第10讲 立体几何初步（一）——湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何初步核心考点，依据考情动态明确空间几何体直观图、柱锥台球表面积与体积等“掌握”级考点权重，通过知识梳理构建棱柱棱锥等结构特征体系，归纳结构特征判断、直观图还原、体积计算等常考题型，对接高考评价体系，备考针对性强。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2024浙江学考正方体外接球题为例，运用空间观念分析体对角线与球直径关系，结合运算能力推导表面积公式，提供斜二测画法四步法等突破方法。助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第10讲 立体几何初步（一） 必修第二册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 柱、锥、台、球的结构特征 √ 简单组合体的结构特征 √ 空间几何体的直观图 √ 柱体、锥体、台体的表面积与体积 √ 球的体积和表面积 √ 知识梳理 知识梳理 ABCDE­A′B′C′D′E′ S­ABCDE ABCDE­A′B′C′D′E′ 三棱柱、四棱柱、 三棱锥、四棱锥、 三棱台、四棱台、 五棱柱 五棱锥 五棱台 平行 平行四边形 平行 多边形 三角形 底面和截面 平行四边形 三角形 梯形 矩形 扇形 扇环 平行于 45°(或 135°) 不变 原来的一半 平行 不变 考点探究 探究点一：空间几何体的结构特征 D D 【变式题】 A C 探究点二：空间几何体的直观图 D 【变式题】 D 探究点三：柱、锥、台体的表面积与体积 C 【变式题】 B B B 探究点四：球的表面积和体积 A D 【变式题】 D 巩固练习 一、选择题 D A D B B D D D B A B C 二、填空题 三、解答题 本课结束！ 1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 表示 棱柱① ________________ 棱锥② ________________ 棱台③ ________________ 分类 以底面多边形的边数为标准分为④__ ______________________________等 以底面多边形的边数为标准分为⑤__ ______________________________等 以底面多边形的边数为标准分为⑥__ ______________________________等 续表 名称 棱柱 棱锥 棱台 结构特征 有两个面互相⑦____，其余各个面都是⑧ ； (2)每相邻两个四边形的公共边都互相⑨__________ 有一个面是⑩____ ________，其余各面是有一个公共顶点的⑪_________的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，⑫__________ 之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 ⑬__________ ⑭__________ ⑮__________ 2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征： 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 表示 圆柱OO′ 圆锥SO 圆台OO′ 球O 底面 平行且全等的圆面 圆面 不相等的两个圆面 无 轴线 过底面圆心且垂直于底面 过顶点和底面圆心且垂直于底面 过上、下底面圆心且垂直于底面 过球心 母线 平行、相等且垂直于底面 相等且相交于一点 相等且延长线交于一点 无 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 大圆 侧面展开图 ⑯________ ⑰_______ ⑱__________ 无 3.直观图 直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝⑲ ，它们确定的平面表示水平面； ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成⑳ x′轴与y′轴的线段； ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度eq \o(○,\s\up1(21)) ，平行于y轴的线段，长度为eq \o(○,\s\up1(22)) . (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作垂直于Oxy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于O′x′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍eq \o(○,\s\up1(23)) 于z′轴且长度eq \o(○,\s\up1(24)) . 4.多面体和旋转体的面积和体积公式 下表中，c′，c分别表示上、下底面的周长，h表示高，h′表示斜高，l表示母线长，r表示圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别表示圆台的上、下底面半径，R表示球半径. 名称 侧面积(S侧) 表面积(S表) 体积(V) 直棱柱 ch S侧＋2S底 S底h 正棱锥 eq \f(1,2)ch′ S侧＋S底 eq \f(1,3)S底h 续表 名称 侧面积(S侧) 表面积(S表) 体积(V) 正棱台 eq \f(1,2)(c＋c′)h′ S侧＋S上底＋S下底 eq \f(1,3)h(S上底＋S下底＋eq \r(S上底S下底)) 圆柱 2πrl 2πr(l＋r) πr2h 圆锥 πrl πr(l＋r) eq \f(1,3)πr2h 圆台 π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋ π(req \o\al(2,1)＋req \o\al(2,2)) eq \f(1,3)πh(req \o\al(2,1)＋r1r2＋req \o\al(2,2)) 球 — 4πR2 eq \f(4,3)πR3 【例1】 (1)(2024·贵州省学考)下列几何体为旋转体的是( ) A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 【解析】 A，B，C是多面体，D是旋转体．故选D. 【答案】 D (2)下列命题中正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【解析】 因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A，B错误；因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，D正确．故选D. 【答案】 D (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( ) 【解析】 因为几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体，所以它是由A选项中的平面图形旋转而成的．故选A. 【答案】 A (2)下列结论正确的是( ) A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【解析】 对于A，用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时，显然对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平行的截面不可能，故A错误； 对于B，根据棱台的定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义可知C正确； 对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误．故选C. 【答案】 C 【例2】 (1)如图是用斜二测画法画出的某平面图形水平放置的直观图，它是一个正方形，试画出这个平面图形． 【解析】 建立以AD′为y轴，以AB为x轴的坐标系，A与O重合，在y轴上取AC＝2AC′，过C作CD∥AB，且CD＝AB，连接CB，DA，如图所示，则四边形ABCD为所求的平面图形． (2)(2025·湖南省学考模拟)用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A′B′C′如图所示，其中B′O′＝C′O′＝2，A′O′＝ eq \r(3)，则原△ABC的周长为( ) A．2 eq \r(3) B．4 eq \r(3) C．10 D．12 【解析】 由斜二测画法的规则可得△ABC为等边三角形，边长为4，所以△ABC的周长为C△ABC＝3×4＝12.故选D. (1)用斜二测画法画出如下平面图形的直观图： 【解析】 因为OC⊥OA，建立以OC为y轴，以OA为x轴的坐标系，取∠C′OA＝45°，以OC′为y′轴，且OC′＝ eq \f(1,2)OC，过C′作C′B′∥CB，且C′B′＝CB，连接AB′，如图所示， 则四边形OAB′C′为所求的平面图形OABC的直观图． (2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ) A. eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(2),2) B．1＋ eq \f(\r(2),2) C．1＋ eq \r(2) D．2＋ eq \r(2) 【解析】 如图，设直观图为O′A′B′C′，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中OC⊥OA，且OC＝2，BC＝1，OA＝1＋2×1× eq \f(\r(2),2)＝1＋ eq \r(2)，故其面积为 eq \f(1,2)×(1＋1＋ eq \r(2))×2＝2＋ eq \r(2).故选D. 【答案】 D 【例3】 (1)(2025·黑龙江省学考)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为1，1， eq \r(3)，则这个三棱锥的体积是 ． 【解析】 三棱锥的侧面均为直角三角形，如图，不妨设PA＝1，PB＝1，PC＝ eq \r(3)，且PA，PB，PC两两互相垂直，所以该三棱锥的体积为VA－PBC＝ eq \f(1,3)S△PBC·PA＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1× eq \r(3)×1＝ eq \f(\r(3),6). 【答案】 eq \f(\r(3),6) (2)已知圆台的上、下底面的半径分别为2，6，母线长为5，则圆台的表面积为( ) A．48π B．64π C．80π D．96π 【解析】 根据题意，因为圆台的上、下底面的半径分别为2，6，母线长为5，则该圆台的侧面积为π×(2＋6)×5＝40π，所以这个圆台的表面积为π×22＋π×62＋40π＝80π.故选C. 【答案】 C (1)(2025·天津市学考模拟)若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是( ) A．π B．3π C．4π D．6π 【答案】 B 【解析】 因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，所以圆锥的侧面展开图面积为πrl＝π×1×3＝3π.故选B. (2)已知正三棱锥的底面边长为6，高为3，则该三棱锥的表面积是( ) A．54 eq \r(3) B．27 eq \r(3) C．18 eq \r(3) D．15 eq \r(3) 【答案】 B 【解析】 因为正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面为全等的等腰三角形，所以底面面积为6×3 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝9 eq \r(3)， 所以侧面三角形的高h＝ eq \r(32＋(\r(3))2)＝2 eq \r(3)，所以侧面面积为 eq \f(1,2)×6×2 eq \r(3)×3＝18 eq \r(3). 故该三棱锥的表面积是18 eq \r(3)＋9 eq \r(3)＝27 eq \r(3).故选B. (3)(2024·广东省学考模拟)如图，圆锥SO2被平行于底面的一个平面所截，截去一个上、下底面半径分别为3和5，高为4的圆台O1O2，则所得圆锥SO1的体积为( ) A．16π B．18π C．20π D．24π 【答案】 B 【解析】 设上、下底面半径分别为r1，r2.由于截面平行于底面，圆锥的轴截面为相似三角形，所以 eq \f(SO1,SO2)＝ eq \f(r1,r2)＝ eq \f(3,5)，又SO2＝SO1＋O1O2＝SO1＋4，所以 eq \f(SO1,SO1＋4)＝ eq \f(3,5)，解得SO1＝6，所以V＝ eq \f(1,3)×πr eq \o\al(2,1)×SO1＝ eq \f(1,3)×π×32×6＝18π.故选B. 【例4】 (1)(2024·浙江省学考)一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为( ) A．3π B．2π C． eq \r(3)π D．π 【解析】 正方体的体对角线的长为 eq \r(3)，即球的直径为 eq \r(3)，则球的表面积S＝4π×( eq \f(\r(3),2))2＝3π.故选A. 【答案】 A (2)(2025·黑龙江省学考) 祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”．利用祖暅原理可以获得球的体积公式为V＝ eq \f(4,3)πR3.已知一个球的半径R＝2，则该球的体积为( ) A．2 B．4 C． eq \f(4π,3) D． eq \f(32π,3) 【解析】 V＝ eq \f(4,3)π×23＝ eq \f(32π,3). 【答案】 D (1)已知球的体积为 eq \f(500π,3)，则它的表面积为 . 【解析】 设球的半径为R， 则 eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(500π,3)，解得R＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 【答案】 100π (2)若球的表面积扩大为原来的2倍，则球的体积扩大到原来的 倍． 【解析】 由题意可知球的半径扩大到原来的 eq \r(2)倍，所以球的体积扩大到原来的2 eq \r(2)倍． 【答案】 2 eq \r(2) 1．如图所示的几何体是( ) A．圆锥 B．棱锥 C．圆台 D．棱柱 2．某圆锥的母线长为5 cm，底面半径长为3 cm，则该圆锥的高为( ) A．4 cm B．5 cm C．36 cm D．45 cm 3．(2024·江苏省学考)已知圆柱的底面半径是2，高是3，则该圆柱的体积是( ) A．2π B．4π C．6π D．12π 4．关于圆台的母线，下列描述正确的是( ) A．都平行 B．都相等 C．与高相等 D．与底面平行 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，BD1＝2，则AA1＝( ) A．1　　 B． eq \r(2) C．2　　 D． eq \r(3) 6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( ) A．6 B．3 eq \r(2) C．6 eq \r(2) D．12 【解析】 由题可知，△ABO为直角三角形，且AO⊥BO，AO＝A′O′＝6，BO＝2B′O′＝4，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)AO·BO＝12，故选D. 7．下列说法中正确的是( ) A．直四棱柱是长方体 B．正四棱锥的侧面都是正三角形 C．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【解析】 对于A，由直四棱柱的定义知，长方体是直四棱柱，但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，A错误；对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，B错误；对于C，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，C错误；对于D，由棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，D正确．故选D. 8．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为( ) A． eq \f(π,3) B． eq \r(3)π C．3π D． eq \f(\r(3)π,3) 【解析】 设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l.由圆锥侧面积πrl＝2π，底面积πr2＝π，解得r＝1，l＝2，所以圆锥的高为 eq \r(l2－r2)＝ eq \r(3)，于是圆锥的体积为V＝ eq \f(1,3)πr2h＝ eq \f(1,3)×π×12× eq \r(3)＝ eq \f(\r(3)π,3).故选D. 9．(2025·湖南省学考)若经过圆柱的轴的截面是一个边长为2的正方形，则该圆柱的侧面积为( ) A．2π B．4π C．6π D．8π 【解析】 因为圆柱的轴截面是正方形， 所以圆柱的高h＝2，底面直径d＝2，所以r＝1. 所以圆柱的侧面积S侧＝2πrh＝4π.故选B. 10．已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为( ) A．3 B．3 eq \r(2) C．3 eq \r(3) D．3 eq \r(6) 【解析】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l.因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 设该半圆半径为R，则R＝l，所以2πr＝πR，解得R＝2r， 所以圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝πr2＋2πr2＝3πr2＝27π， 所以r＝3.故选A. 11．若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,2) D． eq \f(3,4) 【解析】 设球的半径为R， 则球的体积为V1＝ eq \f(4,3)πR3， 圆柱的体积V2＝πR2×2R＝2πR3， 所以球与圆柱体积的比值为 eq \f(V1,V2)＝ eq \f(\f(4,3)πR3,2πR3)＝ eq \f(2,3).故选B. 12．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π，12π，母线长为2，则圆台的体积为( ) A．6π B．18π C．7π D．21π 【解析】 因为圆台的上底面和下底面的面积分别为3π，12π，所以该圆台上底面和下底面的半径分别为 eq \r(3)，2 eq \r(3)，所以该圆台的高为 eq \r(22－(2\r(3)－\r(3))2)＝1， 所以圆台的体积为V＝ eq \f(1,3)h(S1＋ eq \r(S1S2)＋S2)＝ eq \f(1,3)×1×(3π＋ eq \r(3π×12π)＋12π)＝7π.故选C. 13．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为 . 4 14．(2025·湖南省学考模拟)已知圆锥的侧面积为6π，母线长为3，则该圆锥的体积为 . eq \f(4\r(5),3)π 15．(2024·河北省学考模拟)已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为 eq \r(3)，则该棱台的体积为 ． 【解析】 因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，所以上、下底面正方形的对角线长分别为2 eq \r(2)，4 eq \r(2)，又正四棱台的侧棱长为 eq \r(3)，所以正四棱台的高为 eq \r((\r(3))2－(\f(4\r(2)－2\r(2),2))2)＝1，所以该棱台的体积为 eq \f(1,3)×(22＋42＋2×4)×1＝ eq \f(28,3). eq \f(28,3) 16．设长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为 . 【解析】 由长方体的体对角线等于其外接球的直径2R，可得(2R)2＝32＋22＋12， 解得R＝ eq \f(\r(14),2). eq \f(\r(14),2) 17．一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π和25π.求： (1)圆台的高； (2)截得此圆台的圆锥的母线长． 【解析】 如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h，截得该圆台的圆锥的母线为x. 由条件可得圆台上底半径r′＝2，下底半径r＝5. (1)由勾股定理得 h＝ eq \r(122－(5－2)2)＝3 eq \r(15). (2)设圆锥的母线长为x， 由三角形相似得 eq \f(x－12,x)＝ eq \f(2,5)， 解得x＝20. 18．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm，6 cm，高是 eq \f(3,2) cm，求此三棱台的： (1)侧棱长；(2)斜高；(3)体积． 【解析】 如图，M，N分别为上、下底面中心． (1)由题意知，DM＝ eq \f(2,3)×3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \r(3)，AN＝ eq \f(2,3)×6× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)， 又MN＝ eq \f(3,2)， 则AD＝ eq \r(MN2＋(AN－DM)2)＝ eq \f(\r(21),2)，即侧棱长为 eq \f(\r(21),2) cm. (2)斜高h＝ eq \r(AD2－(\f(AB－DE,2))2)＝ eq \r(3). (3)上底面的面积S1＝ eq \f(1,2)×3×3×sin 60°＝ eq \f(9\r(3),4)， 下底面的面积S2＝ eq \f(1,2)×6×6×sin 60°＝9 eq \r(3)， 则三棱台的体积V＝ eq \f(1,3)(S1＋ eq \r(S1S2)＋S2)h＝ eq \f(1,3)×( eq \f(9\r(3),4)＋ eq \f(9\r(3),2)＋9 eq \r(3))× eq \f(3,2)＝ eq \f(63\r(3),8). 19．如图，梯形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图，已知O′A′∥B′C′，O′A′＝2，O′B′＝B′C′＝3. (1)在下面给定的表格中画出四边形OABC(不需写作图过程)； (2)若四边形OABC以OA所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积． 【解析】 (1)根据题意，由斜二测画法，可得四边形OABC， 如图： (2)根据题意，所得的几何体是一个组合体，由两部分组成， 第一部分是以OB为底面半径，OA为高的圆锥， 另一部分是以OB为底面半径，BC为高的圆柱，再挖去同底等高的圆锥所得的几何体． 其体积V＝ eq \f(1,3)π×62×2＋π×62×3－ eq \f(1,3)π×62×3＝96π. $