题考查一次函数的性质．对于一次函数y ＝ kx+b（k，b为常数，k≠0），当k＞0，b＞0时，图象经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，图象经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限．先根据m的取值范围判断k和b的正负性，进而确定图象经过的象限． 【解答】因为m＜﹣3，所以m+2＜﹣3+2，即m+2＜﹣1＜0；2﹣m＞2﹣（﹣3）＝ 5＞0．一次函数y ＝（m+2）x+2﹣m中，k ＝ m+2＜0，b ＝ 2﹣m＞0，所以图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．答案是C． 【点评】本题关键是根据m的取值判断一次函数中k和b的正负，从而确定图象经过的象限，注意计算时的符号问题． 3．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【分析】根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当AB为平行四边形的对角线时，和当AB为平行四边形的一边时分别画图即可． 【解答】解：如图所示， 当AB为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当AB为平行四边形的一边时，共有3种放法． 故若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有4种， 故选：A． 【点评】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的性质，熟练掌握定义是解题的关键． 4．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），正比例函数y＝2x的图象经过点A，则不等式2x＜kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＞﹣1 D．x＜﹣2 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【解答】解：观察图象可知不等式2x＜kx+b的解集为x＜﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 5．四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC＝BD 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形． 对于选项A． ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝∠ABC， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意． 对于选项B． AB⊥BD无法推出平行四边形ABCD满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意． 对于选项C． ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，C符合题意． 对于选项D． ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．已知点P（k，b）在第二象限，则一次函数y＝（k﹣2）x+b+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由点所在的象限确定k、b符号，再确定k﹣2和b+1的正负，从而确定直线经过的象限． 【解答】解：由条件可知k＜0，b＞0， ∴k﹣2＜0，b+1＞0， ∴一次函数y＝（k﹣2）x+b+1的图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握数形结合思想是解题的关键． 7．如图，长方形ABCD，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点P，已知长方形AEPG的面积等于长方形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　） A．长方形AEFD与长方形PHCF的面积之差 B．长方形ABHG与长方形PHCF的面积之差 C．长方形AEFD与长方形PHCF的面积之和 D．长方形ABHG与长方形PHCF的面积之和 【分析】由矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积得到AG×PG＝HG×PF转化为比例式，从而发现两个角相等，进而转化为平行来解决问题． 【解答】解：∵矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积， ∴AG×PG＝HG×PF， ∴， ∴tan∠AHG＝tan∠PGF， ∴∠AHG＝∠PGF， ∴AH∥GF， ∴S阴影＝S△ABG﹣S△HPF， 即为矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积和矩形的性质、平行线的性质与判定等知识，是一道综合性比较高的题目． 8．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学七年级开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七年级学生的知识问答成绩中，随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，绘制的条形统计图如下： 这20名学生的成绩（单位：分）的众数是（　　） A．3 B．7 C．9 D．10 【分析】根据众数的定义解答即可． 【解答】解：根据众数的定义可知： 7分出现次数最多，即众数是7分． 故选：B． 【点评】本题考查了众数、条形统计图，熟练掌握以上知识点是关键． 9．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵DE∥AF，∠CDE＝40°， ∴∠CFA＝∠CDE＝40°． 又∵∠B＝30°， ∴∠BAF＝∠CFA﹣∠B＝40°﹣30°＝10°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 10．下列说法中正确的是（　　） A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 【分析】两种相关联的量，比值一定时成正比例，乘积一定时成反比例，据此逐一判断选项即可． 【解答】解：A、被减数﹣减数＝差（一定），既不是比值一定也不是乘积一定，∴被减数和减数不成正比例，A错误；B、总价＝单价×数量，总价一定即单价与数量的乘积一定，∴单价和数量成反比例，不是正比例，B错误； C、圆柱体积V＝S•h，体积V一定即底面积S和高h的乘积一定，∴底面积和高成反比例，C正确； D、房间面积＝边长2×方砖数量，房间面积一定即边长的平方与方砖数量的乘积一定，不是边长与方砖数量乘积一定，∴方砖边长和所需方砖数量不成反比例，D错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，正比例的应用，反比例，圆柱的体积，掌握其相关知识点是解题的关键． 11．一个多边形边数每增加2条时，其内角和（　　） A．增加180° B．增加360° C．不变 D．增加540° 【分析】本题考查多边形内角和的变化规律．多边形内角和公式为（n﹣2）×180°（n为边数且n≥3，n为整数），可通过设原多边形边数为n，计算边数增加后的内角和，再求差值． 【解答】设原多边形边数为n，则内角和为（n﹣2）×180°．边数增加2条后，边数变为n+2，此时内角和为（n+2﹣2）×180° ＝ n×180°．内角和增加的值为n×180°﹣（n﹣2）×180° ＝ 180°×2 ＝ 360°．答案是B． 【点评】本题关键在于掌握多边形内角和公式，通过计算边数变化前后内角和的差值来求解，注意计算过程的准确性． 12．在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG、DH分别与边AC、BC交于E，F两点．下列结论： ①AE+BFAB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDFS△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③ 【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE＝CF，进而得出CE＝BF，就有AE+BF＝AC，由勾股定理就可以求出结论． 【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°， ∴AD＝CD＝BDAB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°． ∴∠ADE+∠EDC＝90°， ∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°， ∴∠ADE＝CDF． 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF． ∵AC＝BC， ∴AC﹣AE＝BC﹣CF， ∴CE＝BF． ∵AC＝AE+CE， ∴AC＝AE+BF． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴ACAB， ∴AE+BFAB． ∵DE＝DF，∠GDH＝90°， ∴△DEF始终为等腰直角三角形． ∵CE2+CF2＝EF2， ∴AE2+BF2＝EF2． ∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF， ∴S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADES△ABC． ∴正确的有①②③④． 故选A． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝10cm，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，若△ACD的面积为7.5cm2，则BE的长是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【分析】先根据三角形中线的定义得到BD＝CDBC＝5cm，则利用三角形面积公式得到S△ABD＝S△ACD＝7.5cm2，所以5•DE＝7.5，于是可求出DE＝3，然后利用勾股定理计算出BE的长． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CDBC＝5cm， ∴S△ABD＝S△ACD＝7.5cm2， ∵DE⊥AB于点E， ∴5•DE＝7.5， 解得DE＝3， 在Rt△BDE中，∵BD＝5，DE＝3， ∴BE4（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高的乘积的一半，即S底•高． 14．星期天，小明从早上六点开始每隔半小时对他家附近的气温和一个水池里的水温进行测量，并根据记录的数据绘制成如图所示的图象（实曲线表示气温，虚曲线表示水温），其中横轴表示时间，纵轴表示温度，已知水池里水的质量为100t． 小贴士 ①物质吸收或释放的热量Q＝cmΔt，其中c为该物质的比热容，m为该物质的质量，Δt为该物质升高或降低的温度． ②水的比热容． 下列说法正确的是（　　） A．气温与时间的关系为二次函数关系 B．水温上升或下降的速度比气温快 C．质量为1g的空气在6﹣8时吸收的热量比在16﹣18时放出的热量少 D．水池里的水在6﹣13时吸收的热量约为4.2×108J 【分析】根据图象所得的信息逐项分析，即可解答． 【解答】解：根据图象所得的信息逐项分析判断如下： A．由图象不是抛物线可知，气温与时间的关系不是二次函数关系，该选项错误； B．由图象可知，在10：00﹣14：00时，气温上升的速度比水温快，该选项错误； C．由图象可知质量为1g的空气在6﹣8时吸收的热量比在16﹣18时放出的热量少，故该选项正确． D．Q＝cmΔt＝4.2×103×100000×（25﹣15）＝4.2×109J， ∴水池里的水在6﹣13时吸收的热量约为4.2×109J，该选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查函数与图象的关系，读懂图象是解题的关键． 15．如图1，在▱ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q沿折线ADCB向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（　　） A．AB的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形ABCD的面积为32 D．曲线NG段是函数y＝﹣3x2+12x的图的一部分 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【解答】解：根据图象和平行四边形的性质逐项分析判断如下： ∵在▱ABCD中AD＝BC，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时3﹣1＝2（秒）， ∴CD＝AB＝2×（1+2+1）＝8， ∴点Q的运动速度为每秒8÷2＝4（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时S△APQ＝3，此时AP＝2×1＝2， ∴AB边上的高为h＝2×3÷2＝3， ∴S▱ABCD＝AB•h＝24， 当点Q与点C重合时，△APQ的面积最大，此时AP＝6，， ∴N（3，9），G（4，0）， 当x＝3时y＝﹣3x2+12x＝﹣3×32+12×3＝9， 当x＝4时，y＝﹣3x2+12x＝﹣3×42+12×4＝0， ∴曲线NG段是函数y＝﹣3x2+12x的图象的一部分． 故选：D． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握该知识点是关键． 16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，根据正方形的性质证明Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），然后根据直角三角形性质可得QPBE，当Q、D、P共线时，DP有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， 在Rt△BAF和Rt△EMG中， ， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD， ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BEG＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴BF⊥EG， ∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点， ∴QPBE， ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4， ∴QB＝QE＝2， ∵QD﹣QP≤DP， ∴当Q、D、P共线时，DP有最小值， ∵QPBE＝2，AQ＝AE+EQ＝2+2＝4， ∴QD2， ∴PD＝22， ∴PD的最小值为22． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到Rt△BAF≌Rt△EMG， 二．填空题（共4小题） 17．函数y中自变量x的取值范围是x≤2且x≠1　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0， 解得x≤2且x≠1． 故答案为：x≤2且x≠1． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 18．在弹性限度内，某弹簧挂上重物后的总长度L（cm）与所挂物体质量x（kg）之间满足一次函数关系，且点A（0，16），B（2，20）均在其图象上，则L与x之间的函数关系式是．（不必写出x的取值范围） 【分析】本题考查一次函数关系式的确定．设一次函数关系式为L ＝ kx+b（k，b为常数，k≠0），将已知点的坐标代入函数式，得到关于k和b的方程组，求解方程组即可得到函数关系式． 【解答】设L与x之间的函数关系式为L ＝ kx+b．因为点A（0，16），B（2，20）在其图象上，将A（0，16）代入L ＝ kx+b，得b ＝ 16．将B（2，20），b ＝ 16代入L ＝ kx+b，得2k+16 ＝ 20，2k ＝ 4，解得k ＝ 2．所以L与x之间的函数关系式是L ＝ 2x+16． 【点评】本题关键是利用待定系数法确定一次函数关系式，准确代入点的坐标并求解方程组，注意计算的准确性． 19．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB延长线上一动点，连接BD，ED，EC，若，则的最小值为 　　 ． 【分析】在矩形ABCD内取点G，构造∠GDC＝∠ADE，作CG⊥DG于点D，可造第一对旋转相似△DGC∽△DAE，所以，又∠ADG＝∠EDC，可得第二对旋转相似△ADG∽△EDC，得，完成两条动线段的比到一条动线段与定线段之比．由于∠DGC＝90°，由定弦定角知G点运动在以CD为直径的圆弧上，O为DC中点，当A、G、O三点共线时，AG最小值为（AG）min＝AO﹣GO，设BC＝4，DC＝3，从而可求出AG． 【解答】解：如图所示，在矩形ABCD内取点G，构造∠GDC＝∠ADE，作CG⊥DG于点D， 又∠DGC＝∠DAE＝90°， ∴△DGC∽△DAE， ∴， 又∵∠ADG＝∠EDC， ∴△ADG∽△EDC， ∴， 由于∠DGC＝90°，由定弦定角知G点运动在以CD为直径的圆弧上，O为DC中点， 当A、G、O三点共线时，AG最小值为（AG）min＝AO﹣GO， ∵，即， 不妨设BC＝4，DC＝3， 则GO，AO， ∴（AG）min＝AO﹣GO， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点圆最值（或三角形三边关系），做出正确的辅助线构造出第一对旋转相似，再一拖二得第二对旋转相似转移线段的比值是解题关键． 20．如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，yt2；③直线NH的解析式为yt+27；④若△ABE与△QBP相似，则t秒． 其中正确的结论为 　①②④　 ． 【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【解答】解：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s， ∴BC＝BE＝5cm， ∴AD＝BE＝5（故①正确）； ②如图1，过点P作PF⊥BC于点F， 根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB＝4， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB， ∴PF＝PBsin∠PBFt， ∴当0＜t≤5时，yBQ•PFt•tt2（故②正确）； ③根据5﹣7秒面积不变，可得ED＝2， 当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC＝11， 故点H的坐标为（11，0）， 设直线NH的解析式为y＝kx+b， 将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：， 解得：． 故直线NH的解析式为：yt，（故③错误）； ④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示： ∵tan∠PBQ＝tan∠ABE， ∴，即， 解得：t．（故④正确）； 综上可得①②④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大． 三．解答题（共6小题） 21．已知：函数且y是x的正比例函数，3a+3的立方根是3，d是的整数部分．（1）求a，m，d的值；（2）求3a﹣m+d的平方根． 【分析】本题考查正比例函数的定义、立方根以及平方根等知识点．对于（1），根据正比例函数的定义可列出关于m的方程求解m，根据立方根的定义求出a，根据无理数的估算求出d；对于（2），将a，m，d的值代入3a﹣m+d，再求平方根． 【解答】（1）因为函数是正比例函数，根据正比例函数定义y＝kx（k为常数，k≠0，x的次数为1），可得．由m2﹣8＝1，得m2＝9，解得m＝3或m＝﹣3，又因为m+3≠0，即m≠﹣3，所以m＝3．因为3a+3的立方根是3，即，两边同时立方可得3a+3＝27，3a＝24，解得a＝8．因为，所以的整数部分d＝4．（2）把a＝8，m＝3，d＝4代入3a﹣m+d得：3×8﹣3+4＝24﹣3+4＝25．25的平方根为． 【点评】本题主要考查正比例函数定义、立方根和平方根的基础应用，解题关键是准确把握定义，计算时要仔细． 22．2026年6月6日是全国“爱眼日”．为了解学生对护眼知识的掌握情况，配合我校“美丽行动一明眸护双眼，清辉照未来”主题活动开展，学校随机抽取八年级、九年级各20名学生开展线上问卷测试，并对测试得分进行整理、分析（得分用整数x表示，单位：分），并分为A、B、C三个等级，分别是：优秀（A等级）：90≤x≤100；合格（B等级）：75≤x＜90；不合格（C等级）：0≤x＜75；分别绘制成如下统计图表． 其中八年级学生测试成绩数据的众数出现在B等级，B等级测试成绩情况分别为： 75，82，77，82，80，85，89，86，82，88，87． 八、九年级两组样本的平均数、中位数、众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 85 a b 九年级 85 87 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　85.5　 ，b＝　82　 ；并补全八年级抽取的学生测试成绩频数分布直方图； （2）根据以上信息，你认为我校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）； （3）若我校八年级有1300名学生，九年级有1150名学生，请估计两个年级中成绩为合格的学生共有多少名？ 【分析】（1）根据中位数和众数概念进行解答，进而完成统计图； （2）比较中位数或众数得出结论； （3）利用样本估计总体解决问题． 【解答】解：（1）根据中位数概念，C等级有3人，B等级11人的成绩从小到大排列为：75，77，80，82，82，82，85，86，87，88，89． 得中位数为， 由题意，八年级成绩众数为82， 故答案为：a＝85.5，b＝82； 八年级A等级的人数为20﹣11﹣3＝6，补全统计图略； （2） （3）若我校八年级有1300名学生，九年级有1150名学生， ∵抽取的样本中，八年级合格的学生有11人，九年级合格的学生有20×（1﹣10%﹣30%）＝12人， ∴（人）， 答：估计两个年级中成绩为合格的学生共有1405人． 【点评】本题考查频数分布直方图，正确进行计算是解题关键． 23．C镇举办文艺活动需购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品4件和乙种奖品3件，共需70元；若购买甲种奖品2件和乙种奖品4件，共需60元．（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？（2）活动组委会计划购买甲、乙两种奖品共80件，购买费用不超过1000元，且甲种奖品的数量不大于乙种奖品数量的2倍，设购买甲种奖品n件，购买费用为Q元，写出Q（元）与n（件）之间的函数关系式．求出自变量n的取值范围，并确定最少费用Q的值． 【分析】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用．对于（1），通过设未知数，根据两种购买情况列出方程组求解单价；对于（2），先根据单价和购买数量得出函数关系式，再根据费用限制和数量关系列出不等式组求解自变量取值范围，最后根据函数性质求最少费用． 【解答】（1）设甲种奖品单价为x元，乙种奖品单价为y元．根据题意可得，将第二个方程两边同时乘以2得4x+8y＝120，用4x+8y＝120减去4x+3y＝70得：5y＝50，解得y＝10．把y＝10代入4x+3y＝70得4x+3×10＝70，4x＝40，解得x＝10．所以甲种奖品单价是10元，乙种奖品单价是10元．（2）因为购买甲种奖品n件，所以购买乙种奖品（80﹣n）件．Q＝10n+10（80﹣n）＝800（元）．由题意可得，第一个不等式10n+10（80﹣n）≤1000恒成立，解第二个不等式n≤2（80﹣n），n≤160﹣2n，3n≤160，解得，又因为n为正整数，所以0≤n≤53．因为Q＝800（元）是定值，所以最少费用Q的值为800元． 【点评】本题考查一次函数在实际问题中的应用，关键是准确列出方程组和不等式组，同时要注意自变量的取值范围． 24．如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝1，求BC的长． 【分析】（1）由DC∥AB，得∠F＝∠DCE，而AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，即可根据“AAS”证明△AEF≌△DEC； （2）由AE＝DE＝1，求得AD＝2，由DC∥AB，AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，则BC＝AD＝2． 【解答】（1）证明：∵DC∥AB， ∴∠F＝∠DCE， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）． （2）解：∵AE＝DE＝1， ∴AD＝2AE＝2， ∵DC∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2， ∴BC的长为2． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出∠F＝∠DCE，并且适当选择全等三角形的判定定理证明△AEF≌△DEC是解题的关键． 25．如图，直线l1过点A（0，6），D（3，0），直线与x轴交于点C，两直线交于点B． （1）求直线l1的解析式，并直接写出点B的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）若当x＞6时，直线l1始终在直线y＝m（x﹣4）的上方，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）设出直线l1的解析式，再利用待定系数法可求出直线l1的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到CD的长，再根据S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD列式求解即可； （3）根据题意得当x＞6时，关于x的不等式﹣2x+6＞m（x﹣4）恒成立，分若m+2≥0，m+2＜0，两种情况分别求解，即可得到答案． 【解答】解：（1）直线l1的解析式为y＝﹣2x+6；B（2，2）；理由如下： 直线l1过点A（0，6），D（3，0），设直线l1的解析式为y＝kx+b，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线l1的解析式为y＝﹣2x+6； 联立得：， 解得：， ∴B（2，2）； （2）直线l2：yx+1与x轴交于点C， 当y＝0时，得：x+1＝0时， 解得：x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴CD＝3﹣（﹣2）＝5， ∴S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD5×65×2＝10； （3）m的取值范围是m≤﹣3．理由如下： ∵当x＞6时，直线l1始终在直线y＝m（x﹣4）的上方， ∴当x＞6时，关于x的不等式﹣2x+6＞m（x﹣4）恒成立， 解﹣2x+6＞m（x﹣4）得（m+2）x＜4m+6， 若m+2≥0，即m≥﹣2，不等式不可能对所有x＞6恒成立； 若m+2＜0，即m＜﹣2，不等式变形为，要对所有x＞6恒成立，需满足6， 解得：m≤﹣3，满足m＜﹣2； 因此m的取值范围是m≤﹣3． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键． 26．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH＝AB ； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 【分析】（1）由三角形全等可以证明AH＝AB， （2）延长CB至E，使BE＝DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH＝AB， （3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x． 【解答】解：（1）如图①AH＝AB． （2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE＝DN． ∵ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中，， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN+∠BAM＝45°， ∴∠EAB+∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中，， ∴△AEM≌△ANM（SAS）． ∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN， ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°． 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD， 由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 设AH＝x，则MC＝x﹣2，NC＝x﹣3， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2 ∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2 解得x1＝6，x2＝﹣1．（不符合题意，舍去） ∴AH＝6． 【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/15 15:24:45；用户：刘亚；邮箱：13473813351；学号：39630194 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $