探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图 课件 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦菱形的性质与判定，系统呈现利用其进行尺规作图的方法，包括作角平分线、线段垂直平分线及过直线外一点作垂线。通过先回顾菱形性质与判定，再以作角平分线为例构建作图逻辑，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以菱形为核心载体，融合几何直观与推理意识，如作线段垂直平分线时，通过四边相等证菱形，再用菱形对角线垂直平分性质得证，培养数学思维。练习分层设计，助力学生深化理解，教师可高效开展探究式教学。

第二十一章 四边形 探究与发现：利用菱形的性质和判定尺规作图 1．能运用菱形的性质与判定进行尺规作图； 2．掌握作菱形、作角平分线、作垂直平分线等与菱形相关的作图方法； 3．理解作图背后的几何原理． 1．说一说菱形的性质？ （1）角：菱形的对角相等． （2）边：菱形对边平行且四条边都相等． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线就是它的对称轴． 2．说一说菱形的判定方法？ （1）有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四条边相等的四边形是菱形． 3 前面学习了菱形的性质和判定，利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图． 例如，作一个给定角∠MON的平分线．我们假设O是菱形的一个顶点，菱形的一组邻边在角的两边上，那么这个菱形的过点O的对角线就是∠MON的平分线的一部分．由此可以得到利用菱形的性质和判定作给定角的平分线的作法． 作法：如图所示． （1）以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠MON两边于点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，OA（或OB）长为半径作弧，两弧相交于点P（非点O），则四边形OBPA为菱形； （3）作射线OP，则OP就是∠MON的平分线． 想一想为什么？ 想一想为什么？ 由作图可知：OA=OB=AP=BP，四条边相等的四边形是菱形，因此四边形OBPA是菱形． 根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，OP是菱形OBPA的对角线，所以OP平分∠MON，即射线OP为角平分线． 类似地，请你利用菱形的性质和判定作以下图形，并说明这样作图的道理． （1）作一条线段的垂直平分线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线． 作一条线段的垂直平分线 作法：如图所示． （1）分别以线段AB的端点A、B为圆心，大于AB的同等长度为半径在AB两侧画弧，上下弧依次交于C、D两点； （2）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线． 原理：由作图可知AC=BC=AD=BD，四边相等的四边形是菱形，四边形ACBD是菱形；依据菱形性质：菱形对角线互相垂直平分，CD⊥AB且平分AB，故CD是AB垂直平分线． 过直线外一点作已知直线的垂线 作法：如图所示． （1）以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于M、N两点； （2）分别以M、N为圆心，PM等长为半径， 在线l另一侧画弧，两弧交于点Q； （3）连接PQ，直线PQ就是所求垂线． 原理：由作图可知PM=PN=QM=QN，四边形PMQN四边相等，是菱形； 菱形对角线互相垂直，PQ⊥MN，即PQ⊥l． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 利用菱形的性质和判定尺规作图 过直线外一点作已知直线的垂线 作一个角的平分线 作一条线段的垂直平分线 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．阅读以下作图步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点N，M； （2）分别以N，M为圆心，以长为半径在角的内部画弧交于点P； （3）作射线，连接，，如图所示． 根据以上作图，不一定可以推得的结论是（    ） A．平分 B．四边形为菱形 C． D． C 2．如图，在菱形中，，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，连接与．则的度数为________． 或 3．如图，是菱形的一条对角线，点在射线上，点在平面内．请用尺规作图法将菱形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法） 解：作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，连接、、，即可得到所求菱形．如图所示． 4．阅读以下作图步骤： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点C，D； ②分别以C，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点 M； ③作射线，连接． 根据以上作图步骤，下列结论错误的是（　　） A． B． C．四边形是菱形 D． D 5．如图，在菱形中，，．按下列步骤作图： ①连接，以D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F； ②以C为圆心，长为半径画弧，交边于点G； ③以G为圆心，长为半径画弧，交②中所作的弧于点H； ④连接； ⑤延长交于点N，连接交于点M． (1)根据小雅的作图步骤①②③④，可得作图结论：____________，并证明结论成立； (2)求的长． 解：（1）根据作图可知， 证明：∵，， ∴， ∴，即； 故答案为：，； （2）根据作图可知， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得， 即， 解得，负值舍去． 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得， 即， 解得，负值舍去． 1．如图，已知，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点C，③分别连接，则四边形即为菱形，其依据是（   ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 A 2．如图，小强在作线段的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点、为圆心，大于线段长度一半的长为半径画弧，相交于点、，则直线即为所求．连接、、、，则根据她的作图方法可知，四边形是________． 菱形 3．如图，在中，平分，请用尺规作图法，求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交于点O，连接，，则，，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形为菱形，即菱形为所求． 4．如图，在中，作以为内角，四个顶点都在边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的． ①分别以点，为圆心，大于的长为半径在的两侧作弧，两弧相交于点，；②作直线分别交，于点，，连接，；③分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于内一点，连接并延长交边于点；④以点为圆心，小于长为半径作弧,分别交，于点，． 则正确的作图步骤是（    ） A．②④①③ B．④③②① C．②④③① D．④③①② D 5．如图，中，，是的一个外角，小明根据要求进行尺规作图，请你依据小明的作图痕迹回答下列各题． (1)填空：由作图可知，射线________是________的角平分线； (2)填空：由作图可知，直线________是________的垂直平分线； (3)判断四边形的形状并说明理由． 解：（3）四边形是菱形，理由如下： ，， 射线是的角平分线， ， ，， 是的垂直平分线， ，，， ，， 为等腰三角形，， ， 四边形AECF是菱形． $