2025-2026学年人教版（五四制）八年级数学下册期末高频考点专练之一元二次方程（5考点）

**基本信息** 聚焦一元二次方程5大高频考点，以"概念辨析-方法应用-综合实践"为路径，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配期末复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概念与解、解方程基本方法|选择题辨析定义（如第1题），填空题强化系数转化（如第5题），夯实抽象能力| |中档|根的判别式、根与系数关系|解答题结合判别式推理（如考点三第5题），运算能力与推理意识并重| |提升|实际应用问题|增长率（考点五第2题）、几何面积（考点五第4题）等情境建模，体现模型意识与应用意识|

期末高频考点专练之一元二次方程2025-2026学年人教版 （五四制）八年级下册（5考点） 考点一：一元二次方程的概念与解 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1 2．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 3．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 　 ． 5.关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　 ． 6．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 考点二：解一元二次方程 1.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程（    ） A． B． C． D． 2.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 3.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 4.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 5.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 6.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 考点三：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 2．若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（       ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 5.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1．关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 2. 若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 3．已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 4. 若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 5.已知关于x的方程有两个实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)若，满足，求实数m的值 考点五：一元二次方程应用题 1．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 3．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(        ) A． B． C． D． 4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     ) A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600 C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600 5．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，口云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______． 6．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】 期末高频考点专练之一元二次方程2025-2026学年人教版 （五四制）八年级下册（5考点） 考点一：一元二次方程的概念与解 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝1 B． C．x2﹣2＝0 D．x2+x＝x2+1 【答案】C． 2．若方程（a+3）x2﹣x+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（　　） A．a＝﹣3 B．a≠3 C．a≠﹣3 D．a≥﹣3 【答案】C． 3．把方程化成一般形式正确的是（    ）． A． B．C． D． 【答案】C 4．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 　 ． 【答案】﹣2． 5.关于x的一元二次方程x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　 　 ． 【答案】±2． 6．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 　 ． 【答案】﹣5． 考点二：解一元二次方程 1.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0 【答案】A． 3.一元二次方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝0，x2＝5 【答案】C． 4.方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　． 【答案】15 5.按要求解下列方程： (1)（直接开方法）；(2)（配方法）． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴； （2）解： 方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 6.用合适的方法解下列方程： (1)(2) 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解： ， 或， ，； （2） 整理得， ， 或， ，． 考点三：一元二次方程根的判别式 1．一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】B 2．若关于x的方程有实数根，则m的值可以是（       ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】且 5.已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 考点四：一元二次方程的根与系数的关系 1．关于x的一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（　　） A．3 B．－2 C．－3 D．－4 【答案】A 2. 若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3．已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 【答案】 4. 若、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为______． 【答案】 5.已知关于x的方程有两个实数根和． (1)求实数m的取值范围； (2)若，满足，求实数m的值 【答案】（1） 解：关于的方程有两个实数根和． △， ． （2） 解：，，， ，即， 解得：或， ， ． 考点五：一元二次方程应用题 1．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 3．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     ) A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600 C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600 【答案】C 5．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，口云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为______． 【答案】x(x+12)=864 6．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：， 整理，得， 解得：，， 又∵采取适当的涨价措施， ∴，即涨价5元． 学科网（北京）股份有限公司 $