易错点3专项突破：立体图形的拼切-2025-2026学年小升初总复习数学

**基本信息** 聚焦立体图形拼切专项，通过“重叠面分析-切割增面计算-体积不变性应用”三阶方法体系，系统构建从公式到空间想象的知识逻辑链，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拼切|选择5题+填空12题|重叠面数量分析、切割增面形状判定|从正方体/圆柱基本公式出发，推导拼切时表面积变化规律（拼接减少面/切割增加面）| |综合应用|解答6题+计算1题|组合图形表面积分解、体积不变性迁移|结合空间想象分析复杂切割（十字切/纵切）中面的增减，培养几何直观与运算能力|

专题05 立体图形 易错点3专项突破：立体图形的拼切 一、选择题 1．把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是原来两个正方体表面积之和的（    ）。 A． B． C． D． 2．一个圆柱形木块，底面周长为9.42dm，高为4dm，如图按十字切成四部分，表面积增加（    ）dm2。 A．24 B．36 C．32 D．48 3．下图中，甲的表面积（    ）乙的表面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 4．一个高为13cm的圆柱形橡皮泥被截去5cm后，表面积减少了62.8cm2，原来圆柱形橡皮泥的侧面积是（    ）cm2。 A．81.64 B．163.28 C．100.8 D．408.2 5．把一个圆柱底面分成许多相等的扇形，切开后拼成一个近似的长方体。如果圆柱的半径是，圆柱与长方体相比，下面说法错误的是（    ）。 A．形状变了，体积不变 B．体积不变，表面积不变 C．长方体的长等于 D．长方体的高等于圆柱的高 二、填空题 6．《西游记》是中国古代四大文学名著之一，一直以来深受读者的喜爱。朱小桃看书中写到金箍棒重“一万三千五百斤”，如果换算成“吨”作单位是( )吨（按现在“1斤＝500克”换算）。现有一根长12分米，宽4厘米，高4厘米的木料，如果加工成一根“金箍棒”（圆柱体），使得浪费的木料最少，这根“金箍棒”的体积是( )立方厘米。 7．一个圆柱的底面半径是1dm，高是4dm，将它截成两个同样的小圆柱，表面积会增加( )dm2，每个小圆柱的体积是( )dm3。 8．一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉最右边的一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 9．一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少( )立方厘米。 10．把一根长3分米的圆钢锯成2段后，表面积增加12.56平方分米，它原来的体积是( )立方分米。 11．有一个高为8cm、直径为4cm的圆锥形木料，如果把它沿高切成相同的2块，表面积就增加( )平方厘米。（如图） 12．一根圆柱形木料，底面直径是2dm，长2.5m，沿横截面平均锯成5段圆柱形木料，表面积增加了( )dm2。 13．如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 14．两个完全相同的圆柱能拼成一个长12厘米的圆柱，但表面积比原来减少了25.12平方厘米，原来一个圆柱体的体积是( )立方厘米。若将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，则体积会减少( )立方厘米。 15．一根长60cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了50cm2，这根圆柱形木料原来的体积是( )cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是( )cm3。 16．由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 17．把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多( )立方厘米。 三、计算题 18．求下图中组合图形的表面积。（单位：dm） 四、解答题 19．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 20．一个化妆盒下半部的形状是棱长为20厘米的正方体，上半部分的形状是圆柱的一半。算出它的表面积和体积。 21．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 22．一根长2米的圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱体的木料表面积比原来减少了12.56平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？ 23．一个圆锥体量得底面直径是12厘米，沿直径剖成两半后，（如图），表面积增加了120平方厘米，求原来圆锥体的体积是多少立方厘米？ 24．一块圆柱形木料按图甲中的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按图乙中的方式切成大小、形状相同的三块，表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，体积减少多少立方厘米？ 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面大小完全相同。把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，有2个面重叠在一起，因此拼成的长方体的表面积比两个正方体表面积之和少了2个面的面积。用拼成的长方体的表面积除以原来两个正方体表面积之和。 【详解】（6×2－2）÷（6×2） ＝（12－2）÷12 ＝10÷12 ＝ 2．D 【分析】已知圆柱的底面周长为9.42dm，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径。 如图，把一个圆柱形木块沿底面半径劈成四部分，那么增加的表面积是8个以圆柱的高为长、底面半径为宽的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘8，就是增加的表面积。 【详解】圆柱的底面半径： 9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（dm） 增加的表面积： 4×1.5×8 ＝6×8 ＝48（dm2） 3．C 【分析】观察可知，乙顶点处的小正方体原来外露3个面，从顶点处拿掉一个小正方体后又外露和原来相同的3个面，所以甲的表面积等于乙的表面积。 【详解】据分析可知，甲的表面积等于乙的表面积。 故答案为：C 4．B 【分析】已知高为13cm的圆柱形橡皮泥被截去5cm后，表面积减少了62.8cm2，减少的表面积是圆柱高为5cm的侧面积，根据圆柱的侧面积S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，求出圆柱的底面周长，再乘圆柱原来的高，即是原来圆柱形橡皮泥的侧面积。 【详解】底面周长：62.8÷5＝12.56（cm） 圆柱的侧面积：12.56×13＝163.28（cm2） 原来圆柱的侧面积是163.28cm2。 故答案为：B 5．B 【分析】（1）物体所占空间的大小叫作物体的体积，虽然圆柱的形状变了，但是圆柱所占空间的大小不变； （2）由图可知，近似长方体的上下底面相当于圆柱的上下底面，近似长方体的前后两个面相当于圆柱的侧面，近似长方体比圆柱增加了左右两个面的面积； （3）由图可知，近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，圆柱的底面周长为，那么长方体的长为； （4）由图可知，切开后近似长方体的高相当于圆柱的高，据此解答。 【详解】A．分析可知，圆柱切开后拼成一个近似的长方体，圆柱与长方体相比，形状变了，体积不变； B．分析可知，长方体的体积与圆柱的体积相等，长方体的表面积大于圆柱的表面积，所以圆柱与长方体相比，体积不变，表面积改变了； C．分析可知，圆柱的底面周长为，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，所以长方体的长等于； D．观察可知，圆柱与长方体相比，长方体的高等于圆柱的高。 故答案为：B 6． 6.75 1507.2 【分析】1斤＝500克，先用乘法把“一万三千五百斤”转化为“克”，1吨＝1000000克，再用除法把“克”转化为“吨”；把长方体加工成最大的圆柱体浪费的木料最少，以4厘米为圆柱的底面直径，12分米为圆柱的高是长方体内最大的圆柱体，最后利用“”求出圆柱的体积，据此解答。 【详解】一万三千五百斤即13500斤。 13500×500＝6750000（克） 6750000÷1000000＝6.75（吨） 12分米＝120厘米 3.14×（4÷2）2×120 ＝3.14×22×120 ＝3.14×4×120 ＝12.56×120 ＝1507.2（立方厘米） 所以，“一万三千五百斤”如果换算成“吨”作单位是6.75吨，这根“金箍棒”的体积是1507.2立方厘米。 7． 6.28 6.28 【分析】把圆柱截成两个同样的小圆柱，会增加2个底面圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2（其中S表示面积，π取3.14，r为底面半径），已知底面半径r＝1dm，把数据代入公式计算后再乘2即可得到增加的面积。 原来圆柱的高是4dm，截成两个同样的小圆柱后，每个小圆柱的高为4÷2＝2dm。根据圆柱体积公式V＝πr2h（其中V表示体积，π取3.14，r为1dm，h为高），把数据代入公式即可解答。 【详解】3.14×12＝3.14×1＝3.14（dm2） 3.14×2＝6.28（dm2） 4÷2＝2（dm） 3.14×12×2＝3.14×1×2＝6.28（dm3） 表面积会增加6.28dm2，每个小圆柱的体积是6.28dm3。 8．105 【分析】根据题意，如果去掉最右边的一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，减少的是正方体的4个面（即上下面、前后面）的面积，用减少的表面积除以4，求出正方体一个面的面积； 用三个同样大小的正方体拼成的一个长方体，那么长方体的表面积等于（3×4＋2）个正方形的面积之和，再乘一个面的面积，即是原来长方体的表面积。 【详解】如图： 正方体一个面的面积：30÷4＝7.5（cm2） 7.5×（3×4＋2） ＝7.5×（12＋2） ＝7.5×14 ＝105（cm2） 原来长方体的表面积是105cm2。 9．235.5 【分析】根据题意可知，减少的表面积就是底面等于原来圆柱的底面，高是3cm的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出底面周长；再根据圆的周长＝π×半径×2，直径＝周长÷π÷2，代入数据，求得底面半径，再根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出高是3厘米的圆柱的体积，也就是减少的体积，即可解答。 【详解】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（立方厘米） 一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少235.5立方厘米。 10．18.84 【分析】把一根长3分米的圆钢锯成2段，产生了两个截面，增加的表面积就是两个截面的面积，用增加的表面积除以2求出截面的面积，也就是圆钢的底面积，再乘圆钢原来的长即可求出原来的体积。 【详解】12.56÷2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（立方分米） 所以它原来的体积是18.84立方分米。 11．32 【分析】圆锥形木料沿高切成相同的2块，表面积增加两个三角形切面，三角形的底是底面直径，高是圆锥的高，根据三角形的面积公式：面积＝底×高×，代入数值计算求出两个三角形的面积；据此解答。 【详解】4×8××2 ＝32××2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 所以表面积就增加32平方厘米。 12．25.12 【分析】由题意可知，把圆柱形木料锯成5段，要锯（下），表面积会增加个底面积，根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】（5－1）×2×3.14×（2÷2）2 ＝4×2×3.14×12 ＝8×3.14 ＝25.12（dm2） 一根圆柱形木料，底面直径是2dm，长2.5m，沿横截面平均锯成5段圆柱形木料，表面积增加了25.12dm2。 13．105或210 【分析】如果去掉一个正方体，有两种情况：去掉两边的任意一个或中间的一个，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼成一个大长方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3－4）个正方形面的面积和，进而解答即可。 【详解】30÷4×（6×3－4） ＝7.5×14 ＝105（平方厘米） 30÷2×（6×3－4） ＝15×14 ＝210（平方厘米） 原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米。 14． 75.36 50.24 【分析】两个完全相同的圆柱能拼成一个圆柱，那么表面积比原来减少了两个底面，用25.12除以2求出一个底面面积，再乘原来圆柱的高（12÷2）厘米即可计算出圆柱的体积；将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，那么得到圆锥的体积是圆柱的，对比原来圆柱的体积也就减少了，用圆柱的体积×（1－）即可求出减少的体积。 【详解】25.12÷2×（12÷2） ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 75.36×（1－） ＝75.36× ＝50.24（立方厘米） 所以，原来一个圆柱体的体积是75.36立方厘米，若将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，则体积会减少50.24立方厘米。 15． 750 500 【分析】根据题意可知，截成3根，增加了4个截面的面积，用增加面积÷4，求出一个截面的面积，也就是圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即求出圆柱形木料的体积；根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱形木料的体积×，求出削成圆锥形木料的体积，再用圆柱形木料的体积－削成圆锥木料的体积，即可解答。 【详解】50÷4×60 ＝12.5×60 ＝750（cm3） 750×＝250（cm3） 750－250＝500（cm3） 一根长60cm的圆柱形木料，截成3根长短不同的圆柱形木料，表面积增加了50cm2，这根圆柱形木料原来的体积是750cm3，如果把这根木料削成最大的圆锥，削去的体积是500cm3。 16．50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【详解】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 17．192 【分析】根据题意可知，一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，即把圆柱形木料的长平均分成了2＋3＋4＝9份，用圆柱形木料的长度÷总份数，求出1份的长度，即可求出最长的长度和最短的长度；再根据圆柱形木料切成3段，增加了4个横截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个横截面的面积，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出最长的圆柱的体积和最短的圆柱的体积，再用最长圆柱的体积－最短圆柱的体积，即可解答。 【详解】2＋3＋4 ＝5＋4 ＝9（份） 108÷9×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 108÷9×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 48×8－24×8 ＝384－192 ＝192（立方厘米） 把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多192立方厘米。 18．112.84dm2 【分析】组合图形的表面积是圆柱侧面积与长方体表面积的和；由图可知，圆柱的底面直径是2dm，高是3dm，长方体的长是5dm，宽是3dm，高是4dm，根据“圆柱的侧面积＝底面周长×高、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”代入数据计算，分别求出圆柱的侧面积和长方体的表面积，再相加即可。 【详解】3.14×2×3＋（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝3.14×2×3＋（15＋20＋12）×2 ＝3.14×2×3＋47×2 ＝18.84＋94 ＝112.84（dm2） 19．木块的表面积增加200平方厘米；每块长方体木块的体积250立方厘米 【分析】观察可知，表面积增加的是4个长是10厘米，宽是5厘米的长方形的面积；每块长方体的长是10厘米，宽是厘米，高是5厘米。根据长方形的面积＝长×宽，，代入数据计算即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） （15÷3）×10×5 ＝5×10×5 ＝250（立方厘米） 答：木块的表面积增加200平方厘米，每块长方体木块的体积是250立方厘米。 20．2942平方厘米；11140立方厘米 【分析】通过观察图形可知，化妆盒的表面积等于圆柱侧面积的一半加上圆柱的一个底面的面积，再加上正方体的5个面的面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式；S＝πr2，正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 这个化妆盒的体积等于圆柱体积的一半加上正方体的体积。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）2＋20×20×5 ＝62.8×20÷2＋3.14×100＋400×5 ＝1256÷2＋314＋2000 ＝628＋314＋2000 ＝942＋2000 ＝2942（平方厘米） 3.14×（20÷2）2×20÷2＋20×20×20 ＝3.14×100×20÷2＋400×20 ＝314×20÷2＋8000 ＝6280÷2＋8000 ＝3140＋8000 ＝11140（立方厘米） 答：这个化妆盒需要2942平方厘米，这个化妆盒的体积是11140立方厘米。 21．立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 22．131.88平方分米 【分析】由题意知，截去的部分是一个高为2分米的圆柱体，并且表面积减少了12.56平方分米，其实减少的面积就是截去部分的侧面积，由此可求出圆柱体的底面周长，进一步可求出底面积是多少，利用表面积＝底面积×2＋底面周长×高，即可求出这个圆柱的表面积。 【详解】底面周长：12.56÷2＝6.28（分米） 底面半径：6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 底面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 2米＝20分米 表面积：6.28×20＋3.14×2 ＝125.6＋6.28 ＝131.88（平方分米） 答：原来圆柱体的表面积是131.88平方分米。 【点睛】解答此题要注意两点：一是沿长截去一段后，表面积减少的部分就是截去部分的侧面积；二是要统一单位。 23．376.8立方厘米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆锥沿直径剖成两半，剖面是三角形，这个三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，据此可以求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】120÷2＝60（平方厘米） 60×2÷12 ＝120÷12 ＝10（厘米） ×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×36×10 ＝3.14×12×10 ＝3.14×120 ＝376.8（立方厘米） 答：原来圆锥的体积是376.8立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是求出圆锥的高。 24．50.24立方厘米 【分析】按乙的切法增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积可求出圆柱底面半径，进而求出直径，按甲的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，切成的最大圆锥与圆柱底面积相等、高相等；等底、等高的圆锥体积是圆锥体积的，去掉的体积是圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积计算公式V＝Sh，求出圆柱的体积，乘（1－）就是减少的体积。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 设圆柱底面半径为r厘米 3.14×r2＝12.56 3.14×r2÷3.14＝12.56÷3.14 r2＝4 因为22＝4 所以r＝2 96÷8÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 12.56×6×（1－） ＝75.36× ＝50.24（立方厘米） 答：体积减少50.24立方厘米。 【点睛】此题较难，关键是先根据乙的切法求出圆柱的底面积，进而求出底面半径，再根据甲的切法求出圆柱的高。 答案第12页，共13页 答案第3页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $