数学活动——黄金矩形与剪拼正方形 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦四边形中的黄金矩形与剪拼正方形，通过折纸操作（如折正方形、对角线）和剪拼活动，衔接已学的矩形、正方形性质，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以动手实践为核心，折纸制作黄金矩形培养几何直观（数学眼光），证明过程强化推理意识（数学思维），融入刘徽“出入相补法”等古代数学文化提升应用意识（数学语言）。实例如黄金矩形的折纸推导和剪拼正方形的面积不变实践，能提升学生动手与探究能力，也为教师提供文化与实践结合的教学资源。

第二十一章 四边形 数学活动 ——黄金矩形与剪拼正方形 1．了解黄金矩形的定义与比值，感受数学美感； 2．能通过剪拼将正方形或矩形转化为其他图形，体会面积不变原理； 3．提升动手操作与几何直观能力． 同学们，我们已经系统学习了矩形、正方形的性质与判定，这些图形不仅是几何定理的载体，更藏着独特的数学美感与智慧． 今天，我们就一起走进“数学活动课”，用折纸创造充满美学比例的黄金矩形，用剪拼还原古代数学家的 “出入相补法”，在动手操作中感受几何的魅力，解锁图形变换的奥秘． 活动1：黄金矩形 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形MNAB，然后把纸片展平． 图1 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平． 图2 第三步，折出矩形CDAB的对角线BD，并把BD折到图3中所示的ED处． 图3 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点E折出EF，矩形BAEF就是黄金矩形． 图4 想一想：你能说明为什么矩形BAEF是黄金矩形吗？（提示：设MN的长为2．） F F 证明：矩形BAEF是黄金矩形．理由如下：设MN=2． ∵四边形MNAB是正方形，∴MN=NA=AB=MB=2． ∵点C是MB的中点，∴BC=MB=1． ∵四边形CDAB是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°． 在Rt△BCD中，BD==． ∵由折叠性质，ED=BD=， ∴AE=ED−AD=−1． 矩形BAEF中，长AB=2，宽AE=−1，∴宽与长的比：= ∵黄金矩形定义为宽与长的比为， ∴矩形BAEF是黄金矩形． 活动2：剪拼正方形 如图5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！ 图5 图6 图6给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程． 你还有其他方法吗？ 事实上，图6就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想．请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用． 图6 图7 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 数学活动 剪拼正方形 黄金矩形 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．原理加下，如图、在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆．交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形，若，则的长是（    ） A． B． C． D． C 2．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． D 3．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“黄金三角形”，这条直线称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“黄金三角形”． (2)如图②，在中，， 求证：是“黄金三角形”． 证明：（1），， ． 平分，． ， 是等腰三角形， ， ，． ， 是等腰三角形，是“黄金三角形”． （2）如图，取的中点连接， ，点为的中点， ， 和是等腰三角形， 是“黄金三角形”． 4．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． B 5．数学活动黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，如图1，折叠一张矩形纸片的一角使得，折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形翻折再折出一个相同的正方形，得矩形，再把纸片展平． 第三步，如图3．以点为圆心，以矩形的对角线为半径作弧，交延长线于点，第四步，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为1．） 一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形翻折再折出一个相同的正方形，得矩形，再把纸片展平． 第三步，如图3．以点为圆心，以矩形的对角线为半径作弧，交延长线于点，第四步，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． 你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为1．） 解：设的长为1， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 1．数学几何学中有一个非常厉害的家族——“黄金家族”：著名的雕像“断臂的维纳斯”是“黄金比例”，宏伟的建筑“巴特农神庙”是“黄金矩形”，五角星上的每个角剪下来后都是“黄金三角形”（如下图）.将若干个全等的“黄金三角形”顶角无缝拼接在一起可以拼成一个正多边形，请算算这个正多边形的内角和是多少（    ） A． B． C． D． A 2．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号） ③④ 3．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 证明：五边形的面积为： ①， ②， ∴，∴． 4．阅读与思考：宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如图，已知矩形是黄金矩形，对角线相交于且．关于黄金矩形，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．矩形的周长为 C 5．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，四边形是一个矩形（），E是上一点，将矩形沿折叠，点B与边上的点F重合． (1)判定四边形的形状并说明理由； (2)若矩形是黄金矩形，，求的长．（结果保留根号） 解：（1）四边形是正方形，理由如下： ∵是矩形 ∴ ∵折叠后点B与F重合， ∴， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵四边形是黄金矩形 ∴，即 ∴ ∴． $