专题05 因式分解 期末复习讲义 -2025-2026学年苏科版数学八年级下册

专题05因式分解期末复习讲义 期末复习◆重点 理解因式分解的定义，明确其与整式乘法的互逆关系，能准确判断多项式变形是否为因式分解。 熟练掌握提公因式法，能正确识别并提取多项式的公因式；牢记平方差公式与完全平方公式的结构特征，能直接运用公式分解简单多项式。 掌握“先提公因式，再用公式法”的基本步骤，能综合运用两种公式进行多次分解，确保分解结果彻底。 能利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过系数对比求解因式分解中的未知参数。 理解十字相乘法、分组分解法的适用场景，能运用上述方法分解特定结构的多项式。 掌握因式分解在有理数简算、代数式求值、整除证明及相关几何问题中的应用方法。 核心题型◆归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.公因式 题型3.判断能否用公式法分解因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.平方差公式分解因式 题型6.完全平方公式分解因式 题型7.综合运用公式法分解因式 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 题型9.已知因式分解的结果求参数 题型10.十字相乘法 题型11.分组分解法 题型12.因式分解在有理数简算中应用 题型13.因式分解的应用 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解基本概念】 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种多项式的恒等变形，叫做因式分解。 2.因式分解四大书写规范 （1）结果必须为整式相乘的形式，不得含有加减运算、分式或分母含字母； （2）分解务必彻底，直至每一个因式都不能继续分解为止； （3）所有因式的首项系数必须为正数； （4）因式内部需化简，合并同类项，去除多余括号，保证结果最简。 【知识点二、因式分解与整式乘法的区别与联系】 特征维度 因式分解 整式乘法 核心定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 把几个整式的积展开成多项式的形式 变形方向 多项式 →→ 整式乘积（和差化积） 整式乘积 →→ 多项式（积化和差） 运算本质 代数式恒等变形，是整式乘法的逆运算 代数式恒等变形，是因式分解的逆运算 直观示例 −4→(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)→−4 结果要求 结果必须是最简整式乘积，且每个因式在指定数域内不可再分解 结果必须是标准多项式，需合并同类项并按降幂排列 检验方法 可通过整式乘法将结果展开，看是否还原为原多项式 可通过因式分解将结果还原，看是否能回到原乘积形式 主要应用 求解方程、化简分式、证明整除性、求代数式极值等 多项式展开、化简复杂代数式、合并同类项等 【知识点三、因式分解两大基本方法】 1.提公因式法 公因式定义：多项式中每一项共同含有的公共因式，称为多项式的公因式。 2.公因式确定方法 （1）系数：取多项式各项系数的最大公约数； （2）字母：取各项全部共有的相同字母； （3）次数：取相同字母的最低次幂； 特殊：整体结构相同的多项式，可整体看作一个公因式。 3.标准解题步骤： （1）准确找出多项式的数字、字母、整体公因式； （2）将公因式提取至括号外侧； （3）原多项式每一项除以公因式，剩余部分整理写入括号内； （4）检查括号内多项式是否可继续分解。 4.公式法分解因式 平方差公式：-=(a+b)(a−b); 适用条件：式子为两项式；两项均为完全平方形式；两项符号一正一负。 完全平方公式：±2ab+=; 适用条件：式子为三项式；首尾两项为平方项，且符号同为正； 中间项为首尾两项底数乘积的2倍，可正可负。 【知识点四、因式分解解题顺序 】 一提：优先提取公因式（普通公因式、整体公因式、负公因式）； 二套：观察剩余多项式结构，匹配套用平方差或完全平方公式； 三查：检查分解是否彻底、符号是否正确、书写是否规范。 ★复杂题型可多次提公因式、多次套用公式，直至完全无法分解。 【知识点五、进阶分解方法】 1.十字相乘法 适用题型：+px+q的二次三项式。 核心思路：拆分常数项，将常数项拆分为两个数的积，使两数之和等于一次项系数，最终将二次三项式拆解为两个一次因式的乘积。 2.分组分解法 适用题型：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式常用分组方式： （1）二二分组：两两分组，组内提公因式，再组间整体提公因式； （2）三一分组：三项组合成完全平方式，剩余一项利用平方差公式继续分解。 【知识点六、期末高频易错汇总】 分解不彻底，仅完成提公因式，未继续套用公式分解； 提公因式漏项，项提取完毕后未保留数字1； 提取负公因式时，括号内变号不彻底； 公式混用错误，两项式乱用完全平方公式、三项式乱用平方差公式； 结果不规范，含有同类项、首项系数为负数、存在多余括号； 十字相乘数字拆分错误、分组不合理，导致无法继续分解 题型解析◆精准备考 题型1.判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 3．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.公因式 1．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 2．单项式与的公因式是________ 3．分解因式： (1) (2) 题型3.判断能否用公式法分解因式 1．若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 3．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4.提公因式法分解因式 1．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若，则________． 3．计算： 题型5.平方差公式分解因式 1．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 2．已知，则代数式的值为________． 3．下面是小贤同学对多项式因式分解的过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 ．…第五步 (1)第一步所依据的数学公式用含字母，的式子表示为 ； (2)第 步出现错误，错误的原因是 ； (3)请用另一种解法将多项式因式分解． 题型6.完全平方公式分解因式 1．装修师傅要用如图所示的，，三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中型、型板材均为正方形，型板材为矩形，统计数量时，发现用了块型板材、块型板材和块型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是（     ） A． B． C． D． 2．因式分解： _______． 3．[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 题型7.综合运用公式法分解因式 1．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 2．因式分解：_____． 3．因式分解 (1)； (2)． 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 1．分解因式：（     ） A． B． C． D． 2．因式分解：___________． 3．因式分解： (1)； (2)． 题型9.已知因式分解的结果求参数 1．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 3．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 题型10.十字相乘法 1．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 2．因式分解：=___________ 3．因式分解：． 题型11.分组分解法 1．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 2．因式分解：________．________． ________．________． 3．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 题型12.因式分解在有理数简算中应用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．用简便方法计算： (1) (2) 题型13.因式分解的应用 1．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 2．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 3．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05因式分解期末复习讲义 期末复习◆重点 理解因式分解的定义，明确其与整式乘法的互逆关系，能准确判断多项式变形是否为因式分解。 熟练掌握提公因式法，能正确识别并提取多项式的公因式；牢记平方差公式与完全平方公式的结构特征，能直接运用公式分解简单多项式。 掌握“先提公因式，再用公式法”的基本步骤，能综合运用两种公式进行多次分解，确保分解结果彻底。 能利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过系数对比求解因式分解中的未知参数。 理解十字相乘法、分组分解法的适用场景，能运用上述方法分解特定结构的多项式。 掌握因式分解在有理数简算、代数式求值、整除证明及相关几何问题中的应用方法。 核心题型◆归纳 题型1.判断是否是因式分解 题型2.公因式 题型3.判断能否用公式法分解因式 题型4.提公因式法分解因式 题型5.平方差公式分解因式 题型6.完全平方公式分解因式 题型7.综合运用公式法分解因式 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 题型9.已知因式分解的结果求参数 题型10.十字相乘法 题型11.分组分解法 题型12.因式分解在有理数简算中应用 题型13.因式分解的应用 重点知识◆梳理 【知识点一、因式分解基本概念】 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种多项式的恒等变形，叫做因式分解。 2.因式分解四大书写规范 （1）结果必须为整式相乘的形式，不得含有加减运算、分式或分母含字母； （2）分解务必彻底，直至每一个因式都不能继续分解为止； （3）所有因式的首项系数必须为正数； （4）因式内部需化简，合并同类项，去除多余括号，保证结果最简。 【知识点二、因式分解与整式乘法的区别与联系】 特征维度 因式分解 整式乘法 核心定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 把几个整式的积展开成多项式的形式 变形方向 多项式 →→ 整式乘积（和差化积） 整式乘积 →→ 多项式（积化和差） 运算本质 代数式恒等变形，是整式乘法的逆运算 代数式恒等变形，是因式分解的逆运算 直观示例 −4→(x+2)(x−2) (x+2)(x−2)→−4 结果要求 结果必须是最简整式乘积，且每个因式在指定数域内不可再分解 结果必须是标准多项式，需合并同类项并按降幂排列 检验方法 可通过整式乘法将结果展开，看是否还原为原多项式 可通过因式分解将结果还原，看是否能回到原乘积形式 主要应用 求解方程、化简分式、证明整除性、求代数式极值等 多项式展开、化简复杂代数式、合并同类项等 【知识点三、因式分解两大基本方法】 1.提公因式法 公因式定义：多项式中每一项共同含有的公共因式，称为多项式的公因式。 2.公因式确定方法 （1）系数：取多项式各项系数的最大公约数； （2）字母：取各项全部共有的相同字母； （3）次数：取相同字母的最低次幂； 特殊：整体结构相同的多项式，可整体看作一个公因式。 3.标准解题步骤： （1）准确找出多项式的数字、字母、整体公因式； （2）将公因式提取至括号外侧； （3）原多项式每一项除以公因式，剩余部分整理写入括号内； （4）检查括号内多项式是否可继续分解。 4.公式法分解因式 平方差公式：-=(a+b)(a−b); 适用条件：式子为两项式；两项均为完全平方形式；两项符号一正一负。 完全平方公式：±2ab+=; 适用条件：式子为三项式；首尾两项为平方项，且符号同为正； 中间项为首尾两项底数乘积的2倍，可正可负。 【知识点四、因式分解解题顺序 】 一提：优先提取公因式（普通公因式、整体公因式、负公因式）； 二套：观察剩余多项式结构，匹配套用平方差或完全平方公式； 三查：检查分解是否彻底、符号是否正确、书写是否规范。 ★复杂题型可多次提公因式、多次套用公式，直至完全无法分解。 【知识点五、进阶分解方法】 1.十字相乘法 适用题型：+px+q的二次三项式。 核心思路：拆分常数项，将常数项拆分为两个数的积，使两数之和等于一次项系数，最终将二次三项式拆解为两个一次因式的乘积。 2.分组分解法 适用题型：多项式项数≥4，无法直接提公因式、套公式常用分组方式： （1）二二分组：两两分组，组内提公因式，再组间整体提公因式； （2）三一分组：三项组合成完全平方式，剩余一项利用平方差公式继续分解。 【知识点六、期末高频易错汇总】 分解不彻底，仅完成提公因式，未继续套用公式分解； 提公因式漏项，项提取完毕后未保留数字1； 提取负公因式时，括号内变号不彻底； 公式混用错误，两项式乱用完全平方公式、三项式乱用平方差公式； 结果不规范，含有同类项、首项系数为负数、存在多余括号； 十字相乘数字拆分错误、分组不合理，导致无法继续分解 题型解析◆精准备考 题型1.判断是否是因式分解 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、 是整式乘法，是从积到多项式的变形，不属于因式分解，本选项不符合题意； C、 ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； D、是整式乘法，不属于因式分解，本选项不符合题意； 2．下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 3．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不是因式分解 (2) 是因式分解 (3) 是因式分解 (4) 不是因式分解 【分析】本题根据因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对每个小题逐一判断即可． 【详解】（1）解：，从左到右是整式的乘法运算，结果是多项式的和的形式，不是几个整式的乘积，因此不属于因式分解； （2）解：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （3）解：，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，因此属于因式分解； （4）解：，变形后结果仍是和的形式，不是几个整式乘积的形式，因此不属于因式分解． 题型2.公因式 1．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 【答案】B 【分析】按照“找系数最大公约数，找相同字母取最低次幂”的规则即可确定公因式. 【详解】解：∵ 多项式的两项为和 ∴应提取的公因式是. 2．单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 3．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 题型3.判断能否用公式法分解因式 1．若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 2．多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 3．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)可以用公式法因式分解，结果为 (2)不可以用公式法因式分解 (3)可以用公式法因式分解，结果为 (4)不可以用公式法因式分解 【详解】（1）解：可以用完全平方公式分解因式； ； （2）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式； （3）解：可以用完全平方公式分解因式： （4） 解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式． 题型4.提公因式法分解因式 1．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 2．若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 3．计算： 【答案】 【分析】观察式子结构，发现两项都含有公因式，首先提取公因式，然后对提取公因式后的剩余部分，分别利用平方差公式计算，接着合并剩余部分的同类项，再与公因式相乘得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 题型5.平方差公式分解因式 1．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 2．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 3．下面是小贤同学对多项式因式分解的过程： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 ．…第五步 (1)第一步所依据的数学公式用含字母，的式子表示为 ； (2)第 步出现错误，错误的原因是 ； (3)请用另一种解法将多项式因式分解． 【答案】(1) (2)五；将因式分解与整式乘法混淆 (3) ． 【详解】（1）解：第一步所依据为利用平方差公式分解因式， ∴用含字母，的式子表示为； （2）解：小贤同学第五步出错，错误的原因是将因式分解与整式乘法混淆，算到第四步即可停止； （3）略 题型6.完全平方公式分解因式 1．装修师傅要用如图所示的，，三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中型、型板材均为正方形，型板材为矩形，统计数量时，发现用了块型板材、块型板材和块型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，正方形的面积为： ∴正方形墙壁的边长是． 2．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 3．[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 题型7.综合运用公式法分解因式 1．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 2．因式分解：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式和平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可完成分解； （2）先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式继续分解即可． 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型8.综合提公因式和公式法分解因式 1．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 2．因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9.已知因式分解的结果求参数 1．已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 2．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 3．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 题型10.十字相乘法 1．若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 2．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 3．因式分解：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，接着展开，然后利用“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 题型11.分组分解法 1．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 2．因式分解：________．________． ________．________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握好因式分解的方法是解题关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解； （2）将转化为，然后提公因式； （3）应用平方差公式分解； （4）先分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ， ， ， ； （4）解：原式， ， ， ； 故答案为：；；；． 3．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 题型12.因式分解在有理数简算中应用 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 题型13.因式分解的应用 1．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 2．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为48，，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为， ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 【答案】(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $