专题09 空间位置关系的证明及空间角（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 聚焦空间位置关系证明与空间角计算，以12类题型构建从基础判断到综合应用的递进训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判断与证明|题型1-2,6|含命题真假判断、平行垂直证明，重点突出判定定理应用|从线面关系概念出发，通过几何直观构建证明逻辑链| |空间角与距离计算|题型5,8-9,11|涵盖异面直线角、线面角、二面角及距离求解，强调转化思想|以空间角定义为基础，通过作角、证角、算角实现量化计算| |综合应用|题型3-4,7,10,12|包含截面、探索性问题及角的取值范围，难点突破|整合位置关系与空间度量，培养动态思维与创新意识|

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09空间位置关系的证明及空间角 题型归纳·内容导航 题型1线面、面面关系有关命题的判断 题型7垂直的探索性问题（难点） 题型2直线、平面的平行的证明（重点) 题型8求线面角（重点） 题型3截面问题（难点） 题型9求二面角（重点） 题型4平行的探索性问题（难点） 题型10空间角的取值范围（难点） 题型5异面直线所成的角 题型11求点面、线面、面面距离 题型6空间直线、平面的垂直的证明（重点） 题型12空间角中的探索性问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型1线面、面面关系有关命题的判断 1.设m,n是不同的直线，Q,B是不同的平面，则下列命题正确的是() A.m⊥n,nlla,则m⊥a B.mlln,m⊥a,ncB→a⊥β C.m⊥a,a⊥B,则m/1B D.m/1B,B⊥a,则m⊥a 2.(多选)己知m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是()· A.若m⊥a,m⊥n,则n/la B.若m/1a,，n⊥B,a/B,则m⊥n C.若m/1a,m/1B,a∩B=n,则m/1m D.若nca,n//B,m/1a,mcB,则a/1B 3.(多选)己知m,n为两条不同的直线，α，阝为两个不同的平面，则下列命题错误的是()· A.若m∥n,nca,则m/1a B.若m⊥a,mln,n⊥B,则calβ C.若olB,m/1a,则m/1B D.若m⊥n,m⊥a,a/B,则n/lB 4.(多选)下列说法错误的是() A.空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 1/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D.若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异 面 题型2直线、平面的乎行的证咀 5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N,P分别是AA,CC,CD的中点； D P 0 A --- M D A B (①)求证：A,B,N,P四点共面 (②)点Q为AD的中点，求证：PQ∥平面MBN 6.如图，在四棱锥P-ABCD,BCIIAD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上，且 PE⊥AD,DE=PE=2.若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD B 2/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.如图，等腰梯形ABCD中，ABI/CD,CD=2AB=4,AE⊥CD,垂足为E,将ADE沿AE翻折，得 到四棱锥P-ABCE在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上，且=BM=2求证： NCMP MW/平面PCE. P E M B AG-- 8.已知梯形PBCD中，PD1/BC,E为PD上的一点且BE⊥PD,PE=BE=1,BC=ED,将△PBE沿 2 BE翻折使得二面角P-BE-C的平面角为O,连接PC、PD,F为棱PD的中点.求证：FC/I平面PBE. C B 9.正方体ABCD-A'B'CD'的棱长为2，E为棱DD'的中点. 3/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D' B E D A B (I)求证：BD'/1平面ACE (2)设平面ACE∩平面A'BCD'=1,求证：BD'1l; (3)求三棱锥D'-ACE的体积. 题型3截面问题 1O.如图，在棱长为√2的正方体ABCD-A'B'CD'中，点E、F、G分别是棱A'B'、B'C'、CD的中点，则 由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于() D G A D' C A E B A.33 B.2√5 C.55 D.3v2 2 2 2 11.(多选)如图，正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，P为BC的中点，CQ=CC(0<2<1),过点A, P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是() 4/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C A B D P B A.当0<λ< 时，8为四边形 B。当入-时，S为等婆院形 当孔<1时，8为六边形 D.当元=3时，S与CD的交点为R,三棱锥R-PDD,的体积为8 4 12.四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=2V2,点E,F,G分别为棱CD,BC,AD的中点，过 点E,F,G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为· 13.已知棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N,P分别是CD,AD,CC,的中点 D M B N. B (I)求证：MP11平面ABB,A; (2)过M,N,P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 题型4平行的探索性问题 14.如图，在正方体ABCD-A,B,CD中，点G,E,F,P分别为棱AB,D,C,B,C,AA4的中点，点M是棱AD上 5/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .3 的一点，且MD=三AD D E M B G B (I)求证：D,G/1平面DBFE; ②棱AB上是否存在一点N使平面PMN/平面DBFE?若存在，求。 -的值；若不存在，请说明理由 15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，BC=AD,E在棱PD上且PE=2ED. 3 E B C (1)求证：BC∥平面PAD; ②线段AD上是否存在点N,使得平面CEN∥平面PAB?若存在，写出4的值，并以此为已知条件，证 AD 明平面CEN∥平面PAB;若不存在，请说明理由. 6/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F,P分别为棱DC,B,C,AA,的中点. D E F B D B (1)求证：D,B,F,E四点共面. (2)设平面A,BDn平面AB,C,D=1,求证：BDIl. ③)陵AD上是香存在一点M,使PM∥平面DBFE?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 17.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，F,P分别为棱BC,AA,的中点. D B A D-- B (I)设平面A,BDn平面AB,CD=1,求证：B,D/1. ②凌AD上是杏存在一点M使PM平面DBP2若存在，求的 的值；若不存在，请说明理由。 7/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型5异面直线所成的角 18.如图一，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB⊥AB,PB=2√3，H,M分别为PA,AB 的中点，将△PAB沿AB边折起，使PC=√O,连接PD,如图二 H H D A 图一 图二 (I)证明：AB⊥HC; (②)求直线BD和PC所成角的余弦值 19.在正四棱柱ABCD-A,B,CD中，E为CC的中点.AB=BC=1,AA=4. D B (I)求证：AC/平面BDE; (2)求异面直线AC,与DE所成角的余弦值 8/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，在直二面角-AB-B中，E,F两点都在直线AB上，C,D两点分别在两个半平面内， ∠AED=∠AFC=60°，则异面直线DE与CF所成角的余弦值为() E D 2-3 B. c D. 21.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为棱AB的中点，则异面直线A,E与B,C所成角的正弦值为() D A B D C B A.5 B.V10 c.15 D. 2V5 5 5 5 题型6空间直线、平面的垂直的证明 22.如图，在三棱锥P-ABC中，AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点，BC⊥平面PAB B (I)求证：BC∥平面AMN; (2)求证：AM⊥平面PBC. 9/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的 中点，作EF⊥PB交PB于点F. D (I)求证：PA∥平面EDB; (2)求证：PB⊥平面EFD; 24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面ABCD,且M是 PD的中点. D (I)求证：PB∥平面ACM (2)求证：AM⊥平面PCD; (3)求证：平面ACM⊥平面PCD, 10/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 25.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，E,F分别是AB,PD的 中点。 D D E (I)求证：EF∥平面PBC; (2)若侧面PAD⊥底面ABCD,求证：AF⊥平面PCD 26.如图，菱形ABCD所在的平面与矩形ACEF所在的平面相互垂直. B (I)证明：直线DE∥平面ABF; (2)若平面DEFL平面BEF,求BD 的值： F 11/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型7垂直的探索性问题 27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=2AB. D )判断在梭PB上是香存在一点M使AM上平面PBC，若存在，求，若不存在，说明理由 (②)当点F,N分别是PB,BC的中点时，求异面直线FN和PD的夹角的余弦值. 28.如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2,四边形ABCD为正方形， E,M分别为AD、BC的中点 M A B (I)直接写出图中与EM平行的平面； (2)求证：平面SAD⊥平面SAB: (3)在棱SC上是否存在点N,使得平面DMW⊥平面ABCD?若存在，求三棱锥C-DMN体积；若不存在， 说明理由。 12/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 29.如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,M是 PD的中点. A ---=D B (I)求证：AM⊥平面PCD; (2)求二面角M-AC-D的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点Q,使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出 PO 的值；如果不存在，请说 明理由. 30.如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=AD=1,A4=3,点P为DD的中点 D A B C B (I)求证：平面PAC⊥平面BDD,B,; (②)求直线A,B与平面BDD,B,所成的角的正弦值： 13/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在直线BB,上是否存在点Q使得PQ⊥平面ACP,若存在，则此 B巴为多少；若不存在，请说明理由 B 题型8求线面鱼 31.在正方体ABCD-A,B,CD,中，棱长为2，点M为棱AD的中点，则直线BM与平面ABCD所成角的正 弦值为() A含 B.2 3 D.5 3 32.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为√2，点M为棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所 成角的正切值为() A.⑤ 5 B.② C.1 D.√2 2 33.如图，在三棱锥P-ABC中，∠APC=∠BPC=45°，△BPA是等边三角形. B (I)求证：AB⊥PC: (2)若ABC为直角三角形，求直线AP与平面ABC所成角的大小 34.在平面四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=3,DC=4,AB=BC(如图)，沿对角线AC将ABC折 起，使点B在平面ADC上的射影E恰落在CD上（如图）· 14/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (I)求证：AD⊥BC; (2)求CD和平面ABD所成角的余弦值. 35.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PD=AB=2,E为PC中点. (I)求证：PA∥平面BDE; (2)求证：DE⊥平面PCB; (3)求直线PA与平面PBD所成角的大小. 题型9求二面鱼 36.已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC-牙，将△ACD沿AC折起，得到三棱锥D'-ABC，当平面 3 15/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABD'⊥平面BCD'时，二面角B-AC-D'的余弦值为() A.1 2 c. 37.三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,BC=2AC=4,PA=PB,面PAB⊥面ABC,(坐标法不给分) D B (1)证明：PA=PC; ②若，c-45,求二面角C-P8-4的正切值 3 38.如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC上一点，DC=2,PC=CA=2√2，BP=BA. B (I)证明：线段PA上存在一点E,使得平面PAD⊥平面BCE; (2)若PD⊥BC,∠PCA=60°，三棱锥B-PAD的外接球的表面积为12π，求二面角B-PA-C的正弦值. 39.如图，在正三棱柱ABC-A,BC,中，M,N分别为AA和B,C的中点. 16/23 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)证明：BC⊥平面AMW; (2)若AA=V6AB,求二面角A-BC,-B,的正弦值. 题型10空间角的取值范围 40.在棱长均为2的正三棱柱ABC-A,B,C,中，M是棱AB的中点，N是侧面ACC,A内任意一点 (包含边界)，则直线MN与平面ACC,A所成角的正弦值的取值范围是() a别R别 15 √21 D 41,已知四面体ABCD中，AB=BC,∠ABD=∠CBD,M为AC中点，BD⊥MD,作MF⊥AD,垂足为 F M (1)证明：MF⊥AB; 2)若AB=2,∠ABC=60°，四面体ABCD的体积大于！，求二面角M-BD-A的正切值的取值范围. 17/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 42.如图1，BCDE是边长为4的正方形，点A在BE的延长线，且AE=4,连接AD,将ADE沿DE翻折， 使点A到点P的位置，且PE⊥BE,得到如图2所示的四棱锥P-BCDE,若M为BC的中点，N是棱PB上 动点， D D E 图1 图2 (I)当N为PB的中点时.求证：平面EMN⊥平面PBC; (2)若BN=1BP,入∈ 4 求二面角N-EM-B的正弦值的取值范围. 43.如图，三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAC,BC=V3,AC=3,PB=5,点E满足AE=2EC, PE=1. P E B D (I)证明：PE⊥平面ABC; (2)若在棱AB上存在一点D,使得PD⊥AC. (i)求BD的长： (ⅱ)若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围. 18/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型11求点面、线面、面面距离 44.如图所示，在长方体ABCD'-ABCD中，AB=3cm,BC=2cm,BB'=lcm,求： D B D B (1)点到平面B'BCC'的距离； (2)直线A'D'与平面ABCD的距离； (3)平面ABB'A'与平面CDDC的距离. 45.如图所示，已知AB是圆0的直径，C为圆上一点，AB=2,AC=1,P为00所在平面外一点，且 PA垂直于圆0所在平面，PB与平面所成的角为45°. P B (1)求证：BC⊥平面PAC; (②)求点A到平面PBC的距离. 19/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 46.如图，在圆锥S0中，底面圆心为O,母线SA=10,圆锥的高S0=8,底面圆O的内接四边形ABCD为 正方形 B D (1)证明：SA⊥BD; (②)求四棱锥S-ABCD的体积： (3)求直线CD到平面SAB的距离. 47.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形，E、F、G分别是 BC、AD、PA的中点. G ‘D F (I)证明：PEI1平面BFG: (2)若AB=2,求点E到平面BFG的距离. 20/23 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型12立体几何中的探索性问题 48.如图，己知正方形OBDC的边长为1，A0⊥平面OBDC,三角形ABC是等边三角形， C (I)求异面直线AC与BD所成的角的大小： (②)在线段AC上是否存在一点E,使得ED与平面BCD所成的角大小为30°？若存在，求出CE的长度，若 不存在，说明理由， 49.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=BC=BB=4,AB⊥BC,∠AA,B,=∠BB,C,=60°，∠AA,C1=45 ,D是棱AC的中点， B B A D C (I)证明：BD⊥平面AACC. (2)在答题卡中作出二面角B,-A,C-C,的平面角，并写出作法与理由. 21/23 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6)在棱CC,上是香存在一点E,使得B,E与平面A4BB所成角的正切值为25？若存在，求出CE的长度： 若不存在，请说明理由， 50.如图(1)，在ABC中，AB=BC=2,∠ABC=90°，E、F、H分别为边AB、AC、BC的中点， 以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P位置（如图(2）)，当四棱锥P-BCFE的体积最大时，分别 求下列问题： F E B H H 图1 图2 (1)设平面PBE与平面PFH的交线为I,求证：I⊥平面PEF; 2在棱PF上是否存在点N,使得BN与平面PEF所成角的正弦值为226？若存在，求PN的长，若不存 13 在，请说明理由. 51.如图，在正三棱台ABC-AB,C中，AB=2A,B,=2AA,D,E分别为AC,AB中点，AC=4AF. B C D 22/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：B,D∥平面AEF; (2)求直线BB,与平面ACC,A,所成角的正弦值： 8线般AE上是香存在点，俊药面角”-4护-E的余张值为，若存在，成出的值。若不存 在，请说明理由 23/23专题09 空间位置关系的证明及空间角 题型1 线面、面面关系有关命题的判断 题型7 垂直的探索性问题（难点） 题型2 直线、平面的平行的证明（重点） 题型8 求线面角（重点） 题型3 截面问题（难点） 题型9 求二面角（重点） 题型4 平行的探索性问题（难点） 题型10 空间角的取值范围（难点） 题型5 异面直线所成的角 题型11 求点面、线面、面面距离 题型6 空间直线、平面的垂直的证明（重点） 题型12 空间角中的探索性问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 线面、面面关系有关命题的判断 1．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 2．（多选）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】BC 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，又，则，B正确； 对于C：如图， 过直线m作平面，交平面于直线a，因为，所以； 过直线m作平面，交平面于直线b，因为，所以； 所以，且，，所以． ，，所以．又，所以．故C正确； 对于D，若，则与可以相交，D错误． 3．（多选）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故A错误. 对于B，由，得，又，故，B正确. 对于C，若，，当时，也满足条件，此时不平行于，故C错误. 对于D，由，得，又，则或，故D错误. 4．（多选）下列说法错误的是（     ） A．空间中两条直线的位置关系有平行、垂直和异面三种 B．若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线异面 C．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 D．若两条直线分别是长方体的相邻两个面的面对角线所在的直线，则这两条直线可能相交，也可能异面 【答案】ABC 【详解】对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在长方体中， 当所在直线为，所在直线为时，与相交， 当所在直线为，所在直线为时，与异面， 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线， 则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.    题型2 直线、平面的平行的证明 5．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点； (1)求证：，，，四点共面 (2)点为的中点，求证：平面 【答案】(1)取的中点，连接，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以，，，四点共面. (2)连接 因为是的中点，点为的中点，所以, 因为，分别是，的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在四棱锥，，点E在AD上，且．若F为线段PE的中点，求证：平面PCD．    【答案】如图，设M为PD的中点，连接FM，CM， 因为F是PE中点，所以，且， 因为， 所以，且， 所以，且， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD． 【详解】略 7．如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面. 8．已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 因为平面，平面，且， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 9．正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 题型3 截面问题 10．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 11．（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（   ）    A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点为，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【详解】 对于A，当时，截面如图：  ，所以截面S为四边形，故A正确； 对于B，当时，截面如图：  ，所以截面S为等腰梯形，故B正确； 对于C，当时，截面如图：  ，所以截面S为五边形；故C错误； 对于D，当时，S与的交点为R，截面如图：  ， 由 ，可得，，由 ，可得，，， 所以，，故D正确. 12．四面体中，，点分别为棱的中点，过点作四面体的截面，则该截面的面积为______． 【答案】2 【详解】 因为点分别为棱的中点，则 因平面平面，所以平面， 又平面，平面直线， 即平面平面，所以， 故过点的四面体的截面即四边形. 又，所以，则为的中点， 则，所以四边形为平行四边形． 取的中点，连接，因为， 所以平面， 所以平面，因平面，所以，所以， 所以为矩形，又， 所以截面的面积． 故答案为：2. 13．已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)连接，则由中位线定理得， 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面.    (2) 周长为. 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为. 题型4 平行的探索性问题 14．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 15．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 16．如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 17．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型5 异面直线所成的角 18．如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)连接， 分别为的中点，，， ，； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形，； 平面，，平面， 平面，. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，连接， 四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. 19．在正四棱柱中，E为的中点.，． (1)求证：平面BDE； (2)求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】(1)连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面，平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 20．如图，在直二面角中，，两点都在直线上，，两点分别在两个半平面内，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图，若取，作且， 所以异面直线与所成角的平面角为， 过作于点，连接， 因,,易得≌，则， 故的平面角为， 其中，则， 在中，由余弦定理，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 21．如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，， 可得. 所以异面直线与所成角的正弦值为.    题型6 空间直线、平面的垂直的证明 22．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 23．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形为正方形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， ，为中点，， ，平面，平面， 又平面，， ，，平面，平面. 24．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【答案】(1)连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，， 又平面，平面，平面. (2)平面，平面，， 又四边形是矩形，， ，，平面，平面， 平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. (3)由（2）知：平面，平面， 平面平面. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略； （3）略； 25．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若侧面底面，求证：平面. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接， 因为是的中点，所以，， 底面为矩形，是的中点，所以，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）底面为矩形，故⊥， 侧面底面，交线为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 侧面是正三角形，为的中点，所以⊥， 因为，平面， 所以平面. 26．如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直． (1)证明：直线平面； (2)若平面平面，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，则， ∵平面，平面， ∴平面， 又∵四边形为菱形，则， ∵平面，平面， ∴平面， 又∵，且平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面． （2）由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直， 且平面平面，，，平面， ∴面，面， ∵平面， ∴，， 则，， 又由，则． 同理可得：． 取中点为，记，则且， ∴，， ∴为二面角的平面角， ∵平面平面，则，且， ∴， 可得． 题型7 垂直的探索性问题 27．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)判断在梭上是否存在一点使平面，若存在，求；若不存在，说明理由； (2)当点分别是的中点时，求异面直线和的夹角的余弦值． 【答案】(1)存在， (2) 【分析】 【详解】（1）作于点，如下图所示： 因为底面为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以此时满足平面； 又因为，因此， 因为，所以，所以； 可得 （2）由（1）可知两两垂直， 因为点分别是的中点，所以， 因此异面直线和的夹角即为和的夹角，即（或其补角）； 不妨取，则， 所以， 在中，由余弦定理可得 因此异面直线和的夹角的余弦值为. 28．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 29．如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）解：存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 30．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    题型8 求线面角 31．在正方体中，棱长为2，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别作线段，的中点，，连接，，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以 平面，所以与平面所成角为， 因为，，，所以， 所以，所以. 32．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， . 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 33．如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连和， 因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以， 所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以， 因为且平面，所以面， 又因为面，所以． (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 34．在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面BCD，则； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面， 所以平面， 所以即为和平面所成角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 即和平面所成角的余弦值为． 35．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略． （2）略． （3）因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 题型9 求二面角 36．已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 取AC的中点O，连接BO，，取中点M，连接AM，CM； 因为为菱形且，故与均为等边三角形； 变换之后与为等边三角形； 因为O为AC中点，故，； 故二面角的平面角为； 其中； 在中，由余弦定理可知： ； 根据原图可知，故，； 因为，故，故； 因为平面平面，故； 则在中，； 则；故； 代入计算可得：； 二面角的余弦值为． 37．三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点． ，． ，，． （2），，为三棱锥的高， ， 作于点，作于点，连． 平面，平面， ． ，又，平面， 平面，平面， 所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，， ． 38．如图，在三棱锥中，为上一点，，，． (1)证明：线段上存在一点，使得平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球的表面积为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取中点， 由，得，由，得， 由，且都在平面内，故平面， 又平面，所以平面平面， 综上，存在点，使得平面平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 由，，知为等边三角形，，， 取中点，则，且，又，则， 由平面，平面，则二面角的平面角为， 由（1）平面，平面，则， 又，且都在平面内，则平面， 由平面，则，而， 在中，在中， 所以，则，故在中， 综上，两两垂直，且的斜边为， 故三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 易知平面，且， 三棱锥的外接球半径为，则，可得，即， 由平面，则，故，则， 所以，， 在中，，， 由余弦定理得， 故二面角的正弦值为. 39．如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接， 因为正三棱柱，所以底面， 为的中点，平面，所以， 又因为为正三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 所以平面，又平面，， 所以平面.    (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）    因为两两相互垂直， 所以以为原点建立空间直角坐标系如图所示，设， 则 则，，， 在平面中，设法向量为， 则, 令，则， 因为平面在平面内， 可设， 设二面角的大小为， ， 所以. 题型10 空间角的取值范围 40．在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ，    此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选：  D. 41．已知四面体中，，，为中点，．作，垂足为． (1)证明：； (2)若，，四面体的体积大于，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2). 【详解】（1）因为， 为 中点，所以， 在 和 中，，，， 故 （SAS），得 ，又 为 中点，所以 , 且 ， 平面 ，所以 平面 ，因为平面 ，所以，又，且 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ； 又 ，且 ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ； （2）由 ，，，得为等边三角形，故 ，， 由（1）知 平面 ，所以，所以即为二面角的平面角. 设，在中，可得 则四面体的体积为， 根据题意有，解得，即， . 42．如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时．求证：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）由是边长为4的正方形，且， 由都在平面内，则平面，平面， 所以，又，都在平面内，则平面， 由平面，则，又，为的中点，则， 由都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面； （2）由，且，则， 所以，，， 所以， 故，故到的距离， 又到平面的距离，则二面角的正弦值， 又，则所求二面角的正弦值范围为； 43．如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 题型11 求点面、线面、面面距离 44．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 45．如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且垂直于圆所在平面，与平面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】 【详解】（1）证明：平面，平面， ． 是圆O的直径，C为圆上一点，． 又，且平面 平面． （2）如图所示，过点A作于点D， 平面，平面， ， 又平面 平面． 即为点A到平面的距离． ∴依题意知为与平面所成角， 即，，， 可得． ， 即点A到平面的距离为． 46．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 47．如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 题型12 立体几何中的探索性问题 48．如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 49．如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． (1)证明：平面． (2)在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． (3)在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接，，，. ，，由三棱柱， 得，, ，是等腰直角三角形. . 是棱的中点，. ，，是的中点，, ，，, 由余弦定理得，得, ，，得，即. 由，，，得平面, 平面，, ，，平面，平面，， 平面. (2)过点作，垂足为，连接. 由（1）得平面. 平面，, ，，平面, 平面，, 为二面角的平面角. (3)存在，，理由如下： 连接，，过点作平面，过点作平面. ，平面，平面，平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离，即. ，，，， 由余弦定理得，得，, 为等腰直角三角形，为等边三角形. 由（1）得平面， 是等腰直角三角形，，是的中点，得. 由，得， 即，解得. . 平面，为与平面所成的角. 由与平面所成角的正切值为，得, . 平面，为直角三角形, ，即. 由三棱柱，，， 得四边形为菱形, . 在中，，， 由余弦定理得， 即, 解得或（舍）, , 即当时，与平面所成角的正切值为. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 50．如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：过点在平面内作，垂足为点， ，，，则平面， 平面，， ，，平面， 平面，则， 故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，，因此，平面. (2)存在，或 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面，与平面所成角为， 因为平面，， 所以，，解得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，解得或. 因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 【点睛】 51．如图，在正三棱台中，，，分别为，中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在且，使得二面角的余弦值为. 【分析】 【详解】（1）取的中点为，连接， 由正三棱台的性质可得，而，故， 而，故，故， 而平面，平面，故平面. （2）由棱台的性质可知侧棱所在的直线交于一点，如图所示， 设，则，如（1）取的中点为，连接， 因为，故，故， 故为等边三角形，故， 而平面，，故平面， 而平面，故平面平面， 过作，垂足为，因为平面平面， 平面，故平面， 故为与平面所成的角， 而， 故，而为三角形内角， 所以， （3）存在且，使得二面角的余弦值为. 证明如下： 由（2）可得，连接，由（1）得， 而，故，故， 而平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角. 在中，， 显然为等腰三角形，且 ，故为的中点， 故，则， 故. $