精品解析：江苏苏州西安交通大学苏州附属初级中学2025-2026学年下学期3月九年级数学随堂练习卷

2025-2026学年第二学期随堂练习试卷初三年级数学学科 一．选择题（共8小题） 1. 在下列实数中，无理数是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 2025年，苏州工业园区完成地区生产总值4163亿元，同比增长5.5%，高质量发展成效显著.数据4163亿元用科学记数法表示为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 已知一组数据：36、37、32、37、33，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 36、32 B. 36、36 C. 37、32 D. 37、36 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 小西同学在刷淘宝时候发现一款苏州产的数显角度尺（如图一），比量角器方便好多，小西不禁对其原理好奇起来，他找到了一款不带数显的量角专用神器（如图二），请问它里面应用的数学原理是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 等量代换 D. 同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（　 　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 10. 分解因式：________． 11. 设、是方程的两个根，且，则________． 12. 苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 14. 如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E为边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为_______． 16. 如图，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______． 三．解答题（共11小题） 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 21. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． （1）n＝　 　，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“70﹣80”这组的扇形圆心角为 　 　°； （3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 24. 我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）． （1）若抛物线上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标； （2）平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式． 25. 如图，是的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，，于点E． （1）求证：DC是的切线； （2）若，，求DC的长； （3）在（2）的条件下，若点P是上一点，连接CP交线段OA于点F，若，求BF的长． 26. 综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 27. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期随堂练习试卷初三年级数学学科 一．选择题（共8小题） 1. 在下列实数中，无理数是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项，2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项，开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数，符合要求； C选项，是分数，属于有理数，不符合要求； D选项，，是整数，属于有理数，不符合要求． 2. 2025年，苏州工业园区完成地区生产总值4163亿元，同比增长5.5%，高质量发展成效显著.数据4163亿元用科学记数法表示为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】先将单位“亿元”换算为“元”，再根据科学记数法的规则将结果化为标准形式即可. 科学记数法的标准形式为，其中，n为整数. 【详解】∵1亿元元， ∴4163亿元元， ∵， ∴元， 故选B. 3. 已知一组数据：36、37、32、37、33，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 36、32 B. 36、36 C. 37、32 D. 37、36 【答案】D 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，求中位数需要先将数据按大小排序，数据个数为奇数时，取最中间的数为中位数． 【详解】解：∵将这组数据从小到大重新排列为：32、33、36、37、37， ∴观察可得，37出现次数最多，因此众数是37， ∵这组数据共5个，排序后最中间的数是第3个数，即36，因此中位数是36． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】A选项， ，A计算错误； B选项，，B计算错误； C选项，，C计算错误. D选项，，D计算正确． 5. 小西同学在刷淘宝时候发现一款苏州产的数显角度尺（如图一），比量角器方便好多，小西不禁对其原理好奇起来，他找到了一款不带数显的量角专用神器（如图二），请问它里面应用的数学原理是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 等量代换 D. 同弧所对的圆心角是圆周角的两倍 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，里面应用的数学原理是对顶角相等． 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 7. 苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解． 【详解】解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形的面积减去扇形的面积， 圆心角，，， 该砖雕的面积为： ． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，的顶点E在边上，且，，，则的值为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过F作，交的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到，；设，则，，再根据勾股定理，即可得到，可得，再利用锐角的正切的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，过F作，交的延长线于G，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设，则，， ∵中，，， ∴， 解得， 即， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形和勾股定理的结合，锐角三角函数的应用，准确分析计算是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察表达式，发现符合平方差公式的形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故答案为：． 11. 设、是方程的两个根，且，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ． 12. 苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可知黑色部分与白色部分面积相等，进而求概率即可． 【详解】解：“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， 黑色部分与白色部分面积相等， 故恰好落在黑色部分的概率为． 13. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， （米）， 在中，． ， （米）， （米）． 故答案为． 14. 如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用分割法求出图形的面积即可，掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为菱形， 连接，交于点，则：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且，点E为边上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得线段，连接，当与的某条边平行时，则线段的长为_______． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据题意分、、三种情况，分别利用等边三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：在边长为6的等边三角形中，点D在边上，且， ，则， ①如图：当时： ∵将线段绕点E顺时针旋转得线段， 是等边三角形，且边长为4， ． ②如图：当时， ∵将线段绕点E顺时针旋转得线段， 是等边三角形，且边长为4， ∵， ， ∴， 为等边三角形，且边长为4， 如图：连接， ， 是等边三角形，则，， ， ，即， ∴ ∴，即，， ， 在中，，，则； 如图所示：当E与C重合时， ∴的情况不存在； 综上所述，线段的长为2或． 【点睛】本题主要考查求线段长、等边三角形的判定与性质、旋转性质、平行线性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 16. 如图，点A，B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示． ∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点， ∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE， ∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF， ∴AC=2BD， ∴OD=2OC． ∵CD=k， ∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（-，-）， ∴AC=3，BD=， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=， ∴CD=k=． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理．构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键. 三．解答题（共11小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别算出二次根式的化简，绝对值，特殊值的锐角三角函数，负指数幂及乘方，再根据实数的运算法则即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果（） 将代入计算结果 【解析】 【分析】通分计算括号内的减法，将除法转化为乘法进行化简，再代入x的值计算即可. 【详解】解：原式 当时 原式 20. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据公式简单求概率，列表法或树状图法求概率等． （1）根据题意即可得到本题答案； （2）根据题意列表算出共有的可能性，并找出符合题意的可能性即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵小王需要坐第三排，且第三排共有三个座位， ∴小王选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小王小李 小李随机坐第二排和小王随机坐第三排共有9种等可能情况，其中两位老师刚好坐在同一列的结果有两种， （两位老师刚好坐在同一列）． 21. 4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图． （1）n＝　 　，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“70﹣80”这组的扇形圆心角为 　 　°； （3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】（1）50，图见解析 （2）72 （3）672 【解析】 【分析】（1）根据80～90的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出90～100这一组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （2）根据（1）中的结果，可以计算出70﹣80所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据直方图中的数据，可以估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数． 【小问1详解】 本次调查共抽测了名学生， 90～100的学生有：人）， 补全的频数分布直方图如图所示： 故答案为：50． 【小问2详解】 70﹣80所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：72． 【小问3详解】 估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为（名）． 答：相关知识了解情况为优秀的学生672人． 【点睛】本题考查了样本容量计算，条形统计图的完善，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握样本容量计算，圆心角的计算，样本估计总体是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 24. 我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）． （1）若抛物线上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标； （2）平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式． 【答案】（1）当时，“三倍点”的坐标为；当时，“三倍点”的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得“三倍点”在直线上，令，根据求解． （2）设新抛物线解析式为，由抛物线经过原点求解． 【小问1详解】 解：由题意得“三倍点”在直线上， 令，整理得， ∴， 当时，方程有两个相等实数根，则抛物线上只有唯一的“三倍点”， ∴， 解得或． 当时，， 解得， 将代入中得， 当时，， 解得， 将代入中得， ∴时，“三倍点”的坐标为，时，“三倍点”的坐标为． 【小问2详解】 解：∵顶点是新抛物线的“三倍点”， ∴设平移后解析式为， 将代入得， 解得（舍）或， ∴． 25. 如图，是的外接圆，AB是的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，，于点E． （1）求证：DC是的切线； （2）若，，求DC的长； （3）在（2）的条件下，若点P是上一点，连接CP交线段OA于点F，若，求BF的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质证明即可； （2）根据三角函数和勾股定理求出，，再证∽，利用比例式求解即可； （3）过点P作于点Q，连接OP，证∽，利用相似列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：连接OC，则， ∴， ∵AB是的直径， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵OC是的半径， ∴DC是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作于点Q，连接OP， ∵，， ∴， ∴∽， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆的有关知识进行推理证明． 26. 综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点是解题的关键． （1）首先根据最高点距离地面得到k的值，再将代入解析式即可求得抛物线的函数解析式； （2）首先设为x步的距离，根据已知线段的长度表示出，，利用相似三角形求解x的值，进而可以计算出的长度； （3）首先根据指示灯需距离地面，计算出此高度下x的坐标再结合判断灯架是否存在此范围内，进而根据点的坐标求解点的坐标，进而即可求解灯架的长． 【详解】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m； （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上， 将代入，解得：， ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴满足题意，存在灯架， 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m． 27. 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作猜想： 如图1，四边形是矩形，，点E是边上一点，连接，沿折叠，使点D的对应点落在上．填空： ， ； （2）探索证明： 如图2，在图1的条件下，延长与的延长线相交于点F，连接．求的度数和的值； （3）拓展延伸： 如图3，四边形是正方形，E，F，G，H分别为的中点，连接．点M是边上一点，连接，将沿折叠，使点B的对应点落在或上时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）；； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质，，由正弦函数的定义可求得，再根据平行线的性质即可求得；求得，再利用正弦函数的定义可求得，据此求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，即可求得；由（1）得，则设，则，求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）分当点落在上和上，同（1）或（2）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，沿折叠，使点D的对应点落在上， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴，则， ∴四边形是平行四边形， ∴； 由（1）得， ∴设，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为， ∵E，F，G，H分别为的中点， ∴， 当点落在上时， ∵折叠， ∴， 同理，， ∴，，， ∴； 当点落在上时， ∵折叠， ∴，同理，则， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，正方形与折叠的问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $