易错点5专项突破：立体图形应用题-2025-2026学年小升初总复习数学

**基本信息** 聚焦立体图形体积表面积计算，以实际应用为载体，系统整合公式应用、转化技巧及组合图形解法，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|8题（如1/5/7）|公式直接应用（V=abh、V=πr²h等）|从基本概念到公式推导，夯实运算能力| |组合图形计算|7题（如3/12/23）|分割/补形法（半圆柱-长方体、圆柱挖圆锥）|单一图形到组合转化，培养几何直观| |实际情境应用|10题（如8/11/16）|排水法、损耗计算、单位换算|联系生活实际，发展应用意识与数据观念|

专题05 立体图形 易错点5专项突破：立体图形应用题 1．一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 2．爷爷有一个玻璃水杯（如图），为了防止烫手，妈妈给杯子制作了一个布面杯套（包含底面），杯套高度是杯子高的，做这个杯套至少要用布多少平方厘米？（接缝处所用布料忽略不计） 3．门闩在我国古代就相当于我们现代的锁，李叔叔是一个木匠，他把一块半圆柱形木料锯掉一个长方体，锯成如图所示的形状，作为门闩的一部分，李叔叔锯成的这个物体的体积是多少立方厘米？ 4．一个饲料堆的底面周长是15.7米，高是1.5米。如果每立方米的饲料大约重210千克，那么这堆饲料大约重多少千克？（结果保留整数） 5．张爷爷家院子里有一个圆锥形小麦堆，它的底面周长是12.56米，高是2.1米。如果每立方米小麦约重800千克，这个小麦堆约重多少千克？ 6．在底面半径为8厘米，高为15厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 7．光明小学六年级毕业生为了给母校留下纪念，定制了一批聊城地标立体贺卡，形状为圆柱体，底面直径6厘米，高10厘米。做一个这样的贺卡需要多少平方厘米的卡纸？（接缝处忽略不计） 8．光岳楼有四根通天金柱，每根高约10米。现要给其中一根金柱的侧面贴金箔（金箔在裁剪粘贴时会产生损耗，实际只有80%材料可正常使用）。一共购进117.75平方米金箔恰好够用，这根金柱的底面直径大约是多少米？ 9．一个有盖的圆柱形铁桶，底面周长是25.12分米，高1米，做这个铁桶至少要用铁皮多少平方分米？（接口处忽略不计） 10．笑笑家周六举行家庭小聚会，妈妈买回一瓶如图的圆柱形饮料，同时买了一些圆锥形杯子。 (1)这瓶饮料里有多少毫升饮料？ (2)如果给每位朋友倒满一杯，这瓶饮料一共可以倒满多少杯？ 11．古茗推出小、中、大三种容量规格的奶茶，小杯约350毫升，中杯约500毫升，大杯约700毫升。奇思点了一杯中杯珍珠奶茶，如图所示，操作员先加入一定量的奶茶，后来又加入100颗珍珠。已知中杯底面积约为40立方厘米，1颗珍珠的体积大约是多少立方厘米？ 12．打陀螺是第五批国家级非物质文化遗产的代表性项目。陀螺一般是用木料打磨而成，如图，打磨这个陀螺至少要用多少立方厘米的木料？如果把这个陀螺装在一个带盖的长方体纸盒中，那么制作这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸？（不计损耗，粘贴及折叠处忽略不计） 13．如图所示，丽丽想知道一个内直径是10厘米的瓶子里最多能装多少毫升水，于是她往瓶子装了一些水，测量了水的高度是8厘米，接着又把瓶盖拧紧倒置平放，测量了无水部分的高度是20厘米，你能帮她算一算吗？ 14．社区开展“节水行动”，小华从家里找到一个无盖的圆柱形铁皮桶（如下图），用于收集空调冷凝水。 (1)做这样的一个水桶至少需要多大面积的铁皮？ (2)若小华将收集的冷凝水倒入桶中，水深达到桶高的，此时桶中有多少升水？（铁皮厚度忽略不计） 15．创新引领生活。现在常用的稻谷储粮罐都是圆锥形底的，虽然比以前使用的平底储粮罐工艺复杂，但优点在于底部沉淀的杂质更易清除，便于储粮罐的排污和清洗。下图是某公司设计的一款新型储粮罐，它的体积是多少立方米？（壁厚忽略不计） 16．爸爸用汽油清洗机器零件后，把废弃的汽油装在底面内半径为20厘米的圆柱形容器中，这时废汽油的高度正好是5厘米（未溢出）。安全起见，打算把这些废弃的汽油倒进一个容积是5升的油壶中，能否装得下？ 17．一个圆柱形玻璃容器，从里面量，底面直径是20厘米，容器中水面离容器口3厘米，将一个高18厘米的圆锥铁块完全没入水中，溢出30mL的水，圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 18．广东省湛江市作为全国重要的冬季蔬菜供应基地，大力发展蔬菜大棚。一个蔬菜大棚的下半部分是长15m、宽4m、高2m的长方体，上半部分是圆柱的一半。搭这个蔬菜大棚需要多少平方米的覆盖薄膜？这个蔬菜大棚的空间有多大？ 19．如下图，长方体玻璃容器内装有水，容器的内壁底面是一个长方形，长为15cm，宽为7cm。现在把等底等高的一个圆柱和一个圆锥放入容器内，水面升高了2cm，其中圆锥全部浸入水中，而圆柱有露出水面。求圆柱和圆锥的体积。 20．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开。”大雪过后，海海家院子里的圆形石桌上积了一层雪（如下图）。这些雪的体积大约是75.36dm3，雪的厚度大约是多少分米？ 21．用彩带扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带长15厘米。 （1）在它整个侧面贴上商标说明书，这部分的面积是多少平方厘米？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 22．为响应“节约用水，共建绿色社区”的号召，阳光小区计划对公共饮水区的长方体水箱进行优化改造。改造前，原水箱的长、宽、高之比为3∶2∶1（水箱厚度忽略不计）。 （1）已知原水箱的高度为5分米，求原水箱的容积是多少升？ （2）改造后，水箱的长和宽分别增加了1分米，高度保持不变。若小区每日需从水箱中取水120升用于公共清洁，改造后的水箱最多能满足几天的清洁用水需求？（结果保留整数） 23．某零件如图所示，是从圆柱的一个底面向内挖去一个最大的圆锥形成的。 (1)这个零件的体积是多少立方厘米？（得数保留一位小数） (2)如果给这个零件做一个长方体形状的硬纸盒作为包装盒，至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度忽略不计） 24．星艺礼品店为国庆设计了正方体礼品盒，棱长10厘米，用环保硬纸板制作，顶部配蝴蝶结装饰。每天需包装50个礼品盒，老板需计算包装纸用量和内部体积，以采购材料和确定礼物尺寸。包装纸需覆盖整个外表面（无重叠），成本占比15%，体积还影响快递箱空间规划。 (1)包装一个礼品盒至少需要多少平方厘米的彩色包装纸？ (2)这个礼品盒的体积是多少立方厘米？ 25．乐乐家使用这样一种卷纸（如图①），中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是3厘米，高度是10厘米。 (1)制作中间的硬纸轴至少需要多少平方厘米硬纸板？（取3.14，不考虑接头） (2)一个纸箱正好可以放入12卷这种卷纸（如图②），这个长方体纸箱的容积是多少立方厘米？ 第8页，共9页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．分米 【分析】根据长方体的容积＝长×宽×高，算出长方体鱼缸空的部分的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体石头的体积，再比较判断水是否会溢出。如果水没有溢出，根据排水法原理，把正方体石头完全浸没在水中，水面上升的那部分水的体积就是正方体石头的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体石头的体积除以长方体底面积即可算出水面上升的高度。 【详解】正方体石头的体积：（立方分米） 长方体空的部分的体积：6×14×（5－3） ＝6×14×2 ＝168（立方分米） 168＞27，把正方体石头浸入水中，水不会溢出。 27÷（6×14） ＝27÷84 ＝（分米） 答：水面会上升分米。 2．452.16平方厘米 【分析】用杯子的高度乘算出杯套的高度；杯套的面积＝侧面积＋一个底面积，侧面积＝πdh，底面积＝πr2。 【详解】20×＝16（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×8×16＋3.14×42 ＝3.14×8×16＋3.14×16 ＝401.92＋50.24 ＝452.16（平方厘米） 答：做这个杯套至少要用布452.16平方厘米。 3．523.84立方厘米 【分析】该物体的体积是一个半圆柱的体积减去一个长方体的体积，根据圆柱体积公式：，半圆柱的体积是圆柱体积的一半；长方体体积公式：，代入数据即可求解。 【详解】圆柱底面半径：16÷2＝8（厘米） 半圆柱的体积： 3.14×8×8÷2 ＝3.14×64×8÷2 ＝200.96×8÷2 ＝1607.68÷2 ＝803.84（立方厘米） 长方体体积： 5×8×7 ＝40×7 ＝280（立方厘米） 803.84－280＝523.84（立方厘米） 答：李叔叔锯成的这个物体的体积是523.84立方厘米。 4．2061千克 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），可得r＝C÷2π，求出圆锥的半径；再根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数值求出圆锥的体积，最后乘每立方米饲料的重量，结果根据四舍五入法保留整数即可解答。 【详解】15.7÷（2×3.14） ＝15.7÷6.28 ＝2.5（米） ×3.14×2.52×1.5×210 ＝×3.14×6.25×1.5×210 ＝3.14×6.25×1.5×70 ＝29.4375×70 ≈2061（千克） 答：这堆饲料大约重2061千克。 5．7033.6千克 【分析】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出圆锥形小麦堆的体积，最后乘每立方米小麦的重量求出这个小麦堆的总重量。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） ＝ ＝ ＝ ＝2.8×3.14 ＝8.792（立方米） 8.792×800＝7033.6（千克） 答：这个小麦堆约重7033.6千克。 6．1.875厘米 【分析】先根据圆锥体积公式：求出铅块体积，因为全部淹没，所以此体积即为减少的水的体积； 再根据圆柱底面积公式：求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。 【详解】 （立方厘米） ＝376.8÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：玻璃缸中的水位下降1.875厘米。 7．244.92平方厘米 【分析】圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成，圆柱侧面积＝（其中取3.14，d是底面直径，h是圆柱的高），底面积＝（其中取3.14，r是底面半径）。先求出底面半径，用底面直径除以2，再分别计算侧面积和两个底面积，最后将它们相加得到圆柱的表面积，即制作贺卡所需卡纸的面积。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×6×10 ＝18.84×10 ＝188.4（平方厘米） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 圆柱有两个底面，所以两个底面积为： 28.26×2＝56.52（平方厘米） 188.4＋56.52＝244.92（平方厘米） 答：做一个这样的贺卡需要244.92平方厘米。 8．3米 【分析】已知购进金箔面积是117.75平方米，实际只有80%材料正常使用，将购进的金箔面积看作单位“1”，那么有效面积＝购进总面积×使用率，计算出可使用的有效金箔面积，即圆柱的侧面积。圆柱侧面积S＝，已知圆柱的高h约为10米，π取3.14，底面直径d＝S÷πh。 【详解】117.75×80%＝94.2（平方米） 94.2÷3.14÷10 ＝30÷10 ＝3（米） 答：这根金柱的底面直径大约是3米。 9．351.68平方分米 【分析】先将高的计量单位“米”换算成“分米”。根据“圆的周长＝2πr”计算出圆柱形铁桶的底面半径；圆柱形铁桶的底面积＝πr2；圆柱形铁桶的侧面积＝底面周长×高；需要的铁皮面积＝圆柱形铁桶的侧面积＋圆柱形铁桶的底面积×2。 【详解】1米＝10分米 （平方分米） 答：做这个铁桶至少要用铁皮351.68平方分米。 10．(1)602.88毫升 (2)16杯 【分析】（1）根据圆柱的容积＝πr2h，代入数据，求出饮料的容积，注意单位换算。 （2）根据圆锥的容积＝πr2h，据此求出杯子的容积，再用饮料的容积÷杯子的容积，即可解答，注意单位换算。 【详解】（1）3.14×（8÷2）2×12 ＝3.14×42×12 ＝3.14×16×12 ＝50.24×12 ＝602.88（立方厘米） 602.88立方厘米＝602.88毫升。 答：这瓶饮料有602.88毫升。 （2）×3.14×（6÷2）2×4 ＝×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝9.42×4 ＝37.68（立方厘米） 37.68立方厘米＝37.68毫升 602.88÷37.68＝16（杯） 答：这瓶饮料一共可以倒满16杯。 11．0.5立方厘米 【分析】由图可知，已知没放“珍珠”前，杯子中的奶茶高度是还差1.25厘米就满杯，放入100颗“珍珠”后，正好满杯，即水面上升了1.25厘米，根据题意，升高的水的体积是100颗珍珠的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，求出水的体积，再除以100即可。 【详解】40×1.25÷100 ＝50÷100 ＝0.5（立方厘米） 答：1颗珍珠的体积大约是0.5立方厘米。 12．376.8立方厘米；432平方厘米 【分析】求打磨这个陀螺至少要用多少立方厘米的木料，就是求几何体的体积。根据圆柱体积公式V＝πr2h以及圆锥体积公式Vπr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积后，再相加即可解答。 如果把这个陀螺装在一个带盖的长方体纸盒中，则该纸盒是一个长、宽至少为8厘米，高为（6.5＋3）厘米的长方体，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可解答。 【详解】陀螺的体积： 3.14×（8÷2）2×6.5＋×3.14×（8÷2）2×3 ＝3.14×42×6.5＋×3.14×42×3 ＝3.14×16×6.5＋×3.14×16×3 ＝326.56＋50.24 ＝376.8（立方厘米） 纸盒的高：6.5＋3＝9.5（厘米） 纸盒的表面积： （8×8＋8×9.5＋8×9.5）×2 ＝（64＋76＋76）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 答：打磨这个陀螺至少要用376.8立方厘米的木料，制作这个纸盒至少需要432平方厘米的纸。 13．2198毫升 【分析】由图形可知“水瓶的容积＝水的体积＋空白部分的体积”，根据圆柱的体积公式分别从正放时求出水的体积，从倒放时求出空白部分的体积，再把两部分体积相加，最后再将体积单位换算成容积单位即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 2198立方厘米＝2198毫升 答：瓶子里最多能装2198毫升水。 14．(1)69.08平方分米 (2)45.216升 【分析】（1）铁皮的面积就是这个无盖圆柱的表面积，底面积＝，侧面积＝，结合图中数据代入计算即可； （2）先计算出桶的容积，因为冷凝水深达到桶高的，所以水的体积＝桶的容积×，且桶的容积＝。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这样的一个水桶至少需要69.08平方分米的铁皮。 （2） （立方分米） 45.216立方分米＝45.216升 答：此时桶中有45.216升水。 15．8.164立方米 【分析】由图可知，新型储粮罐的体积＝底面直径为2米，高0.9米的圆锥体积×2＋底面直径为2米，高2米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，π取3.14，代入数据即可解答。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×12×0.9××2＋3.14×12×2 ＝3.14×1×0.9××2＋3.14×1×2 ＝3.14×0.9××2＋3.14×2 ＝2.826××2＋6.28 ＝0.942×2＋6.28 ＝1.884＋6.28 ＝8.164（立方米） 答：它的体积是8.164立方米。 16．不能装下 【分析】根据圆柱的体积公式V＝计算出废弃油的体积，再根据1立方分米＝1升进行单位换算，最后将计算出的汽油体积与油壶的容积进行比较，若汽油体积大于油壶容积，则装不下，反之则能装下。 【详解】3.14××5 ＝3.14×20×20×5 ＝3.14×400×5 ＝3.14×2000 ＝6280（） 6280＝6280÷1000＝6.28L 6.28＞5 答：不能装下。 17．162 平方厘米 【分析】圆锥铁块完全没入水中，其体积等于水面上升部分的体积与溢出水的体积之和。水面上升部分的体积即为圆柱形容器内原本空余部分的体积。先根据直径求出圆柱底面半径和底面积，再计算容器内空余部分的体积，加上溢出水的体积得到圆锥的体积，最后根据圆锥体积公式 的逆运算求出底面积。 【详解】（厘米） （平方厘米） （立方厘米） 30mL ＝ 30 立方厘米 （立方厘米） （平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是 162 平方厘米。 18．覆盖薄膜：182.76；空间：214.2 【分析】由题目可知，要求出这个薄膜的表面积，它是有两个大长方形，两个小长方形，圆柱的一半表面积组成的。用公式可算出每部分的面积。加起来就是覆盖薄膜的面积。长方形面积等于长乘宽，半圆的面积等于3.14乘半径平方除以2，半圆柱的侧面积等于底面周长的一半乘高；这个蔬菜大棚的空间即求出长方体体积和圆柱体积一半即可。 【详解】 （） 答：搭这个蔬菜大棚需要182.76平方米的覆盖薄膜。 （） 答：这个蔬菜大棚的空间有214.2。 【点睛】解答本题的关键是分清所求物体的形状，转化为有关图形的体积或面积问题，再进行计算。 19．180cm；60cm 【分析】升高的2cm水的体积就是浸在水中的圆柱与圆锥的体积和。由于圆柱与圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱的体积的，而圆柱有露出水面，则浸在水中的部分占整个圆柱的。把圆柱的体积看作单位“1”，浸在水中的圆柱与圆锥的体积和相当于圆柱的体积的，由此可求出圆柱的体积，然后求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的体积： （cm） 圆锥的体积：（cm） 答：圆柱的体积是180cm，圆锥的体积是60cm。 20．1.5分米 【分析】圆形石桌上积了一层雪，可看成圆柱，这些雪的体积大约是75.36立方分米，即已知圆柱的体积。求雪的厚度，即求该圆柱的高，利用，代入数据进行求解即可。 【详解】 （分米） 答：雪的厚度大约是1.5分米。 21．（1）942平方厘米 （2）175厘米 【分析】（1）利用侧面积公式S＝πdh求出侧面积即可求出商标说明书的面积。 （2）彩带的长度是由4条高和4条底面直径和打结处的15厘米组成，据此解答。 【详解】（1）3.14×30×10 ＝94.2×10 ＝942（平方厘米） 答：商标说明书这部分的面积是942平方厘米。 （2）30×4＋10×4＋15 ＝120＋40＋15 ＝175（厘米） 答：扎这个礼盒共用去彩带175厘米。 22．（1）750升； （2）7天 【分析】（1）把长、宽、高之比看作份数比，原水箱长、宽、高之比为3∶2∶1，已知高度为5分米（对应比例中的1份），则：长＝3份＝3×5＝15（分米），宽＝2份＝2×5＝10（分米），根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据计算求出长方体水箱的容积是多少立方分米，再化成升即可解答； （2）分别求出改造后的长和宽，根据长方体的容积＝长×宽×高求出改造后长方体水箱的容积是多少立方分米，再化成升，最后再用长方体的容积除以120，结果用去尾法保留整数。 【详解】（1）3×5＝15（分米），2×5＝10（分米） 15×10×5 ＝150×5 ＝750（立方分米） 750立方分米＝750（升） （2）15＋1＝16（分米），10＋1＝11（分米），高度保持5分米。 16×11×5 ＝176×5 ＝880（立方分米） 880立方分米＝880升 880÷120≈7（天） 答：改造后的水箱最多能满足7天的清洁用水需求。 23．(1)2093.3立方厘米 (2)平方厘米 【分析】（1）零件的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3； （2）包装盒的长和宽＝圆柱底面直径，包装盒的高＝圆柱的高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出硬纸板的面积。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2×10－3.14×（20÷2）2×10÷3 ＝3.14×102×10－3.14×102×10÷3 ＝3.14×100×10－3.14×100×10÷3 ≈3140－1046.7 ＝2093.3（立方厘米） 答：这个零件的体积是2093.3立方厘米。 （2）（20×20＋20×10＋20×10）×2 ＝（400＋200＋200）×2 ＝800×2 ＝1600（平方厘米） 答：至少需要1600平方厘米的硬纸板。 24．(1)600平方厘米 (2)1000立方厘米 【分析】求包装纸用量，即求正方体的表面积。正方体有6个完全相同的正方形面，表面积等于棱长乘棱长再乘6。 求礼品盒体积，即求正方体的体积。体积等于棱长乘棱长乘棱长。 【详解】（1）10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 答：包装一个礼品盒至少需要600平方厘米的彩色包装纸。 （2）10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 答：这个礼品盒的体积是 1000 立方厘米。 25．(1)125.6平方厘米 (2)12000立方厘米 【分析】（1）求制作中间的硬纸轴需要硬纸板的面积，就是求底面直径4厘米、高10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh代入数据计算即可； （2）观察图可知，卷纸的直径等于硬纸轴的直径加上两边卷纸环的厚度，纸箱的长＝整个卷纸底面直径×4，纸箱的宽＝整个纸卷底面直径×3，纸箱的高＝纸卷的高，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出纸箱的容积。 【详解】（1）3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴至少需要125.6平方厘米硬纸板。 （2）4＋3＋3＝10（厘米） 10×4＝40（厘米） 10×3＝30（厘米） 40×30×10 ＝1200×10 ＝12000（立方厘米） 答：这个长方体纸箱的容积是12000立方厘米。 答案第2页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $