期末培优练习 综合实践 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以新定义几何与项目式实践为载体，构建“概念生成-基础探究-拓展延伸”的知识逻辑链，培养抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义几何|3组（等对直/神奇/奇特四边形）|概念辨析→性质证明→综合计算|从概念抽象到性质推导，再到复杂情境应用| |项目式实践|3个（电动门/古树测量/飞机起落）|实际问题抽象→数学建模→数据求解|现实情境转化为几何或函数模型，发展应用意识| |综合几何计算|2组（矩形折叠/动点问题）|动态几何→多情况分类→最值探究|结合图形变换与运动，强化推理能力与空间观念|

期末培优练1 1.定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”． 如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由． 如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长． 如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长． 【答案】(1)解：四边形是“等对直四边形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对直四边形”；   (2)解：第一种情况：平分， ∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即的长为； 第二种情况：平分， 同理可证， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为x，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 即的长为； 综上所述，的长为或；   (3)解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴．   2.【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． 在平行四边形；矩形；菱形；正方形中一定是“神奇四边形”的是          填序号． 【基础探究】 如图，在正方形中，为边上一点不与，重合，连接，过点作于点，交于点，连接，． 求证：四边形为“神奇四边形”； 若四边形的面积为，正方形边长为，求的长． 【拓展延伸】如图，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点若，正方形的边长，请直接写出的长． 【答案】(1)④  (2)①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ∴， ∴， ∵正方形边长为7， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴；   (3)解：如图，延长交于点， ∵， ∴由翻折的性质可知，，，，， 又∵正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴．   期末培优练2 1.【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材 如图，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材 将图状态下的电动门抽象成如图所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材 如图，当有车辆来临，触发感应装置，电动门矩形自动抬起，变为四边形． 问题解决 任务：在抬起状态下，四边形的形状为          ； 任务：如图，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； 任务：如图，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．参考数据： 【答案】(1)平行四边形  (2)解：如图，连接，过点作于点N， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 即，两点间的距离为；   (3)解：汽车能安全通过．理由如下： 在上取，，作于点F，交于点H，交于点G， 即汽车与保持安全距离，汽车的宽， ∴， 依题意得：，，四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵汽车高度为，， ∴汽车能安全通过．   2.为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度结果保留根号 【答案】【解】选甲组．四边形为矩形，在中，，． 由勾股定理得，即，解得负值已舍去， ． 选乙组在中，，，，，． 在中，，，，写出一种即可   期末培优练3 1.某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】飞机起落问题． 【设计实践任务】选择“素材”“素材”，设计了“任务”“任务”“任务”的实践活动请你尝试帮助他们解决相关问题． 飞机起落问题的思考 素材 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，号指挥机看成点始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材 号试飞机看成点一直保持在号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式和号机的爬升速度； 任务 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计号机着陆点的坐标； 任务 计算时长 通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 【答案】解：任务设段关于的函数解析式为， ，，当时，， 段关于的函数解析式为 号机从点到达点飞行的路程为，所用时间为， 号机的爬升速度为． 任务点的横坐标为， 点的坐标为． 设段关于的函数解析式为、为常数，且． 将和分别代入， 得，解得 段关于的函数解析式为． 当时，，解得， 预计号机着陆点的坐标为 任务当号机在段，且时，，解得， 当号机在段，且时，，解得． 根据图象可知，当时，两机距离不超过， 两机距离不超过的时长是． 2. 项目化学习玉米种子购买方案的选择 项目背景 种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益。某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务 探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系． 研究步骤 收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； 对收集的信息进行整理、描述；信息分析，形成结论． 数据信息 信息甲商店这种玉米种子的售价为元，无论购买多少均不打折； 信息乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内含 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决 分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额元与购买量之间的函数关系式； 现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 【答案】解：依题意，甲商店：乙商店：当时，依题意，，当时，设关系式为，将，代入，得，解得，函数关系式为，综上所述，乙商店：． 当时，，选择甲商店更合算由，得． 当时，选择甲商店更合算由，得． 当时，选择两个商店的付款金额相同由，得． 当时，选择乙商店更合算综上，当时，选择甲商店更合算当时，选择两个商店一样当时，选择乙商店更合算． 期末培优练3 1.已知：在中，，、、的对边分别为、、，设的面积为，周长为． 填表： 三边、、 、、 ______ 、、 ______ 、、 ______ 如果，观察上表猜想：______用含有的代数式表示． 证明中的结论． 【答案】      【解析】解 三边、、 、、 、、 、、 故答案为：，；； ．  故答案为：． 证明： 在中， ， 即， ， ，    ， ， ． 2.如图，矩形中，，，点在边上，且不与点，点重合，直线与的延长线交于点． 当点是的中点时，求证：； 将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． 证明，并求出在条件下的值； 连接，求周长的最小值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ；   (2)解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值．   期末培优练4 1.定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． 如图，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； 如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线若四边形的面积为，直接写出的长为______； 如图，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 【答案】在矩形中，， 为直角三角形， 由矩形的性质可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 四边形是奇特四边形  或  的最小值为  【解析】证明：矩形的对角线，交于点， ，， 为直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 四边形是奇特四边形； 解：的长为或；理由如下： 在菱形中， 为直角三角形， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ． 当时，如图，作交于点， ， ， 为等腰三角形， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 当时，如图，作交的延长线于点， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在和中， ， ≌， ， 又，，共线， ，，共线， 则在上，不是四边形，不符合题意， 故此情形不存在； 当时，如图， 综上所述，的长为或， 故答案为：或； 解：在菱形中，， ，， 如图，连接， 是等边三角形， 同理是等边三角形， 情形一：当是奇特线时，如图，则是直角三角形，且， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， 延长交于点，连接， 又， 是等边三角形， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 当取得最小值时，取得最小值， 当时，取得最小值， 此时， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的最小值为； 情形二：当为奇特线时， ，故不能为直角三角形， 当为等腰三角形时，，重合，此时也为等腰三角形，不为直角三角形，故此情形不存在， 综上所述，的最小值为． 2.如图，线段两个端点的坐标分别为，，直线：为常数经过点和． 求和的值； 若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值； 直线：经过点，且与线段有交点包含，两点，直接写出的取值范围． 【答案】解：直线：为常数经过点，  ，  解得，  直线：，  把代入得，；  ，，  线段的中点为，  设平移后的直线的解析式为，  将线段的中点代入得，  解得；  直线：经过点，  ，  直线：，  代入得，，解得，  代入得，，解得，  的取值范围是．  【解析】解：直线：为常数经过点，  ，  解得，  直线：，  把代入得，；  ，，  线段的中点为，  设平移后的直线的解析式为，  将线段的中点代入得，  解得；  直线：经过点，  ，  直线：，  代入得，，解得，  代入得，，解得，  的取值范围是． 期末培优练5 1.如图，在梯形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． 经过多少时间，四边形成为矩形？ 经过多少时间，四边形成为等腰梯形？ 问四边形是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如何改变点的速度匀速运动，使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． 【答案】解：，， 当时，四边形成为矩形， 此时有，解得． 当时，四边形成为矩形； ， 当，时，四边形为等腰梯形． 过，分别作，，垂足分别为，． 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ． 由等腰梯形的性质知，． ， 即，解得． 当时，四边形是等腰梯形； 四边形不能成为菱形．理由如下： ， 当时，四边形能成为菱形． 由，得，解得， 当时，，， 四边形不能成为菱形； 如果点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形， 由题意，得，解得． 故点的速度为时，能够使四边形在某一时刻为菱形．  根据题目条件，回答下列各题 问题呈现 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于、，求证四边形是菱形请你补全证明过程； 类比应用 如图，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点与点重合，点的对应点为，若，，求四边形的周长； 拓展延伸 如图，矩形中，，，点在射线上运动，将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上时，求的长． 【答案】证明：如图，四边形是矩形，设与交于点，    ，  ，  垂直平分，  ，，  在和中，  ，  ≌，  ，  ，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是菱形；  解：如图，四边形是矩形，连接、，    ，  在中，由勾股定理得：，  将矩形沿翻折，使点与点重合，点的对应点为，  垂直平分，  同证得：四边形是菱形，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  、，  ，  ，  解得：，  四边形的周长为：；  解：四边形是矩形，  、、，  设线段的中垂线交于点，交于点，  、，  四边形是矩形，  、，  分两种情况：  如图，当点在矩形的内部时：    将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上，  、，  在中，由勾股定理得：，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  即的长为；  如图，当点在矩形的外部时，    将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上，  、，  同得：，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  即的长为；  综上所述，点刚好落在的中垂线上时，的长为 或．  【解析】证明：如图，四边形是矩形，设与交于点，    ，  ，  垂直平分，  ，，  在和中，  ，  ≌，  ，  ，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是菱形；  解：如图，四边形是矩形，连接、，    ，  在中，由勾股定理得：，  将矩形沿翻折，使点与点重合，点的对应点为，  垂直平分，  同证得：四边形是菱形，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  、，  ，  ，  解得：，  四边形的周长为：；  解：四边形是矩形，  、、，  设线段的中垂线交于点，交于点，  、，  四边形是矩形，  、，  分两种情况：  如图，当点在矩形的内部时：    将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上，  、，  在中，由勾股定理得：，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  即的长为；  如图，当点在矩形的外部时，    将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上，  、，  同得：，  ，  设，则，  在中，由勾股定理得：，  ，  解得：，  即的长为；  综上所述，点刚好落在的中垂线上时，的长为 或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末培优练1 1.定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”． 如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由． 如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长． 如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长． 2.【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． 在平行四边形；矩形；菱形；正方形中一定是“神奇四边形”的是          填序号． 【基础探究】 如图，在正方形中，为边上一点不与，重合，连接，过点作于点，交于点，连接，． 求证：四边形为“神奇四边形”； 若四边形的面积为，正方形边长为，求的长． 【拓展延伸】如图，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点若，正方形的边长，请直接写出的长． 期末培优练2 1.【项目式学习】 项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 素材 如图，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 素材 将图状态下的电动门抽象成如图所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 素材 如图，当有车辆来临，触发感应装置，电动门矩形自动抬起，变为四边形． 问题解决 任务：在抬起状态下，四边形的形状为          ； 任务：如图，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； 任务：如图，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．参考数据： 2.为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量古树高度”的项目式学习活动其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案，他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度结果保留根号 期末培优练3 1.某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】飞机起落问题． 【设计实践任务】选择“素材”“素材”，设计了“任务”“任务”“任务”的实践活动请你尝试帮助他们解决相关问题． 飞机起落问题的思考 素材 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，号指挥机看成点始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材 号试飞机看成点一直保持在号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式和号机的爬升速度； 任务 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计号机着陆点的坐标； 任务 计算时长 通过计算说明两机距离不超过的时长是多少． 2. 项目化学习玉米种子购买方案的选择 项目背景 种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益。某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务 探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系． 研究步骤 收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； 对收集的信息进行整理、描述；信息分析，形成结论． 数据信息 信息甲商店这种玉米种子的售价为元，无论购买多少均不打折； 信息乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内含 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决 分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额元与购买量之间的函数关系式； 现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 期末培优练3 1.已知：在中，，、、的对边分别为、、，设的面积为，周长为． 填表： 三边、、 、、 ______ 、、 ______ 、、 ______ 如果，观察上表猜想：______用含有的代数式表示． 证明中的结论． 2.如图，矩形中，，，点在边上，且不与点，点重合，直线与的延长线交于点． 当点是的中点时，求证：； 将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． 证明，并求出在条件下的值； 连接，求周长的最小值． 期末培优练4 1.定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫作奇特线． 如图，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； 如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线若四边形的面积为，直接写出的长为______； 如图，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为奇特四边形，请求出最小值． 2.如图，线段两个端点的坐标分别为，，直线：为常数经过点和． 求和的值； 若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值； 直线：经过点，且与线段有交点包含，两点，直接写出的取值范围． 期末培优练5 1.如图，在梯形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． 经过多少时间，四边形成为矩形？ 经过多少时间，四边形成为等腰梯形？ 问四边形是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如何改变点的速度匀速运动，使四边形在某一时刻为菱形，求点的速度． 2.根据题目条件，回答下列各题 问题呈现 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片王老师问了小明一个问题：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于、，求证四边形是菱形请你补全证明过程； 类比应用 如图，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点与点重合，点的对应点为，若，，求四边形的周长； 拓展延伸 如图，矩形中，，，点在射线上运动，将沿着折叠，当点恰好落在的中垂线上时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $