第03讲 绝对值与相反数（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学新教材苏科版

第03讲 绝对值与相反数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 绝对值 同学们，我们先来听一个有趣的小故事.假设在一栋房子的门口，同时跑出了两只小狗（一只灰狗，一只黄狗）.有人在这栋房子的东边3米处和西边3米处，各藏了一根香喷喷的骨头.两只小狗非常聪明，灰狗向西跑了3米找到了骨头，黄狗向东跑了3米也找到了骨头. 现在老师想问大家两个问题：两只小狗跑的方向一样吗？两只小狗跑的路程一样吗？ 大家发现了吗？在计算小狗跑了多远时，我们只需要关心它跑了多少米，而完全不需要关心它往哪个方向跑.在数学里，这种"只看距离、不看方向"的数，就引出了我们今天要学习的新概念——绝对值. 【知识点1 绝对值】 1. 定义：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值． 2. 表示：通常，我们将数a的绝对值记为，读作“a的绝对值”．例如的绝对值等于4，记作；的绝对值等于5，． 【知识点2 绝对值的代数求法】 正数的绝对值是它本身． 负数的绝对值是它的相反数．(后面学习) 0的绝对值是0． 即当0，那么；如果，那么；如果，那么． 【知识点3 利用绝对值比较两个数的大小】 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数小． 【题型1 绝对值的相关概念】 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1-1】一个数的绝对值等于它本身，则这个数是（    ） A．正数 B．负数 C．0或1 D．正数或0 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数或0， 故选D． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知四个有理数在数轴上对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点A表示的数 B．点B表示的数 C．点C表示的数 D．点D表示的数 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值的定义，理解一个数的绝对值表示这个数到原点的距离是解题的关键． 根据数轴即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，点D到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是点D表示的数． 故选：D． 【变式1-3】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）写出一个负整数，使这个数的绝对值大于，这个数可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，有理数大小比较，根据题意写出一个一个负整数且绝对值大于，即可求解． 【详解】解：依题意，是负整数，且， ∴这个数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型2 绝对值的几何意义】 【例2】已知数轴上两点A、B到原点的距离是2和7，则A，B两点间的距离是（   ） A．5 B．9 C．5或9 D．7和9 【答案】C 【分析】与原点距离为2和7的点分别有两个，分别在原点的左边和右边，左边用减法，右边；用加法计算即可数轴上两点间的距离：数轴上两点对应的数的差的绝对值． 【详解】解：当点A、B在原点左边时，A为02=2，B为07=7，则A、B两点间距离为2（7）=5； 当点A在原点左边，点B在原点右边时，A为02=2，B为70=7，则A、B两点间距离为7（2）=9； 当点A在原点右边，点B在原点左边时，A为20=2，B为07=7，则A、B两点间距离为2（7）=9； 当点A、B在原点右边时，A为20=2，B为70=7，则A、B两点间距离为72=5． 故选C． 【点睛】本题考查数的绝对值的几何意义和数轴上两点间距离的求法：右边点的坐标减去左边点的坐标；或两点坐标差的绝对值． 【变式2-1】的含义是：数轴上表示数的点与原点的距离．那么的含义是________； 【答案】数轴上表示数的点到与原点的距离 【分析】根据绝对值的几何意义进行解答即可． 【详解】解：的含义是：数轴上表示数的点到与原点的距离， 故答案为：数轴上表示数的点到与原点的距离． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，熟知绝对值代表的含义是解本题的关键． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义，求出，，，四个点的绝对值，对四个选项进行逐项分析即可． 【详解】点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意． 故选A． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若，则a是（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：当a是正数或0时，，不符合题意； 当a是负数时，，，即，符合题意； 故选：B． 【题型3 与绝对值相关的计算】 【例3】（25-26六年级上·上海崇明·期末）如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，求一个数的绝对值，根据绝对值的定义和可确定b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】计算：___________． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 【变式3-2】计算：______ 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质化简，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 【变式3-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，，且，则的值为（  ） A．5或 B．1或 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质，结合求得a、b值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 即的值为5或． 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b满足，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴ ． 【变式4-1】（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 【变式4-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若．则的值为（   ） A． B．8 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，利用“两个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出x，y的值，再计算即可. 【详解】解：∵任意实数的绝对值都是非负数， ∴，. 又∵， ∴，. 故，. 解得，. ∴. 【变式4-3】下列说法正确的是（    ） A． B．当时，取最小值 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义以及绝对值的非负性逐一分析四个选项，即可得出结论． 【详解】解：A、当x是非负数时，，故此选项错误，不符合题意； B、∵， ∴当即时，取最小值，故此选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，， ∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，牢记绝对值的意义以及绝对值的非负性是解题的关键． 【题型5 利用绝对值比较两个数的大小】 【例5】（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，因为________， ________，所以________． 因为两个负数比较大小，绝对值大的________，所以________． 【答案】 2 4 反而小 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，再由两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：比较与的大小，因为，，所以． 因为两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以， 故答案为：，，，反而小，． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数比较大小、多重符号的化简等知识，掌握有理数的大小比较原则是解题的关键．根据负数比较大小，绝对值大的反而小即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（2026·陕西榆林·二模）在标准大气压下，水、水银、酒精、甲苯的凝固点（单位：）分别为、、、，其中凝固点最低的物质是（     ） A．水 B．水银 C．酒精 D．甲苯 【答案】C 【分析】根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小，将给出的四个凝固点按大小排序，找出最小的数对应的物质即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 因此凝固点最低的是，对应物质为酒精． 模块三 相反数 同学们，刚才我们学了绝对值，知道-3和+3到原点的距离都是3.现在请大家想象一下，你站在一面大镜子前，举起你的右手. 镜子里的那个“你”，举起的是哪只手？对，是左手！ 镜子里的你和你本人，就像是数学里的“相反数”.你们长得一模一样（距离原点一样远），但是方向完全相反（一个在左，一个在右）. 在数轴上，像-3和+3这样，只有符号不同的两个数，我们就说它们互为相反数.今天，我们就来认识一下这对“相反数“镜子里的好朋友”！ 【知识点4 相反数】 1. 定义：只有符号不同的两个数称为互为相反数0的相反数是0 表示：在一个数的前面添上“”号就表示原数的相反数若a表示一个数，则a的相反数表示为 2. 性质：互为相反数的两个数绝对值相等． 表示：． 【题型6 相反数的相关概念】 【例6】（2026·湖北荆门·一模）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：实数的相反数是． 【变式6-1】下列说法中，正确的是（    ） A．与互为相反数 B．任何负数都小于它的相反数 C．数轴上表示的点一定在原点左边 D．的相反数是 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，有理数与数轴，绝对值，根据相反数的定义，有理数的定义及绝对值意义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、与互为相反数，该选项说法错误，不合题意； 、∵负数的相反数是正数， ∴任何负数都小于它的相反数，该选项说法正确，符合题意； 、∵可以表示任何数， ∴数轴上表示的点可能在原点的左边，原点上或原点的右边，该选项说法错误，不合题意； 、∵， ∴的相反数不是，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式6-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）若一个数的相反数与绝对值都是本身，则这个数是_________． 【答案】0 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的含义，熟知零的相反数和绝对值都是本身是解题的关键． 零的相反数和绝对值都是本身即可求解． 【详解】解：因为零的相反数和绝对值都是本身， 所以这个数是0． 故答案为：0． 【变式6-3】（2026·河南南阳·模拟预测）点A、B、C、D在数轴上的位置如图，则表示的相反数的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据相反数的定义解题． 【详解】解：的相反数是，选项D符合题意． 【题型7 相反数的性质】 【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【详解】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 【变式7-1】数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是_____． 【答案】1或5 【分析】根据相反数的定义和到点的距离是2的点的概念，求得点表示的数为或，则点表示的数应该是1或5． 【详解】解：点到点的距离是2， 点表示的数为或， 、两点表示的数互为相反数， 点表示的数应该是1或5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式7-2】（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 【变式7-3】已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 【题型8 利用相反数的意义化简】 【例8】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【变式8-1】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 【答案】 【分析】本题考查多重符号化简，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 【变式8-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简原式，再根据相反数的定义求解． 【详解】解：∵根据负负得正的去括号法则，可得，的相反数是， ∴的相反数是． 【变式8-3】化简：①__________．②_________． ③________． ④________． 【答案】 3 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 【题型9 相反数的应用】 【例9】（25-26七年级上·陕西西安·期中）若与互为相反数，则的值为______ 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，绝对值的非负性，求代数式的值．根据互为相反数的定义，两个数的和为零，结合绝对值的非负性，列出方程求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【变式9-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解： ， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 模块四 课后作业 1．（2026·重庆·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：只有符号不同的两个数互为相反数， 的相反数是． 2．（2026·宁夏吴忠·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】计算各选项的绝对值后比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴的绝对值最小，即对应的点与原点距离最近． 3．（2026·河北邯郸·二模）下列各数中，相反数比本身小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项B．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项C．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项D．，相反数为，，即相反数比本身小，符合要求． 4．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）年元旦这天，海拉尔、扎兰屯、牙克石、额尔古纳四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正数和负数的概念比较即可． 【详解】解：给出的四个气温分别为，，，， 计算得各数的绝对值为，，，， ∵， ∴， 因此最低气温为． 5．已知点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位长度．若点A，B，C，D分别表示数，b，c，d，且满足，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可知a、d互为相反数，从而得到原点是AD的中点，进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴a、d互为相反数， ∴原点是AD的中点， ∵相邻两点之间的距离均为1个单位， ∵BC =1， ∴b=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴的应用，熟练掌握互为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，并且到原点的距离相等是解决此题的关键． 6．（2026·广东珠海·一模）计算：______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：． 7．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：绝对值小于3的负数可以是． 8．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 9．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 10．（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 【答案】 丁 【详解】解：∵，，，，且 ， ∴最小，即丁球偏离标准质量的偏差最小，因此最接近标准质量的球是丁． 11．（25-26六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何把有理数表示在数轴上． 先把含有绝对值和括号的数化简，再把各数表示在数轴上，按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：，， 在数轴上表示下列各数，如图， ． 12．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，的绝对值是7，与的和是．” (1)_________，_________，_________． (2)求的值． 【答案】(1)；；或 (2)或 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及代数式的计算： （1）根据题意求出即可； （2）将求出的代入求值． 【详解】（1）解：的相反数是， ， 的绝对值是， ， 与的和是 ， 当时，， 当时，， 故答案为：；；或． （2）解：将代入得， 将代入得． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 【答案】(1)3 (2)这5个篮球的平均质量为． 【分析】本题考查了绝对值、有理数四则运算的应用． （1）根据超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，绝对值最小的最接近标准，可得最接近标准质量的球； （2）先求出这5个篮球的总质量，再除以5即可求解． 【详解】（1）解：，， 号篮球质量最接近标准质量， 故答案为：； （2）解： 答：这5个篮球的平均质量为． 14．我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数； (3)如果，，且a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点之间最大的距离是多少？最小的距离是多少？ 【答案】(1)3，5； (2)或； (3)13，1． 【分析】本题考查了数轴、绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点之间的距离代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （2）先根据以上的方法求出再解方程即可； （3）先根据题意求出A、B两点表示的数再求这两点之间距离的最大值或最小值即可． 【详解】（1）解：4和1之间的距离是，和3之间的距离是， 故答案为：3，5； （2）解:由题意得：，即， 或， 或， 故答案为：或； （3）解：，， 或，或， 或1，或2， 当A表示9，B表示时，， 当A表示9，B表示2时，， 当A表示1，B表示时，， 当A表示1，B表示2时，， ， A，B两点之间最大的距离是13，最小的距离是1． 故答案为：13，1． 15．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值与相反数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 绝对值 同学们，我们先来听一个有趣的小故事.假设在一栋房子的门口，同时跑出了两只小狗（一只灰狗，一只黄狗）.有人在这栋房子的东边3米处和西边3米处，各藏了一根香喷喷的骨头.两只小狗非常聪明，灰狗向西跑了3米找到了骨头，黄狗向东跑了3米也找到了骨头. 现在老师想问大家两个问题：两只小狗跑的方向一样吗？两只小狗跑的路程一样吗？ 大家发现了吗？在计算小狗跑了多远时，我们只需要关心它跑了多少米，而完全不需要关心它往哪个方向跑.在数学里，这种"只看距离、不看方向"的数，就引出了我们今天要学习的新概念——绝对值. 【知识点1 绝对值】 1. 定义：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值． 2. 表示：通常，我们将数a的绝对值记为，读作“a的绝对值”．例如的绝对值等于4，记作；的绝对值等于5，． 【知识点2 绝对值的代数求法】 正数的绝对值是它本身． 负数的绝对值是它的相反数．(后面学习) 0的绝对值是0． 即当0，那么；如果，那么；如果，那么． 【知识点3 利用绝对值比较两个数的大小】 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数小． 【题型1 绝对值的相关概念】 【例1】（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式1-1】一个数的绝对值等于它本身，则这个数是（    ） A．正数 B．负数 C．0或1 D．正数或0 【变式1-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）已知四个有理数在数轴上对应点A，B，C，D的位置如图所示，则这四个点表示的数中，绝对值最大的是（    ） A．点A表示的数 B．点B表示的数 C．点C表示的数 D．点D表示的数 【变式1-3】（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）写出一个负整数，使这个数的绝对值大于，这个数可以是_____． 【题型2 绝对值的几何意义】 【例2】已知数轴上两点A、B到原点的距离是2和7，则A，B两点间的距离是（   ） A．5 B．9 C．5或9 D．7和9 【变式2-1】的含义是：数轴上表示数的点与原点的距离．那么的含义是________； 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若，则a是（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．非负数 【题型3 与绝对值相关的计算】 【例3】（25-26六年级上·上海崇明·期末）如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 【变式3-1】计算：___________． 【变式3-2】计算：______ 【变式3-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）若，，且，则的值为（  ） A．5或 B．1或 C．或 D．或1 【题型4 绝对值的非负性】 【例4】（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b满足，则______． 【变式4-1】（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若．则的值为（   ） A． B．8 C．9 D．6 【变式4-3】下列说法正确的是（    ） A． B．当时，取最小值 C．若，则 D．若，则 【题型5 利用绝对值比较两个数的大小】 【例5】（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【变式5-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）比较与的大小，因为________， ________，所以________． 因为两个负数比较大小，绝对值大的________，所以________． 【变式5-2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）比较大小：______（填“”“”或“”）． 【变式5-3】（2026·陕西榆林·二模）在标准大气压下，水、水银、酒精、甲苯的凝固点（单位：）分别为、、、，其中凝固点最低的物质是（     ） A．水 B．水银 C．酒精 D．甲苯 模块三 相反数 同学们，刚才我们学了绝对值，知道-3和+3到原点的距离都是3.现在请大家想象一下，你站在一面大镜子前，举起你的右手. 镜子里的那个“你”，举起的是哪只手？对，是左手！ 镜子里的你和你本人，就像是数学里的“相反数”.你们长得一模一样（距离原点一样远），但是方向完全相反（一个在左，一个在右）. 在数轴上，像-3和+3这样，只有符号不同的两个数，我们就说它们互为相反数.今天，我们就来认识一下这对“相反数“镜子里的好朋友”！ 【知识点4 相反数】 1. 定义：只有符号不同的两个数称为互为相反数0的相反数是0 表示：在一个数的前面添上“”号就表示原数的相反数若a表示一个数，则a的相反数表示为 2. 性质：互为相反数的两个数绝对值相等． 表示：． 【题型6 相反数的相关概念】 【例6】（2026·湖北荆门·一模）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列说法中，正确的是（    ） A．与互为相反数 B．任何负数都小于它的相反数 C．数轴上表示的点一定在原点左边 D．的相反数是 【变式6-2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）若一个数的相反数与绝对值都是本身，则这个数是_________． 【变式6-3】（2026·河南南阳·模拟预测）点A、B、C、D在数轴上的位置如图，则表示的相反数的点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型7 相反数的性质】 【例7】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【变式7-1】数轴上A点表示，B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2，则点C表示的数应该是_____． 【变式7-2】（2026·青海西宁·二模）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【变式7-3】已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【题型8 利用相反数的意义化简】 【例8】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式8-1】（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）（1）_______；（2）_______；（3）_______． 【变式8-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）的相反数是（   ） A．7 B． C． D． 【变式8-3】化简：①__________．②_________． ③________． ④________． 【题型9 相反数的应用】 【例9】（25-26七年级上·陕西西安·期中）若与互为相反数，则的值为______ 【变式9-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【变式9-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 模块四 课后作业 1．（2026·重庆·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．5 D． 2．（2026·宁夏吴忠·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（    ） A． B． C．2 D．6 3．（2026·河北邯郸·二模）下列各数中，相反数比本身小的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）年元旦这天，海拉尔、扎兰屯、牙克石、额尔古纳四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（     ） A． B． C． D． 5．已知点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，且相邻两点之间的距离均为1个单位长度．若点A，B，C，D分别表示数，b，c，d，且满足，则b的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东珠海·一模）计算：______． 7．（2026·河南南阳·一模）写出一个绝对值小于3的负数：________________． 8．（2026·贵州安顺·二模）如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 9．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 10．（2026·湖北武汉·一模）检测甲、乙、丙、丁四个排球，超过标准质量的克数记为正数，质量表示如下表： 球 甲 乙 丙 丁 相对于标准质量的克数（单位：克） 其中，最接近标准质量的球是______球． 11．（25-26六年级上·山东淄博·期末）请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 12．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是3，的绝对值是7，与的和是．” (1)_________，_________，_________． (2)求的值． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 14．我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题： (1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______； (2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数； (3)如果，，且a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点之间最大的距离是多少？最小的距离是多少？ 15．（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $