第21章 四边形章末复习 第2课时 课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学四边形单元复习课件系统梳理矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过引导学生绘制图形关系框图，构建从四边形到特殊平行四边形的逻辑脉络，形成“定义-性质-判定”的完整知识网络，强化知识点间的内在联系。 其特色是采用“问题引领-例题精析-方法归纳”策略，如矩形折叠问题结合折叠性质与直角三角形求解培养推理能力，正方形最值问题利用对称性转化发展几何直观。分层例题设计适配不同学生，助力教师精准教学，有效提升知识巩固效果。

第二十一章 四边形 章末复习 第二课时 数学人教版八年级下册 1 　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！ 1．四边形、多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是本章主要研究的几何图形，画出表示它们的图形，并用框图表示它们之间的关系． 2．矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质，分别还具有哪些性质？你知道如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形吗？你能总结一下研究这些图形的性质和判定的方法吗？ 要点一　矩形的性质与判定 例1　如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，M，N 分别为 BC，OC 的中点．若 MN＝4，则 AC 的长为 ．　 解析：∵ M，N 分别为 BC，OC 的中点， ∴ MN 是 △COB 的中位线， ∴ BO＝2MN＝2×4＝8． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD＝2BO＝16． 16 例2　如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM＝3，BC＝10，则 OB 的长为（ ） A．5 B．4 C． D． 要点一　矩形的性质与判定 解析：连接 OD． ∵ 点 O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点， ∴ OA＝OC，∠ADC＝90°，OD＝ AC＝OA． ∴ △AOD 是等腰三角形． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ CD∥AB． 要点一　矩形的性质与判定 又 OM∥AB， ∴ OM∥CD， ∴ ∠ADC＝∠AMO＝90°． ∴ AM＝DM． ∴ OM 是△ADC 的中位线． 例2　如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM＝3，BC＝10，则 OB 的长为（ ） A．5 B．4 C． D． 例2　如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM＝3，BC＝10，则 OB 的长为（ ） A．5 B．4 C． D． D 要点一　矩形的性质与判定 ∵ OM＝3，∴ DC＝6， ∵ AD＝BC＝10， ∴ AC＝ ＝ ， ∴ BO＝ AC＝ ． 例3　如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 与 AD交于点 F． （1）求证：△ABF≌△EDF； （2）若AB＝6，BC＝8，求 AF 的长． 要点一　矩形的性质与判定 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°． 由折叠得 ED＝CD，∠E＝∠C＝90°， ∴ AB＝ED，∠A＝∠E＝90°． 在△ABF 和△EDF 中， ∴ △ABF ≌△EDF（AAS）． 要点一　矩形的性质与判定 （2）解： ∵ △ABF ≌△EDF， ∴ BF＝DF． 设 AF＝x，则 BF＝DF＝8－x， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 BF2＝AB2＋AF2， 即(8－x)2＝62＋x2， 解得 x＝ ，即 AF＝ ． 要点一　矩形的性质与判定 归纳 解决矩形折叠问题的方法 （1）利用折叠的性质：折痕两侧的对应部分能够完全重合，折痕两侧的对应线段相等，对应角相等． （2）此类问题往往通过折叠将对应线段或对应角转换到同一个直角三角形中，利用直角三角形的相关性质来解决． 要点一　矩形的性质与判定 例4　如图，在△ABC 中，AB＝AC．将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF ，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC相交于点 O． 要点一　矩形的性质与判定 （1）求证：△OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE，DC，AD，试证明：当点 E 在 BC 中点时，四边形 AECD 是矩形． 证明：（1）∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠ACB． ∵ △ABC 平移得到△DEF， ∴ AB∥DE， ∴ ∠B＝∠DEC， ∴ ∠ACB＝∠DEC， ∴ OE＝OC， 即△OEC 为等腰三角形． 解：（2）∵ AB＝AC，E 为 BC 的中点， ∴ AE⊥BC，BE＝EC， ∵ △ABC 平移得到△DEF， ∴ BE∥AD，BE＝AD， ∴ AD∥EC，AD＝EC， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形． 又 AE⊥BC， ∴ 四边形 AECD 是矩形． 例1　如图，BD 是菱形 ABCD 的一条对角线，点 E 在 BC 的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE＝ ． 解析：∵ BD 是菱形 ABCD 的一条对角线，∠ADB＝32°， ∴ ∠CDB＝∠ADB＝32°． 又 AD∥BC， ∴ ∠DBC＝∠ADB＝32°， ∴ ∠DCE＝∠DBC＋∠CDB ＝32°＋32°＝64°． 要点二　菱形的性质与判定 B A D C E 64° 要点二　菱形的性质与判定 D C A B O E 例2　四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE＝ ，则 CE 的长为（　 ） A． B． C． 或 D．6 解析：根据题意画出示意图， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC． ∵ ∠BAD＝60°，∴ △ABD 是等边三角形， ∴ BD＝AB＝6，∴ OB＝ BD＝3， 例2　四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE＝ ，则 CE 的长为（　 ） A． B． C． 或 D．6 要点二　菱形的性质与判定 C D C A B O E ∴ OC＝OA＝ ＝ ． ∵ 点 E 在 AC 上，OE＝ ， ∴ 当点 E 在点 O 的左边时，CE＝OC＋OE＝ ， 当点 E 在点 O 的右边时，CE＝OC－OE＝ ， 综上所述，CE 的长为 或 ． 归纳 菱形性质的应用 （1）菱形的每一条对角线平分每一组对角，可以用来证明角相等； （2）菱形的对角线互相垂直，可以用来证明线段垂直，且菱形的两条对角线将它分为四个全等的直角三角形； （3）有一个内角是 60°的菱形，较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形． 要点二　菱形的性质与判定 例3　如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．过点 O 作 OE∥BC，交 AB 于点 E，E 恰好为 AB 中点，且 OE＝OA．过点 E 作 EF∥AC，交 BC 于点 F，且 AC＝BC． 要点二　菱形的性质与判定 （1）求证：四边形 OEFC 是菱形； （2）若 AB＝2，S菱形OEFC＝1，求 BC 的长． （1）证明：∵ OE∥BC，EF∥AC， ∴ 四边形 OEFC 是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC＝ AC． ∵ OE∥BC，E 为 AB 中点， ∴ OE 是△ABC 的中位线， ∴ OE＝ BC， 又 AC＝BC，∴ OE＝OC，∴ 四边形 OEFC 是菱形． 要点二　菱形的性质与判定 要点二　菱形的性质与判定 （2）解：如图，连接 CE， 由（1）得 OE 是△ABC 的中位线，∴ AE＝BE，OE＝ BC． 又 由（1）得 四边形OEFC 是菱形， ∴ OE＝FC，∴ BF＝FC． ∴ S△EBF＝S△ECF，S△EAO＝S△ECO， ∴ S△ABC ＝2S菱形OEFC＝ AB×CE＝2， ∵ AB＝2，∴ CE＝2，BE＝1， ∴ BC＝ ＝ ＝ ． 解析：如图，连接 DE，交 AC 于 P，连接 BP，此时 PB＋PE 的值最小． 例1　如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AE＝3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB＋PE 的最小值是 ． 10 要点三　正方形的性质与判定 A B C D E P P ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ B，D 关于 AC 对称，∴ PB＝PD， ∴ PB＋PE＝PD＋PE＝DE． ∵ BE＝2，AE＝3BE，∴ AE＝6，AB＝8， ∴ DE＝ ＝10，故 PB＋PE 的最小值是 10． 例2　如图所示，点 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 求证：四边形 是正方形． 要点三　正方形的性质与判定 要点三　正方形的性质与判定 证明：（证法 1）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ △ ≌△ ≌△ ≌△ ． ∴ ＝ ＝ ＝ ，∠2＝∠3． ∴ 四边形 为菱形． ∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°， ∴ ∠ ＝180°－(∠1＋∠3)＝90°， ∴ 四边形 为正方形． 要点三　正方形的性质与判定 证明：（证法 2）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ △ ≌△ ≌△ ≌△ ． ∴ ＝ ，∠2＝∠3． ∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°，∴ ∠ ＝90°． 同理 ∠ ＝∠ ＝90°． ∴ 四边形 为矩形． 又 ＝ ，∴ 四边形 为正方形． 例3　如图，正方形 ABCD 边长为 6．菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在正方形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，且 AH＝2． 要点三　正方形的性质与判定 （1）当 DG＝2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形； （2）设 DG＝x，试用含 x 的代数式表示△FCG 的面积． 要点三　正方形的性质与判定 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠D＝∠A＝90°． ∵ 四边形 EFGH 是菱形，∴ HG＝EH． 在△HDG 和△AEH 中， ∴ Rt△HDG≌Rt△EAH（HL）， ∴ ∠DHG＝∠AEH， ∴ ∠DHG＋∠AHE＝90°， ∴ ∠GHE＝90°，∴ 菱形 EFGH 为正方形． ∵ CD∥AB，∴ ∠AEG＝∠MGE． ∵ GF∥HE，∴ ∠HEG＝∠FGE， ∴ ∠AEH＝∠MGF． 在 Rt△AHE 和 Rt△MFG 中， ∴ Rt△AHE≌Rt△MFG（AAS）， ∴ MF＝AH＝2．∵ DG＝x，∴ CG＝6－x． ∴ S△FCG＝ CG·MF＝6－x． 要点三　正方形的性质与判定 （2）解：连接 GE，过 F 作 FM⊥CD，垂足为 M， M C 菱形 一个角 是直角 矩形 一组 邻边相等 一个角 是直角 平行四边形 一组 邻边相等 正方形 $