专题六 分式的概念、基本性质与约分（7大题型）（期末复习） 讲义 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题六 分式的概念、基本性质与约分 考点一：分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【典例精讲】（2026春•秀英区校级期中）下列各式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026春•亭湖区校级月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C．xy D． 【变式训练2】（2026春•东台市期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二：分式有意义的条件 1、分式有意义的条件是分母不等于零． 2、分式无意义的条件是分母等于零． 3、分式的值为正数的条件是分子、分母同号． 4、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例精讲】（2026•冠县一模）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 【变式训练1】（2025秋•恩施市期末）阅读所给的材料．并解决问题： x ﹣2 3 m 0 分式的值（其中a，b为常数） 无意义 0 4 n 则下列结论中错误的是（　　） A．a＝2 B．b＝6 C．m＝7 D．n＝﹣3 【变式训练2】（2026•高港区一模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 考点三：分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【典例精讲】（2026•任城区二模）已知x+2y﹣1＝0，则代数式的值为（　　） A． B．﹣2 C．4 D．2 【变式训练1】（2026春•婺城区校级月考）已知，则分式的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣4 D．5 【变式训练2】（2025秋•武汉期末）在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．2026 B．﹣1 C．2025 D． 考点四：分式的值为零 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【典例精讲】（2025秋•滑县期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0 【变式训练1】（2026春•泰兴市期中）下列分式的值可以为0的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•同步）若三角形三边长分别为a，b，c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　） A．三边都不相等的三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 考点五：分式的基本性质 1、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 2、分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【典例精讲】（2026春•钟楼区校级月考）把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 【变式训练1】（2026春•亭湖区校级月考）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•邗江区校级期中）如果分式中的x、y的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 考点六：约分 1、约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 2、确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 3、规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【典例精讲】（2026春•永春县期中）将分式约分，结果正确的是（　　） A． B． C． D．3x 【变式训练1】（2026•平陆县一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 【变式训练2】（2025秋•江汉区期末）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 考点七：最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例精讲】（2026春•亭湖区校级月考）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•呈贡区校级期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026春•市中区校级期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 1．（2026春•浚县月考）下列各式中：，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026•环翠区校级模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．±3 3．（2026春•历城区期中）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 4．（2026春•天桥区校级期中）数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“∑”．如记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）（x+4）+…+（x+n）；已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝4x2+4x+m，则的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣10 D．10 5．（2026春•姜堰区期中）若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．x+y B．3x+3 C．3xy D．x2 6．（2026春•项城市月考）化简的结果是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．x2﹣2 D．x2+2 7．（2026•唐河县二模）若分式的值为正数，则实数x的取值范围是　 ． 8．（2026春•金牛区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　 ． 9．（2026春•姜堰区期中）已知分式的值为整数，若a是非负整数，则a的值是　　 ． 10．（2026•临泉县二模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 ． 11．（2026•泗阳县二模）如果分式有意义，那么x的取值范围是　 ． 12．（2025秋•奉贤区期末）在分式.，，，中，最简分式有　 个． 13．（2025秋•高安市期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　 　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 14．（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（2026春•郸城县月考）已知分式，．若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 16．（2026春•浚县月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是　 （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为　 ． 17．（2026•南宁二模）已知三个正整数x，y，z满足0＜x＜y＜z，且1，求x，y，z． 解：∵0＜x＜y＜z， ∴， 由，，可得1， ∴1，解得x＜3， 又∵1，解得x＞1， 综上，x的取值范围是①， ∵x为正整数， ∴x＝②． （1）直接填空：①　　 ；②　 ． （2）类比上述探究方法，求出y的取值范围． （3）直接写出方程1的正整数解． 18．（2025秋•渝水区校级期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是　 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题六 分式的概念、基本性质与约分 考点一：分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 【典例精讲】（2026春•秀英区校级期中）下列各式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式的定义为：若A、B是整式，B中含有字母且B≠0，则式子是分式．根据分式定义判断即可，需注意π是常数，不是字母． 【解答】解：根据分式的定义逐项分析判断如下： A、的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意； B、的分母是含字母的整式x，符合分式的定义，属于分式，符合题意； C、的分母π是常数，不是字母，属于整式，不是分式，不符合题意； D、的分母是常数3，不含字母，属于整式，不是分式，不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•亭湖区校级月考）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C．xy D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义解答即可． 【解答】解：由分式的定义可知，只有式子是分式；，，xy是整式． 故选：D． 【变式训练2】（2026春•东台市期中）下列各式：，，，，，，其中分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【解答】解：，，中，分母不含有字母，不是分式； ，，分母中含有字母，是分式，共3个． 故选：B． 考点二：分式有意义的条件 1、分式有意义的条件是分母不等于零． 2、分式无意义的条件是分母等于零． 3、分式的值为正数的条件是分子、分母同号． 4、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例精讲】（2026•冠县一模）要使分式有意义，x的取值应满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件可得（x+1）（x﹣2）≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣2）≠0， 解得：x≠﹣1且x≠2， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•恩施市期末）阅读所给的材料．并解决问题： x ﹣2 3 m 0 分式的值（其中a，b为常数） 无意义 0 4 n 则下列结论中错误的是（　　） A．a＝2 B．b＝6 C．m＝7 D．n＝﹣3 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件可求出a的值，将（3，0）代入求出b的值，进而可求m，n的值． 【解答】解：∵x＝﹣2时分式无意义， ∴﹣2+a＝0， 即a＝2，A结论正确，不符合题意； 将a＝2，（3，0）代入得：， 解得：b＝6，B结论正确，不符合题意； 即分式为． 将（m，4）代入得：， 解得：m＝﹣7，C结论错误，符合题意； 经检验，m＝﹣7是原分式方程的解； 将（0，n）代入得：， 解得：n＝﹣3，D结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2026•高港区一模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由x＝﹣1时，y＝0，则可判断A、C、D不符合题意，再根据x＝1时，y无意义，则可判断分母为0，由此可判断出结果． 【解答】解：观察表格可知，当x＝﹣1时，y＝0， 所以选项B符合题意， 当x＝1时，y无意义，即分母为0， 所以只有选项B符合题意． 故选：B． 考点三：分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 【典例精讲】（2026•任城区二模）已知x+2y﹣1＝0，则代数式的值为（　　） A． B．﹣2 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先对所求分式因式分解化简，再利用已知条件得到x+2y的值，整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：∵x+2y﹣1＝0， ∴x+2y＝1， ∴原式 ＝2． 故选：D． 【变式训练1】（2026春•婺城区校级月考）已知，则分式的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣4 D．5 【答案】C 【分析】由得y＝2x；将y＝2x代入分式，化简计算得结果为﹣4． 【解答】解：因为， 所以y＝2x， ＝﹣4． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•武汉期末）在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　） A．2026 B．﹣1 C．2025 D． 【答案】B 【分析】将分式变形为分式1，将x值代入运算，找出变化的规律，依据规律解答即可． 【解答】解：分式1， 当x＝0时，原式＝﹣1， 当x＝1时，原式＝0， 当x＝2025时，原式＝1， 当x时，原式， 当x＝2024时，原式＝1， 当x时，原式， ...， 当x＝2时，原式＝1， 当x时，原式1， ∴当x＝2025与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， 当x＝2024与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ...， 当x＝2与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0， ∴将所得结果相加之和＝﹣1． 故选：B． 考点四：分式的值为零 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【典例精讲】（2025秋•滑县期末）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．3 B．3或﹣3 C．﹣3 D．0 【答案】A 【分析】分式的值为0：分子为0，分母不为0． 【解答】解：根据题意，得 ，即， 解得x＝3． 故选：A． 【变式训练1】（2026春•泰兴市期中）下列分式的值可以为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【解答】解：根据题意可知，选项A，B，C的分子分别为2，4，2，均恒不为0， ∴这三个选项的分式的值不可能为0， 对选项D：令分子2x﹣1＝0，解得， 当时，分母， ∴当时，该分式的值为0，满足条件． 故选：D． 【变式训练2】（2026春•同步）若三角形三边长分别为a，b，c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　） A．三边都不相等的三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件可得ab﹣ac+bc﹣b2＝0，且a≠c，对ab﹣ac+bc﹣b2进行因式分解，进而得出答案． 【解答】解：∵0， ∴ab﹣ac+bc﹣b2＝0，且a≠c， ∵ab﹣ac+bc﹣b2 ＝b（a﹣b）+c（b﹣a） ＝（a﹣b）（b﹣c）， ∴（a﹣b）（b﹣c）＝0， ∴a＝b或b＝c， ∴三角形一定是腰与底边不等的等腰三角形． 故选：B． 考点五：分式的基本性质 1、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 2、分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 （1）分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． （2）解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． （3）处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【典例精讲】（2026春•钟楼区校级月考）把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【解答】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：C． 【变式训练1】（2026春•亭湖区校级月考）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A．，选项分式从左到右的变形错误，不符合题意； B．，选项分式从左到右的变形错误，不符合题意； C．，选项分式从左到右的变形正确，符合题意； D．，选项分式从左到右的变形错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2026春•邗江区校级期中）如果分式中的x、y的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】根据题意列式计算，再比较即可． 【解答】解：， 3． 故选：C． 考点六：约分 1、约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 2、确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 3、规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【典例精讲】（2026春•永春县期中）将分式约分，结果正确的是（　　） A． B． C． D．3x 【答案】B 【分析】先找出分子和分母的公因式，并写成公因式与另一个因式积的形式，然后约分即可． 【解答】解：原式 ， 故选：B． 【变式训练1】（2026•平陆县一模）化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，先对分子分母因式分解，再约去所有公因式即可得到结果． 【解答】解；根据分式的基本性质，先对分子分母因式分解，再约去所有公因式可得： ． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•江汉区期末）下列约分正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据约分的约分法则计算，判断即可． 【解答】解：A、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； B、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； C、b﹣a，约分正确，符合题意； D、是最简分式，故本选项约分错误，不符合题意； 故选：C． 考点七：最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例精讲】（2026春•亭湖区校级月考）下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【解答】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、的分子1和分母x+1没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•呈贡区校级期末）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义对各选项进行判断． 【解答】解：A． ，所以A选项不符合题意； B． 为最简分式，所以B选项符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． x2+1，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2026春•市中区校级期中）下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式； 【解答】解：A，2还可约分，故不是最简分式； B，是最简分式，符合题意； C，x+1还可约去，故不是最简分式； D，公因式a还可约分，故不是最简分式； 故答案选：B． 1．（2026春•浚县月考）下列各式中：，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【解答】解：∵，，0，这三个都是整式，不符合题意； 分母含有字母x，是分式，符合题意； 分母含有字母x，是分式，符合题意； 分母含有字母x，是分式，符合题意， ∴分式共有3个． 故选：C． 2．（2026•环翠区校级模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．±3 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件列式计算即可． 【解答】解：由已知可得|x|﹣3＝0且x2+x﹣6≠0， 解得：x＝3． 故选：B． 3．（2026春•历城区期中）将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质变形后进行约分即可求得答案． 【解答】解：将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍得， 则分式的值缩小为原来的， 故选：B． 4．（2026春•天桥区校级期中）数学领域中，18世纪数学家欧拉率先引进求和符号“∑”．如记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）（x+4）+…+（x+n）；已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝4x2+4x+m，则的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣10 D．10 【答案】A 【分析】由x2项的系数可知n＝5，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答． 【解答】解：由条件可知n＝5， ∴（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+（x+4）（x﹣3）+（x+5）（x﹣4） ＝（x2+x﹣2）+（x2+x﹣6）+（x2+x﹣12）+（x2+x﹣20） ＝4x2+4x﹣40， ∴m＝﹣40， ∴． 故选：A． 5．（2026春•姜堰区期中）若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．x+y B．3x+3 C．3xy D．x2 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：A．若A＝x+y，x和y都扩大3倍后，则A'＝3x+3y， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式的值不变，故选项A正确； B．若A＝3x+3，x和y都扩大3倍后，A'＝3×3x+3＝9x+3， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，显然，分式值改变，故选项B错误； C．若A＝3xy，x和y都扩大3倍后，A'＝3×3x×3y＝27xy， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式值改变，故选项C错误； D．若A＝x2，x和y都扩大3倍后，则A'＝（3x）2＝9x2， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式值改变，故选项D错误． 故选：A． 6．（2026春•项城市月考）化简的结果是（　　） A．x﹣2 B．x+2 C．x2﹣2 D．x2+2 【答案】B 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【解答】解：用平方差公式对分子因式分解可得： ， 故选：B． 7．（2026•唐河县二模）若分式的值为正数，则实数x的取值范围是x＞0　 ． 【答案】x＞0． 【分析】先判断分母始终是正数，再根据分式的值是正数即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+1＞0， ∵分式的值为正数， ∴x＞0， 故答案为：x＞0． 8．（2026春•金牛区校级月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出a的取值范围，再结合代数式的值是整数，求出所有符合条件的整数a的值的和即可． 【解答】解：由2x﹣1≤3（x﹣2）得，x≥5， 由得，x＞a+2． 因为该不等式组的解集为x≥5， 所以a+2＜5， 解得a＜3． 又因为代数式的值是整数， 所以符合条件的所有整数a为2，0，﹣1，﹣3， 则2+0+（﹣1）+（﹣3）＝﹣2， 所有符合条件的所有整数a的值的和为﹣2． 故答案为：﹣2． 9．（2026春•姜堰区期中）已知分式的值为整数，若a是非负整数，则a的值是　0或1　 ． 【答案】0或1． 【分析】先将分式化简得到，再判断出a2+1是正整数，结合分式的值为整数得出a2+1＝1或2，再求解即可． 【解答】解： ， ∵a是非负整数， ∴a2+1是正整数， ∵分式的值为整数， ∴a2+1＝1或2， 当a2+1＝1时，a＝0， 当a2+1＝2时，a＝1或a＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴a的值0或1， 故答案为：0或1． 10．（2026•临泉县二模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠3　 ． 【答案】x≠3． 【分析】根据分式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【解答】解：根据分式有意义的条件可得： 2x﹣6≠0， 解得：x≠3， 故答案为：x≠3． 11．（2026•泗阳县二模）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠3　 ． 【答案】x≠3 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 【解答】解：当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义． 故答案为：x≠3． 12．（2025秋•奉贤区期末）在分式.，，，中，最简分式有　3　 个． 【答案】3 【分析】根据最简分式的定义分别对每一个式子进行判断，即可得出答案． 【解答】解：，，是最简分式，的分子分母中含有公因式（x﹣y），不是最简分式． 故答案为：3． 13．（2025秋•高安市期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　②　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 【答案】②． 【分析】根据最简分式，“和谐分式”的定义，即可判断． 【解答】解：①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”， ②的分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，故该分式是“和谐分式”， ③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有x+y，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， ④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有a+b，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， 所以，上列分式中，是“和谐分式”的是：②， 故答案为：②． 14．（2026春•同步）约分： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先找出公因式5x2，然后约分即可； （2）先找出公因式3xy，然后约分即可； （3）先把分子分母因式分解，然后约分即可； （4）先把分子因式分解，然后约分即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）3a+4b． 15．（2026春•郸城县月考）已知分式，．若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 【答案】；． 【分析】找出两分式中分母的公因式确定出a，找出最简公分母确定出b． 【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x﹣1，最简公分母为b＝3（x+1）（x﹣1）， ∴3（x+1）＝﹣6，即x＝﹣3． 则． ． 16．（2026春•浚县月考）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是　②　 （填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． m2﹣n2；m2+2mn+n2；m﹣n． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为　4　 ． 【答案】（1）②； （2）和； （3）4． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【解答】解：（1）根据“和谐分式”的定义，逐项分析判断如下： 对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． 故答案为：②； （2）∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， m2+2mn+n2＝（m+n）2， ∴“和谐分式”有：和． （3）由条件可知x2+ax+4能够因式分解， ∵a为正整数，x2+ax+4能够因式分解， ∴a＝4或a＝5． ∵分式不可约分， 又∵当a＝5时，分母为x2+5x+4＝（x+1）（x+4），分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当a＝4时，分母为x2+4x+4＝（x+2）2，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴a＝4． 故答案为：4． 17．（2026•南宁二模）已知三个正整数x，y，z满足0＜x＜y＜z，且1，求x，y，z． 解：∵0＜x＜y＜z， ∴， 由，，可得1， ∴1，解得x＜3， 又∵1，解得x＞1， 综上，x的取值范围是①， ∵x为正整数， ∴x＝②． （1）直接填空：①　1＜x＜3　 ；②　2　 ． （2）类比上述探究方法，求出y的取值范围． （3）直接写出方程1的正整数解． 【答案】（1）1＜x＜3，2； （2）2＜y＜4； （3）x＝2，y＝3，z＝6． 【分析】（1）根据题意填空即可； （2）类比上述探究方法，求得y的取值范围是2＜y＜4； （3）结合（1）（2）得到，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵0＜x＜y＜z， ∴， 由可得， ∴，解得x＜3， 又∵， 解得x＞1， 综上，x的取值范围是1＜x＜3， ∵x为正整数， ∴x＝2， 故答案为：1＜x＜3，2； （2）已知x＝2，则， ∵y＜z， ∴，即， 解得y＜4， 又∵， 解得y＞2， 结合x＝2＜y， ∴y的取值范围是2＜y＜4； （3）由y是正整数且2＜y＜4，得y＝3， 代入，即， 解得 z＝6， ∴方程的正整数解为x＝2，y＝3，z＝6． 18．（2025秋•渝水区校级期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是　真　 分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】（1）真；（2）；（3）±3． 【分析】（1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【解答】解：（1）分式是真分式． 故答案为：真； （2）原式； （3）， ∵分式的值为整数，x为整数． ∴x﹣2＝±1或±2， 当x﹣2＝1时，， 当x﹣2＝2时，， 当x﹣2＝﹣1时，， 当x﹣2＝﹣2时，， ∴整数的值是±3． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $