高一数学下学期期末真题重组卷（人教B版）

**基本信息** 高一数学下学期期末真题重组卷，精选多地区2024年期末真题，覆盖复数、向量、三角函数、立体几何等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数模、向量垂直、三角函数图像平移、立体几何外接球|海洋蓝洞测量情境（第7题），结合实际应用| |填空题|3题/15分|三角求值、复数方程、立体几何折叠外接球|折叠问题（第14题）考查空间观念| |解答题|5题/77分|三角函数图像与性质、向量应用、立体几何二面角、解三角形|四棱锥面面垂直及二面角范围（第19题），体现逻辑推理与运算能力|

高一数学下学期期末真题重组卷 数学• 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高一下·湖南长沙·期末）复数（是虚数单位），则（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·25高一下·北京西城·期末）已知向量 ， 若与垂直，则 （   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高一下·河北邢台·期末）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高一下·新疆·期末）下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（    ） A．若为任意向量，则 B．若z为任意复数，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 10．（2024·25高一下·贵州安顺·期末）下列对函数的判断中，正确的是（   ） A．的最大值为 B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C．当，时，若，则 D．当，时，若当时，取到最大值，则 11．（2024·25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则__________. 13．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 14．（2024·25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（2024·25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 16．（15分）（2024·25高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，；(2)若，求； (3)若，求的取值范围． 17．（15分）（2024·25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 18．（17分）（2024·25高一下·新疆哈密·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 19．（17分）（2024·25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学下学期期末真题重组卷 数学• 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高一下·湖南长沙·期末）复数（是虚数单位），则（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（2024·25高一下·北京西城·期末）已知向量 ， 若与垂直，则 （   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·25高一下·河北邢台·期末）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高一下·新疆·期末）下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（    ） A．若为任意向量，则 B．若z为任意复数，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 10．（2024·25高一下·贵州安顺·期末）下列对函数的判断中，正确的是（   ） A．的最大值为 B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C．当，时，若，则 D．当，时，若当时，取到最大值，则 11．（2024·25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则__________. 13．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 14．（2024·25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（2024·25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 16．（15分）（2024·25高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，；(2)若，求； (3)若，求的取值范围． 17．（15分）（2024·25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 18．（17分）（2024·25高一下·新疆哈密·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 19．（17分）（2024·25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期期末真题重组卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高一下·湖南长沙·期末）复数（是虚数单位），则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 故选：D． 2．（2024·25高一下·北京西城·期末）已知向量 ， 若与垂直，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 3．（2024·25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 4．（2024·25高一下·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 5．（2024·25高一下·辽宁朝阳·期末）已知角均为锐角，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角均为锐角，所以， 因为， 所以，， 所以 . 故选：C 6．（2024·25高一下·河北邢台·期末）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，3，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，，因为是的中点，所以∥， 则异面直线与所成角. 直三棱柱中，侧面是正方形，3，， ∴，. 在中，在中， 在中，. 在中，. ∴在中，. 故选：B. 7．（2024·25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 8．（2024·25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高一下·新疆·期末）下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（    ） A．若为任意向量，则 B．若z为任意复数，则 C．若向量，满足，则 D．若复数，满足，则 【答案】AC 【详解】因为，A正确； 不妨取，则，，，B错误； 由，得，即， 展开得，解得，C正确； 令，，此时，而，D错误. 故选：AC 10．（2024·25高一下·贵州安顺·期末）下列对函数的判断中，正确的是（   ） A．的最大值为 B．当，时，的图象可以通过的图象向左平移个单位长度而得到 C．当，时，若，则 D．当，时，若当时，取到最大值，则 【答案】AD 【详解】A选项，，其中， 故的最大值为，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，当，时，， 的图象可以通过的图象向右平移个单位长度而得到，B错误； C选项，由B知，，若，则， 即，所以，C 错误； D选项，当，时，， 其中，， 若当时，取得最大值，即，， 所以，由于，即， 所以，D正确. 故选：AD 11．（2024·25高一下·江苏无锡·期末）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则__________. 【答案】 【详解】已知；. 联立方程组，解得：. 由，所以. 故答案为： 13．（2024·25高一下·江苏常州·期末）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【详解】复数满足，即， 故，则， 故答案为： 14．（2024·25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（2024·25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【详解】（1）由图象可得，得， 2分 由图象可知，所以，即， 即； 4分 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 6分 令得， 所以曲线的对称中心为． 8分 （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 11分 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 13分 16．（15分）（2024·25高一下·山东威海·期末）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，， ； 2分 （2）若，则， 所以， 可得， 4分 即，所以． 5分 （3）设，， 因为， 7分 所以 9分 ， 11分 令，则，， 因为，， 13分 可得， 所以的取值范围是． 15分 17．（15分）（2024·25高一下·江苏常州·期末）在直三棱柱中，，，，，． (1)若平面，求的值； (2)设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【详解】（1）连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面，   ∴． 2分 又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. 4分 （2）过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， 6分 ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面，  8分 又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 10分 即，，             ∵，，， ∴， ∴， 12分 当时，，                  而，                                                 ∵，∴，解得或              又，∴． 15分 18．（17分）（2024·25高一下·新疆哈密·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以， 1分 两侧同乘，可得， 则，可得， 故，而，故. 3分 （2）因为，所以是边上靠近的三等分点， 由向量三等分线定理得， 5分 两侧同时平方得， 则， 而，故， 可得，即原命题得证. 8分 （3）由已知得，则， 且设，因为是锐角三角形，所以，， 由余弦定理得，， 则，， 10分 我们先求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故， 12分 我们再求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故，综上，， 因为，所以，，而， 故，则， 可得，故， 则， 14分 由三角形面积公式得， 令，则， 由对勾函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，当时，， 当时，，故， 则，故面积的取值范围为. 17分 19．（17分）（2024·25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 【详解】（1）由，，，可知， 故； 1分 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 2分 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； 4分 （2）由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 6分 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 8分 设直线与平面所成角为，则，而， 故； 10分 （3）作于M，作于N，连接，      由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 12分 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 15分 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高一数学下学期期末真题重组卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AC AD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2 3 13.2√2 14.52元 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A+B=1 15.【详解】(1)由图象可得 -A+B=-3’得A=2,B=-1, 2分 由图象可知7红-元=”，所以=即02】 1212-2 即f(x)=2sin(2x+0-1; 4分 所以名+9=受+2keZ,则0-+2keZ, 结合1pk, 可得=】 31 所以-2sn2x+}-1: .6分 令2x+=k机，keZ得x=-刀，k∈Z, 26 所以线的对称中心为（经名-小4eZ。 …8分 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)把曲线f(x)向右平移元个单位后的曲线为y=2sim -1=2sin2x-1; 6 把曲线y=2sin2x-1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线y=2sinx-1; 把曲线y=2sinx-1向上平移1个单位，得到曲线g(x)=2sinx;…11分 令g)<1,得sinx<2 茶合正弦雨数超象可得不等式血x的解架为女2-石<2+名人e乙 6 .13分 y=sinx 16.【详解】1)由题意知，EF=4F-AE-4D-4B, EG-+GD: ,2分 (2)若EF⊥EG,则EF.EG=0, 所传而-而得而+-0. 可符。0-4西=0， …4分 即 9 所以B2 … 5分 AD AD 3 (3)设LBAD=0,0∈(0，π， 因为环+6而}亚+号0+而号0， … 7分 所以3(EF+EGBD+AC -24D-(D-4B)+4B+AD)2AD-AD 4B+B+248-AD+AD -2cos0+2cos+4D ……9分 (1-c0s0)+2x2im2c =4os9+2cosg+4, 11分 2 令o号-，则3EF+EG)8D+a-4r+2+4,1e0,小， 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为-42+2t+4= ..c. …13分 可得-412+21+4∈ 所以F+GD+C的取值花目是(2好 15分 E B 17.【详解】(1)连接AB,交AB于点E,连接DE. :AC,I∥平面ABD,ACC平面AC,B,,平面A,BD∩平面ACB,=DE, .DE∥AC. 2分 B 、 又在直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面ABB,A,为平行四边形， E是AB,的中点， :D是BC的中点，2=2 ............. 4分 (2)过点B在平面AAB,B内作BF⊥A,B,垂足为F,连接DF,CF, :B,C,⊥AB,B,C1⊥BB1,AB,∩BB,=B,AB,BB,C平面ABBA, BC1L平面ABB,A,… 6分 :BAC平面ABB,A,BC1⊥BA, 又：B,F⊥BA,B,F∩B,C1=B1,BF,B,Cc平面BFC1, BA平面BFC1,… 8分 又DF,CFc平面BFC,BA⊥DF,BA⊥CF, 二面角B,-A,B-D和二面角D-A,B-C,的平面角分别为∠DFB,∠C,FD,…10分 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 即∠DFB=a,∠CFD=A,a,Be02, :A,B=AB=V5,BB,=3,∠ABB=90°， :AB=AB2+BB2=3+9=23, :BF=4B·BB=V3x33 AB232' ,……12分 当a=B时，tan(a+B)=tan2a=B,C=2x 24 BF 33 而tana= ABC-4x. BF 3 6 2tana 43 .tan 2a 1-tan2a’ 31-162 解得入=3或2=-3 9 又0<1<1，.2= 8 15分 18.【详解】(1)由余弦定理得cosB=a+c2- 2ac 因为2a-b=2c0sB,所以2a-h=2cx42+c2-62 2ac .1分 两侧同乘a,可得2a2-ab=a2+c2-b2, 则a2+b2-c2=b,可得+b2-c2-1 2ab-=2’ 放cosC 2,而C∈(0，)，故C 3 3分 (2)因为AD=2DB,所以D是AB边上靠近D的三等分点， 等分线定理得CD=CA+CB, 两同时平方行而-C+号CC+C正。 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则co-c+c+c. 而CD=1,故1=+4}ba+4d, 9 92 9 可得4a2+b2+2ab=9,即原命题得证.… ……8分 (3)由已知得a2+b2-c2=ab,则c2=a2+b2-ab, 且设1-分0，因为4C是镜角三角形，所以cosB>0,c0s4>0, 由余弦定理得cos4-+c-口>0，c0sB=。+c- >0, 2bc 2ac 则b2+C2-a2>0,a2+C2-b2>0,.10分 我们先求解b2+c2-a2>0,此时代入c2=a2+b2-ab, 得到b2+a2+b2-ab-a2>0,即2b2-ab>0, 解得b>号，即号<2，故1<2， 12分 h 我们再求解a2+c2-b2>0,此时代入c2=a2+b2-ab, 得到a2+a2+b2-ab-b2>0,即2a2-ab>0, 解a空即号号故>综上，1e2, 因为1=会所以a=,d=b,而4a2+6+2ab=9, 故4b2t2+b2+2b2t=9,则b2(412+1+21)=9, 42+1+27′故a2=90 9 可得b2= 4t2+1+2t 9 9t2 则ab=Vaf=\4+1+2×42+1+24+1+21 9t X- 14分 15、995 由三角形面积公式得Sc2×2×4护+1+2：44r+1+21 t t 1 t 令f0=则4+1+214++2 由对勾函数性质得)=4：+在（兮，2）上单调递增。 故0在(g,2)上单调递减，当1→时，0→石 1 当→2时、0→品0导2 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则SMBc∈( 4,g),故48C面积的取值范围为535 53V5、 148 17分 19.【详解】(1)由PA=4,AB=8,PB=4√5，可知P+AB2=PB2, 故PA1AB;… …1分 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PAC平面PAB, 故PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,故PA1BC,.2分 又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC, 故BC⊥平面PAC,BCc平面PBC, 故平面PBC⊥平面PAC; 4分 (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD, 故PA⊥AB,而AC⊥BC,底面ABCD是平行四边形， AC=4,AB=8,故AD=BC=V82-42=4V5, 8ePAB-48=16: 6分 2 设点D到平面PAB的距离为d, Vp-ABCD 由Vn-PAB=Vp-Aao=2 得x16d=xPA4C-BC=x5 23 2×3×4×4×4V5=32 23 3 解得d=2√3， 8分 设直线PD与平面P18所成角为6，则s血0=高，而PD=VPAP+4D=8, 故sin0= 23_5 10分 8 4 (3)作AM⊥PC于M,作MN⊥PB于N,连接AN, D< 由于平面PBC⊥平面PAC,平面PBC∩平面PAC=PC, AMC平面PAC,故AM⊥平面PBC,PBC平面PBC, 故AM⊥PB,而MN⊥PB,MN∩AM=M,MN,AMC平面AMW, 故PB⊥平面AMN,则LANM即为二面角A-PB-C的平面角；… 12分 设AC=x,2≤AC≤4，则2≤x≤4， PC=PA2+AC2=16+x2, 6/7 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4x 于SPAX AC=PCX AM,可得AM V16+x2, 又S.PuB=2 PAxAB=PB×AN,则AN=PAXAB_4x8-8N5 PB 455, 故在RteAMN中，MN=√AN2-AM?=4 64-x2 516+x2)’ 15分 4x1516+x2） 股L4wa,月ama微6o4-可 5x 5 V64-x2 Vx2-1' 64 5,55 1 =≤ 时2≤x4,版4≤76，则3 3, 即二面角A-PB-C的正切值的取值范围为 √55 3’3 …17分 7/7