第21章 探究与发现：用多边形镶嵌平面-课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件围绕“用多边形镶嵌平面”，通过生活中地砖、蜂巢等实例导入，引导学生观察无空隙、不重叠特点，结合剪拼正多边形、两种多边形组合及任意三角形四边形的活动，探究平面镶嵌定义、条件（顶点内角和360°）及类型，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活现象，通过动手操作与推理探究镶嵌原理，体现数学思维。如活动一剪拼验证正多边形镶嵌，练习用方程分析组合内角和，培养学生抽象能力与应用意识。教师可利用分层练习提升教学效率，学生能在探究中发展创新意识与理性精神。

第二十一章 四边形 探究与发现：用多边形镶嵌平面 1．了解平面镶嵌的含义，知道镶嵌的基本条件； 2．探究哪些正多边形可以单独镶嵌平面，理解其数学原理； 3．能设计简单的多边形镶嵌图案． 请仔细观察下面的图片，这些图案有什么共同特点？它们是由哪些基本图形拼成的？ 为什么这些图形拼在一起时，中间没有空隙、也不会重叠？ 房间中的地砖 蜂巢结构 正方形 正六边形 在生活中，很多地面和墙面都是用正方形的瓷砖铺成的（图1）．无论用瓷砖铺地还是贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面完全覆盖，通常把这类问 题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题． 平面镶嵌在设计建筑中的各种图案，计算如何 利用空间节省成本、优化晶体结构等工作中发 挥着重要作用． 4 下面，我们来探究一些多边形能否镶嵌平面，并思考为什么会出现这种结果． 活动一：分别剪一些边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸板，如果用其中一种正多边形镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？ 正三角形、正方形、正六边形能镶嵌平面 正五边形不能镶嵌平面 活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ 用正三角形和正六边形镶嵌平面 活动二：用两种正多边形也可以镶嵌平面，图2是用正三角形和正方形镶嵌平面的例子，你能发现用其他两种正多边形镶嵌平面的例子吗？ 用正方形和正八边形镶嵌平面 活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？ 活动三：任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板（图3（1）），试着拼一拼，它们能镶嵌平面吗？用一些形状、大小相同的四边形纸板（图3（2））呢？ 思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？ 60° 60° 60° 60° 60° 60° 360° 90° 90° 90° 90° 360° 120° 120° 120° 360° 思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？ 90° 60° 60° 90° 60° 360° 60° 120° 60° 120° 90° 135° 135° 360° 360° 思考：这些图形为什么能平面镶嵌呢？ 三角形内角和180° 180° 180° 360° 四边形内角和360° 360° 360° 多边形能进行平面镶嵌的条件 形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，拼接在同一点的各个角的度数和是360 °. 你还可以搜集一些用其他多边形镶嵌平面的图案，或者设计一些地面的平面镶嵌图，并与同学互相交流． 平面镶嵌问题也是数学研究的一个经典问题，吸引了许多数学家和数学爱好者的关注．你可以查阅相关资料，了解平面镶嵌问题的研究进展． 【知识技能类练习】必做题： 1．下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（   ）． A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 A 【知识技能类练习】必做题： 2．工人师傅用边长相等的两块正六边形和一块正方形地砖铺地，铺成如图所示的图形，若再用一块边长相同的正多边形地砖，无缝隙、不重叠地铺在处，则他选用的这块正多边形地砖的边数为________． 12 【知识技能类练习】必做题： 3．如图，用同样大小的黑、白两种颜色的等腰三角形地砖铺设地面，请在图（b）、（c）所示的正方形网格中给出不同于图（a）的铺法． 解：如图所示： 【知识技能类练习】选做题： 4．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 C 【综合拓展类练习】 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由． 解：（1）设正多边形的边数为，正多边形的边数为， 由题意，得， 解得， ，， 答：正多边形的边数为4，正多边形的边数为6． 【综合拓展类练习】 5．根据正多边形和的对话，解决下列问题． (1)求和的边数； (2)用正多边形和（两种都用）能否铺满地面？说明理由． （2）设用个正方形（正多边形）和个正六边形（正多边形）可以铺满地面，且，，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为120°，由题意，得， 化简得， 当，时，不存在正整数解满足该二元一次方程， 用正多边形和（两种都用）不能铺满地面． 用多边形镶嵌平面 平面镶嵌条件 平面镶嵌的定义 常见镶嵌类型 单一正多边形镶嵌 任意三角形、任意四边形均可镶嵌平面 两种正多边形组合镶嵌 同一顶点处内角和为360° 【知识技能类作业】必做题： 1．商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ C 【知识技能类作业】必做题： 2．公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【知识技能类作业】必做题： 3．如图所示，正多边形A，B，C密铺地面，其中A为正六边形，C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数． 解：设正多边形B一个内角为x，则有 120°+90°+x=360°， ∴x=150°， ∴n=360÷（180﹣150）=12． 【知识技能类作业】选做题： 4．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． B 【综合拓展类作业】 5．已知两个多边形的边数之比为，且这两个多边形所有内角的和为． (1)求这两个多边形的边数． (2)若这两个多边形为边长相等的正多边形，则用足够多的这两种正多边形_________（填“能”或“不能”）铺满地面． 解：（1）设两个多边形的边数分别是x和， 则， 解得：， ， 则两个多边形的边数分别为4和8． 能 $