第13讲 概率 课件-湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦“概率”专题，依据高考评价体系梳理了古典概型、事件关系与运算、相互独立事件等核心考点，明确古典概型（掌握）、事件关系（理解）等考查要求，通过考情动态分析考点权重，归纳样本空间表示、概率计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+分层训练+素养培养”，如2023年广东学考真题辨析互斥与对立事件，培养推理意识；古典概型例题训练运算能力。提供样本空间列举法、独立事件公式等应试技巧，助力学生掌握答题方法，教师可依托系统框架实现精准复习，提升学生高考得分率。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第13讲 概 率 必修第二册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 有限样本空间与随机事件 √ 事件的关系和运算 √ 古典概型 √ 概率的基本性质 √ 频率与概率的区别与联系 √ 知识梳理 知识梳理 随机试验 相同条件 试验 明确可知 不能确定 样本点 样本空间 随机事件 事件 一个样本点 基本事件 不可能事件 必然事件 有限个 相等 古典概率 古典概型 ≥ 0 1 0 P(A)＋P(B) 1 1－P(A) 1－P(B) ≤ P(A)＋P(B)－P(A∩B) P(A)P(B) 增大 缩小 概率P(A) 估计 考点探究 探究点一：样本空间与随机事件 【变式题】 探究点二：互斥事件、对立事件及独立事件 C 【变式题】 A D C 探究点三：古典概型 【变式题】 探究点四：相互独立事件概率的计算 【变式题】 探究点五：频率与概率的关系 D 【变式题】 巩固练习 一、选择题 D D D A 4. (2024·湖南省学考)某环保志愿者计划从甲、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行垃圾分类宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为( ) A. B. C. D. 5. (2025·黑龙江省学考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是( ) A.0 B. C. D.1 C D B A A C D D 二、填空题 三、解答题 本课结束！ 1.随机试验及其特点 (1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为① ，简称② . (2)表示：常用字母E表示. (3)特点：(ⅰ)试验可以在③ 下重复进行. (ⅱ)试验的这些可能结果是④ 的，并且不止一个. (ⅲ)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先⑤ 出现哪一个结果. 2.样本点和样本空间 (1)定义：把随机试验E的每个可能的基本结果称为⑥ ，全体样本点的集合称为试验E的⑦ . (2)表示：常用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 3.随机事件 (1)定义：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为⑧ ，简称⑨ ，并把只包含⑩ 的事件称为⑪ .随机事件一般用大写英文字母A，B，C，…表示. (2)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为⑫ . (3)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为⑬ . 4.事件的关系和运算 (1)事件的关系 关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B (2)交事件与并事件 运算 定义 符号 图示 并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) (3)互斥事件和对立事件 类别 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A A∪B＝Ω A∩B＝∅ 5.古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有⑭ ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性⑮ . 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为⑯ 模型，简称⑰ . 古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n（A）,n（Ω）). 6.概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)⑱ 0. 性质2　必然事件的概率为⑲ ，不可能事件的概率为⑳ ，即P(Ω)＝eq \o(○,\s\up1(21)) ，P(∅)＝eq \o(○,\s\up1(22)) . 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \o(○,\s\up1(23)) . 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝eq \o(○,\s\up1(24)) ，P(A)＝eq \o(○,\s\up1(25)) . 性质5　如果A⊆B，那么P(A)㉖ P(B). 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝eq \o(○,\s\up1(27)) . 7.相互独立事件 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝eq \o(○,\s\up1(28)) 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立. 8.频率与概率 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的eq \o(○,\s\up1(29)) ，频率偏离概率的幅度会eq \o(○,\s\up1(30)) ，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \o(○,\s\up1(31)) ，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)eq \o(○,\s\up1(32)) 概率P(A). 【例1】 同时转动如图的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y). (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？ (4)用集合A表示事件：xy＝4；用集合B表示事件：x＝y. 【解析】 (1)这个试验的样本空间为ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为16. (3)“x＋y＝5”包含的样本点为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1). “x<3且y>1”包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4). (4)A＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}，B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}． (2024·浙江省学考模拟)从两名男生(记为B1和B2)和两名女生(记为G1和G2)这四人中依次选取两名学生． (1)请分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的样本空间； (2)求利用有放回简单随机抽样选到一名男生和一名女生的概率． 【解析】 (1)从两名男生(记为B1和B2)和两名女生(记为G1和G2)这四人中依次选取两名学生， 有放回简单随机抽样的样本空间为： ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}． 不放回简单随机抽样的样本空间为： ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}． (2)由(1)知有放回简单随机抽样的样本空间共包含16个基本事件， 其中，选到一名男生和一名女生包含的基本事件有8个，分别为： (B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)， 所以选到一名男生和一名女生的概率P＝ eq \f(8,16)＝ eq \f(1,2). 【例2】 (2023·广东省学考)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件．在上述说法中，正确的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故①错误；“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，与“至少有一个黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故②正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，且可能还有其他事件发生，所以是互斥而不对立的事件，故③正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，且有且仅有一个发生，所以是对立事件，故④正确．故选C. 【答案】 C (1)从2021年开始，湖南省新高考已实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式，某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( ) A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 【解析】 事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确． 【答案】 A (2)ω为样本空间，下列关系中能导出A与B互为对立事件的是( ) A．AB＝∅ B．A∪B＝ω C．A∪ eq \o(B,\s\up12(－))＝ω D． eq \o(A,\s\up12(－))与 eq \o(B,\s\up12(－))互为对立事件 【解析】 对于A，若AB＝∅，则A和B互为互斥事件，故A错误； 对于B，若A∪B＝ω，可能AB≠∅，故B错误； 对于C，若A∪ eq \o(B,\s\up10(－))＝ω，则B⊆A，故C错误； 对于D，若 eq \o(A,\s\up12(－))与 eq \o(B,\s\up12(－))互为对立事件，则A与B互为对立事件，故D正确．故选D. 【答案】 D (3)若P(AB)＝ eq \f(1,9)，P( eq \o(A,\s\up12(－)))＝ eq \f(2,3)，P(B)＝ eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( ) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 【解析】 因为P(A)＝1－P( eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－ eq \f(2,3)＝ eq \f(1,3)， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝ eq \f(1,9)≠0， 所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立．故选C. 【答案】 C 【例3】 一个口袋内装有除颜色外完成相同的6个小球，其中2个红球记为A1，A2，4个黑球记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球． (1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率． 【解析】 (1)这个试验的样本空间ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个样本点． (2)事件“2个球颜色不同”包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，所以摸出的2个球颜色不同的概率为 eq \f(8,15). 从一个装有除颜色外完全相同的3个红球A1，A2，A3和2个白球B1，B2的盒子中，随机取出2个球． (1)用球的标号列出样本空间的样本点的总数； (2)求取出的2个球都是红球的概率． 【解析】 (1)样本空间的样本点的总数共有10个：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2. (2)取出的2个球都是红球的样本点共有3个：A1A2，A1A3，A2A3. 所以取出的2个球都是红球的概率为 eq \f(3,10). 【例4】 (2023·浙江省学考)浙江某公司有甲、乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功的概率分别为 eq \f(1,5)和 eq \f(3,5).第二道工序成功的概率分别为 eq \f(1,2)和 eq \f(2,3).根据生产需要现安排甲小组开发芯片A，乙小组开发芯片B，假设甲、乙两个小组的开发相互独立． (1)求两种芯片都开发成功的概率； (2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率． 【解析】 (1)甲小组研发芯片A成功的概率为p1＝ eq \f(1,5)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,10)，乙小组研发芯片B成功的概率为p2＝ eq \f(3,5)× eq \f(2,3)＝ eq \f(2,5)，由于甲、乙两个小组的开发相互独立， 所以A，B两种芯片都开发成功的概率P＝p1p2＝ eq \f(1,10)× eq \f(2,5)＝ eq \f(1,25). (2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功， 根据对立事件可知获奖的概率 P＝1－(1－p1)(1－p2)＝1－(1－ eq \f(1,10))×(1－ eq \f(2,5))＝1－ eq \f(9,10)× eq \f(3,5)＝ eq \f(23,50). 为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为 eq \f(3,5)， eq \f(5,6)， eq \f(2,3)，且三个项目是否成功相互独立． (1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率． 【解析】 (1)记事件A＝“投资农产品加工成功”，事件B＝“投资绿色蔬菜种植成功”，事件C＝“投资水果种植成功”，则恰有两个项目成功的概率为P(AB eq \x\to(C)∪A eq \x\to(B)C∪ eq \x\to(A)BC)＝P(AB eq \x\to(C))＋P(A eq \x\to(B)C)＋P( eq \x\to(A)BC)＝ eq \f(3,5)× eq \f(5,6)× eq \f(1,3)＋ eq \f(3,5)× eq \f(1,6)× eq \f(2,3)＋ eq \f(2,5)× eq \f(5,6)× eq \f(2,3)＝ eq \f(41,90)， 所以恰有两个项目成功的概率为 eq \f(41,90). (2)至少有一个项目成功的对立事件为三个项目都不成功，所以其概率为1－P( eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C))＝1－ eq \f(2,5)× eq \f(1,6)× eq \f(1,3)＝ eq \f(88,90)＝ eq \f(44,45)，所以至少有一个项目成功的概率为 eq \f(44,45). 【例5】 (1)下列说法正确的是( ) A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.7 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上” C．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，一个事件发生的频率在0.75附近波动，可以估计这个事件发生的概率为0.75 【解析】 在A中，某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的频率为0.7，故A错误；在B中，一位同学做掷硬币试验，掷6次，是一个随机试验，不一定有3次“正面朝上”，故B错误；在C中，买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C错误；在D中，大量试验后，一个事件发生的频率在0.75附近波动，可以估计这个事件发生的概率为0.75，故D正确． 【答案】 D (2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 频数 频率 [700，900) 48 [900，1100) 121 [1100，1300) 208 [1300，1500) 223 [1500，1700) 193 [1700，1900) 165 [1900，＋∞) 42 ①将各组的频率填入表中； ②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率． 【解析】 ①利用频率的定义可得：[700，900)的频率是0.048；[900，1100)的频率是0.121；[1100，1300)的频率是0.208；[1300，1500)的频率是0.223；[1500，1700)的频率是0.193；[1700，1900)的频率是0.165；[1900，＋∞)的频率是0.042，所以频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. ②样本中使用寿命不足1500小时的灯管的频率是0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有15条有印记的鱼．问：这个水库里大概有多少条鱼？ 【解析】 设这个水库大概有x条鱼． 由已知得 eq \f(1000,x)＝ eq \f(15,1000)， 解得x≈66667， 所以这个水库里大概有66667条鱼． 1．同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机事件，则这个试验的样本空间为( ) A．ω＝{3} B．ω＝{4} C．ω＝{1，2，3} D．ω＝{0，1，2，3} 2．下列事件中，是必然事件的是( ) A．买一张电影票，座位号是奇数 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．明天会下雨 D．三角形的内角和是180° 3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，设事件A＝ “点数为3”，则下列说法正确的是( ) A．抛掷骰子6次，事件A必发生1次 B．抛掷骰子60次，事件A不可能发生10次 C．抛掷骰子600次，事件A发生的频率一定等于 eq \f(1,6) D．随着抛掷骰子次数的增多，事件A发生的频率逐渐稳定在 eq \f(1,6)附近 6．(2025·辽宁省学考模拟)2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为0.4，不中奖的概率为0.6.现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为( ) A．0.16 B．0.24 C．0.36 D．0.48 7．(2025·湖南省学考)从总体容量为100的一批电子元件中，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本．若每个电子元件被抽取的概率为 eq \f(1,5)，则样本容量n的值为( ) A．10 B．20 C．40 D．50 8．某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为( ) A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.95 9．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 eq \f(1,2)，甲获胜的概率是 eq \f(1,3)，则乙获胜的概率是( ) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(5,6) 10．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( ) A．0.02 B．0.08 C．0.72 D．0.18 11．从一批产品(既有正品也有次品)中随机抽取三件产品，设事件A＝“三件产品全不是次品”，事件B＝“三件产品全是次品”，事件C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是( ) A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．A，B，C两两互斥 D．A与B对立 【解析】 事件A＝“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”， 事件B＝“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”， 事件C＝“三件产品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”． 由互斥事件的定义知，A，B，C两两互斥，故A，B，C正确；A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B不是对立事件，故D错误． 12．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有除颜色外完全相同的球，从袋中取球． 游戏1 游戏2 游戏3 3个黑球和1个白球 1个黑球和1个白球 2个黑球和2个白球 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 问其中不公平的游戏是( ) A．游戏1 B．游戏1和游戏3 C．游戏2 D．游戏3 【解析】 游戏1中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白).所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2).所以甲胜的可能性为 eq \f(1,3)，游戏是不公平的． 13．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 . 0.52 14．(2025·广东省学考)已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，则P(AB)＝ . 0.3 15．有四个除颜色外完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ． eq \f(5,6) 【解析】 从四个球中任取两个的所有可能为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的取法有5种， 故所求概率为P＝ eq \f(5,6). 16．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件A表示“向上的点数是偶数”，事件B表示“向上的点数不超过4”，则P(A∪B)＝ . eq \f(5,6) 【解析】 事件A包含向上点数为2，4，6的情况，B包含向上的点数是1，2，3，4的情况，故A∪B包含了向上点数是1，2，3，4，6的情况，故P(A∪B)＝ eq \f(5,6). 17．(2025·黑龙江省学考)黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛． (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于[80，100]的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成绩均在[90，100]之间的概率． 【解析】 (1) eq \f(1,5＋9＋11＋3＋2)×(55×5＋65×9＋75×11＋85×3＋95×2)＝71， 估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为71. (2)竞赛成绩位于[80，100]的共有5人，位于[80，90)的有3人 ，位于[90，100]的有2人，记[80，90)的3人为a，b，c，[90，100]的2人为d，e，任取2人有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中2人成绩均在[90，100]的有de，共1种．故所求概率为P＝ eq \f(1,10). 18．(2023·湖南省学考)自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大．农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化．甲图为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，乙图为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图． (1)请根据甲图简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势； (2)从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率； (3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率． 【解析】 (1)由甲图可知，2018年至2022年农产品网络零售额呈逐年递增的趋势． (2)由乙图可知，粮油和茶叶在农产品网络零售量中的占比为100%－30%－14%－11%－5%＝40%， 故估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为0.4. (3)设事件A＝“第一天零售额超过1万元”，B＝“第二天零售额超过1万元”，C＝“至少有一天零售额超过1万元”． 由题设知，A与B相互独立，且C与 eq \x\to(A) eq \x\to(B)互为对立事件，则P(C)＝1－P( eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.16＝0.84. 19．(2025·湖南省学考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取三局两胜制(当一人赢得两局胜利时，此人获胜，比赛结束)，根据以往甲、乙比赛成绩，甲每局获胜的概率为0.6，且各局比赛结果相互独立．求： (1)甲以2∶0获胜的概率； (2)甲最终获胜的概率． 【解析】 (1)甲以2∶0获胜意味着比赛只进行两局，且甲连续赢下这两局． 由于每局比赛结果相互独立，甲赢得每局比赛的概率为0.6，因此甲以2∶0获胜的概率为0.6×0.6＝0.36. (2)甲最终获胜有两种情况：①甲以2∶0获胜；②甲以2∶1获胜． 甲以2∶1获胜意味着甲在前两局中必须恰好赢得一局，然后赢得第三局． 前两局中甲恰好赢得一局的概率为2×(0.6×0.4)＝0.48；甲赢得第三局的概率为0.6. 因此，甲以2∶1获胜的概率为0.48×0.6＝0.288. 因此，甲最终获胜的概率为0.36＋0.288＝0.648. $