第8讲 平面向量——湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学课件

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量专题，覆盖平面向量的概念、线性运算、数量积、基本定理及坐标表示等核心考点，依据考情分析明确“掌握线性运算及坐标表示”“理解数量积与基本定理”等考查要求，通过知识梳理构建体系，考点探究归纳六大常考题型，体现高考备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“考情动态+分层训练”的设计，如探究点五通过数量积公式推导与投影向量计算培养数学思维，达标训练中选择题、填空题、解答题分层设置，帮助学生掌握坐标运算技巧与线性运算推理方法，教师可据此精准把握考点权重，助力学生高效突破高频考点，提升高考得分率。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第8讲 平面向量 必修第二册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 平面向量的概念 √ 平面向量的加法、减法、数乘运算 √ 向量的数量积 √ 平面向量基本定理 √ 平面向量的加法、减法、数乘运算及数量积的坐标表示 √ 知识梳理 知识梳理 大小 方向 有向线段 大小 方向 大小 相等 相同 相同或相反 共线向量 平行 平行四边形法则或三角形法则 交换 结合 λ b＝λa 两个不共线向量 a＝λ1e1＋λ2e2 (x2－x1，y2－y1) b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0 |a||b|cos θ |b|cos θ |a||b|cos θ |a|cos θ a·b＝0 |a|2 |a|cos θe 考点探究 探究点一：平面向量的基本概念 【变式题】 C C 探究点二：平面向量的线性运算 B A 【变式题】 D A 探究点三：基底与平面向量基本定理 B C C 【变式题】 C B C 探究点四：平面向量的坐标运算 A A 【变式题】 D A 探究点五：平面向量的数量积、投影向量 B C 【变式题】 A C 探究点六：平面向量的数量积、投影向量 【变式题】 巩固练习 一、选择题 D B B C C C A B C C C A 二、填空题 平行四边形 8 1 三、解答题 本课结束！ 1.平面向量的概念和表示方法 (1)概念：既有① ，又有② 的量称为向量. (2)向量的表示： 几何表示：用③ 来表示向量，有向线段的长度表示向量的④ ，箭头所指的方向表示向量的⑤ ，即用有向线段的起点、终点字母表示，如 eq \o(AB,\s\up20(→))，… 字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，书写时必须加箭头. 2.向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义：向量的⑥ 称为向量的长度(或称模). (2)向量的长度表示：向量 eq \o(AB,\s\up20(→))，a的长度分别记作：| eq \o(AB,\s\up20(→))|，|a|. (3)特殊向量 (ⅰ)长度为0的向量叫做零向量，记做0，方向不确定； (ⅱ)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 3.向量间的关系 (1)相等向量：大小⑦ 且方向⑧ 的向量，叫做相等向量，向量a与b相等，记作：a＝b. (2)平行向量：方向⑨ 的非零向量，也叫⑩ ；向量a与b平行，记作a∥b；规定零向量与任意向量⑪ . 4.平面向量的线性运算 (1)平面向量的加法与减法运算，适用⑫ . (2)平面向量的减法是加法的逆运算，平面向量的加法满足⑬ 律和⑭ 律. (3)λa表示与a共线的向量，且λa的方向由⑮ 决定.向量b与非零向量a共线等价于有且仅有一个实数λ，使⑯ . 5.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的⑰ ，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使⑱ . (2)平面向量的坐标运算：两个平面向量和与差的坐标分别等于这两个平面向量相应坐标的和与差.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up20(→))＝eq \o(OB,\s\up20(→))－eq \o(OA,\s\up20(→))＝⑲ ；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (3)向量共线的两种判定方法：b∥a(设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0)⇔⑳ . 6.平面向量的数量积 (1)平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量eq \o(○,\s\up1(21)) 叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝eq \o(○,\s\up1(22)) (0≤θ≤π). (2)平面向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影eq \o(○,\s\up1(23)) 的乘积. eq \r(a·a) (3)两个平面向量的数量积的性质：设a，b为两个非零向量，e是单位向量，且a与e的夹角为θ. (ⅰ)a·e＝e·a＝eq \o(○,\s\up1(24)) ； (ⅱ)a⊥b⇔ eq \o(○,\s\up1(25)) ； (ⅲ)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝eq \o(○,\s\up1(26)) 或|a|＝eq \o(○,\s\up1(27)) . 7.投影向量 在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up10(→))＝a，eq \o(ON,\s\up12(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up12(→))就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \o(OM1,\s\up12(→))与e，a，θ之间的关系为eq \o(OM1,\s\up12(→))＝eq \o(○,\s\up1(28)) . 【例1】 在平行四边形ABCD中， (1)举例说明以下概念：相等向量；相反向量；共线向量；单位向量． (2) eq \o(AE,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))，求λ. (3) eq \o(AE,\s\up16(→))＝x eq \o(AD,\s\up16(→))＋y eq \o(AB,\s\up16(→))，求x，y. 【解析】 (1)如 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(DC,\s\up16(→))是相等向量； eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(CB,\s\up16(→))是相反向量； eq \o(AE,\s\up16(→))与 eq \o(AC,\s\up16(→))是共线向量； eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)是单位向量． (2)由 eq \o(AE,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))，知λ＝ eq \f(1,2). (3)因为 eq \o(AE,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))， 所以x＝y＝ eq \f(1,2). (1)下列说法正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若m＝n，n＝k，则m＝k D．若a·b＝a·c，则c＝b 【解析】 对于A，|a|＝|b|时，a＝b，a＝－b都不一定成立，如a＝(1，0)，b＝(0，1)，故A错误； 对于B，a∥b，b∥c时，不一定有a∥c，如a＝(1，0)，b＝(0，0)，c＝(0，1)，故B错误； 对于C，当m＝n，n＝k时，由向量相等的定义知，m＝k，故C正确； 对于D，a·b＝a·c时，根据平面向量的数量积定义知，c＝b不一定成立，故D错误．故选C. 【答案】 C (2)下列命题正确的是( ) A．零向量没有方向 B．单位向量都是相等向量 C．任意向量与零向量都共线 D．零向量小于单位向量 【解析】 对于A，零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，故A错误； 对于B，因为单位向量只是模都为1，但是方向可以不同，故B错误； 对于C，任意向量与零向量都共线，故C正确； 对于D，因为零向量与单位向量不能比较大小，只有模能比较大小，故D错误．故选C. 【答案】 C 【例2】 (1)(2025·黑龙江省学考)如图所示，在△ABC中， eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝( ) A． eq \o(BC,\s\up16(→)) B． eq \o(AC,\s\up16(→)) C． eq \o(AB,\s\up16(→)) D．0 【解析】 由三角形法则可知 eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→)).故选B. 【答案】 B (2)如图，四边形ABCD是平行四边形，则 eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝( ) A． eq \o(DB,\s\up16(→)) B． eq \o(CB,\s\up16(→)) C． eq \o(AC,\s\up16(→)) D． eq \o(DC,\s\up16(→)) 【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→)).故选A. 【答案】 A (1)如图，O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则下列等式正确的是( ) A． eq \o(DA,\s\up16(→))－ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) B． eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(DO,\s\up16(→)) C． eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→)) D． eq \o(AO,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→)) 【解析】 对于A， eq \o(DA,\s\up16(→))－ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(CA,\s\up16(→))，故A错误； 对于B， eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝ eq \o(DB,\s\up16(→))，故B错误； 对于C， eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(BD,\s\up16(→))，故C错误； 对于D， eq \o(AO,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))，故D正确． 故选D. 【答案】 D (2)(2024·江苏省学考)在△ABC中，D为边BC的中点．若 eq \o(BC,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(AD,\s\up16(→))＝( ) A．－ eq \f(1,2)a＋b B． eq \f(1,2)a＋b C．－ eq \f(1,2)a－b D． eq \f(1,2)a－b 【解析】 因为D为BC的中点， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)a＋b. 故选A. 【答案】 A 【例3】 (1)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A．e1＝(0，0)，e2＝(0，1) B．e1＝(1，3)，e2＝(0，6) C．e1＝(2，－2)，e2＝(－6，6) D．e1＝(1，2)，e2＝(2，4) 【解析】 对于A，包含零向量，不能作为基底，故A错误； 对于B，两个向量不共线，可以作为基底，故B正确； 对于C，e1＝－ eq \f(1,3)e2，故两个向量不能作为基底，故C错误； 对于D，e2＝2 e1，故两个向量不能作为基底，故D错误． 故选B. 【答案】 B (2)在△ABC中，M为BC的中点，若 eq \o(AM,\s\up16(→))＝λ eq \o(AB,\s\up16(→))＋μ eq \o(AC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝( ) A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．1 D．2 【解析】 如图， 则 eq \o(AM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以λ＋μ＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1，故选C. 【答案】 C (3)(2025·湖南省学考模拟)在平行四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝3b，则 eq \o(AC,\s\up16(→))＝( ) A．a＋b B．a－b C．2a＋3b D．2a－3b 【解析】 在平行四边形ABCD中， 因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝3b， 所以 eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＝2a＋3b.故选C. 【答案】 C (1)如果{e1，e2}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是( ) A．e2，e1－2e2 B．e1＋2e2，e2＋2e1 C．e1－3e2，6e2－2e1 D．e1－e2，e1－3e2 【答案】 C 【解析】 由共线向量基本定理知，选项A，B和D中的两个向量均不共线，故可以作为平面的基底，因为e1－3e2＝－ eq \f(1,2)(6e2－2e1)，即e1－3e2与6e2－2e1共线，所以选项C中的两个向量不能作为一个基底．故选C. (2)(2023·湖南省学考)在△ABC中，D为BC的中点，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(AD,\s\up16(→))＝( ) A． eq \f(1,2)(a－b) B． eq \f(1,2)(a＋b) C．a－b D．a＋b 【答案】 B 【解析】 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,2)(a＋b)，故选B. (3)如图，在△ABC中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AC,\s\up16(→))＝b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝4 eq \o(BD,\s\up16(→))，用a，b表示 eq \o(AD,\s\up16(→))，正确的是(　　) A． eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)a＋ eq \f(3,4)b B． eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(5,4)a＋ eq \f(1,4)b C． eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4)a＋ eq \f(1,4)b D． eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)a＋ eq \f(5,4)b 【答案】 C 【解析】 eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝ eq \f(3,4)a＋ eq \f(1,4)b.故选C. 【例4】 (1)(2025·广东省学考)已知向量a＝(2，x)，b＝(－2，1)，若a∥b，则x＝( ) A．－1 B．1 C．－4 D．4 【解析】 因为a∥b，所以2×1－x×(－2)＝0，解得x＝－1，故选A. 【答案】 A (2)(2025·云南省学考)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，x).若a⊥b，则x＝( ) A．－2 B．－1 C．1　 D．2 【解析】 由题意可得a·b＝4＋2x＝0，所以x＝－2. 故选A. 【答案】 A (1)已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( ) A．(－7，0) B．(7，6) C．(6，7) D．(7，－6) 【解析】 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→)). 设D(x，y)，即有(－1－5，7＋1)＝(1－x，2－y)， 解得x＝7，y＝－6，故选D. 【答案】 D (2)已知向量a＝(－1，3)，b＝(λ，1).若a＋b与a垂直，则λ＝( ) A．13 B．－ eq \f(1,3) C．11 D．－ eq \f(1,2) 【解析】 因为a＝(－1，3)，b＝(λ，1)， 所以a＋b＝(λ－1，4)， 因为a＋b与a垂直， 所以(a＋b)·a＝－(λ－1)＋3×4＝0，解得λ＝13. 故选A. 【答案】 A 【例5】 (1)(2025·北京市学考)已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝( ) A．4 B．2 C．1 D． eq \f(1,2) 【解析】 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))))cos∠BAD＝2×2×cos 60°＝2.故选B. 【答案】 B (2)(2025·福建省学考模拟)已知向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，2 eq \r(3))， eq \o(CD,\s\up16(→))＝(2，0)，则向量 eq \o(AB,\s\up16(→))在向量 eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量为( ) A．－2 B．2 C．(－2，0) D．( eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2)) 【解析】 因为 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，2 eq \r(3))， eq \o(CD,\s\up16(→))＝(2，0)， 所以向量 eq \o(AB,\s\up16(→))在向量 eq \o(CD,\s\up16(→))上的投影向量为 eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(CD,\s\up16(→)),|\o(CD,\s\up16(→))|2)· eq \o(CD,\s\up16(→))＝ eq \f(2×(－2)＋0×2\r(3),4) eq \o(CD,\s\up16(→))＝－ eq \o(CD,\s\up16(→))＝(－2，0).故选C. 【答案】 C (1)在△ABC中， eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解析】 因为 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(BC,\s\up16(→))＝0，所以 eq \o(AB,\s\up16(→))⊥ eq \o(BC,\s\up16(→))，所以∠B＝90°，△ABC是直角三角形，故选A. 【答案】 A (2)已知非零向量a，b满足|a|＝3|b|，且向量b在向量a上的投影向量为 eq \f(1,6)a，则a与b的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．120° 【解析】 因为非零向量a，b满足|a|＝3|b|， 则|b|cos〈a，b〉· eq \f(a,|a|)＝( eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))·cos〈a，b〉)·a＝ eq \f(1,3)cos〈a，b〉·a＝ eq \f(1,6)a，解得cos〈a，b〉＝ eq \f(1,2)，因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°.故选C. 【答案】 C 【例6】 已知不共线向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，(2a－3b)·(2a＋b)＝20. (1)求a·b. (2)是否存在实数λ，使λa＋b与a－2b共线？ (3)若(ka＋2b)⊥(a－kb)，求实数k的值． 【解析】 (1)因为向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，(2a－3b)·(2a＋b)＝20， 所以4a2－4a·b－3b2＝4×9－4a·b－3×4＝20， 解得a·b＝1. (2)假设存在实数λ，使λa＋b与a－2b共线， 则存在x∈R，使得λa＋b＝x(a－2b)＝xa－2xb， 又a，b不共线，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝x，,1＝－2x，))解得λ＝x＝－ eq \f(1,2)， 即存在λ＝－ eq \f(1,2)，使得λa＋b与a－2b共线． (3)若(ka＋2b)⊥(a－kb)， 则(ka＋2b)·(a－kb)＝0， 即ka2＋(2－k2)a·b－2kb2＝0， 所以9k＋(2－k2)×1－2k×4＝0， 整理得k2－k－2＝0， 解得k＝－1或k＝2. 已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(2，1). (1)当θ＝ eq \f(π,6)时，求向量2a＋b的坐标； (2)若a∥b，且θ∈(0， eq \f(π,2))，求sin (θ＋ eq \f(π,4))的值． 【解析】 (1)因为θ＝ eq \f(π,6)，所以a＝(1， eq \f(1,2))， 所以2a＋b＝2(1， eq \f(1,2))＋(2，1)＝(4，2). (2)因为a∥b，所以sin θ＝ eq \f(1,2)， 又因为θ∈(0， eq \f(π,2))，所以cos θ＝ eq \f(\r(3),2). 所以sin (θ＋ eq \f(π,4))＝sin θcos eq \f(π,4)＋cos θ·sin eq \f(π,4)＝ eq \f(\r(2)＋\r(6),4). 1．(2024·云南省学考)若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，2)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1，1)，则 eq \o(BC,\s\up16(→))＝( ) A．(2，－1) B．(2，1) C．(－1，2) D．(－2，－1) 2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，5)，则2a＋b＝( ) A．(4，3) B．(5，1) C．(5，3) D．(7，8) 3．(2024·浙江省学考)若a＝(1，－2)，b＝(2，1)，则|a＋b|＝( ) A．10 B． eq \r(10) C． eq \r(5) D．2 eq \r(5) 4．下列说法错误的是( ) A．向量 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(BA,\s\up16(→))的长度相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点相同 C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0 5．已知向量a＝(2，1)，a＋b＝0，则b＝( ) A．(－2，1) B．(2，－1) C．(－2，－1) D．(1，2) 6．(2024·贵州省学考)若向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|b|＝ eq \r(2)，则a·b＝( ) A．5 B．3 C．1 D．0 7．(2024·云南省学考)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，x).若a⊥b，则x＝( ) A．－6 B．6 C． eq \f(3,2) D．－ eq \f(3,2) 【解析】 因为a＝(2，1)，b＝(3，x)，a⊥b，则2×3＋x＝0，所以x＝－6.故选A. 8．(2024·湖南省学考)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)且a∥b，则m＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为a∥b，所以1×4－2m＝0，解得m＝2. 故选B. 9．在下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A．e1＝( eq \f(2,3)，－2)，e2＝(1，－3) B．e1＝(1，2)，e2＝(0，0) C．e1＝(1，2)，e2＝(3，4) D．e1＝(3，－ eq \f(9,2))，e2＝(－1， eq \f(3,2)) 【解析】 对于A，因为e2＝ eq \f(3,2)e1，即e1∥e2，所以e1，e2不能作为基底，故A错误； 对于B，因为e2是零向量，所以e2不能作为基底，故B错误； 对于C，因为1×4－2×3≠0，即e1与e2为不共线的非零向量，所以e1，e2可以作为基底，故C正确； 对于D，因为e1＝－3e2，即e1∥e2，所以e1，e2不能作为一组基底，故D错误．故选C. 10．(2024·湖南省学考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，则 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))为( ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 【解析】 因为向量 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角为60°， 所以 eq \o(AB,\s\up16(→))· eq \o(AC,\s\up16(→))＝| eq \o(AB,\s\up16(→))|| eq \o(AC,\s\up16(→))|·cos 60°＝2×2× eq \f(1,2)＝2. 故选C. 11．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则 eq \o(BE,\s\up16(→))＝( ) A． eq \f(1,4) eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→)) B． eq \f(3,4) eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→)) C． eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up16(→)) D． eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up16(→)) 【解析】 在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点， 则 eq \o(BE,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(BC,\s\up16(→)). 故选C. 12．(2025·浙江省学考模拟)若非零单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋b|，则b－a与a的夹角是( ) A． eq \f(3π,4) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,6) 【解析】 因为|a－b|＝|a＋b|， 所以(a－b)2＝(a＋b)2， 即a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b，解得a·b＝0， 设b－a和a的夹角为θ， 所以cos θ＝ eq \f((b－a)·a,\r((b－a)2)·|a|)＝ eq \f(0－1,\r(2)×1)＝－ eq \f(\r(2),2)， 又因为0≤θ≤π，所以θ＝ eq \f(3π,4).故选A. 13．(2025·广东省学考) 如图，在平行四边形ABCD中，DE＝ eq \f(1,2)DC，向量 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，用向量a，b表示 eq \o(AE,\s\up16(→))，则 eq \o(AE,\s\up16(→))＝ . eq \f(1,2)a＋b 14．已知在四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(DC,\s\up16(→))，则四边形ABCD的形状是 . 15．已知向量a，b不共线，实数x，y满足xa＋(9－y)b＝(y＋7)a＋xb，则x＝ ，y＝ . 【解析】 由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝y＋7，,9－y＝x，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝1.)) 16．若向量a＝(3，－4)在向量b＝(－2，1)上的投影向量为λb，则λ＝ . 【解析】 因为a·b＝3×(－2)－4×1＝－10，|b|＝ eq \r(5)， 所以a在b上的投影向量为 eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))× eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝－2b，故λ＝－2. －2 17．设a，b是不共线的两个向量．若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2a－b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋b， eq \o(CD,\s\up16(→))＝a－2b，求证：A，B，D三点共线． 【证明】 eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝2a－b＝ eq \o(AB,\s\up16(→))， 所以 eq \o(BD,\s\up16(→))∥ eq \o(AB,\s\up16(→))，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． 18．设向量a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(4，－5). (1)求|a＋2b|； (2)若c＝λa＋μb，λ，μ∈R，求λ＋μ的值． 【解析】 (1)a＋2b＝(－1，2)＋2(1，－1)＝(1，0)， 所以|a＋2b|＝ eq \r(1＋0)＝1. (2)由c＝λa＋μb， 得(4，－5)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝4，,2λ－μ＝－5，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝3.)) 所以λ＋μ＝2. 19．已知向量a＝(－4，8)，b＝(x，－4)， (1)若a∥(a＋b)，求实数x的值； (2)若a⊥( eq \f(1,2)a－b)，求向量a与b的夹角的余弦值． 【解析】 (1)因为向量a＝(－4，8)，b＝(x，－4)， 所以a＋b＝(x－4，4)， 因为a∥(a＋b)，所以8(x－4)＝－4×4，解得x＝2. (2)由题意可得 eq \f(1,2)a－b＝(－2－x，8)， 因为a⊥( eq \f(1,2)a－b)，所以a·( eq \f(1,2)a－b)＝－4(－2－x)＋8×8＝0， 解得x＝－18，则b＝(－18，－4)， 所以cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－4×(－18)＋8×(－4),\r((－4)2＋82)×\r((－18)2＋(－4)2))＝ eq \f(\r(17),17). 所以向量a与b的夹角的余弦值为 eq \f(\r(17),17). $