第7讲 三角函数（二）课件-湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数专题，覆盖函数y=A sin(ωx+φ)的图象、两角和与差公式、二倍角公式及简单三角恒等变换等核心考点，依据考情分析明确各考点的理解与掌握要求，通过知识梳理系统整合图像变换规则与公式变形，考点探究归纳四大常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点探究+变式训练+达标检测”的实战模式，如通过图像变换中平移方向与伸缩倍数的辨析培养数学眼光，结合倍角公式变形（如2cos²α-1）训练数学思维，帮助学生掌握公式化简与图像性质分析技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力高效备考。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第7讲 三角函数（二） 必修第一册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 考情动态 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 √ 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的三角恒等变换 √ 知识梳理 知识梳理 2sin αcos α 2cos2α－1 1－2sin 2α 考点探究 探究点一：函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象与性质 【变式题】 D 探究点二：两角和与差的三角函数 B 【变式题】 C B 探究点三：利用倍角公式化简求值 D B 【变式题】 探究点四：三角函数的图象变换 A A 【变式题】 D C C 巩固练习 一、选择题 A D C D D A C B A D C D 二、填空题 2 －1 三、解答题 本课结束！ 1.A，ω，φ对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin (x＋φ)，x∈R图象的影响 (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 2.两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差的 余弦公式 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α－β) α，β∈R 两角和的 余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β C(α＋β) α，β∈R 两角和的 正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β S(α＋β) α，β∈R 两角差的 正弦公式 sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β S(α－β) α，β∈R 3.两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z) 两角差的正切公式 tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z) 4.二倍角公式 名称 公式 简记 二倍角的正弦 sin 2α＝⑦ S2α 二倍角的余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝⑧ ＝⑨ C2α 二倍角的正切 tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) T2α 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为 eq \f(α,2)的二倍，3α作为 eq \f(3α,2)的二倍，α＋β作为 eq \f(α＋β,2)的二倍等情况. 5.辅助角公式 a sin x＋b cos x＝ eq \r(a2＋b2)sin (x＋θ)(其中tan θ＝ eq \f(b,a)). 三角函数式a sin x＋b cos x是基本三角函数式之一，引进辅助角φ，将它化为 eq \r(a2＋b2)·sin (x＋φ)，即a sin x＋b cos x＝ eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)(其中tan φ＝ eq \f(b,a))是常用手段.特别是与特殊角有关的sin x±cos x，sin x± eq \r(3)cos x，要熟练掌握其变形结论. 6.简单的三角恒等变换 (1)变换对象：角、名称和形式，三角恒等变换只变其形，不变其质. (2)变换目标：利用公式化简三角函数式，达到化简、计算或证明的目的. (3)变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径. 【例1】 已知f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3)). (1)用五点作图法作出f(x)在一个周期上的简图． (2)写出f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 【解析】 (1)对于函数f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))， 列表： 2x＋ eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x － eq \f(π,6) eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) y＝f(x) 0 2 0 －2 0 画图： (2)把y＝sin x的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度，可得y＝sin (x＋ eq \f(π,3))的图象； 再把所得的图象的横坐标变为原来的 eq \f(1,2)，可得y＝sin (2x＋ eq \f(π,3))的图象； 再把所得图象的纵坐标变为原来的2倍，可得f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))的图象． 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝2sin ( eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,6)) B．f(x)＝2sin ( eq \f(1,2)x－ eq \f(π,6)) C．f(x)＝2sin (2x－ eq \f(π,6)) D．f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6)) 【解析】 根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2， eq \f(3T,4)＝ eq \f(11π,12)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(3π,4)，解得T＝π，所以ω＝ eq \f(2π,T)＝2. 所以f(x)＝2sin (2x＋φ)， 将点( eq \f(π,6)，2)代入解析式得f( eq \f(π,6))＝2sin (2× eq \f(π,6)＋φ)＝2，则sin ( eq \f(π,3)＋φ)＝1， 则 eq \f(π,3)＋φ＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋ eq \f(π,6)(k∈Z)， 又|φ|< eq \f(π,2)，所以φ＝ eq \f(π,6)，所以函数f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6)).故选D. 【答案】 D 【例2】 (1)(2025·北京市学考)若sin αcos β＋cos αsin β＝1，则( ) A．α＋β＝2kπ(k∈Z) B．α＋β＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z) C．α＋β＝π＋2kπ(k∈Z) D．α＋β＝ eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z) 【解析】 因为sin αcos β＋cos αsin β＝sin (α＋β)＝1， 所以α＋β＝ eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z). 【答案】 B (2)(2025·天津市学考模拟)已知cos α＝－ eq \f(3,5)，α是第三象限角． ①求sin α和tan α的值； ②求cos (α－ eq \f(π,3))的值． 【解析】 ①由cos α＝－ eq \f(3,5)，α是第三象限角， 则sin α＝－ eq \r(1－cos2α)＝－ eq \f(4,5)， 所以tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(4,3). ②cos (α－ eq \f(π,3))＝cos αcos eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)＝(－ eq \f(3,5))× eq \f(1,2)＋(－ eq \f(4,5))× eq \f(\r(3),2)＝－ eq \f(3＋4\r(3),10). (1)(2023·浙江省学考)cos (θ＋45°)cos θ＋sin (θ＋45°)sin θ＝( ) A．0 B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D．1 【解析】 cos (θ＋45°)cos θ＋sin (θ＋45°)sin θ＝ cos (θ＋45°－θ)＝cos 45°＝ eq \f(\r(2),2). (2)已知锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(10),10)，cos β＝ eq \f(2\r(5),5)，则α＋β＝( ) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,6)或 eq \f(2π,3) D． eq \f(3π,4)或 eq \f(π,4) 【解析】 因为锐角α，β满足sin α＝ eq \f(\r(10),10)，cos β＝ eq \f(2\r(5),5)， 所以cos α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(3\r(10),10)，sinβ＝ eq \r(1－cos2β)＝ eq \f(\r(5),5)， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ eq \f(3\r(10),10)× eq \f(2\r(5),5)－ eq \f(\r(10),10)× eq \f(\r(5),5)＝ eq \f(\r(2),2)， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝ eq \f(π,4).故选B. 【答案】 B 【例3】 (1)(cos 15°－sin 15°)(cos 15°＋sin 15°)等于( ) A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 【解析】 (cos 15°－sin 15°)(cos 15°＋sin 15°)＝cos2 15°－sin2 15°＝cos 30°＝ eq \f(\r(3),2).故选D. 【答案】 D (2)已知sin α＝ eq \f(4,5)，则cos 2α＝( ) A． eq \f(7,25) B．－ eq \f(7,25) C． eq \f(24,25) D．－ eq \f(24,25) 【解析】 因为sin α＝ eq \f(4,5)，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×( eq \f(4,5))2＝－ eq \f(7,25).故选B. 【答案】 B (1)计算2sin eq \f(π,8)cos eq \f(π,8)＝ . 【答案】 eq \f(\r(2),2) 【解析】 2sin eq \f(π,8)cos eq \f(π,8)＝sin eq \f(π,4)＝ eq \f(\r(2),2). (2)已知tan α＝ eq \f(4,5)，则 eq \f(sin 2α－cos2α,cos2α)＝ . 【答案】 eq \f(5,3) 【解析】 因为tan α＝ eq \f(4,5)，所以 eq \f(sin 2α－cos2α,cos2α)＝ eq \f(2sin αcos α－cos2α,cos2α－sin2α)＝ eq \f(2tanα－1,1－tan2α)＝ eq \f(2×\f(4,5)－1,1－(\f(4,5))2)＝ eq \f(5,3). 【例4】 (2024·湖南省学考)为了得到函数y＝sin (x＋ eq \f(π,6))的图象，只需把y＝sin x上所有的点( ) A．向左平移 eq \f(π,6)个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,6)个单位长度 C．向左平移 eq \f(π,3)个单位长度 D．向右平移 eq \f(π,3)个单位长度 【解析】 为了得到函数y＝sin (x＋ eq \f(π,6))的图象，只需把正弦曲线上所有的点向左平移 eq \f(π,6)个单位长度． 【答案】 A (2)(2025·天津市学考模拟)为了得到函数y＝cos eq \f(1,3)x，只需要把y＝cos x图象上所有的点的( ) A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩小到原来的 eq \f(1,3)，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩小到原来的 eq \f(1,3)，横坐标不变 【解析】 为了得到函数y＝cos eq \f(1,3)x的图象，只需把余弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变． 【答案】 A (1)将函数y＝sin (x＋ eq \f(π,6))的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到的图象对应的解析式为( ) A．y＝sin ( eq \f(1,3)x＋ eq \f(π,6)) B．y＝sin (3x＋ eq \f(π,6)) C．y＝ eq \f(1,3)sin (x＋ eq \f(π,6)) D．y＝3sin (x＋ eq \f(π,6)) 【解析】 将函数y＝sin (x＋ eq \f(π,6))的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到图象的函数解析式为y＝3sin (x＋ eq \f(π,6))，故选D. 【答案】 D (2)(2025·广东省学考)要得到函数y＝sin (2x＋ eq \f(π,4))的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( ) A．向左平移 eq \f(π,4)个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,4)个单位长度 C．向左平移 eq \f(π,8)个单位长度 D．向右平移 eq \f(π,8)个单位长度 【解析】 若要得到函数y＝sin (2x＋ eq \f(π,4))的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,8)个单位长度．故选C. 【答案】 C (3)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)＝( ) A．cos 4x B．－cos 4x C．cos x D．－cos x 【解析】 将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4)个单位长度，得到函数y＝sin 2(x＋ eq \f(π,4))的图象， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝sin 2( eq \f(1,2)x＋ eq \f(π,4))的图象， 所以g(x)＝sin (x＋ eq \f(π,2))＝cos x．故选C. 【答案】 C 1．(2024·湖南省学考)2sin 15°cos 15°＝( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D．1 2．(2023·福建省学考)已知f(x)＝cos x＋1，x∈R，则f(x)的周期为( ) A． eq \f(π,2) B．π C． eq \f(3π,2) D．2π 3．(2024·云南省学考)sin 80°cos 50°－cos 80°sin 50°＝( ) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,2) D．0 4．(2025·湖南省学考)若tan θ＝ eq \f(\r(3),3)， 则tan 2θ＝( ) A．－ eq \r(3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(2\r(3),3) D． eq \r(3) 5．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(－ eq \f(4,5)， eq \f(3,5))，则cos 2α＝( ) A．－ eq \f(24,25) B． eq \f(24,25) C．－ eq \f(7,25) D． eq \f(7,25) 【解析】 由已知可得，sin α＝ eq \f(3,5)，cos α＝－ eq \f(4,5)， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(－ eq \f(4,5))2－( eq \f(3,5))2＝ eq \f(7,25).故选D. 6．(2023·广东省学考)要得到函数y＝sin (x＋ eq \f(1,6))的图象，只需要将正弦函数y＝sin x的图象( ) A．向左平移 eq \f(1,6)个单位长度 B．向右平移 eq \f(1,6)个单位长度 C．向左平移 eq \f(π,6)个单位长度 D．向右平移 eq \f(π,6)个单位长度 7．如图，是某港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线，其近似满足函数y＝3sin (ωx＋φ)＋k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A．5 B．6 C．8 D．10 8．函数f(x)＝1－2sin2x的最大值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 【解析】 因为y＝1－2sin2x＝cos2x，所以该函数的最大值为1.故选B. 9．已知cos (α－ eq \f(π,3))＝ eq \f(5,9)，则cos α＋ eq \r(3)sin α＝( ) A． eq \f(10,9) B．－ eq \f(10,9) C．－ eq \f(5,9) D． eq \f(5,9) 【解析】 因为cos (α－ eq \f(π,3))＝ eq \f(5,9)， 所以cos α＋ eq \r(3)sin α＝2( eq \f(1,2)cos α＋ eq \f(\r(3),2)sin α)＝2cos (α－ eq \f(π,3))＝ eq \f(10,9).故选A. 10．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( ) A．f(x)＝2sin (x＋ eq \f(π,6)) B．f(x)＝2sin (x＋ eq \f(π,3)) C．f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6)) D．f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3)) 【解析】 由图象知A＝2， eq \f(T,2)＝ eq \f(π,3)－(－ eq \f(π,6))＝ eq \f(π,2)，即T＝π， 即 eq \f(2π,ω)＝π，得ω＝2， 则f(x)＝2sin(2x＋φ)， 由五点对应法得2× eq \f(π,3)＋φ＝π，得φ＝ eq \f(π,3)， 即f(x)＝2sin(2x＋ eq \f(π,3))，故选D. 11．(2024·湖南省学考)已知函数f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,3))，则( ) A．f(x)为奇函数 B．f(x)的周期为2π C．f(x)的最大值为1 D．f(x)在(－ eq \f(5π,12)， eq \f(π,12))上单调递减 【解析】 对于A，因为f(x)＝sin (2x＋ eq \f(π,3))，f(－x)＝sin (－2x＋ eq \f(π,3))，所以f(x)≠f(－x)，A不正确； 对于B，T＝ eq \f(2π,2)＝π，B不正确； 对于C，f(x)的最大值为1，C正确； 对于D，当x∈(－ eq \f(5π,12)， eq \f(π,12))时，2x＋ eq \f(π,3)∈(－ eq \f(π,2)， eq \f(π,2))，所以f(x)在(－ eq \f(5π,12)， eq \f(π,12))上单调递增，D不正确． 12．下列化简不正确的是( ) A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－ eq \f(1,2) B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ eq \f(1,8) C．cos215°－sin215°＝ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(tan 48°＋tan 72°,1－tan 48°tan 72°)＝ eq \r(3) 【解析】 对于A，cos 82°sin 52°＋sin 82°·cos 128°＝ cos 82°sin 52°＋sin 82°·cos(180°－52°)＝cos 82°sin 52°－ sin 82°·cos 52°＝sin(52°－82°)＝－sin 30°＝－ eq \f(1,2)，A正确． 对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝ eq \f(1,2)sin 15°·sin(90°－15°)＝ eq \f(1,2)sin 15°cos 15°＝ eq \f(1,4)sin 30°＝ eq \f(1,8)，B正确． 对于C，cos215°－sin215°＝cos 30°＝ eq \f(\r(3),2)，C正确． 对于D， eq \f(tan 48°＋tan 72°,1－tan 48°tan 72°)＝tan(48°＋72°)＝tan 120°＝ － eq \r(3)，D错误．故选D. 【解析】 由于tan α，tan β是方程x2＋4x－3＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－4，tan αtan β＝－3，所以tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(－4,1－(－3))＝－1. 13．若cos x＝ eq \f(4,5)，则cos 2x＝ . eq \f(7,25) 14．函数f(x)＝ eq \r(3)sin x－cos x的最大值为 . 15．已知tan α，tan β是方程x2＋4x－3＝0的两根，且α，β∈(0，π)，则tan (α＋β)的值为 ． 16．设函数f(x)＝2cos2x＋ eq \r(3)sin2x＋a，已知当x∈[0， eq \f(π,2)]时，f(x)的最小值为－4，则a＝ . 【解析】 f(x)＝2cos2x＋ eq \r(3)sin2x＋a＝1＋cos 2x＋ eq \r(3)sin 2x＋a＝2sin (2x＋ eq \f(π,6))＋a＋1. 因为x∈[0， eq \f(π,2)]，所以2x＋ eq \f(π,6)∈[ eq \f(π,6)， eq \f(7π,6)]. 所以sin (2x＋ eq \f(π,6))∈[－ eq \f(1,2)，1]， 所以f(x)min＝2×(－ eq \f(1,2))＋a＋1＝－4. 所以a＝－4. －4 17．已知sin α＝ eq \f(3,5)，α∈(0， eq \f(π,2)). (1)求sin ( eq \f(π,6)－α)的值； (2)求tan (α＋ eq \f(π,4))的值． 【解析】 因为sin α＝ eq \f(3,5)，α∈(0， eq \f(π,2))， 所以cos α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \f(4,5)，可得tanα＝ eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(3,4). (1)sin ( eq \f(π,6)－α)＝sin eq \f(π,6)cos α－cos eq \f(π,6)sin α＝ eq \f(1,2)× eq \f(4,5)－ eq \f(\r(3),2)× eq \f(3,5)＝ eq \f(4－3\r(3),10). (2)tan (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝ eq \f(\f(3,4)＋1,1－\f(3,4))＝7. 18．已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin (2t＋ eq \f(π,4)). (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标． 【解析】 (1)令t＝0，得h＝3sin eq \f(π,4)＝ eq \f(3\r(2),2)， 所以小球开始振动的位置为(0， eq \f(3\r(2),2)). (2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为 eq \f(π,8)， 即所求最高点为( eq \f(π,8)，3)； 当h＝－3时，t的最小值为 eq \f(5π,8)， 即所求最低点为( eq \f(5π,8)，－3). 19．(2024·浙江省学考模拟) 已知函数f(x)＝sin 2x－2 eq \r(3)sin2x，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)在[0， eq \f(π,2)]上的值域及取得最值时的x的值． 【解析】 根据题意，可得f(x)＝sin2x－ eq \r(3)(1－cos 2x)＝sin 2x＋ eq \r(3)cos 2x－ eq \r(3)＝2sin (2x＋ eq \f(π,3))－ eq \r(3). (1)f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π. (2)令－ eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,3)≤ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z， 解得－ eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤ eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为[－ eq \f(5π,12)＋kπ， eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z. (3)因为x∈[0， eq \f(π,2)]，所以2x＋ eq \f(π,3)∈[ eq \f(π,3)， eq \f(4π,3)]， 所以sin (2x＋ eq \f(π,3))∈[－ eq \f(\r(3),2)，1]， 所以f(x)∈[－2 eq \r(3)，2－ eq \r(3)]， 即f(x)的值域为[－2 eq \r(3)，2－ eq \r(3)]， 当2x＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)即x＝ eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值； 当2x＋ eq \f(π,3)＝ eq \f(4π,3)即x＝ eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值． $