第24章 数学活动 黄金矩形和剪拼正方形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦黄金矩形与剪拼正方形，通过复习矩形性质导入，以折纸活动（折正方形、对角线折叠等）探究黄金矩形，结合剪拼正方形联系刘徽“青朱出入图”，构建动手操作到理论证明的学习支架。 亮点是融合实践与文化，黄金矩形折纸培养几何直观（数学眼光），证明过程发展推理能力（数学思维），剪拼渗透出入相补法增强应用意识（数学语言）。含具体折纸步骤证明、中考折叠题训练，学生提升探究创新能力，教师可直接用于课堂活动与中考衔接教学。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十一章 四边形 数学活动 黄金矩形和剪拼正方形 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 活动1 黄金矩形 宽与长的比是 (约为 0.618) 的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界上有些著名的建筑、它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形。 巴特农神庙 巴特农神庙　 21.3.3.2 正方形的判定 教学课件教学过程分页内容 第1页：复习导入（3分钟） 1. 回顾旧知：提问学生“我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义和判定方法分别是什么？” 2. 梳理关系：引导学生梳理矩形、菱形与平行四边形的从属关系，明确“矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形”。 3. 引出课题：展示正方形实物图（如魔方、地砖），提问“正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么如何判定一个图形是正方形呢？今天我们就来探究正方形的判定方法。” 第2页：探究一：从矩形出发判定正方形（8分钟） 1. 提出问题：“矩形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生思考：矩形的四个角都是直角，若要成为正方形，还需满足边的条件。 2. 合作探究：让学生分组讨论，结合矩形和正方形的性质对比，得出猜想“有一组邻边相等的矩形是正方形”。 3. 逻辑证明：引导学生结合矩形的定义和正方形的定义进行证明。已知：四边形ABCD是矩形，AB=AD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°，AB=CD，AD=BC。又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=AD，且∠A=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。 4. 得出结论：板书判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 第3页：探究二：从菱形出发判定正方形（8分钟） 1. 类比提问：“菱形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生类比探究一的思路，从角的角度思考：菱形的四条边相等，若要成为正方形，还需满足角的条件。 2. 自主探究：让学生独立思考并写出猜想“有一个角是直角的菱形是正方形”。 3. 验证证明：请一名学生上台板演证明过程，其余学生在练习本上完成。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=∠C=∠D=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。 4. 得出结论：板书判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。 第4页：探究三：从平行四边形出发判定正方形（10分钟） 1. 深层提问：“如果从平行四边形出发，需要满足什么条件才能判定为正方形？” 引导学生结合前两个判定定理，思考平行四边形成为正方形的双重条件。 2. 小组讨论：组织学生分组讨论，明确“平行四边形要成为正方形，既要满足矩形的条件，又要满足菱形的条件”，进而得出猜想“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”。 3. 推理验证：引导学生结合平行四边形、矩形、菱形的定义进行推理。∵ 平行四边形中，有一组邻边相等则为菱形，有一个角是直角则为矩形，∴ 既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形。 4. 拓展思考：提问“还有其他判定正方形的方法吗？” 引导学生得出“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，并简要说明证明思路（对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为正方形）。 5. 汇总判定方法：梳理并板书正方形的三种核心判定方法，强调“正方形是特殊的矩形和菱形，判定时需抓住‘边相等’和‘角为直角’的双重特征”。 第5页：例题讲解（12分钟） 1. 例题呈现：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。求证：四边形CEDF是正方形。 2. 分析思路：引导学生思考：① 先判断四边形CEDF的形状（平行四边形）；② 再证明它是矩形（有三个角是直角）；③ 最后证明它有一组邻边相等（角平分线的性质）。 3. 规范证明：板书证明过程：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴ ∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴ 四边形CEDF是矩形。又∵ CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴ DE=DF，∴ 矩形CEDF是正方形。 4. 变式提问：“如果将题目中的Rt△ABC改为一般三角形，还能判定四边形CEDF是正方形吗？为什么？” 强化学生对判定条件的理解。 第6页：数学活动——黄金矩形和剪拼正方形（15分钟） 1. 活动引入（3分钟）：展示黄金矩形相关实物图（如巴特农神庙、书籍封面），提问“这些图形为何看起来如此和谐美观？它们蕴含着特殊的比例关系——黄金比例。今天我们就通过剪拼活动，探索黄金矩形与正方形的关联。” 明确活动目标：① 认识黄金矩形的特征；② 掌握将黄金矩形剪拼为正方形的方法；③ 深化对正方形判定的理解。 2. 新知铺垫（2分钟）：讲解黄金矩形定义：宽与长的比值为(√5 - 1)/2（约0.618）的矩形叫做黄金矩形。出示一个标准黄金矩形纸片（标注长为a，宽为b，b/a=(√5 - 1)/2），引导学生观察其特征。 3. 剪拼探究（7分钟）：① 分组操作：每组发放一张黄金矩形纸片、剪刀、直尺、铅笔，要求学生尝试通过剪拼，将黄金矩形转化为一个正方形。② 引导思考：“剪拼的核心是保证面积不变，如何利用黄金矩形的边长关系剪出合适的部分？” 提示学生先以黄金矩形的宽为边长，在矩形内部剪出一个正方形（标注正方形ABCD，剩余部分为矩形AEFD）。③ 验证发现：让学生测量剩余矩形AEFD的长和宽，计算比值，发现其仍是黄金矩形，体会“黄金矩形剪去一个正方形后仍为黄金矩形”的特性。④ 成果展示：邀请2-3组上台展示剪拼过程，说明剪拼依据。 4. 逻辑关联（3分钟）：提问“我们剪拼出的图形为何是正方形？如何用今天所学的正方形判定定理验证？” 引导学生回答：剪去的部分以黄金矩形的宽为边长，故四条边相等，且矩形的角为直角，因此剪出的图形是“有一组邻边相等的矩形”，符合正方形判定定理1，故为正方形。强化“剪拼操作”与“理论判定”的联系，深化对判定定理的应用。 1. 知识梳理：引导学生回顾两部分核心内容：① 正方形的三种核心判定方法：从矩形出发（有一组邻边相等）、从菱形出发（有一个角是直角）、从平行四边形出发（双重条件）；② 黄金矩形特征及剪拼正方形的方法，明确剪拼与正方形判定的关联。 2. 思想总结：强调“类比探究”（类比矩形、菱形的判定思路）和“转化思想”（将正方形的判定转化为矩形或菱形的判定）的应用。 3. 易错提醒：总结常见错误，如“只满足一个条件就判定为正方形”，提醒学生判定时需同时满足矩形和菱形的相关条件。 探究新知 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图 1 的方法折出一个正方形 MNAB，然后把纸片展平. A B N M 图 1 探究新知 第二步，如图 2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。 A B N M D C 图 2 探究新知 第三步，折出矩形 CDAB 的对角线 BD，并把 BD 折到图 3 中所示的 ED 处. A B N M D C E 图 3 探究新知 B M A N E F 第四步，展平纸片，如图 4，按照所得的点 E 折出 EF，矩形 BAEF 就是黄金矩形。 图 4 探究新知 你能说明为什么矩形 BAEF 是黄金矩形吗？（提示：设 MN 的长为 2. ） B M A N E F 2 D C 2 1 = 探究新知 　　矩形MNEF是黄金矩形吗？请说明理由．　　 1 1 2 是黄金矩形 B M A N E F D C 探究新知 活动2 剪拼正方形 如图 5，有两个大小不等的正方形纸片，你能通过剪拼，把它们拼接成一个大正方形吗？试试看！ 图 5 探究新知 图 6 给出了一种方法，请你说出这种方法剪拼的过程，你还有其他方法吗？ 图 6 探究新知 事实上，图 6 就是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”（图 7），利用了将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这也是我国古代“出入相补法”的基本思想.请你查阅相关资料，了解出入相补法及其在我国古代数学研究中的作用. 图 7 朱出 朱方 青方 青出 朱入 青入 青出 青入 a b c 探究新知 1．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，使点B正好落在AD边上的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为________． 中考考法 13 【点拨】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD.∴△ABC，△ACD都是等边三角形. ∴∠CAD＝∠B＝60°. 中考考法 14 返回 中考考法 15 2．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，P为AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH． 中考考法 16 (1)求证：∠APB＝∠BPH． 【证明】∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC.∴∠APB＝∠PBC. 由折叠的性质，得∠EPH＝∠EBC，PE＝BE， ∴∠EBP＝∠EPB. ∴∠EBC－∠EBP＝∠EPH－∠EPB， 即∠PBC＝∠BPH. ∴∠APB＝∠BPH. 中考考法 17 (2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？请证明你的结论． 【解】△PDH的周长不发生变化．证明如下： 过点B作BQ⊥PH，垂足为Q， ∴∠BQP＝∠BQH＝90°. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC. 中考考法 18 ∵BP＝BP，∠A＝∠BQP，由(1)知∠APB＝∠BPH， ∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝QB. 又∵AB＝BC，∴BC＝BQ. 又∵BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH＝QH. ∴△PDH的周长为PD＋DH＋PH＝PD＋DH＋AP＋HC＝AD＋CD＝8. 故△PDH的周长不发生变化． 返回 中考考法 19 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△AEF折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF．若DG＝2，BG＝6，求AF的长． 中考考法 20 中考考法 21 返回 中考考法 22 4．[2025深圳月考]把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF． 中考考法 23 (1)连接BE，求证：四边形BFDE是菱形； 【证明】如图，由折叠可知，EF垂直并平分BD，设BD 与EF交于点O，则BF＝DF，OB＝OD. ∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BF. ∴∠EDO＝∠FBO. 又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)． ∴DE＝BF. ∴四边形BFDE是平行四边形． 又∵BF＝DF，∴四边形BFDE是菱形． 中考考法 24 返回 (2)若AB＝8 cm，BC＝16 cm，求线段DF的长． 【解】设DF＝x cm，则BF＝x cm，则CF＝(16－x) cm. 在Rt△DCF中，由勾股定理得x2＝(16－x)2＋82， 解得x＝10，∴DF＝10 cm. 中考考法 25 谢谢观看！ 3 ∵EG⊥AC，∴∠GOA＝90°.∴∠AGO＝30°. 由折叠可知∠EGF＝∠B＝60°，∴∠AGH＝90°.∴FG⊥AD. ∵AD∥BC，∴FG＝等边三角形ABC的边BC上的高＝＝3. 【解】作FH⊥BD于点H.由折叠的性质可知， FG＝FA.由题意得BD＝DG＋BG＝8. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°， ∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°. ∴△ABD为等边三角形．∴AD＝BD＝8. 设AF＝x，则FG＝x，DF＝8－x. 在Rt△DFH中，易知∠FDH＝60°，∴∠DFH＝30°. ∴DH＝DF＝(8－x)＝4－x. ∴HG＝. 在Rt△FDH中，由勾股定理得FH2＝(8－x)2－＝x2－12x＋48.在Rt△FHG中，FG2＝FH2＋GH2，即x2＝x2－12x＋48＋，解得x＝，∴AF的长为. $