精品解析：江苏省南通市田家炳初级中学2025-2026学年下学期 九年级中考前模拟数学测试

南通市田家炳初级中学九年级升学模拟测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 2. 河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省地区生产总值达万亿元，按不变价格计算，同比增长．其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将万亿按单位换算后，整理为符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万亿， ∴万亿． 3. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的几何特征，结合俯视图的性质进行判断即可． 【详解】该几何图形是由圆柱和圆台构成，从上往下看，圆柱和圆台的底面都是圆， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱和圆台的俯视图的判断，属于容易题． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式化简，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式逐个计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 5. 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．设李三公家的店有个房间，来了位客人，由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设李三公家的店有个房间，来了位客人， 若每间住人，则余下人无房可住，则， 若每间住人，则余下一间无人住，则， ， 故选：C． 6. 如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7. 将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 8. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据矩形的性质和题意得，，，根据是边的中点得，根据勾股定理得，根据得，即可得，根据得，根据可得，即可得，掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形，两条邻边与的长分别为2和3， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，解答此题的关键是利用三角形的面积公式求出函数的解析式． 先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，证和全等得，再证，即可用含的式子表示，最后根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点为的中点， ． ，． 如图，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，， 在中，，， ∴． ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∴． 在和中， ， ． ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ， ， 整理得：． ， ． 与是二次函数关系，图象为A． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中,若在直线上存在点满足,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以知道当时，此时以所对的圆心角等于，而且圆心在AB的垂直平分线上，只有直线与圆相切的时候，此时取最值，所以根据如图所示可以求出结果. 【详解】解：如图所示： 当时，此时以所对的圆心角等于， 即, 只有直线与圆相切的时候，此时取最值, 此时, 设 根据勾股定理可以求出,, 与y轴夹角为， 为等腰直角三角形， , , , 的最大值为， 同理在y轴负半轴和其对称最小值为， ， 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，以及临界情况是相切的时候m取得最值点，本题难度较高，应该认真分析题意. 二、填空题（本大题共8小题，第题每小题3分，第题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 13. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 【答案】2π 【解析】 【详解】试题分析：如图， ∠BAO=30°，AO=， 在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=， ∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1， ∴AB=，即圆锥的母线长为2， ∴圆锥的侧面积=． 考点：圆锥的计算． 14. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】 600 【解析】 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且． （1）若，则的大小为______________（度）； （2）若，，则线段的长为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先证，得到，进而可得，然后可得； （2）过作，设，再证，得到，在中利用勾股定理求出，然后可求线段的长． 【详解】解：（1），D恰为中点， ， ， ，又， ， ； （2）过作， 由（1）可知， 为等腰三角形， 平分，则， 设，则， 又， ， ，， 又，D恰为中点， ， 为的中位线， ，则， 又， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ，， ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值、计算正弦、负整数指数幂、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，最后将的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， 将代入得：原式． 18. 如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：A．南通绳结；B．南通虎头鞋；C．绢本造像；D．海门刻瓷．小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究． （1）小红选择“C．绢本造像”的概率是________； （2）用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：总共有个等可能的选择，选择“C．绢本造像”的结果只有种， 小红选择“C．绢本造像”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中小林和小红选择不同项目的结果数有种， 小林和小红选择不同项目的概率是． 20. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请写出证明过程（几何题要画出图形，写出已知、求证）；如果是假命题，请举出反例． （1）如果，（为任意的实数），那么； （2）在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【答案】（1）解：真命题，证明过程如下： 已知，，为任意实数． 求证． 证明： ， 任意实数的平方非负， ， ， 即， ，原命题是真命题； （2）解：真命题，证明过程如下： 已知：如图，在中，，，是的对边，为斜边． 求证：． 证明：，， ， 如图，延长至点，使，连接． ，， ， 是等边三角形（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）， ， ， ， 即 原命题是真命题． 【解析】 【分析】（1）用作差法比较和的大小，将差配方后利用完全平方的非负性即可判断差的正负，得到结论． （2）通过延长直角边构造等边三角形，利用等边三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； （3）若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】（1）50， 补全频数分布直方图如下： （2）72，C （3）598人 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 图略； 【小问2详解】 解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． 22. 如图，为的直径，是的弦，过点C作的切线，与过点C的切线交于点D，与交于点的延长线与切线交于点F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，的半径为1，求，围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， ，则， ， ， 又， ， ， 又, ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质及垂直的定义，证明即可； （2）先证为等边三角形，得到，再利用三角形面积公式及扇形面积公式，结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点E为的中点，， ， 又， 为等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． （1）若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． （2）在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒 （2）最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张 【解析】 【分析】（1）根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； （2）分别计算三种方案的利润，再比较即可． 【小问1详解】 解：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案： ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 【小问2详解】 解：由题意，根据（1）中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴最大利润为元，图1需要85张，图2需要15张． 24. 在正方形中，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合），将线段绕点E逆时针旋转得到． （1）如图1，若点F落在线段上，则的度数为________． （2）如图2，若线段的延长线经过点C，且点F是的中点，求的度数． （3）若射线交射线于点G，当时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，则，再证明，据此求解即可； （2）连接，证明，求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在线段上，作于点，证明，推出，再求得，据此求解即可；当点在线段上，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∵线段绕点E逆时针旋转得到， 若点F落在线段上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在线段上，作于点， ∵正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在线段上，作于点， 同理，， ∴； 综上，的值为或． 25. 已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； （3）如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】（1）该函数表达式为，点A坐标为 （2）是定值，为 （3） 证明：设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线， 直线， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴设直线与直线的交点坐标为， ∴， ， ， ∴直线， ∵当时，， ∴直线必经过定点． 定点坐标为． 【解析】 【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标； （2）设（），求出直线，与抛物线联立，求出，同理可求，再由求解即可； （3）求出直线，，的解析式，设直线与直线的交点坐标为，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ， ， 点， ， ， 即该函数表达式为， 令，则， 解得，， 点A坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 设（） 设直线， 则， 解得， ∴直线， 与抛物线联立得 整理得 ∴ ∴ ∴ 同理可求直线， 与抛物线联立得 整理得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴是定值，为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市田家炳初级中学九年级升学模拟测试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. 1 C. D. 2. 河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省地区生产总值达万亿元，按不变价格计算，同比增长．其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，从上往下看该立体图形得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，已知两条邻边与的长分别为2和3，若是边的中点，连接，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中,若在直线上存在点满足,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第题每小题3分，第题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 分解因式：___________. 13. 如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____． 14. 广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____． 16. 如图，已知，，E为边上一点，，垂足为点D，D恰为中点，点F为线段上一点，且． （1）若，则的大小为______________（度）； （2）若，，则线段的长为______________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 18. 如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 南通市第六批市级非物质文化遗产，包括很多类别，其中传统美术类中有四个项目：A．南通绳结；B．南通虎头鞋；C．绢本造像；D．海门刻瓷．小林和小红两位同学想从这四个项目中随机选择一个进行学习和研究． （1）小红选择“C．绢本造像”的概率是________； （2）用画树状图或列表等方法，求小林和小红选择不同项目的概率． 20. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请写出证明过程（几何题要画出图形，写出已知、求证）；如果是假命题，请举出反例． （1）如果，（为任意的实数），那么； （2）在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 21. 为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； （3）若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 22. 如图，为的直径，是的弦，过点C作的切线，与过点C的切线交于点D，与交于点的延长线与切线交于点F． （1）求证：； （2）若点E为的中点，的半径为1，求，围成的阴影部分的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】我校开展爱心义卖活动时某班同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块元的价格买了张相同的长方形木板． 【素材2】现将部分木板按图虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，其余木板按图虚线裁剪出三块大小一样的木板，每一小块恰好可以作为按图虚线裁剪的无盖长方体收纳盒的盖子，给部分盒子配上盖子． 【素材3】义卖时的售价为无盖收纳盒元/个；有盖收纳盒元/个． （1）若按图方式裁剪的木板不少于块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出可行的分配方案． （2）在（1）的条件下，如把图裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图余料可以制成块茶杯垫，可以按元/块的价格出售，如何设计木板的分配方案，可以在全部售出后获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 在正方形中，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点E与点B不重合），将线段绕点E逆时针旋转得到． （1）如图1，若点F落在线段上，则的度数为________． （2）如图2，若线段的延长线经过点C，且点F是的中点，求的度数． （3）若射线交射线于点G，当时，请直接写出的值． 25. 已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； （3）如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $