小升初专题训练：立体图形（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦小升初立体图形核心考点，通过公式变式应用、等积转化、数形结合构建系统性解题方法，强化空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|18题（含圆柱展开/等积变形）|体积公式灵活应用（如长方体水深计算、圆柱圆锥体积关系）|从基本体（长/正方体、圆柱/圆锥）到组合体，构建“概念-公式-变式”逻辑链| |计算|1题（圆柱挖圆锥）|组合体体积差计算（圆柱体积减1/3等底等高圆锥体积）|通过“整体-部分”关系深化体积公式理解| |解答|6题（容积判断/泳池瓷砖）|实际问题建模（如净含量验证、表面积实际应用）|从数学抽象到现实应用，培养模型意识与数据观念|

小升初专题训练：立体图形 一、选择题 1．一个从里面量长为5米，宽为4米，高为2米的长方体水池，若在水池里放入36立方米的水，这时水深（    ）米。 A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．4.5 2．一个沙池体积为20m3，现在要铺一层长5m，宽2m的沙子，铺的沙子厚（    ）m。 A．10 B．6 C．4 D．2 3．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 4．用塑料板做一个普通的圆柱形笔筒，准备了下面的长方形塑料板做笔筒的侧面。下面最适合做笔筒的底的是（    ）。 A． B． C． D． 5．把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，高将（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的6倍 D．缩小到原来的 二、填空题 6．把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是( )厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 7．一根长方体木条长8分米，锯掉，剩下部分的长、宽、高的比为，原长方体的体积是( )立方分米。 8．某学校科技小组仿照我国古代发明的水漏计时法，制作了一个长方体水漏计时器，该计时器长4分米、宽2分米、高3分米，加满水后全部漏完需6小时，一天中午12时，同学们往计时器里面加满水，当天下午5时放学时，计时器里面还剩下水( )升。 9．把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了。原来正方体木块的表面积是( )，体积是( )。 10．一块长8cm、宽6cm、高5cm的长方体木块，它的体积是( )cm3；如果把它锯成长3cm、宽3cm、高2cm的小长方体，最多可以锯( )个这样的小长方体。 11．把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多( )立方厘米。 12．如图，在圆柱内挖去一个最大的圆锥，剩余部分体积为20立方厘米，则原圆柱的体积是( )立方厘米。 13．如图是一个拧紧瓶盖的瓶子，里面装了一些水，瓶中水的体积占瓶子容积的( )。 14．泾阳茯砖茶的外形规格整齐，色泽黑褐，金花显露，是六大茶类中黑茶的特色产品。某厂家要给底面半径是10cm，高是30cm的圆柱形茯砖茶包装盒的侧面贴一圈商标纸，贴一个这样的包装盒至少需要( )cm2商标纸。 15．动手操作可以使抽象的数学知识形象化。奇奇在数学课上用橡皮泥做了一个圆柱形学具，底面半径是4cm，高是6cm。如果再用硬纸片做一个长方体纸盒，使圆柱形学具正好装进去，这个长方体纸盒的容积是( )cm3。 16．如图所示，把一个棱长是12分米的正方体木料削成个最大的圆柱，圆柱的体积是( )立方分米；再把该圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去( )立方分米。 17．如下图，一根长2米的直圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱形木料的表面积减少12.56平方分米，原来圆柱形木料的底面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。      18．一个圆柱形蛋糕盒（如图）。蛋糕盒侧面和上面用纸板做成，至少需要纸板( )平方厘米；如果用彩带捆扎，打结处用去彩带30厘米，共需要彩带( )米。 三、计算题 19．如图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，计算它的体积。（单位：cm） 四、解答题 20．一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米。盒面注明“净含量：250毫升”。请分析该项说明是否存在虚假。 21．有一个圆柱形容器，它的底面直径是4分米，高是8分米，容器里装有的水，现将一个底面半径为2分米的圆锥放入其中（全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，这个圆锥的高是多少分米？ 22．体育馆修建一个长50米，宽30米、深1.5米的游泳池。如果要在游泳池的内四壁和底部贴上瓷砖，需要贴多少平方米的瓷砖？ 23．一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？ 24．一个圆柱形储气罐，底面直径是16米，高是20米。 （1）它的体积是多少立方米？ （2）现在要在罐的顶面和侧面刷上油漆，如果每千克油漆只能刷4平方米，需要油漆多少千克？（得数保留整千克） 25．一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】已知长方体水池的长、宽以及放入水的体积，求水深。 根据长方体体积公式“体积 ＝ 长×宽×高”，可知底面积＝长×宽，水深＝水的体积÷底面积。计算出水深后，需与水池的实际高度进行比较，确认水未溢出，从而确定最终答案。 【详解】 （米） 因为水池高 2 米，，水未溢出，符合题意。 2．D 【分析】根据题意可知，假设沙子完全填充沙池，则沙子的体积为20m3，沙子铺在沙池里形成的形状是长方体，沙子的体积就是这个长方体的体积。 长方体体积＝长×宽×高，这里的“高”就是沙子的厚度。题干要求沙子厚度，即求长方体高，那么用体积除以长与宽的乘积即可。 【详解】沙子厚度： 20÷（5×2） ＝20÷10 ＝2（m） 3．C 【分析】圆柱侧面展开为正方形，说明圆柱的高等于底面周长。底面周长公式为C＝πd，因此高h＝πd，进而推导底面直径与高的比。 【详解】一个圆柱的侧面展开后是正方形，则πd＝h。 d∶h＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 4．D 【分析】如图所示，根据圆柱的基本特征，要找出圆柱的底面，可以让28.26厘米的边做底面周长，也可让9.42厘米的边做底面周长，通过计算直径，看看，哪个圆可以做底。 【详解】28.26÷3.14＝9（cm） 9.42÷3.14＝3（cm） 通过比较，可知应选直径为9厘米的圆作底。 5．A 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3。把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，则圆柱的体积和圆锥的体积相等，底面积相等，所以圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此选择即可。 【详解】把一个圆柱形铁块熔铸成一个等底的圆锥形铁块，高将扩大到原来的3倍。 故答案为：A 6． 31.4 2464.9 【分析】分析圆柱的高：圆柱的侧面展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长和高是相等的。已知圆柱底面半径r＝5厘米，根据圆的周长公式（其中π通常取3.14），可以算出底面周长，也就是圆柱的高。 分析圆柱的体积：圆柱的体积公式为，我们已经求出了高h，且已知半径r＝5厘米，将其代入公式就能算出体积。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 3.14×52×31.4 ＝3.14×25×31.4 ＝78.5×31.4 ＝2464.9（立方厘米） 把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是31.4厘米，这个圆柱的体积是2464.9立方厘米。 7．64 【分析】将长方体木条的长看作单位“1”，锯掉，还剩下（），根据分数乘法的意义，先求出剩下长的长度；根据剩下部分的长、宽、高的比为3∶2∶1，用剩下的长÷对应份数，求出一份数；再用一份数分别乘宽和高的对应份数，求出宽和高，最后根据长方体体积＝长×宽×高，代入数值计算即可。 【详解】 （分米） 原来长方体的宽：（6÷3）×2 ＝2×2 ＝4（分米） 原来长方体的高：（6÷3）×1 ＝2×1 ＝2（分米） 8×4×2＝64（立方分米） 因此原来长方体的体积是64立方分米。 8．4 【分析】下午5时即17时，从12时到17时经过了5小时。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，求出水的体积。用水的体积÷6＝1小时漏水量，到放学时，已经漏了5小时，还有6－5＝1小时的漏水量，结果换算成升。 【详解】下午5时即17时。17时－12时＝5小时。 4×2×3÷6×（6－5） ＝4×2×3÷6×1 ＝4（立方分米） 4立方分米＝4升 计时器里面还剩下水4升。 9． 216 216 【分析】这两个长方体的表面积之和与原正方体木块相比，增加了两个正方体木块的两个面的面积，用增加的面积除以2求出正方体木块一个面的面积，即72÷2＝36（），用正方体一个面的面积乘6就是原来正方体木块的表面积；因为6×6＝36（），所以正方体木块的棱长是6cm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出正方体木块的体积。 【详解】72÷2＝36（） 6×6＝36（） 36×6＝216（） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 所以原来正方体木块的表面积是216，体积是216。 10． 240 8 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为这个长方体的体积；再用除法求出长方体木块的长里面包含多少个3cm，长方体木块的宽里面包含多少个3cm，长方体木块的高里面包含多少个2cm，最后用乘法求出最多可以锯的个数。 【详解】8×6×5 ＝48×5 ＝240（cm3） 8÷3＝2（个）……2（cm） 6÷3＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（cm） 2×2×2＝8（个） 因此长方体木块的体积是240cm3，最多可以锯8个这样的小长方体。 11．192 【分析】根据题意可知，一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，即把圆柱形木料的长平均分成了2＋3＋4＝9份，用圆柱形木料的长度÷总份数，求出1份的长度，即可求出最长的长度和最短的长度；再根据圆柱形木料切成3段，增加了4个横截面的面积，用增加的面积÷4，求出一个横截面的面积，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出最长的圆柱的体积和最短的圆柱的体积，再用最长圆柱的体积－最短圆柱的体积，即可解答。 【详解】2＋3＋4 ＝5＋4 ＝9（份） 108÷9×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 108÷9×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 32÷4＝8（平方厘米） 48×8－24×8 ＝384－192 ＝192（立方厘米） 把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2∶3∶4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多192立方厘米。 12．30 【分析】在圆柱内挖去一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，等底等高圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则剩余部分体积是圆柱体积的（1－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出原圆柱的体积，据此解答。 【详解】20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝30（立方厘米） 即原圆柱的体积是30立方厘米。 13． 【分析】因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒置时的空白部分的容积相等；倒放时空白部分高（3－2.4）分米，将正放与倒放的空白部分交换一下位置，可以看出瓶子的容积相当于高为（3－2.4＋2）分米的圆柱的体积，瓶中水的体积相当于高为2分米的圆柱的体积，因为它们的底面积相等，所以求瓶中水的体积占瓶子容积的几分之几，也就是求瓶中水的高度占瓶子高度的几分之几，用除法计算。 【详解】2÷（3－2.4＋2） ＝2÷2.6 ＝ 瓶中水的体积占瓶子容积的。 14．1884 【分析】圈商标纸的部分是圆柱的侧面，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【详解】2×3.14×10×30 ＝62.8×30 ＝1884（cm2） 贴一个这样的包装盒至少需要1884cm2商标纸。 15．384 【分析】本题考查已知圆柱的底面半径4cm和高6cm，求正好可以装下这个圆柱的长方体纸盒的容积。要使长方体纸盒正好能放下这个圆柱形学具，长方体纸盒的长是底面半径的2倍，即8厘米，宽也是8厘米，高是6厘米。此时这个长方体纸盒的容积为8×8×6＝384。 【详解】8×8×6 ＝64×6 ＝384（） 所以，这个长方体纸盒的容积是384。 16． 1356.48 904.32 【分析】根据题意，削成一个最大的圆柱体或最大的圆锥体的底面直径为12分米，高为12分米，可根据公式圆柱体积V＝πr2h＝Sh，圆锥体积V＝πr2h＝Sh，进行计算即可得到答案。 【详解】底面半径为：（分米） 圆柱的体积为： （立方分米） 圆锥的体积为： （立方分米） （立方分米） 圆柱的体积是1356.48立方分米，再将圆柱削成一个最大的圆锥，还要再削去904.32立方分米。 17． 3.14 62.8 【分析】根据题意可知，表面积减少12.56平方分米，也就是侧面减少了一些面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，用12.56÷2即可求出圆柱形木料的底面周长，再根据周长公式，用12.56÷2÷3.14÷2即可求出底面半径，然后根据圆柱的底面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出圆柱形木料的底面积；最后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据解答即可。 【详解】12.56÷2÷3.14÷2 ＝6.28÷3.14÷2 ＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 2米＝20分米 3.14×20＝62.8（立方分米） 原来圆柱形木料的底面积是3.14平方分米，体积是62.8立方分米。 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式、表面积公式、体积公式的灵活应用，关键是明确表面积减少了哪些面。 18． 4317.5 2.9 【分析】要求做这样一个蛋糕盒至少需要纸多少平方分米，就是求这个圆柱体侧面积加上1个底面积，代入数据即可解答；捆扎这个盒子至少用彩带的长度是4个蛋糕盒底面直径和4个蛋糕盒高的和，再加上打结用去的绳长即可。 【详解】3.14×50×15＋3.14×（50÷2）2 ＝3.14×50×15＋3.14×625 ＝2355＋1962.5 ＝4317.5（平方厘米） 50×4＋15×4＋30 ＝200＋60＋30 ＝260＋30 ＝290（厘米） 290厘米＝2.9米 则至少需要纸板4317.5平方厘米，一共需要彩带2.9米。 【点睛】本题考查的是圆柱表面积计算公式的运用。计算需要彩带多少厘米时不要忘记加上打结处绳子的长度。 19．1884cm3 【分析】从圆柱中挖去一个圆锥，剩余部分的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据半径＝直径÷2，圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别代入数据计算即可得解。 【详解】3.14×（12÷2）2×20－×3.14×（12÷2）2×10 ＝3.14×62×20－×3.14×62×10 ＝3.14×36×20－×3.14×36×10 ＝113.04×20－×113.04×10 ＝2260.8－×1130.4 ＝2260.8－376.8 ＝1884（cm3） 它的体积是1884cm3。 20．存在虚假 【分析】要知道是否存在虚假就要知道该纸盒的容积是否等于250毫升，要知道纸盒容积就要算出纸盒的体积，已知纸盒为长方体，且外围的长，宽、高已经量出，可以求出纸盒外围的体积，但是因为纸盒有厚度，所以纸盒容积要小于纸盒体积，据此解答即可。 【详解】纸盒体积：6×4×10 ＝24×10 ＝240立方厘米 240立方厘米＝240毫升＜250毫升 纸盒的容积是小于250毫升的，因此存在虚假。 答：存在虚假。 【点睛】本题考查长方体的体积和容积，解答本题的关键是掌握容积的概念。 21．6分米 【分析】把容器的高度看作单位“1”，根据容器里装有的水，可知此时水的高度是（8×）分米。圆锥放入其中〈全部浸在水中），这时容器里的水位高度恰好为8分米，说明容器内水面上升了（8－8×）分米。由此利用圆柱的体积公式先求出容器中上升部分的水的体积，即得出圆锥的体积，再利用圆锥的高＝3×体积÷圆锥的底面积，即可解决问题。 【详解】8－8× ＝8－6 ＝2（分米） 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷（3.14×22） ＝75.36÷（3.14×4） ＝75.36÷12.56 ＝6（分米） 答：这个圆锥的高是6分米。 22．1740平方米 【分析】求需要贴瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池五个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】50×30＋（50×1.5＋30×1.5）×2 ＝1500＋（75＋45）×2 ＝1500＋120×2 ＝1500＋240 ＝1740（平方米） 答：需要贴瓷砖1740平方米。 23．117.75米 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；把这堆沙铺在长方形的路面上就相当于一个长方体，只是形状改变了，但是沙的体积没有变化；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2厘米＝0.02米 28.26×2.5×÷（10×0.02） ＝70.65×÷0.2 ＝23.55÷0.2 ＝117.75（米） 答：能铺117.75米。 24．（1）4019.2立方米 （2）301千克 【分析】（1）根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可。 （2）刷油漆的部分包括一个底面和侧面，刷油漆的面积＝底面积＋侧面积，刷油漆的面积×÷每千克油漆刷的面积＝需要的油漆质量，据此列式解答，根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】（1）3.14×（16÷2）2×20 ＝3.14×82×20 ＝3.14×64×20 ＝4019.2（立方米） 答：它的体积是4019.2立方米。 （2）[3.14×（16÷2）2＋3.14×16×20]÷4 ＝[3.14×82＋1004.8]÷4 ＝[3.14×64＋1004.8]÷4 ＝[200.96＋1004.8]÷4 ＝1205.76÷4 ≈301（千克） 答：需要油漆301千克。 25．（1）2700立方厘米 （2）15厘米 【分析】（1）根据题意可知，长方体纸盒的长和宽应该等于容器底面圆的直径，高等于容器的高，则这个长方体纸盒的长等于10厘米，宽等于10厘米，高等于（15＋12）厘米；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体纸盒的容积； （2）根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高，代入数据，求出液体部分的容积；再根据圆锥的容积公式：容积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥部分的容积；再用液体部分的容积－圆锥部分的容积，求出圆柱形剩余部分的容积，再除以圆柱的底面积，求出剩余部分圆柱形的高，再加上圆锥形部分的高，即可解答。 【详解】（1）长方体的长是10厘米，宽是10厘米，高是15＋12＝27（厘米）。 10×10×27 ＝100×27 ＝2700（立方厘米） 答：这个长方体纸盒的容积至少是2700立方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×7－3.14×（10÷2）2×12× ＝3.14×52×7－3.14×52×12× ＝3.14×25×7－3.14×25×12× ＝78.5×7－78.5×12× ＝549.5－942× ＝549.5－314 ＝235.5（立方厘米） 235.5÷3.14×（10÷2）2＋12 ＝235.5÷3.14×52＋12 ＝235.5÷78.5＋12 ＝3＋12 ＝15（厘米） 答：从圆锥尖端到液面的高度是15厘米。 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $