第12讲 统计 课件-湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦“统计”专题，覆盖简单随机抽样与分层随机抽样、总体分布估计、百分位数及数字特征等核心考点，依据考情动态明确“掌握抽样方法与百分位数估计”“理解集中趋势”“了解离散程度”的考查要求，通过梳理高频题型构建备考体系。 课件亮点在于“考点探究+真题训练+素养提升”，如以巩固练习第5题“第50百分位数计算”、第6题“标准差不变性”为例，指导学生用数学思维分析数据规律，掌握分层抽样比例计算、百分位数排序定位等技巧，培养数据观念，助力学生高效突破考点，为教师提供精准复习指导。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第12讲 统 计 必修第二册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 简单随机抽样与分层随机抽样 √ 总体取值规律的估计、总体百分位数的估计 √ 总体集中趋势的估计 √ 总体离散程度的估计 √ 知识梳理 知识梳理 逐个抽取 样本 放回 各个个体 不放回 相等 未进入 相等 放回 不放回 简单随机样本 分层随机抽样 层 分层 个体数与总体的个体数 样本容量 通过调查获取数据 通过试验获取数据 通过观察获取数据 通过查询获得数据 差 等长 高度 最多 从小到大(或从大到小) 中间 平均数 面积 相等 最高 中点 横坐标 离散程度 波动幅度 越大 越小 考点探究 探究点一：简单随机抽样与分层随机抽样 D A 【变式题】 B 5 探究点二：利用样本的频率分布估计总体分布 【变式题】 探究点三：总体百分位数的估计 【变式题】 B 探究点四：用样本数字特征估计总体的数字特征 【变式题】 巩固练习 一、选择题 B A D A C 5.某学生2025年前5个月参加社会实践活动的次数依次为3，2，2，1，1，则该组数据的第50百分位数是( ) A3. B.2.5 C.2 D.1 6.在某次测量中得到的A样本数据如下:82，84，84,86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A.众数 B．平均数 C．中位数 D.标准差 D C C B B C B 二、填空题 三、解答题 本课结束！ 1.简单随机抽样 (1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中① n(1≤n<N)个个体作为② .如果抽取是③ 的，且每次抽取时总体内的④ 被抽到的概率都⑤ ，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是⑥ 的，且每次抽取时总体内⑦ 样本的各个个体被抽到的概率都⑧ ，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. ⑨ 简单随机抽样和⑩ 简单随机抽样统称为简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为⑪ . (2)抽样的必要性 第一，要考查的总体中个体数往往很多，而且在时刻变化，逐一调查不可能.第二，考查往往具有破坏性，所以逐一调查也不可取.这就需要抽查一部分，以此来估计总体. (3)简单随机抽样的两种常用方法：抽签法和随机数法. 2.分层随机抽样 (1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为⑫ ，每一个子总体称为⑬ . (2)分层随机抽样的实施步骤 (ⅰ)将总体按一定的标准⑭ ； (ⅱ)计算各层的⑮ 的比； (ⅲ)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的⑯ ； (ⅳ)在每一层进行抽样组成样本. (3)获取数据的途径 获取数据的基本途径有⑰ 、⑱ 、⑲ 、⑳ 等. 3.频率分布直方图 (1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的eq \o(○,\s\up1(21)) . (2)决定组距与组数：将数据分组时，一般取eq \o(○,\s\up1(22)) 组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来. (3)将数据分组 (4)列频率分布表：各小组的频率＝eq \f(小组频数,样本容量). (5)画频率分布直方图：纵轴表示eq \f(频率,组距)，eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的eq \o(○,\s\up1(23)) ，小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率. 4.百分位数 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据. 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 5.有具体数据的众数、中位数、平均数 (1)众数：一组数据中出现次数eq \o(○,\s\up1(24)) 的数. (2)中位数：把一组数据按eq \o(○,\s\up1(25)) 的顺序排列，处在eq \o(○,\s\up1(26)) 位置的数(或中间两个数的eq \o(○,\s\up1(27)) )叫做这组数据的中位数. (3)如果n个数x1，x2，…，xn，那么 eq \o(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数. 6.频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法 (1)样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的eq \o(○,\s\up1(28)) 与小矩形eq \o(○,\s\up1(29)) 的乘积之和近似代替. (2)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应eq \o(○,\s\up1(30)) . (3)将eq \o(○,\s\up1(31)) 小矩形所在的区间eq \o(○,\s\up1(32)) 作为众数的估计值. 7.方差、标准差 (1)假设一组数据为x1，x2，…，xn，则这组数据的平均数eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，方差为s2＝ eq^\o( ,\s\do4(i＝1)) ，标准差s＝ . (2)标准差刻画了数据的eq \o(○,\s\up1(33)) 或eq \o(○,\s\up1(34)) ，标准差eq \o(○,\s\up1(35)) ，数据的离散程度越大；标准差eq \o(○,\s\up1(36)) ，数据的离散程度越小. 【例1】 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．某班45名同学，指定个子高的5人参加某活动 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D．用抽签的方法从10件产品中选取3件进行质量检验 【解析】 选项A，B不是简单随机抽样；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样． (2)(2025·黑龙江省学考)已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】 分层随机抽样是按比例抽样的，所以老年人被抽到的人数是10× eq \f(40,100)＝4. (1)(2024·云南省学考)某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人．现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取n人进行调查研究．若抽到男生20人，则n＝( ) A．60 B．45 C．35 D．25 【解析】 由题意男生有1200人，女生1500人，现按男生、女生进行分层，调查研究中男生被抽到20人，所以分层抽样的比例为 eq \f(20,1200)＝ eq \f(1,60)，所以n＝2700× eq \f(1,60)＝45.故选B. 【答案】 B (2)(2024·湖南省学考)已知某班有男生25人，女生20人，为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查，若样本按比例分配，则抽取的男生人数为 . 【解析】 分层随机抽样是按比例抽样的，所以男生人数为9× eq \f(25,25＋20)＝5. 【答案】 5 【例2】 为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？ (2)若次数在130以上(含130次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ (3)样本中不达标的学生人数是多少？ (4)第三组的频数是多少？ 【解析】 (1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为 eq \f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08， 所以样本容量为 eq \f(12,0.08)＝150. (2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为 eq \f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%. (3)由(1)(2)知样本量为150，达标率为88%，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12， 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18. (4)第三小组的频率为 eq \f(17,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.34. 又因为样本量为150， 所以第三组的频数为150×0.34＝51. (2025·云南省学考)某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速(单位：km/h)，并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是[30，80]，其中时速不低于50 km/h的汽车有y辆，数据分组为[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]. (1)求直方图中x的值； (2)求y的值． 【解析】 (1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10×(0.005＋0.018＋0.039＋x＋0.01)＝1， 解得x＝0.028 ， 所以直方图中x的值为0.028. (2)时速不低于50 km/h的汽车频率为10×(0.039＋0.028＋0.01)＝0.77， 所以y＝0.77×100＝77. 【例3】 甲组数据：1，1，2，3，4，4，5，5，5，6，6，6，7，8，9，10，11，13，16，19； 乙组数据：1，1，2，3，4，4，5，5，5，6，6，6，7，8，10，14，15，16，18，19. 计算甲、乙两组数据的第一四分位数． 【解析】 由题意得甲组和乙组都有20个数据， 因为20× eq \f(25,100)＝5， 所以甲组数据的第一四分位数为 eq \f(4＋4,2)＝4， 乙组数据的第一四分位数为 eq \f(4＋4,2)＝4. (2024·贵州省学考)已知10位同学的身高(单位：cm)分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178，181，则这组数据的第50百分位数为( ) A．163 B．165 C．175 D．178 【答案】 B 【解析】 因为10×50%＝5，所以其50%分位数是第5个数据与第6个数据的平均值，为165. 【例4】 (2025·浙江省学考)中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长．大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布．某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65](单位：岁)这五组，并画出频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值和80%分位数(精确到小数点后一位)； (2)根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌 A的网友的平均年龄． 【解析】 (1)由频率分布直方图可得(a＋0.03＋0.015＋0.01×2)×10＝1，解得a＝0.035. 设80%分位数为x，则0.1＋0.3＋0.35＋0.015(x－45)＝0.8，解得x≈48.3， 所以80%分位数为48.3. (2)由频率分布直方图可知，平均数为20×0.1＋30×0.3＋40×0.35＋50×0.15＋60×0.1＝38.5， 所以估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄为38.5岁． 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题更为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a (单位：t)，用水量不超a的部分按平价收费，超过a的部分按议价收费．为了解居民用水情况，通过抽样，收集了部分居民的月均用水量(单位：t)，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中m的值； (2)若使该市85%的居民月用水量不超过标准a，试估计a的值． 【解析】 (1)根据直方图知：小长方形的面积之和为1， 所以0.5×(0.1＋m＋0.4＋0.5＋0.4＋0.2＋0.1)＝1， 所以m＝0.3. (2)0.1×0.5＋0.3×0.5＋0.4×0.5＋0.5×0.5＋0.4×(a－2)＝0.85， 所以a＝2.5. 1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( ) A．某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加抗疫活动 B．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验 C．从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本 D．饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查 2．(2024·浙江省学考模拟)要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法是( ) A．①用分层随机抽样法，②用抽签法 B．①用简单随机抽样法，②用抽签法 C．①用随机数法，②用抽签法 D．①用随机数法，②用分层随机抽样法 3．(2024·云南省学考)某大学学生管理处为了了解新入学的3000名大学生的生活情况，从中抽取了120名大学生进行调查研究．在这个问题中，被抽取的120名大学生是( ) A．总体　 B．个体 C．样本量 D．样本 4．(2023·吉林省学考)某学校有高中学生1000人，其中高一学生360人，高二学生340人，高三学生300人，按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从全校高中学生中抽取一个容量为100的样本．若样本按比例分配，则在高三学生中应抽取的人数为( ) A．30 B．34 C．36 D．60 7．(2023·湖南省学考)某中学有男生600人，女生400人．为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170 cm和160 cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是( ) A．162 cm B．164 cm C．166 cm D．168 cm 【解析】 根据分层随机抽样的比例知男生、女生的人数分别为6人和4人， 样本中学生的平均身高为 eq \f(170×6＋160×4,6＋4)＝166(cm)， 再由样本估计总体得该校学生的平均身高是166 cm， 故选C. 8．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25，25.3)，6；[25.3，25.6)，4；[25.6，25.9)，10；[25.9，26.2)，8；[26.2，26.5)，8；[26.5，26.8]，4.则样本在[25，25.9)上的频率为( ) A． eq \f(3,20) B． eq \f(1,10) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4) 【解析】 样本在[25，25.9)上的频数为6＋4＋10＝20，则频率为 eq \f(20,40)＝ eq \f(1,2). 9．一组数据6，7，8，a，10的平均数为8，则此组数据的方差为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 由题意， eq \f(1,5)×(6＋7＋8＋a＋10)＝8，解得a＝9，故此组数据的方差为 eq \f(1,5)×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.故选B. 10．某校为了解学生课外阅读情况，对该校学生的年阅读量(单位：本)进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第25百分位数所在的区间为( ) A．[15，25) B．[25，35) C．[45，55) D．[55，65) 【解析】 数据在[15，25)上的概率为0.005×10＝0.05<0.25， 数据在[15，35)上的概率为0.005×10＋0.030×10＝0.35>0.25， 故样本数据的第25百分位数所在的区间为[25，35). 故选B. 11．(2025·北京市学考)某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量(单位：kg)如下： 种类 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水稻产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是( ) A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【解析】 对于A，只有第二和第三年甲水稻产量比乙水稻产量小，故A错误； 对于B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对于C，甲水稻年产量的均值为 eq \f(900＋920＋900＋850＋910,5)＝896， 甲水稻产量的方差为 eq \f(1,5)×[(900－896)2＋(920－896)2＋(900－896)2＋(850－896)2＋(910－896)2]＝584， 乙水稻年产量的均值为(890＋960＋950＋850＋860)× eq \f(1,5)＝902， 乙水稻产量的方差为 eq \f(1,5)×[(890－902)2＋(960－902)2＋(950－902)2＋(850－902)2＋(860－902)2]＝2056， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对于D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为110，故D错误． 故选C. 12．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示． 下列四个结论中错误的是( ) A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D．2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平 【解析】 由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误．故选B. 13．(2025·湖南省学考)某短跑运动员在某次集训中10次100米短跑的成绩如图所示，则该组数据的极差是 . 0.8 14．(2024·云南省学考)学校从甲、乙两名射击运动员中推荐一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩(单位：环)如下： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 经计算得： eq \o(x,\s\up6(－))甲＝8， eq \o(x,\s\up6(－))乙＝8，s eq \o\al(2,甲)＝0.6，s eq \o\al(2,乙)＝1.4. 根据上述信息，学校应推荐 参加市中学生运动会． 甲 15．(2023·湖南省学考)为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟． 45 16．有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c从小到大排列为 . 【解析】 将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝ eq \f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7. 中位数b＝15，众数c＝17，显然a<b<c. a<b<c 17．(2025·辽宁省学考)社会十分关注青少年的身体素质情况．某学校进行了身体素质情况测试，满分10分，已知得分均为正整数．这次身体素质情况测试中甲、乙两组学生成绩得分如下： 成绩/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲组人数 0 0 1 1 1 3 0 1 0 1 乙组人数 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 (1)某同学说：“在这次身体素质情况测试中，我得了8分，也是我们组得分的80%分位数．”根据以上信息，判断该同学位于哪组并结合数据说明理由； (2)数据的数学特征能反映特点信息，例如方差能够反映数据的波动，众数能够反映一组数据的集中情况，因此，多个数学特征计算与全面分析更有参考价值．请分别计算甲、乙两组的众数与方差． 【解析】 (1)该同学在甲组，理由如下： 甲组数据从小到大的排列为3，4，5，6，6，6，8，10，一共8个数， 因为8×80%＝6.4，所以80%分位数为第7个数8，满足该同学的描述． (2)方差的公式为s2＝ eq \f(1,n) (xi－ eq \o(x,\s\up6(－)))2. 甲组数据为3，4，5，6，6，6，8，10，其中甲组的平均数为 eq \o(x,\s\up6(－))甲＝(3＋4＋5＋6＋6＋6＋8＋10)× eq \f(1,8)＝6， 代入方差公式得s eq \o\al(2,甲)＝ eq \f(1,8)[(6－3)2＋(6－4)2＋(6－5)2＋3×(6－6)2＋(6－8)2＋(6－10)2]＝4.25. 乙组数据为1，4，7，7，8，9，10，10，其中乙组的平均数为 eq \o(x,\s\up6(－))乙＝(1＋4＋7＋7＋8＋9＋10＋10)× eq \f(1,8)＝7， 代入方差公式得s eq \o\al(2,乙)＝ eq \f(1,8)[(7－1)2＋(7－4)2＋2×(7－7)2＋(7－8)2＋(7－9)2＋2×(7－10)2]＝8.5. 所以甲组的方差为4.25，乙组的方差为8.5. 观察数据，甲组的众数为6，乙组的众数为7，10. 18．(2024·湖南省学考)某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示． (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率． 【解析】 (1)估计这名运动员射击成绩的众数为8. (2)估计这名运动员射击一次命中9环的概率为 eq \f(25,100)＝ eq \f(1,4). (3)因为一次命中环数都大于8环的概率为 eq \f(25＋15,100)＝ eq \f(2,5)， 所以两次命中环数都大于8环的概率为( eq \f(2,5))2＝ eq \f(4,25). 19．生命在于运动，随着国民生活水平不断提高，人们越来越注重体育锻炼．某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数(单位：千步)，将数据进行整理，得到了频率分布表，如表所示，并据此作出了频率分布直方图的一部分，如图所示． (1)求频率分布表中a，b的值，并请补全频率分布直方图； (2)估计此人每天行走步数不少于10千步的概率． 分组 频数 频率 [4，6) 5 0.05 [6，8) 15 0.15 [8，10) 20 0.20 [10，12) a b [12，14) 20 0.20 [14，16] 10 0.10 合计 100 1 【解析】 (1)a＝30，b＝0.30，补全频率分布直方图如图． (2)估计此人每天行走步数不少于10千步的概率为P＝0.3＋0.2＋0.1＝0.6. $