专题04 因式分解（期末复习讲义）八年级数学下学期新教材苏科版

专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解定义辨析题 题型05 先提公因式后套公式分解因式 题型02 提公因式法分解因式 题型06 因式分解化简求值 题型03 公式法分解因式 题型07 因式分解的应用 题型04 十字相乘法分解因式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义与判断 1.能准确辨析因式分解与整式乘法的区别，严格依据定义判断变形是否为因式分解 基础必考小题 提公因式法因式分解 1.能准确寻找单项式、多项式公因式； 2.熟练运用提公因式法分解因式，掌握符号变形技巧 所有因式分解题型的基础步骤，必考； 公式法因式分解 1.熟记两大核心公式，准确识别公式结构特征，单独使用公式完成因式分解 期末核心考点，高频计算题； 综合因式分解 1.掌握“先提公因式，再套公式”的标准解题流程，能完成两步及以上综合分解 期末解答题必考，高频拉分点； 因式分解简便运算与求值 1.能利用因式分解进行有理数简便计算、代数式整体代入求值 中档常考题型； 因式分解创新与综合应用 1.能利用因式分解解决整除问题、最值问题、几何求值综合问题 期末小压轴题型，衔接中考，侧重综合运用能力考查 知识点01 因式分解 1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 2.核心本质：多项式 → 几个整式相乘（和差形式变乘积形式） 3.与整式乘法的关系：互为逆变形（整式乘法：整式积 → 多项式；因式分解：多项式 → 整式积） 4.分解要求 ①结果必须是积的形式；②分解要彻底，不能再分解为止；③结果中不能保留括号内还能分解的多项式。 ·易错点：结果若为和差形式、含有分式、分解不彻底，均不属于正确因式分解。 知识点02 提公因式法 1.公因式确定方法 系数：取各项系数的最大公约数；字母：取各项相同字母，最低次幂；多项式：相同多项式整体为公因式。 2.基本步骤：①找公因式；②提取公因式；③整理剩余项，检查是否漏项、符号是否正确。 3.符号变形规律： ·易错点：提取公因式后，某一项全部提走剩余必须留1；符号翻转错误是高频丢分点。 知识点03 公式法因式分解 1.平方差公式：； 适用条件：多项式为两项式、两项均为平方形式、符号一正一负。 2.完全平方公式： ； 适用条件：多项式为三项式，首尾项为平方且同号，中间项为首尾底数乘积的2倍。 ·易错点：完全平方公式展开易漏2倍；平方差公式误用同号两项平方；无法识别分数、系数平方形式。 知识点04 综合因式分解 1.因式分解标准解题步骤： 一提：优先提取公因式（无论是否能套公式，先提干净）； 二套：提完公因式后，判断剩余式子套用平方差/完全平方公式； 三检查：检查是否分解彻底、符号是否正确、是否漏项。 ·易错点：不提公因式直接套公式、分解不彻底。 题型一 因式分解定义辨析题 解｜题｜技｜巧 紧扣定义三要素：左边是多项式、右边是整式积的形式、左右相等，逐一排除错误变形。 【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先定系数、再定字母、最后看整体多项式公因式，提净提全，注意符号变化和剩余项补1。 【典例1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：． 【变式1】（25-26八年级上·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·四川凉山·期末）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 题型三 公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 两项异号平方用平方差，三项同号首尾平方、中间两倍积用完全平方，准确识别隐藏平方（分数、负数、整式平方）。 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）分解因式：． 【变式2】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 题型四 十字相乘法分解因式 解｜题｜技｜巧 （1） 型：拆常数，满足 ； （2） 型：:两头拆分、十字相乘再相加凑中间系数； （3）口诀：首尾拆开，交叉相乘，求和凑中； （4）注意：不能凑出就不能十字分解。 【典例1】（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 题型五 先提公因式后套公式分解因式 解｜题｜技｜巧 （1）观察式子，优先提取全部公因式； （2）对剩余多项式判断公式类型； （3）套用公式分解； （4）最终检查是否分解彻底。 【典例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）因式分解： (1)； (2)． 题型六 因式分解化简求值 解｜题｜技｜巧 对所求代数式因式分解，变形出已知整体式子，整体代换求值，避免单独求未知数。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先因式分解，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·四川德阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）先化简并分解因式，再求值：，其中． 题型七 因式分解的应用 解｜题｜技｜巧 结合图形面积、边长关系列代数式，通过因式分解化简、求值，代数几何结合。 【典例1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，，则___________． 【典例2】（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）这么近，那么美，周末到河北．李明和赵亮周日出去游玩，李明写的密文是，“钥匙”如下表所示，赵亮将密文进行因式分解（直到不能再分解）后，通过“钥匙”破译出游玩地点是（　　） 密文 钥匙 阜平 仙人寺 云花溪谷 革命纪念馆 天生桥 国家森林公园 晋察冀边区 A．晋察冀边区革命纪念馆 B．阜平天生桥国家森林公园 C．阜平云花溪谷 D．阜平仙人寺 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 【典例3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在一个足够长，宽为的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，…其面积分别记为，，，…图中的虚线为裁剪线． (1)化简；（结果按x的降幂排列） (2)若，将多项式进行因式分解，并直接写出长方形C落在边l上的边长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； (2)已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ (3)多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值． 5．（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 2.（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解：__________． 3．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 4．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 因式分解定义辨析题 题型05 先提公因式后套公式分解因式 题型02 提公因式法分解因式 题型06 因式分解化简求值 题型03 公式法分解因式 题型07 因式分解的应用 题型04 十字相乘法分解因式 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义与判断 1.能准确辨析因式分解与整式乘法的区别，严格依据定义判断变形是否为因式分解 基础必考小题 提公因式法因式分解 1.能准确寻找单项式、多项式公因式； 2.熟练运用提公因式法分解因式，掌握符号变形技巧 所有因式分解题型的基础步骤，必考； 公式法因式分解 1.熟记两大核心公式，准确识别公式结构特征，单独使用公式完成因式分解 期末核心考点，高频计算题； 综合因式分解 1.掌握“先提公因式，再套公式”的标准解题流程，能完成两步及以上综合分解 期末解答题必考，高频拉分点； 因式分解简便运算与求值 1.能利用因式分解进行有理数简便计算、代数式整体代入求值 中档常考题型； 因式分解创新与综合应用 1.能利用因式分解解决整除问题、最值问题、几何求值综合问题 期末小压轴题型，衔接中考，侧重综合运用能力考查 知识点01 因式分解 1.定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 2.核心本质：多项式 → 几个整式相乘（和差形式变乘积形式） 3.与整式乘法的关系：互为逆变形（整式乘法：整式积 → 多项式；因式分解：多项式 → 整式积） 4.分解要求 ①结果必须是积的形式；②分解要彻底，不能再分解为止；③结果中不能保留括号内还能分解的多项式。 ·易错点：结果若为和差形式、含有分式、分解不彻底，均不属于正确因式分解。 知识点02 提公因式法 1.公因式确定方法 系数：取各项系数的最大公约数；字母：取各项相同字母，最低次幂；多项式：相同多项式整体为公因式。 2.基本步骤：①找公因式；②提取公因式；③整理剩余项，检查是否漏项、符号是否正确。 3.符号变形规律： ·易错点：提取公因式后，某一项全部提走剩余必须留1；符号翻转错误是高频丢分点。 知识点03 公式法因式分解 1.平方差公式：； 适用条件：多项式为两项式、两项均为平方形式、符号一正一负。 2.完全平方公式： ； 适用条件：多项式为三项式，首尾项为平方且同号，中间项为首尾底数乘积的2倍。 ·易错点：完全平方公式展开易漏2倍；平方差公式误用同号两项平方；无法识别分数、系数平方形式。 知识点04 综合因式分解 1.因式分解标准解题步骤： 一提：优先提取公因式（无论是否能套公式，先提干净）； 二套：提完公因式后，判断剩余式子套用平方差/完全平方公式； 三检查：检查是否分解彻底、符号是否正确、是否漏项。 ·易错点：不提公因式直接套公式、分解不彻底。 题型一 因式分解定义辨析题 解｜题｜技｜巧 紧扣定义三要素：左边是多项式、右边是整式积的形式、左右相等，逐一排除错误变形。 【典例1】（25-26八年级上·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 【详解】解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 题型二 提公因式法分解因式 解｜题｜技｜巧 先定系数、再定字母、最后看整体多项式公因式，提净提全，注意符号变化和剩余项补1。 【典例1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式2】（25-26八年级上·四川凉山·期末）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 【答案】(1)提公因式法 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）通过观察每一步提取公因式的操作，判断使用的方法即可； （2）列举第一次、第二次的提取公因式结果，根据规律写出第n次提取公因式的结果即可； （3）先提取公因式，再根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 题型三 公式法分解因式 解｜题｜技｜巧 两项异号平方用平方差，三项同号首尾平方、中间两倍积用完全平方，准确识别隐藏平方（分数、负数、整式平方）。 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先将看作整体根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 【变式2】在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了一道题目：，下面是小舒同学因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式（分成两组）...............第一步 ..............第二步 ..............第三步 ................第四步 任务一： （1）以上解题过程中，从第一步到第二步是利用 公式进行变形的； （2）请你用含a，b的式子写出从第二步第三步变形运用的公式 ； 任务二： 类比小舒的解题方法，因式分解． 【答案】任务一：（1）完全平方；（2）；任务二：． 【分析】本题考查了因式分解中的分组分解法以及完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可以运用公式分解的形式． （1）观察式子变形，识别出完全平方公式的应用． （2）根据第二步到第三步的变形，写出平方差公式的一般形式． 先将多项式合理分组，使其中一组能构成完全平方形式，再运用平方差公式完成因式分解． 【详解】任务一：（1）从第一步到第二步，将转化为，是利用完全平方公式进行变形的，即． （2）从第二步到第三步，将转化为，运用的是平方差公式，用含a，b的式子表示为． 任务二：类比小舒的解题方法，因式分解如下： 题型四 十字相乘法分解因式 解｜题｜技｜巧 （1） 型：拆常数，满足 ； （2） 型：:两头拆分、十字相乘再相加凑中间系数； （3）口诀：首尾拆开，交叉相乘，求和凑中； （4）注意：不能凑出就不能十字分解。 【典例1】（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解： （1）直接根据十字相乘法分解即可； （2）根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：； 故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数， ， ． 题型五 先提公因式后套公式分解因式 解｜题｜技｜巧 （1）观察式子，优先提取全部公因式； （2）对剩余多项式判断公式类型； （3）套用公式分解； （4）最终检查是否分解彻底。 【典例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再使用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可求解； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 因式分解化简求值 解｜题｜技｜巧 对所求代数式因式分解，变形出已知整体式子，整体代换求值，避免单独求未知数。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】因式分解结果为，求值结果为 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；先通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【详解】解： 当，时， 【变式1】（25-26八年级上·四川德阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】此题考查了整式的混合运算及求值、因式分解的简便运算，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解本题的关键． 先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入计算即可得． 【详解】解：， ， ． ， 将，代入， 原式 ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）先化简并分解因式，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、因式分解及求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，再因式分解，然后把的值代入式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 ． 题型七 因式分解的应用 解｜题｜技｜巧 结合图形面积、边长关系列代数式，通过因式分解化简、求值，代数几何结合。 【典例1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用 利用平方差公式将所求式子因式分解，再代入已知条件直接计算得出结果. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法因式分解，平方差公式，对多项式合理分组是解题关键． 先对等式左边多项式进行分组因式分解，将原方程转化为三个连续奇数乘积等于的形式，再对分解质因数，匹配对应的连续奇数后求解的值． 【详解】解： ， 则， 可得， 可分解为：，其中、、是三个连续奇数，且满足，，， 由，可解得． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·山东东营·期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 【答案】C 【分析】先对原式进行因式分解，再根据因式与汉字的对应关系得到密码信息即可． 【详解】解：∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 【变式1】（25-26八年级上·河北保定·期末）这么近，那么美，周末到河北．李明和赵亮周日出去游玩，李明写的密文是，“钥匙”如下表所示，赵亮将密文进行因式分解（直到不能再分解）后，通过“钥匙”破译出游玩地点是（　　） 密文 钥匙 阜平 仙人寺 云花溪谷 革命纪念馆 天生桥 国家森林公园 晋察冀边区 A．晋察冀边区革命纪念馆 B．阜平天生桥国家森林公园 C．阜平云花溪谷 D．阜平仙人寺 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解： 则“钥匙”破译出游玩地点是阜平天生桥国家森林公园， 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）使用生日作为密码已经成为历史，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序就可以形成密码，例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是______． 【答案】81316 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．先 把所给的代数式分解因式，然后分别求出三个因式的值，即可得出密码． 【详解】解：， 当取，时， ，，， ∴因式码从小到大为8，13，16， 故密码为81316， 故答案为：81316． 【典例3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】（1）解：由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ． 故答案为：； （2）解：∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ，， ，， ， ， ，， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①；②琳琳的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 解：琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在一个足够长，宽为的纸带上剪出一些长方形纸片A，B，C，…其面积分别记为，，，…图中的虚线为裁剪线． (1)化简；（结果按x的降幂排列） (2)若，将多项式进行因式分解，并直接写出长方形C落在边l上的边长． 【答案】(1) (2)，长方形C落在边l上的边长为x 【分析】（1）根据图形分别表示出，，再代入，求解即可； （2）先将进行因式分解，然后结合图形，判断即可． 【详解】（1）解：根据图形可得：，， ∴； （2）解：， ∴长方形C落在边l上的边长为x． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26八年级上·四川泸州·期末）下列各式由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的变形，需满足结果为整式乘积、所有因式都是整式两个条件． 【详解】解：选项A的变形是整式乘法，结果是和的形式，不符合因式分解定义． 选项C的变形结果是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项D的变形中，是分式，不是整式，不符合定义． 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 2.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查因式分解的基本方法，包括十字相乘法、提公因式法和公式法(平方差公式)． （1）对于二次三项式，采用十字相乘法，找到两个数乘积为常数项，和为一次项系数2，即可完成分解； （2）对于多项式，先提取各项的公因式，再整理剩余的多项式部分； （3）对于多项式，先通过变形将两项转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后，再利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解：∵常数项可分解为，且， ∴； 故答案为：． （2）解：； （3）解：． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； (2)已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ (3)多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值． 【答案】(1)1525425 (2)125 (3) 【分析】本题主要考查因式分解，新定义问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）先将多项式分解因式，再根据题意排序，由前两个因式码可得方程组，解方程组代入第三个因式码即可得解； （3）先将多项式分解因式，再根据已知数据及密码101213排序，得出对应方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 当取，时，，，， ∴生成的密码是1525425． 故答案为：1525425； （2）解：， 、q都是正整数， ． ，，解得． 第三个因式码为； （3）解：． 根据题意，当，时，三个因式码为10，12，． 又∵密码为101213， ∴三个因式码为10，12，13， ∴， ． 5．（25-26八年级上·广西玉林·期末）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 2.（25-26九年级上·广东惠州·期末）分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故． 【详解】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于和是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为，，． 当，时，解得，． 当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去． 当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去． 故唯一解为，，此时． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究： 【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下： 由于即能被4整除； 而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确． （1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证； 【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明： （2）是4的倍数； （3）可以表示为两个正整数的平方差． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题目模仿即可解答； （2）运用平方差公式求出结果即可得证； （3）由（2）可得，再进行说明即可． 【详解】解：（1）即能被4整除， 结果是4的倍数， 又， 可以表示为3和1的平方差， 故验证结论正确； （2）证明：， 且均为正整数， 是4的倍数； （3）由（2）可知，， 的奇偶性相同，不妨设， 都是正偶数， 和都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式． 期末综合拓展练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 2.（2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 4．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $