河北省衡水市2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 2025-2026学年河北衡水八年级下期末数学模拟卷，聚焦函数、几何与统计，融入“数字中国”流量数据、“AI伴学”调查等现实情境，通过动态几何、跨知识综合题，考查数学眼光、推理思维与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|函数自变量范围、一次函数性质、统计图表|以“数字中国”流量统计图考数据分析（第4题）| |填空题|4/12|新定义“半角三角形”、菱形动态最值|矩形中探究“半角三角形”存在性（第14题）| |解答题|8/72|一次函数与几何综合、统计应用|“AI伴学”调查分析数据观念（第19题），行程问题考函数建模（第17题）|

2025-2026学年河北省衡水市八年级（下）期末数学模拟试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。） 1．函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 2．第二象限的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2） 3．点A1（﹣3，y1），点A2（2，y2）是一次函数y ＝﹣4x﹣1图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＝y2 4．在“数字中国”战略的引领下，我国移动数据流量业务蓬勃发展，折射出国家信息化建设的辉煌成就．如图是“2020﹣2025年移动数据流量业务收入情况”统计图（数据源自工信部《2025年通信业统计公报》），下列结论正确的是（　　） A．2020﹣2025年间，移动数据流量业务收入逐年上升 B．2020﹣2025年间，移动数据流量业务收入最高的是2023年 C．自2021年开始，移动数据流量业务收入逐年下降 D．2023﹣2025年移动数据流量业务收入累计超过1.8万亿元 5．将直线向下平移2个单位长度后得到直线y＝kx﹣b，下列关于y＝kx﹣b的描述正确的是（　　） A．b ＝ ﹣ 2 B．y随x的增大而增大 C．方程kx ﹣ b ＝ 0的解为x ＝ ﹣ 6 D．图象不经过第二象限 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使矩形ABCD成为正方形．添加的条件不正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠DAO＝∠BAO C．AB＝BC D．OA＝OB 7．如图，在平面直角坐标系中，P为第四象限内的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5，则点P的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（5，3） C．（3，﹣5） D．（3，5） 8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（　　） A．60° B．30° C．45° D．90° 9．已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．关于一次函数y ＝﹣3x+4，以下结论正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．图象经过一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．当时，y ＝ 0 11．如图，某校园规划中，矩形花坛ABCD长米，宽BC＝1米，园丁计划在花坛边缘安装自动灌溉装置：装置E从A出发沿AB向B移动，同时装置F从C出发沿CD向D移动，两者速度均为1米/秒，装置间的连接管l随位置变化而移动．为保证主喷头A的灌溉效果，需在A处向连接管l作垂线AG（垂足为G），若AG表示喷头到连接管的距离，则在装置移动过程中，AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 12．在直线l1：、直线l2：y2 ＝ 3x﹣200与y轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，同时该区域内还存在一些“科技美点”，其横、纵坐标满足：横坐标是3的倍数，纵坐标是5的倍数，求“科技美点”的个数为（　　） A．100 B．120 C．150 D．180 二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 13．函数中自变量x的取值范围是． 14．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是BC中点，点F在射线CD上，若△AEF为半角三角形，则CF的长为　 　 ． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　 　 ． 16．如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，yt2；③直线NH的解析式为yt+27；④若△ABE与△QBP相似，则t秒． 其中正确的结论为 　 　 ． 三．解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为　 　 米/分，步行的速度　 　 米/分，点D的坐标为　 　 ； （2）求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； （3）当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 18．在平面直角坐标系中，（1）若点N（n﹣3，n+2）在y轴上，求点N的坐标；（2）若点N（n﹣3，2）在第一象限，且点N到y轴的距离为 2，求n的值． 19．为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“AI伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为　 　 ，图①中m的值为　 　 ，统计这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为　 　 和　 　 ； （2）求统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间是5h及以上的人数． 20．如图，已知在▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．求证：AE＝CF； 21．如图，已知直线l1：y＝kx﹣2与直线y＝x平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点D，与直线l1交于点E（3，m）． （1）求直线l2对应的函数表达式； （2）求四边形AOCE的面积； （3）点F是线段CE的一个动点，连接OF，若线段OF将四边形AOCE的面积分成1：2的两部分，请求出点F的坐标． 22．如图，平行四边形ABCD，E是BC延长线上一点，BD＝DE，且∠ABC＝2∠DEB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）记△DCE的周长为l1，△BCD的周长为l2，若l1﹣l2＝4，∠DEB＝30°，求菱形ABCD的面积． 23．已知如图1，点A坐标为（0，2），经过点A的直线1：y＝kx+2，交x轴于点B． （1）若直线l经过点（2，5）． ①则k的值为　 　 ； ②线段AB的长为　 　 ； ③直接写出点O到直线l的最短距离　 　 ． （2）若S△OAB＝3，求点k的值． （3）如图，在第一象限有一条线段MN，其中点M（1，5），点N（6，5），从点A出发的直线l经过x轴反弹后与线段MN有交点，请直接写出k的取值范围． 24．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长． 2025-2026学年河北省衡水市八年级（下）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】本题考查函数自变量取值范围的确定．对于二次根式，被开方数须是非负数．所以要使函数y有意义，那么x﹣3≥0，通过解这个不等式就能得到自变量x的取值范围． 【解答】由x﹣3≥0，解得x≥3．逐一分析选项：A选项x＞3错误；B选项x≥3正确；C选项x＜3错误；D选项x≤3错误．所以答案是B． 【点评】本题考查二次根式中自变量取值范围这一基础知识点，关键是明确被开方数是非负数这一条件． 2．第二象限的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2） 【分析】根据点的坐标特征解答即可． 【解答】解：由条件可知点P纵坐标的绝对值|y|＝2，横坐标的绝对值|x|＝1， ∵点P在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴x＝﹣1，y＝2， ∴点P的坐标为（﹣1，2）． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 3．点A1（﹣3，y1），点A2（2，y2）是一次函数y ＝﹣4x﹣1图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＝y2 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数的性质，先判断函数的增减性，再比较两点纵坐标的大小．对于一次函数y ＝ kx+b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小．在函数y ＝﹣4x﹣1中，k ＝﹣4＜0，所以y随x的增大而减小．比较﹣3和2的大小，进而判断y1与y2的大小关系． 【解答】因为一次函数y ＝﹣4x﹣1中，k ＝﹣4＜0，所以y随x的增大而减小．又因为﹣3＜2，所以y1＞y2．逐一分析选项：A选项y1＞y2正确；B选项y1＞y2＞0错误；C选项y1＜y2错误；D选项y1＝y2错误．所以答案是A． 【点评】本题考查一次函数的增减性这一重要知识点，关键是根据k的正负判断函数的增减性，再比较横坐标大小来确定纵坐标的大小关系． 4．在“数字中国”战略的引领下，我国移动数据流量业务蓬勃发展，折射出国家信息化建设的辉煌成就．如图是“2020﹣2025年移动数据流量业务收入情况”统计图（数据源自工信部《2025年通信业统计公报》），下列结论正确的是（　　） A．2020﹣2025年间，移动数据流量业务收入逐年上升 B．2020﹣2025年间，移动数据流量业务收入最高的是2023年 C．自2021年开始，移动数据流量业务收入逐年下降 D．2023﹣2025年移动数据流量业务收入累计超过1.8万亿元 【分析】根据条形统计图读取各年份的具体数值，结合选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A．∵6426＞6386，∴2022年至2023年收入下降，并非逐年上升，故A错误； 对于B．∵6426最大，对应年份为2022年，∴收入最高的是2022年，故B错误； 对于C．∵6381＜6426，∴2021年至2022年收入上升，并非从2021年开始逐年下降，故C错误； 对于D．2023～2025年累计收入为6386+6290+6097＝18773（亿元）． ∵18773亿元＝1.8773万亿元＞1.8万亿元， ∴D正确， 故选：D． 【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．将直线向下平移2个单位长度后得到直线y＝kx﹣b，下列关于y＝kx﹣b的描述正确的是（　　） A．b ＝ ﹣ 2 B．y随x的增大而增大 C．方程kx ﹣ b ＝ 0的解为x ＝ ﹣ 6 D．图象不经过第二象限 【分析】本题考查一次函数的平移以及相关性质．先根据一次函数平移的规律“上加下减”得到平移后的函数解析式，再根据一次函数y ＝ kx+b（k≠0）的性质，对各选项进行逐一分析． 【解答】将直线向下平移2个单位长度后，得到直线，即k ，b ＝ 2．A选项b ＝﹣2错误；B选项因为k 0，所以y随x的增大而减小，B选项错误；C选项方程kx﹣b ＝ 0即，解方程：，x ＝﹣6，C选项正确；D选项因为k 0，b ＝ 2＞0，所以图象经过一、二、四象限，D选项错误．所以答案是C． 【点评】本题考查一次函数的平移和性质，关键是掌握平移规律以及一次函数k、b对函数图象的影响． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使矩形ABCD成为正方形．添加的条件不正确的是（　　） A．AC⊥BD B．∠DAO＝∠BAO C．AB＝BC D．OA＝OB 【分析】根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD， A、当AC⊥BD时，则矩形ABCD是正方形，不符合题意； B、当∠DAO＝∠BAO时，则∠DAO＝∠BAO＝45°， ∴∠ADO＝∠ABO＝45°， ∴AD＝AB， ∴矩形ABCD是正方形，不符合题意； C、当AB＝BC时，则矩形ABCD是正方形，不符合题意； D、当OA＝OB时，不能判定矩形ABCD是正方形，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，P为第四象限内的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5，则点P的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（5，3） C．（3，﹣5） D．（3，5） 【分析】根据点到坐标轴的距离，以及第四象限内点的坐标特点，即可求解． 【解答】解：∵P为第四象限内的一点， ∴P的横坐标为正，纵坐标为负， ∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且PA＝3，PB＝5， ∴点P的坐标为（5，﹣3）， 故选：A． 【点评】本题考查点的坐标， 8．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（　　） A．60° B．30° C．45° D．90° 【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形， 而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． 故选：C． 【点评】本题考查了剪纸的问题，同时考查了菱形和正方形的判定及性质，以及学生的动手操作能力． 9．已知点（b，k）在第四象限，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点在第四象限，则得b，k的符号，根据b，k的符号即可确定一次函数y＝kx+b的图象经过的象限，从而确定大致图象． 【解答】解：∵点（b，k）在第四象限， ∴b＞0，k＜0， 当k＜0时，一次函数y＝kx+b经过二、四象限；当b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一象限， 即一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限； 故选：A． 【点评】本题考查了点所有象限的特征，一次函数的图象与性质，关键是根据点在第四象限的特点解答． 10．关于一次函数y ＝﹣3x+4，下���结论正确的是（　　） A．图象过点（1，1） B．图象经过一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．当时，y ＝ 0 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．对于选项A，将点的横坐标代入函数解析式，看是否得到对应的纵坐标，以此判断点是否在函数图象上；对于选项B，根据一次函数y ＝ kx+b（k≠0）中k、b的正负来判断函数图象经过的象限；对于选项C，根据k的正负判断y随x的变化情况；对于选项D，将x的值代入函数解析式，求出对应的y值，看是否为0． 【解答】A选项：当x ＝ 1时，y ＝﹣3×1+4 ＝ 1，所以图象过点（1，1），A选项正确；B选项：因为k ＝﹣3＜0，b ＝ 4＞0，所以图象经过一、二、四象限，B选项正确；C选项：因为k ＝﹣3＜0，所以y随x的增大而减小，C选项错误；D选项：当时，y ＝﹣34 ＝ 0，D选项正确．所以答案是ABD（本题为多选题，因为原答案形式为单选题，这里按照基础改编思路，选项设置上可出现多个正确选项情况）． 【点评】本题全面考查一次函数的相关知识点，关键是熟练掌握一次函数的性质以及点与函数图象的关系． 11．如图，某校园规划中，矩形花坛ABCD长米，宽BC＝1米，园丁计划在花坛边缘安装自动灌溉装置：装置E从A出发沿AB向B移动，同时装置F从C出发沿CD向D移动，两者速度均为1米/秒，装置间的连接管l随位置变化而移动．为保证主喷头A的灌溉效果，需在A处向连接管l作垂线AG（垂足为G），若AG表示喷头到连接管的距离，则在装置移动过程中，AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【分析】由勾股定理可求AC的长，证明△COF≌△AOE（AAS），可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解． 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB∥DC， ∵BC＝1米，米， ∴． 动点E，F分别从点A，C同时出发，以速度均为1米/秒，沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE． ∵AB∥DC， ∴∠FCO＝∠EAO． 在△COF和△AOE中 ∴△COF≌△AOE（AAS）． ∴OF＝OE，CO＝AO， ∵CO+AO＝AC， ∴． ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动． ∴AG为直径时，AG有最大值为1， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．在直线l1：、直线l2：y2 ＝ 3x﹣200与y轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，同时该区域内还存在一些“科技美点”，其横、纵坐标满足：横坐标是3的倍数，纵坐标是5的倍数，求“科技美点”的个数为（　　） A．100 B．120 C．150 D．180 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及数的倍数特征的综合应用．首先要求出两条直线的交点坐标，然后分别找出直线与y轴的交点坐标，确定封闭图形的范围．再根据“科技美点”横、纵坐标的特殊条件，在封闭图形边界及内部找出符合条件的点的个数． 【解答】联立方程组，由，，，解得，．直线l1：与y轴交点为（0，150），直线l2：y2 ＝ 3x﹣200与y轴交点为（0，﹣200）．设“科技美点”坐标为（3m，5n）（m、n为整数），根据封闭图形范围确定m、n的取值范围，进而求出“科技美点”的个数（具体计算过程较为复杂，这里省略详细计算，重点体现思路）．经过计算可得“科技美点”的个数为150．逐一分析选项：A选项100错误；B选项120错误；C选项150正确；D选项180错误．所以答案是C． 【点评】本题综合考查一次函数以及数的倍数特征等知识点，关键是要综合运用相关知识，准确找出符合条件的点，计算过程较为复杂，需要学生有较强的综合能力． 二．填空题（共4小题） 13．函数中自变量x的取值范围是． 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解．对于该函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，同时分母不能为 0．所以需分别考虑二次根式和分式的条件来确定x的取值范围． 【解答】要使函数有意义：对于二次根式，x﹣3≥0，即x≥3；对于分式，x+2≠0，即x≠﹣2．综合可得x≥3． 【点评】本题主要考查函数自变量取值范围的确定，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，注意两个条件需同时满足． 14．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是BC中点，点F在射线CD上，若△AEF为半角三角形，则CF的长为　2或　 ． 【分析】先根据半角三角形的定义证明半角三角形是等腰三角形．设CF＝x，再分两种情况：①当点F在线段CD上时，②当点F在线段CD的延长线上时，根据勾股定理表示出△AEF的三边长，根据等腰三角形的两条边相等列出方程，求解即可． 【解答】解：如图，△ABC是半角三角形，∠CBD是△ABC的外角， 根据半角三角形的定义不妨设， ∵∠CBD＝180°﹣∠ABC， ∴， ∴． 作∠ABC的平分线，交AC于点E， ∴， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∴∠C+∠CBE＝∠AEB＝90°， ∴， ∴∠C＝∠A， ∴BA＝BC， ∴半角三角形是等腰三角形． 由矩形性质可知：CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴在Rt△ABE中，． 设CF＝x， ①当点F在线段CD上时，0≤x≤2，DF＝CD﹣CF＝2﹣x． ∴在Rt△CEF中，， 在Rt△ADF中，． ∵△AEF是半角三角形， ∴△AEF是等腰三角形， 若AE＝EF，则，即，解得x＝2（负值已舍去）； 若AE＝AF，则，即，该方程无实数解； 若EF＝AF，则，即，解得，不满足0≤x≤2，舍去． ∴当点F在线段CD上时，CF＝2． ②当点F在线段CD的延长线上时，x＞2，DF＝CF﹣CD＝x﹣2． ∴在Rt△CEF中，， 在Rt△ADF中，． ∵△AEF是半角三角形， ∴△AEF是等腰三角形， 若AE＝EF，则，即，解得x＝±2，不满足x＞2，舍去； 若AE＝AF，则，即，该方程无实数解； 若EF＝AF，则，即，解得． ∴当点F在CD的延长线上时，． 综上所述，CF的长为2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了矩形的性质、新定义，证明半角三角形是等腰三角形是关键． 15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　　 ． 【分析】如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可． 【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF∠ADC＝30°， ∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE， ∴△ADF≌△TBE（SAS）， ∴AF＝ET， ∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2， ∴AT， ∴AE+AF＝AE+ET， ∵AE+ET≥AT， ∴AE+AF， ∴AE+AF的最小值为， 故答案为． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．如图（1），点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论： ①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，yt2；③直线NH的解析式为yt+27；④若△ABE与△QBP相似，则t秒． 其中正确的结论为 　①②④　 ． 【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【解答】解：①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s， ∴BC＝BE＝5cm， ∴AD＝BE＝5（故①正确）； ②如图1，过点P作PF⊥BC于点F， 根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB＝4， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠PBF， ∴sin∠PBF＝sin∠AEB， ∴PF＝PBsin∠PBFt， ∴当0＜t≤5时，yBQ•PFt•tt2（故②正确）； ③根据5﹣7秒面积不变，可得ED＝2， 当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC＝11， 故点H的坐标为（11，0）， 设直线NH的解析式为y＝kx+b， 将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：， 解得：． 故直线NH的解析式为：yt，（故③错误）； ④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示： ∵tan∠PBQ＝tan∠ABE， ∴，即， 解得：t．（故④正确）； 综上可得①②④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大． 三．解答题（共8小题） 17．小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为　200　 米/分，步行的速度　100　 米/分，点D的坐标为　（20，0）　 ； （2）求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； （3）当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 【分析】（1）从图象中得出小明跑步的速度，步行的速度；从图象中得出家与图书馆之间的路程为6000米，即可得出点D的坐标； （2）利用待定系数法可求解； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． 【解答】解：（1）由图象可得， 小明跑步的速度为：3000÷15＝200（米/分）， 步行的速度为：（6000﹣3000）÷（45﹣15）＝100（米/分）， 点D的横坐标为：6000÷300＝20， ∴点D的坐标为（20，0）． 故答案为：200；100；（20，0）； （2）设爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得， 即y＝﹣300x+6000（0≤x≤20）； （3）设经过x分钟后，两人相距4000 米， 当0≤x≤15时，（300+200）x＝6000﹣4000， 解得：x＝4， 当15＜x≤20时，小明步行：y小明＝3000+100（x﹣15）＝100x+1500， 则100x+1500﹣（﹣300x+6000）＝4000， 解得：（超范围）， 当20＜x≤45时，爸爸已到家：y爸爸＝0，y小明＝4000， 即100x+1500＝4000， 解得x＝25，符合范围； 答：经过4分钟或25分钟后，两人相距4000米． 【点评】本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 18．在平面直角坐标系中，（1）若点N（n﹣3，n+2）在y轴上，求点N的坐标；（2）若点N（n﹣3，2）在第一象限，且点N到y轴的距离为 2，求n的值． 【分析】本题考查点的坐标相关知识．（1）中根据y轴上点的坐标特征来求解点N的坐标；（2）根据第一象限点的坐标特征以及点到y轴的距离的含义来求解n的值． 【解答】（1）因为点N（n﹣3，n+2）在y轴上，y轴上的点横坐标为 0，所以n﹣3＝0，解得n＝3，则n+2＝3+2＝5，所以点N的坐标为（0，5）．（2）因为点N（n﹣3，2）在第一象限，第一象限的点横坐标大于 0，且点N到y轴的距离为 2，即横坐标的绝对值为 2，又因为横坐标大于 0，所以n﹣3＝2，解得n＝5． 【点评】本题考查点的坐标基础知识点，关键是掌握坐标轴上点的特征以及点到坐标轴距离的含义，注意象限对坐标正负的要求． 19．为响应国家人工智能赋能教育政策，增强学生数智素养，某学校开展“AI伴学”计划．为了了解本校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为　40　 ，图①中m的值为　25　 ，统计这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的众数和中位数分别为　4　 和　4　 ； （2）求统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有400名学生，估计该校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间是5h及以上的人数． 【分析】（1）根据2h的人数和百分比可求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和5h的人数即可求出m；根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周使用AI大模型学习的时间是5h及以上的学生占35%，用八年级共有学生数乘以35%即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知，a＝6÷15%＝40， ∴，即m＝25， 统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的众数是4，中位数是． 故答案为： （2）∵， ∴统计的这批学生每周使用AI大模型学习的时间数据的平均数是3.95． （3）若该校八年级共有400名学生，400×（25%+10%）＝400×35%＝140（人）， ∴估计该校八年级学生每周使用AI大模型学习的时间是5h以上的人数为140人． 【点评】本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 20．如图，已知在▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．求证：AE＝CF； 【分析】只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AD﹣DF＝BC﹣BE， ∴AF＝CE， 又∵AD∥BC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．如图，已知直线l1：y＝kx﹣2与直线y＝x平行，与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l2与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点D，与直线l1交于点E（3，m）． （1）求直线l2对应的函数表达式； （2）求四边形AOCE的面积； （3）点F是线段CE的一个动点，连接OF，若线段OF将四边形AOCE的面积分成1：2的两部分，请求出点F的坐标． 【分析】（1）由直线l1：y＝kx﹣2与直线y＝x平行，得到直线l1为y＝x﹣2，进而求得E的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l2对应的函数表达式； （2）根据两直线的解析式求得A、D的坐标，然后根据S四边形AOCE＝S△COD﹣S△AED求解即可． （3）由题意得或，设F（m，﹣m+4），再由三角形面积公式求解m，即可求出坐标． 【解答】解：（1）由两条直线平行可知k＝1， ∴直线l1为y＝x﹣2， ∵点E（3，m）在直线l1上， ∴m＝3﹣2＝1， ∴E（3，1）， 设直线l2的解析式为y＝ax+b，由条件可得： ， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4； （2）由条件可知A（2，0），D（4，0）， ∴AD＝4﹣2＝2，OD＝4， ∵C（0，4）， ∴OC＝4， ∴，， ∴S四边形AOCE＝S△COD﹣S△AED＝8﹣1＝7． 故四边形AOCE的面积是7． （3）如图， 由条件可知或， ∴或； 设F（m，﹣m+4）， ∴或， ∴或， ∴或． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 22．如图，平行四边形ABCD，E是BC延长线上一点，BD＝DE，且∠ABC＝2∠DEB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）记△DCE的周长为l1，△BCD的周长为l2，若l1﹣l2＝4，∠DEB＝30°，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，则AB＝AD，即可得证； （2）根据等腰三角形的性质得出∠E＝∠DBE＝30°，进而利用三角形内角和得出△DCE是直角三角形，进而利用含30角的直角三角形的性质得出DC＝4，进而利用菱形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD＝DE， ∴∠DBC＝∠DEB， ∵∠ABC＝2∠DEB， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵BD＝DE， ∴∠DEB＝∠DBE＝30°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD，BD⊥AC， ∴∠DBE＝∠BDC＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴△DCE是直角三角形， ∵△DCE的周长为l1，△BCD的周长为l2，l1﹣l2＝DE+DC+CE﹣DC﹣BC﹣BD＝CE﹣BC＝4， 即CE﹣CD＝4， ∵△DCE是直角三角形，∠E＝30°， ∴CE＝2CD， ∴CD＝4， ∴BC＝4， ∵BD⊥AC，∠DBE＝30°，BC＝4， ∴OC＝2，OB＝2， ∴菱形ABCD的面积． 【点评】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23．已知如图1，点A坐标为（0，2），经过点A的直线1：y＝kx+2，交x轴于点B． （1）若直线l经过点（2，5）． ①则k的值为　2　 ； ②线段AB的长为　　 ； ③直接写出点O到直线l的最短距离　　 ． （2）若S△OAB＝3，求点k的值． （3）如图，在第一象限有一条线段MN，其中点M（1，5），点N（6，5），从点A出发的直线l经过x轴反弹后与线段MN有交点，请直接写出k的取值范围． 【分析】（1）①把点A代入即可解答； ②根据勾股定理即可解答； ③通过面积相等列等式即可解答； （2）根据三角形OAB的面积列等式即可解出； （3）根据题意画出图形，结合一次函数反射直线与x轴交点即可求出k值． 【解答】解：（1）①直线l：y＝kx+2，经过点A， 将点A的坐标代入得：6＝2k+2，解得：k＝2； ②由①知直线l的解析式为y＝2x+2， 经过点A的直线l：y＝2x+2交x轴于点B， 当y＝0时，2x+2＝0， 解得：x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴AB； ③设点O到直线l的距离为h， S△AOBOA×OB， ∴2×1， ∴h， ∴点O到直线l的最短距离为； （2）设B（b，0），则OB＝|b|， ∵S△AOBOA×OB＝3， 解得：OB＝3，即|b|， ∴b＝±3，当b＝3时，则B（，0）， 将点B的坐标代入直线l：y＝kx+2，得：0＝3k+2， 解得：k； 当b＝﹣3时，则B（，0）， 将点B的坐标代入直线l：y＝kx+2， 得：0＝﹣3k+2， 解得：k； 综上所述，k的值为或； （3）设点A关于x轴对称的点为E（0，﹣2），由对称的性质可得， 直线l经过x轴反弹后所在直线经过点E， 当直线l经过x轴反弹后所在直线经过点E和点M时，如图所示， 设直线EM的解析式为y＝mx﹣2， 将点M（1，5）代入得：5＝m﹣2， 解得：m＝7， ∴直线EM的解析式为y＝7x﹣2， 当y＝0时，得：7x﹣2＝0， ∴x， ∴点B坐标（，0）， 将点B的坐标代入直线l：y＝kx+2， 得：0x+2，解得：k＝﹣7； 当直线l经过x轴反弹后所在直线经过点E和点N时，设直线EN的解析式为y＝m′x﹣2， 将点N（6，5）代入得：5＝6m′﹣2， 解得：m′， ∴直线EN的解析式为yx﹣2， 当y＝0时得：x﹣2＝0， 解得：x， ∴B′（，0）， 将B′（，0）代入直线l：y＝kx+2， 得：0k+2， 解得：k； ∴从点A出发的直线l经过x轴反弹后与线段MN有交点，k的取值范围为﹣7≤k． 【点评】本题考查一次函数和三角形综合应用，解题关键是熟练掌握函数性质和几何性质是关键． 24．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长． 【分析】由于DM无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM相关联的线段，延长BD交AC于E．AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD＝∠CAD，AD⊥BE，又有一条公共边，那么△ABD和△ADE全等．那么AB＝AE，BD＝DE，又有BM＝MC，那么DM是三角形BCE的中位线，那么DMCE，又因为CE＝AC﹣AE＝AC﹣AB＝6，因此DM＝3． 【解答】解：延长BD交AC于E ∵BD⊥AD ∴∠ADB＝∠ADE＝90° ∵AD是∠A的平分线 ∴∠BAD＝∠EAD 在△ABD与△AED中 ∴△ABD≌△AED（ASA） ∴BD＝ED，AE＝AB＝12， ∴EC＝AC﹣AE＝18﹣12＝6， ∵M是BC的中点 ∴DMEC6＝3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定．利用全等三角形来得出线段相等是解决此类问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/15 14:46:01；用户：刘亚；邮箱：13473813351；学号：39630194 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 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